Formuła redukcji LSZ

W kwantowej teorii pola wzór redukcji LSZ jest metodą obliczania elementów macierzy S ( amplitud rozpraszania ) z uporządkowanych w czasie funkcji korelacji kwantowej teorii pola. Jest to krok na ścieżce, która zaczyna się od Lagrange'a jakiejś kwantowej teorii pola i prowadzi do przewidywania mierzalnych wielkości. Został nazwany na cześć trzech niemieckich fizyków Harry'ego Lehmanna , Kurta Symanzika i Wolfharta Zimmermanna .

Chociaż wzór redukcji LSZ nie obsługuje stanów związanych , cząstek bezmasowych i solitonów topologicznych , można go uogólnić, aby obejmował stany związane, używając pól złożonych , które często są nielokalne. Co więcej, metoda ta lub jej warianty okazały się owocne również w innych dziedzinach fizyki teoretycznej. Na przykład w fizyce statystycznej można ich użyć do uzyskania szczególnie ogólnego sformułowania twierdzenia o rozpraszaniu fluktuacji .

Pola wjazdowe i wyjazdowe

Elementy macierzy S to amplitudy przejść między stanami in i out . W stanie ${\ Displaystyle |\ {p \} \ \ mathrm {w} \ rangle}$ _ opisuje stan układu cząstek, które w odległej przeszłości, przed oddziaływaniem, poruszały się swobodnie z określonym pędem { p } i odwrotnie, stan out ${\ Displaystyle |\ {p \} \ \ mathrm {na zewnątrz} \ rangle}$ opisuje stan układu cząstek, który długo po interakcji będzie poruszał się swobodnie z określonym pędem { p }.

wejściowe i wyjściowe są stanami w obrazie Heisenberga , więc nie należy o nich myśleć, że opisują cząstki w określonym czasie, ale raczej opisują układ cząstek w całej jego ewolucji, tak aby element macierzy S:

${\ Displaystyle S _ {\ rm {fi}} = \ langle \ {q \} \ \ operatorname na zewnątrz} |\ {p \} \ \ operatorname {w} \ rangle}$

jest amplitudą prawdopodobieństwa dla zestawu cząstek, które zostały przygotowane z określonym pędem { p } do interakcji i późniejszego zmierzenia jako nowy zestaw cząstek z pędem { } .

Prostym sposobem budowania stanów wejścia i wyjścia jest poszukiwanie odpowiednich operatorów pól, które zapewniają właściwe operatory tworzenia i anihilacji . Pola te nazywane są odpowiednio polami wejściowymi i wyjściowymi .

Aby naprawić pomysły, załóżmy, że mamy do czynienia z polem Kleina-Gordona , które oddziałuje w jakiś sposób, który nas nie dotyczy:

${\ Displaystyle {\ mathcal {L}} = {\ Frac {1} {2}} \ częściowe _ {\ mu} \varphi \partial ^{\mu }\varphi -{\frac {1}{2}}m_{0}^{2}\varphi ^{2}+{\mathcal {L}}_{\mathrm {int } }}$

${\ Displaystyle {\ mathcal {L}} _ {\ operatorname {int}}}$ może zawierać interakcję własną gφ ³ lub interakcję z innymi polami, na przykład interakcję Yukawa ${\ Displaystyle g \ \varphi {\bar {\psi}}\psi}$ . Z tego Lagrange'a , używając równań Eulera-Lagrange'a , wynika równanie ruchu:

${\ Displaystyle \ lewo (\ częściowe ^ {2} + m_ {0} ^ {2} \ prawej) \ varphi (x) = j_ {0} (X)}$

gdzie, jeśli nie zawiera sprzężeń pochodnych: ${\ Displaystyle {\ mathcal {L}} _ {\ operatorname {int}}}$

${\ Displaystyle j_ {0} = {\ Frac {\ częściowe {\ mathcal {L}} _ {\ operatorname {int}}} {\ częściowe \ varphi}}}$

Możemy oczekiwać, że pole in będzie przypominać asymptotyczne zachowanie pola swobodnego jako ⁰ x → −∞ , zakładając, że w odległej przeszłości oddziaływanie opisywane przez prąd j ₀ jest pomijalne, ponieważ cząstki są daleko od siebie. Hipoteza ta nosi nazwę hipotezy adiabatycznej . Jednak samo oddziaływanie nigdy nie zanika i oprócz wielu innych efektów powoduje różnicę między masą Lagrange'a m ₀ a masą fizyczną m bozonu φ . Fakt ten należy wziąć pod uwagę, przepisując równanie ruchu w następujący sposób:

${\ Displaystyle \ lewo (\ częściowe ^ {2} + m ^ {2} }\right)\varphi (x)=j_{0}(x)+\left(m^{2}-m_{0}^{2}\right)\varphi (x)=j(x)}$

To równanie można rozwiązać formalnie za pomocą opóźnionej funkcji Greena operatora Kleina – Gordona ${\ Displaystyle \ częściowe ^ {2} + m ^ {2}}$ :

${\ Displaystyle \ Delta _ {\ operatorname {ret}} (x) = i \ theta \ lewo (x ^ {0} \ prawo) \ int {\ Frac {\ operatorname {d} ^ {3} k} {( 2\pi )^{3}2\omega _{k}}}\left(e^{-ik\cdot x}-e^{ik\cdot x}\right)_{k^{0}=\ omega _{k}}\qquad \omega _{k}={\sqrt {\mathbf {k} ^{2}+m^{2}}}}$

co pozwala nam oddzielić interakcję od zachowania asymptotycznego. Rozwiązaniem jest:

${\ Displaystyle \ varphi (x) = {\ sqrt {Z}} \ varphi _ { \mathrm {in} }(x)+\int \mathrm {d} ^{4}y\Delta _{\mathrm {ret} }(xy)j(y)}$

Współczynnik √ Z jest współczynnikiem normalizacji, który przyda się później, pole φ _in jest rozwiązaniem jednorodnego równania związanego z równaniem ruchu:

${\ Displaystyle \ lewo (\ częściowe ^ {2} + m ^ {2} \ prawej) \ varphi _ {\ operatorname {w}} (x) = 0,}$

a zatem jest polem swobodnym , które opisuje nadchodzącą niezakłóconą falę, podczas gdy ostatni wyraz rozwiązania podaje zaburzenie fali spowodowane interakcją.

Pole φ _in jest rzeczywiście polem in , którego szukaliśmy, ponieważ opisuje asymptotyczne zachowanie oddziałującego pola jako ⁰ x → −∞ , chociaż to stwierdzenie zostanie uściślone później. Jest to swobodne pole skalarne, więc można je rozszerzać w falach płaskich:

${\ Displaystyle \ varphi _ {\ operatorname {w} }(x)=\int \mathrm {d} ^{3}k\left\{f_{k}(x)a_{\mathrm {in} }(\mathbf {k} )+f_{k}^{ *}(x)a_{\mathrm {w} }^{\sztylet }(\mathbf {k} )\right\}}$

Gdzie:

${\ Displaystyle f_ {k} (x) = \ lewo. {\ Frac {e ^ {-ik \ cdot x}} {(2 \ pi) ^ {\ Frac {3} {2}} ( 2\omega _{k})^{\frac {1}{2}}}}\right|_{k^{0}=\omega _{k}}}$

Funkcję odwrotną dla współczynników względem pola można łatwo otrzymać i zapisać w eleganckiej postaci:

${\ Displaystyle a _ {\ operatorname {in}} (\ mathbf {k}) = ja \ int \ operatorname {d} ^{3}xf_{k}^{*}(x){\overleftrightarrow {\częściowa _{0}}}\varphi _{\mathrm {in}}(x)}$

Gdzie:

${\ Displaystyle {\ operatorname {g}}} {\ overleftrightarrow {\ częściowe _ {0}}} f = \ operatorname {g} \ częściowe _ {0} ff \ częściowe _ {0} \ operatorname {g}.}$

Współczynniki Fouriera spełniają algebrę operatorów tworzenia i anihilacji :

${\ Displaystyle [a _ {\ operatorname {in}} (\ mathbf {p}), a _ {\ operatorname {in}} (\ mathbf {q})] = 0; \ quad [a_ {\ operatorname {in}} (\mathbf {p} ),a_{\mathrm {w} }^{\sztylet}(\mathbf {q})]=\delta ^{3}(\mathbf {p} -\mathbf {q}); }$

i można ich używać do budowania stanów w zwykły sposób:

${\ Displaystyle \ lewo | k_ {1}, \ ldots, k_ {n} \ \ operatorname {w} \ prawo \ rangle = {\ sqrt {2 \ omega _ {k_ {1}}}} a _ {\ operatorname { in} } ^{\sztylet}(\mathbf {k} _{1})\ldots {\sqrt {2\omega _{k_{n}}}}a_{\mathrm {in}}^{\sztylet} (\mathbf {k} _{n})|0\rangle }$

Relacja między polem oddziałującym a polem wewnętrznym nie jest łatwa w użyciu, a obecność opóźnionej funkcji Greena kusi nas do napisania czegoś w rodzaju:

${\ Displaystyle \ varphi (x) \ sim {\ sqrt {Z}} \ varphi _ {\ operatorname {w}} (x) \ qquad \mathrm {as} \quad x^{0}\to -\infty }$

pośrednio przyjmując założenie, że wszystkie interakcje stają się nieistotne, gdy cząstki są daleko od siebie. Jednak prąd j ( x ) zawiera również interakcje własne, takie jak te powodujące przesunięcie masy z m ₀ do m . Te interakcje nie zanikają, gdy cząstki oddalają się od siebie, dlatego należy zachować dużą ostrożność przy ustalaniu asymptotycznych relacji między polem oddziałującym a polem wewnętrznym .

Prawidłowa recepta, opracowana przez Lehmanna, Symanzika i Zimmermanna, wymaga dwóch normalizowalnych stanów ${\ Displaystyle |\ alpha \ rangle}$ i ${\ Displaystyle |\ beta \ rangle}$ i normalizowalne rozwiązanie   fa ( x ) równania Kleina – Gordona ${\ Displaystyle (\ częściowe ^ {2} + m ^{2})f(x)=0}$ . Za pomocą tych fragmentów można stwierdzić poprawną i użyteczną, ale bardzo słabą zależność asymptotyczną:

${\ Displaystyle \ lim _ {x ^ {0} \ do - \ infty} \ int \ operatorname {d} ^ {3} x \ langle \ alfa | f (x) {\ overleftrightarrow {\ częściowe _ {0}} }\varphi (x)|\beta \rangle ={\sqrt {Z}}\int \mathrm {d} ^{3}x\langle \alpha |f(x){\overleftrightarrow {\partial _{0} }}\varphi _{\mathrm {w}}(x)|\beta \rangle }$

Drugi człon jest rzeczywiście niezależny od czasu, co można wykazać, różniczkując i pamiętając, że zarówno φ _in , jak i   f   spełniają równanie Kleina-Gordona.

Przy odpowiednich zmianach można wykonać te same kroki, aby skonstruować pole wyjściowe , które buduje stany wyjściowe . W szczególności definicja pola out to:

${\ Displaystyle \ varphi (x) = {\ sqrt {Z}} \ varphi _ {\mathrm {na zewnątrz}}(x)+\int \mathrm {d} ^{4}y\Delta _{\mathrm {adv}}(xy)j(y)}$

gdzie Δ _adv ( x - y ) jest zaawansowaną funkcją Greena operatora Kleina – Gordona. Słaba asymptotyczna zależność między zewnętrznym a polem oddziałującym to:

${\ Displaystyle \ lim _ {x ^ {0} \ do \ infty} \ int \ operatorname {d} ^ {3} x \ langle \ alfa | f (x) {\ overleftrightarrow {\ częściowe _ {0}}} \varphi (x)|\beta \rangle ={\sqrt {Z}}\int \mathrm {d} ^{3}x\langle \alpha |f(x){\overleftrightarrow {\partial _{0}} }\varphi _{\mathrm {na zewnątrz}}(x)|\beta \rangle }$

Wzór redukcji dla skalarów

Relacje asymptotyczne są wszystkim, co jest potrzebne do uzyskania wzoru redukcji LSZ. Dla wygody w przyszłości zaczniemy od elementu matrix:

${\ Displaystyle {\ mathcal {M}} = \ langle \ beta \ \ operatorname {na zewnątrz} | \ operatorname {T} \ varphi (y_ {1}) \ ldots \ varphi (y_ {n}) | \alpha \ \mathrm {w} \rangle }$

który jest nieco bardziej ogólny niż element macierzy S. Rzeczywiście, $jest$ wartością oczekiwaną iloczynu uporządkowanego w czasie wielu pól ${1} )\cdots \varphi (y_{n})}$ między stanem wyjściowym a stanem wejściowym . wyjście _ stan może zawierać wszystko, od próżni do nieokreślonej liczby cząstek, których pędy podsumowuje wskaźnik β . Stan in zawiera co najmniej cząstkę pędu p i prawdopodobnie wiele innych, których pędy podsumowuje indeks α . Jeśli w iloczynie uporządkowanym w czasie nie ma pól, to jest oczywiście elementem macierzy S. ${\ displaystyle {\ mathcal {M}}}$ Cząstkę o pędzie p można „wydobyć” ze stanu in za pomocą operatora kreacji:

${\ Displaystyle {\ mathcal {M}} = {\ sqrt {2 \ omega _ {p}}} \ \ lewo \ langle \ beta \ \ operatorname {na zewnątrz} {\ bigg |} \ operatorname {T} \ lewo [ \varphi (y_{1})\ldots \varphi (y_{n})\right]a_{\mathrm {w} }^{\sztylet }(\mathbf {p} ){\bigg |}\alpha '\ \mathrm {w} \right\rangle }$

gdzie liczba pierwsza na $,$ że ​​usunięto jedną cząstkę. Przy założeniu, że w stanie wyjściowym nie ma żadnej cząstki o pędzie p , czyli pomijamy rozpraszanie w przód, możemy napisać:

${\ Displaystyle {\ mathcal {M}} = {\ sqrt {2 \ omega _ {p}}} \ lewo \ langle \ beta \ \ operatorname {na zewnątrz} {\ bigg |} \ lewo \ {\mathrm {T} \left[\varphi (y_{1})\ldots \varphi (y_{n})\right]a_{\mathrm {w} }^{\sztylet}(\mathbf {p} ) -a_{\mathrm {na zewnątrz} }^{\sztylet}(\mathbf {p} )\mathrm {T} \left[\varphi (y_{1})\ldots \varphi (y_{n})\right] \right\}{\bigg |}\alpha '\ \mathrm {w} \right\rangle }$

ponieważ $daje$ . Wyrażając operatory konstrukcji w kategoriach wejściowych i wyjściowych , mamy:

${\ Displaystyle {\ mathcal {M}} = - i {\ sqrt {2 \ omega _ {p}}} \ \ int \ operatorname {d} ^ {3} xf_ {p} (x) {\overleftrightarrow {\częściowe _{0}}}\left\langle \beta \ \mathrm {out} {\bigg |}\left\{\mathrm {T} \left[\varphi (y_{1})\ ldots \varphi (y_{n})\right]\varphi _{\mathrm {in}}(x)-\varphi _{\mathrm {out}}(x)\mathrm {T} \left[\varphi ( y_{1})\ldots \varphi (y_{n})\right]\right\}{\bigg |}\alpha '\ \mathrm {in} \right\rangle }$

Teraz możemy użyć warunku asymptotycznego, aby napisać:

${\ Displaystyle {\ mathcal {M}} = - i {\ sqrt {\ Frac {2 \ omega _ {p}} {Z}}} \ lewo \ {\ lim _ {x ^ {0} \ do - \ infty }\int \mathrm {d} ^{3}xf_{p}(x){\overleftrightarrow {\partial _{0}}}\langle \beta \ \mathrm {out} |\mathrm {T} \left [\varphi (y_{1})\ldots \varphi (y_{n})\right]\varphi (x)|\alpha '\ \mathrm {in} \rangle -\lim _{x^{0}\ do \infty }\int \mathrm {d} ^{3}xf_{p}(x){\overleftrightarrow {\partial _{0}}}\langle \beta \ \mathrm {out} |\varphi (x) \mathrm {T} \left[\varphi (y_{1})\ldots \varphi (y_{n})\right]|\alpha '\ \mathrm {in} \rangle \right\}}$

Zauważmy wtedy, że pole φ ( x ) można wprowadzić do iloczynu uporządkowanego w czasie, ponieważ pojawia się ono po prawej stronie, gdy ⁰ x → −∞ , a po lewej, gdy ⁰ x → ∞ :

${\ Displaystyle {\ mathcal {M}} = - i {\ sqrt {\ Frac {2 \ omega _ {p}} {Z}}} \ lewo (\ lim _ {x ^ {0} \to -\infty }-\lim _{x^{0}\to \infty}\right)\int \mathrm {d} ^{3}xf_{p}(x){\overleftrightarrow {\partial _{ 0}}}\langle \beta \ \mathrm {out} |\mathrm {T} \left[\varphi (x)\varphi (y_{1})\ldots \varphi (y_{n})\right]| \alpha '\ \mathrm {w} \rangle }$

W poniższym przypadku liczy się zależność x w produkcie uporządkowanym w czasie, więc ustalamy:

${\ Displaystyle \ langle \ beta \ \ operatorname {na zewnątrz} | \ operatorname {T} \ lewo [\ varphi (x) \ varphi (y_ {1}) \ ldots \ varphi ( y_{n})\right]|\alpha '\ \mathrm {in} \rangle =\eta (x)}$

Łatwo jest wykazać, przeprowadzając jawne całkowanie po czasie, że:

${\ Displaystyle {\ mathcal {M}} = i {\ sqrt {\ Frac {2 \ omega _{p}}{Z}}}\int \mathrm {d} (x^{0})\częściowe _{0}\int \mathrm {d} ^{3}xf_{p}(x){\ overleftrightarrow {\częściowa _{0}}}\eta (x)}$

tak, że przez jawne wyprowadzenie czasu mamy:

${\ Displaystyle {\ mathcal {M}} = ja {\ sqrt {\frac {2\omega _{p}}{Z}}}\int \mathrm {d} ^{4}x\left\{f_{p}(x)\częściowe _{0}^{2 }\eta (x)-\eta (x)\częściowa _{0}^{2}f_{p}(x)\right\}}$

Z jej definicji widzimy, że   f _p ( x ) jest rozwiązaniem równania Kleina-Gordona, które można zapisać jako:

${\ Displaystyle \ częściowe _ {0} ^ {2} f_ {p} (x) = \ lewo (\ Delta -m ^ {2 }\right)f_{p}(x)}$

Podstawiając do wyrażenia na i całkując przez części, dochodzimy do: ${\ displaystyle {\ mathcal {M}}}$

${\ Displaystyle {\ mathcal {M}} = ja {\ sqrt {\ Frac {2 \ omega _{p}}{Z}}}\int \mathrm {d} ^{4}xf_{p}(x)\left(\częściowa _{0}^{2}-\Delta +m^{2 }\prawo)\eta (x)}$

To jest:

${\ Displaystyle {\ mathcal {M}} = {\ Frac {i} {(2 \ pi) ^ {\ Frac {3} {2}} Z ^ {\ Frac {1} {2} }}}\int \mathrm {d} ^{4}xe^{-ip\cdot x}\left(\Box +m^{2}\right)\langle \beta \ \mathrm {out} |\mathrm {T} \left[\varphi (x)\varphi (y_{1})\ldots \varphi (y_{n})\right]|\alpha '\ \mathrm {in} \rangle }$

in można wyodrębnić kolejną cząstkę , co prowadzi do wstawienia kolejnego pola do iloczynu uporządkowanego w czasie. Bardzo podobna procedura może wyodrębnić cząstki ze out , a oba można powtarzać, aby uzyskać próżnię zarówno po prawej, jak i po lewej stronie produktu uporządkowanego w czasie, co prowadzi do ogólnego wzoru:

${\ Displaystyle \ langle p_ {1}, \ ldots, p_ {n} \ \ operatorname {na zewnątrz} | q_ {1}, \ ldots, q_ {m} \ \ operatorname {w} \ rangle = \ int \ prod _ {i=1}^{m}\left\{\mathrm {d} ^{4}x_{i}{\frac {ie^{-iq_{i}\cdot x_{i}}\left(\Box _{x_{i}}+m^{2}\right)}{(2\pi )^{\frac {3}{2}}Z^{\frac {1}{2}}}}\right \}\prod _{j=1}^{n}\left\{\mathrm {d} ^{4}y_{j}{\frac {ie^{ip_{j}\cdot y_{j}}\ left(\Box _{y_{j}}+m^{2}\right)}{(2\pi )^{\frac {3}{2}}Z^{\frac {1}{2}} }}\right\}\langle \Omega |\mathrm {T} \varphi (x_{1})\ldots \varphi (x_{m})\varphi (y_{1})\ldots \varphi (y_{n })|\Omega \rangle }$

Który jest wzorem redukcji LSZ dla skalarów Kleina – Gordona. Zyskuje znacznie lepszy wygląd, jeśli zostanie napisany przy użyciu transformaty Fouriera funkcji korelacji:

${\ Displaystyle \ Gamma \ lewo (p_ {1}, \ ldots, p_ {n} \ prawej) = \ int \ prod _ {i = 1} ^ {n} \ lewo \ {\ operatorname {d} ^ {4 }x_{i}e^{ip_{i}\cdot x_{i}}\right\}\langle \Omega |\mathrm {T} \ \varphi (x_{1})\ldots \varphi (x_{n })|\Omega \rangle }$

Wykorzystując transformatę odwrotną do podstawienia we wzorze redukcyjnym LSZ, przy pewnym wysiłku można uzyskać następujący wynik:

${\ Displaystyle \ langle p_ {1}, \ ldots, p_ {n} \ \ operatorname {na zewnątrz} | q_ {1}, \ ldots, q_ {m} \ \ operatorname {w} \ rangle = \ prod _ {i =1}^{m}\lewo\{-{\frac {i\lewo(p_{i}^{2}-m^{2}\prawo)}{(2\pi )^{\frac {3 }{2}}Z^{\frac {1}{2}}}}\right\}\prod _{j=1}^{n}\left\{-{\frac {i\left(q_{ j}^{2}-m^{2}\right)}{(2\pi )^{\frac {3}{2}}Z^{\frac {1}{2}}}}\right\ }\Gamma \left(p_{1},\ldots,p_{n};-q_{1},\ldots,-q_{m}\right)}$

Pomijając współczynniki normalizacji, wzór ten stwierdza, że ​​elementy macierzy S są resztami biegunów, które powstają w transformacie Fouriera funkcji korelacji, gdy czteropędy są umieszczane na powłoce.

Formuła redukcji dla fermionów

Przypomnijmy, że rozwiązania skwantowanego równania Diraca pola swobodnego można zapisać jako

$\ Psi (x) = \sum _{s=\pm }\int \!\mathrm {d} {\tylda {p}}{\big (}b_{\textbf {p}}^{s}u_{\textbf {p}} ^{s}\mathrm {e} ^{ip\cdot x}+d_{\textbf {p}}^{\sztylet s}v_{\textbf {p}}^{s}\mathrm {e} ^{ -ip\cdot x}{\big )},}$

gdzie sygnatura metryczna jest w większości plusem, jest operatorem anihilacji ${\ textbf {p}}}$ cząstek pędu typu $Displaystyle$ i spin ${\ Displaystyle s = \ pm}$ , ${\ Displaystyle d _ {\ textbf {p}} ^ {\ sztylet s}}$ jest operatorem kreacji dla cząstek typu d o spinie ${\ displaystyle s}$ i spinors ${\ Displaystyle u _ {\ textbf {p}} ^ {s}}$ i ${\ Displaystyle v _ {\ textbf {p}} ^ {s}}$ zaspokoić ${\ Displaystyle ( p \! \! \! / + m) u _ {\ textbf {p}} ^ {s} = 0}$ i ${\ Displaystyle (p \! \! \! / -m)v_{\textbf {p}}^{s}=0}$ . Miara niezmiennika Lorentza jest zapisywana jako ${\ Displaystyle \ operatorname {d} {\ tylda {p}}: = \ operatorname {d} ^ {3} p / (2 \ pi) ^ {3} 2 \ omega _ {\ textbf {p}}}$ , z ${\ Displaystyle \ omega _ {\ textbf {p}} = {\ sqrt {{\ textbf {p}} ^ {2} + m^{2}}}}$ . Rozważmy teraz zdarzenie rozpraszające składające się ze stanu in ${\ Displaystyle | \ alfa \ \ operatorname {w} \ rangle}$ cząstek niewchodzących w interakcje zbliżających się do obszaru interakcji na początku, gdzie zachodzi rozpraszanie, po którym następuje stan out ${\ Displaystyle | \ beta \ \ operatorname {na zewnątrz} \ rangle}$ wychodzących cząstek niewchodzących w interakcje. Amplituda prawdopodobieństwa dla tego procesu jest dana przez

${\ Displaystyle {\ mathcal {M}} = \ langle \ beta \ \ operatorname {na zewnątrz} | \ alfa \ \ operatorname {w} \ rangle,}$

gdzie dla uproszczenia nie wstawiono żadnego dodatkowego uporządkowanego w czasie iloczynu operatorów pól. Rozważana sytuacja będzie rozpraszaniem $b$ na cząstki typu b. ${\ displaystyle n'}$ Załóżmy, że $pędzie$ in składa się z cząstek o ${\ Displaystyle \ {{\ textbf {p}} _ {1}, ..., {\ textbf {p}} _ {n} \}}$ obraca się ${\ Displaystyle \ {s_ {1}, ..., s_ {n} \}}$ , podczas gdy out zawiera cząstki pędu $}}$ i obraca się ${\ Displaystyle \ {\ sigma _ {1}, ..., \ sigma _ {n'} \}}$ . Stany wejścia i wyjścia są następnie podane przez

${\ Displaystyle | \ alfa \ \ operatorname {w} \ rangle = | {\ textbf {p}} _ {1} ^ {s_ {1}}, ..., {\ textbf {p}} _ {n} ^{s_{n}}\rangle \quad {\text{i}}\quad |\beta \ \mathrm {out} \rangle =|{\textbf {k}}_{1}^{\sigma _{ 1}},...,{\textbf {k}}_{n'}^{\sigma _{n'}}\rangle .}$

Wyodrębnianie cząstki in z ${\ Displaystyle |\ alfa \ \ operatorname {in} \ rangle}$ daje operator tworzenia swobodnego pola ${\ Displaystyle b _ {{\ textbf {p}} _ {1 },\mathrm {w} }^{\dagger s_{1}}}$ działając na stan z jedną cząstką mniej. Zakładając, że żadna wychodząca cząstka nie ma takiego samego pędu, możemy napisać

${\ Displaystyle {\ mathcal {M}} = \ langle \ beta \ \ operatorname {na zewnątrz} | b _ {{\ textbf {p}} _ {1}, \ operatorname {w}} ^ { \dagger s_{1}}-b_{{\textbf {p}}_{1},\mathrm {na zewnątrz} }^{\dagger s_{1}}|\alpha '\ \mathrm {w} \rangle , }$

gdzie liczba pierwsza na $,$ że ​​usunięto jedną cząstkę. Przypomnijmy sobie teraz, że w teorii swobodnej operatory cząstek typu b można zapisać w kategoriach pola, używając relacji odwrotnej

${\ Displaystyle b _ {\ textbf {p}} ^ {\ sztylet s} = \ int \! \ operatorname {d } ^{3}x\;\mathrm {e} ^{ip\cdot x}{\bar {\Psi }}(x)\gamma ^{0}u_{\textbf {p}}^{s}, }$

gdzie ${\ Displaystyle {\ bar {\ Psi}} (x) = \ Psi ^ {\ sztylet} (x) \ gamma ^ {0}}$ . Oznaczając asymptotyczne wolne pola przez ${\ displaystyle \ Psi _ {\ tekst {in}}}$ i ${\ displaystyle \ Psi _ {\ text {out}}}$ , znajdujemy

${\ Displaystyle {\ mathcal {M}} = \ int \! \ operatorname {d} ^ {3} x_ {1} \; \ operatorname {e} ^ {ip_ {1} \ cdot x_ {1}} \ langle \beta \ \mathrm {out} |{\bar {\Psi}}_{\text{in}}(x_{1})\gamma ^{0}u_{{\textbf {p}}_{1} }^{s_{1}}-{\bar {\psi}}_{\text{out}}(x_{1})\gamma ^{0}u_{{\textbf {p}}_{1} }^{s_{1}}|\alpha '\ \mathrm {w} \rangle .}$

Słaby warunek asymptotyczny wymagany dla pola Diraca, analogiczny do tego dla pól skalarnych, brzmi

${\ Displaystyle \ lim _ {x ^ {0} \ rightarrow - \ infty} \ int \! \ operatorname {d} ^ {3} x \ langle \ beta | \ operatorname {e} ^ {ip \ cdot x}{\bar {\Psi}}(x)\gamma ^{0}u_{\textbf {p}}^{s}|\alpha \rangle ={\sqrt {Z}}\int \!\mathrm {d} ^{3}x\langle \beta |\mathrm {e} ^{ip\cdot x}{\bar {\Psi}}_{\text{in}}(x)\gamma ^{0} u_ {\textbf {p}}^{s}|\alpha \rangle ,}$

i podobnie dla pola wyjściowego . Amplituda rozpraszania wynosi wtedy

${\ Displaystyle {\ mathcal {M}} = {\ Frac {1} {\ sqrt {Z}}} {\ Duży (} \ lim _ {x_ {1} ^ {0} \ rightarrow - \ infty }-\lim _{x_{1}^{0}\rightarrow +\infty }{\Big )}\int \!\mathrm {d} ^{3}x_{1}\;\mathrm {e} ^ {ip_{1}\cdot x_{1}}\langle \beta \ \mathrm {out} |{\bar {\Psi}}(x_{1})\gamma ^{0}u_{{\textbf {p }}_{1}}^{s_{1}}|\alpha '\ \mathrm {in} \rangle ,}$

gdzie teraz pole oddziałujące pojawia się w produkcie wewnętrznym. Przepisując granice pod względem całki pochodnej po czasie, mamy

${\ Displaystyle {\ mathcal {M}} = - {\ Frac {1} {\ sqrt {Z}}} \ int \! \ operatorname {d} ^ {4} x_ {1} \ częściowe _ {0} \big (}\mathrm {e} ^{ip_{1}\cdot x_{1}}\langle \beta \ \mathrm {out} |{\bar {\Psi }}(x_{1})\gamma ^ {0}u_{{\textbf {p}}_{1}}^{s_{1}}|\alpha '\ \mathrm {in} \rangle {\big )}}$

${\ Displaystyle = - {\ Frac {1} {\ sqrt {Z}}} \ int \! \ operatorname {d} ^ {4} x_ {1} ( \partial _{0}\mathrm {e} ^{ip_{1}\cdot x_{1}}\eta (x_{1})+\mathrm {e} ^{ip_{1}\cdot x_{1} }\częściowa _{0}\eta (x_{1}){\duża)}\gamma ^{0}u_{{\textbf {p}}_{1}}^{s_{1}},}$

gdzie wektor wierszowy elementów macierzowych pola Diraca z kreskami jest zapisany jako ${\ Displaystyle \ eta (x_ {1}): = \ langle \ beta \ \ operatorname {na zewnątrz} | {\ bar {\ Psi}} (x_ {1}) | \ alfa '\ \ operatorname {w} \rangle}$ . Przypomnijmy sobie teraz, że ${\ Displaystyle \ operatorname {e} ^ {ip \ cdot x} u _ {\ textbf {p}} ^ {s}}$ jest rozwiązaniem równania Diraca:

${\ Displaystyle (-i \ częściowe \! \! \! / + m) \ operatorname {e} ^ {ip \ cdot x} u_ {\textbf {p}}^{s}=0.}$

$\ Displaystyle \ gamma ^ {0} \ częściowe _ {0} \ operatorname {e} ^ {ip \ cdot x} u _ {\ textbf {p}} ^ {$ p , podstawiając go pod pierwszy wyraz całki i całkując przez części, otrzymujemy

${\ Displaystyle {\ mathcal {M}} = {\ Frac {i} {\ sqrt {Z}}} \ int \! \ operatorname {d} ^ {4} x_ {1} \ operatorname {e} ^ {ip_ {1}\cdot x_{1}}{\big (}i\częściowe _{\mu }\eta (x_{1})\gamma ^{\mu }+\eta (x_{1})m{\ duży )}u_{{\textbf {p}}_{1}}^{s_{1}}.}$

Przejście na notację indeksu Diraca (z sumami na powtarzających się indeksach) pozwala na dokładniejsze wyrażenie, w którym wielkość w nawiasach kwadratowych należy traktować jako operator różniczkowy:

${\ Displaystyle {\ mathcal {M}} = {\ Frac {i} {\ sqrt {Z}}} \ int \! \ operatorname {d} ^ {4} x_ {1} \ operatorname {e} ^ {ip_ {1}\cdot x_{1}}[(i{\częściowo \!\!\!/}_{x_{1}}+m)u_{{\textbf {p}}_{1}}^{ s_{1}}]_{\alpha _{1}}\langle \beta \ \mathrm {out} |{\bar {\Psi}}_{\alpha _{1}}(x_{1})| \alpha '\ \mathrm {w} \rangle .}$

Rozważmy następnie element macierzy występujący w całce. Wyodrębniając out i odejmując odpowiadający mu operator stanu, przy założeniu, że żadna nadchodząca cząstka nie ma takiego samego pędu, mamy

${\ Displaystyle \ langle \ beta \ \ operatorname {na zewnątrz} | {\ bar {\ Psi}} _ {\ alfa _ {1}} (x_ {1}) | \ alfa '\ \ operatorname {w} \ rangle = \langle \beta '\ \mathrm {na zewnątrz} |b_{{\textbf {k}}_{1},\mathrm {na zewnątrz} }^{\sigma _{1}}{\bar {\Psi }}_ {\alpha _{1}}(x_{1})-{\bar {\Psi}}_{\alpha _{1}}(x_{1})b_{{\textbf {k}}_{1 },\mathrm {w} }^{\sigma _{1}}|\alpha '\ \mathrm {w} \rangle .}$

Pamiętając, że ${\ Displaystyle ({\ bar {\ Psi}} \ gamma ^ {0} u _ {\ textbf {p}} ^ {s}) ^ {\ sztylet} = {\ bar {u}} _ {\ textbf {p}} ^ {s} \ gamma ^ {0} \ Psi} , gdzie u Ż p$ s ${ \bar {u}}_{\textbf {p}}^{s}:=u_{\textbf {p}}^{\dagger s}\beta } , możemy zastąpić operatory$ anihilacji in pól za pomocą sprzężenia odwrotnej relacji. Stosując zależność asymptotyczną, znajdujemy

${\ Displaystyle \ langle \ beta \ \ operatorname {na zewnątrz} | {\ bar {\ Psi}} _ {\ alfa _ {1}} (x_ {1}) | \ alfa '\ \ operatorname {w} \ rangle = {\frac {1}{\sqrt {Z}}}{\Big (}\lim _{y_{1}^{0}\rightarrow \infty }-\lim _{y_{1}^{0}\ rightarrow -\infty }{\Big )}\int \!\mathrm {d} ^{3}y_{1}\mathrm {e} ^{-ik_{1}\cdot y_{1}}[{\bar {u}}_{{\textbf {k}}_{1}}^{\sigma _{1}}\gamma ^{0}]_{\beta _{1}}\langle \beta '\ \ mathrm {out} |\ operatorname {T} [\Psi _{\beta _{1}}(y_{1}){\bar {\Psi}}_{\alpha_{1}}(x_{1} )]|\alpha '\ \mathrm {w} \rangle .}$

$Zauważ,$ symbol porządkujący czas, ponieważ pierwszy wyraz wymaga drugi termin wymaga tego po prawej stronie. Wykonując te same kroki, co poprzednio, to wyrażenie redukuje się do

${\ Displaystyle \ langle \ beta \ \ operatorname {na zewnątrz} | {\ bar {\ Psi}} _ {\ alfa _ {1}} (x_ {1}) | \ alfa '\ \ operatorname {w} \ rangle = {\frac {i}{\sqrt {Z}}}\int \!\mathrm {d} ^{4}y_{1}\mathrm {e} ^{-ik_{1}\cdot y_{1}} [{\bar {u}}_{{\textbf {k}}_{1}}^{\sigma _{1}}(-i\częściowo \!\!\!/_{y_{1}} +m)]_{\beta _{1}}\langle \beta '\ \mathrm {out} |\mathrm {T} [\Psi _{\beta _{1}}(y_{1}){\ bar {\Psi}}_{\alpha _{1}}(x_{1})]|\alpha '\ \mathrm {in} \rangle .}$

Pozostałe stany wejściowe i wyjściowe można następnie wyodrębnić i zredukować w ten sam sposób, co ostatecznie skutkuje

${\ Displaystyle \ langle \ beta \ \ operatorname {na zewnątrz} | \ alfa \ \ operatorname {w} \ rangle = \ int \! \ prod _ {j = 1} ^ {n} \ operatorname {d} ^ {4} x_{j}{\frac {i\mathrm {e} ^{ip_{j}x_{j}}}{\sqrt {Z}}}[(i{\częściowo \!\!\!/}_{ x_{j}}+m)u_{{\textbf {p}}_{j}}^{s_{j}}]_{\alpha _{j}}\prod _{l=1}^{n '}\mathrm {d} ^{4}y_{l}{\frac {i\mathrm {e} ^{-ik_{l}y_{l}}}{\sqrt {Z}}}[{\bar {u}}_{{\textbf {k}}_{l}}^{\sigma _{l}}(-i{\częściowo \!\!\!/}_{y_{l}}+m )]_{\beta _{l}}\langle 0|\mathrm {T} [\Psi _{\beta _{1}}(y_{1})...\Psi _{\beta _{n '}}(y_{n'}){\bar {\Psi}}_{\alpha _{1}}(x_{1})...{\bar {\Psi}}_{\alpha _{ n}}(x_{n})]|0\szereg .}$

${p}} ^ {s}} „s$ procedurę można wykonać dla rozpraszania cząstek typu d, dla których { $\$$\$$”$$są$ „ ” zamienione.

Normalizacja natężenia pola

Przyczynę współczynnika normalizacji Z w definicji pól wejściowych i wyjściowych można zrozumieć, biorąc pod uwagę zależność między próżnią a stanem pojedynczej cząstki ${\ displaystyle | p \ rangle}$ z czteromomentową powłoką:

${\ Displaystyle \ langle 0 | \ varphi (x) | p \ rangle = {\ sqrt {Z}} \ langle 0 | \ varphi _ {\ operatorname {w}} (x) | p \ rangle + \ int \ operatorname {d} ^{4}y\Delta _{\mathrm {ret}}(xy)\langle 0|j(y)|p\rangle }$

Pamiętając, że zarówno φ , jak i φ _in są polami skalarnymi z ich transformatą Lorentza zgodnie z:

${\ Displaystyle \ varphi (x) = e ^ {iP \ cdot x} \ varphi (0) e ^ {-iP \ cdot x} }$

gdzie P ^μ jest operatorem czteropędowym, możemy napisać:

${\ Displaystyle e ^ {-ip \ cdot x} \ langle 0 | \ varphi (0) | p \ rangle = {\ sqrt {Z}} e ^ {-ip \ cdot x} \ langle 0 | \ varphi _{\mathrm {in} }(0)|p\rangle +\int \mathrm {d} ^{4}y\Delta _{\mathrm {ret} }(xy)\langle 0|j(y)| p\zakres }$

Stosując operator Kleina-Gordona ∂ ² + m ² po obu stronach, pamiętając, że czteromoment p jest na powłoce i że Δ _ret jest funkcją operatora Greena, otrzymujemy:

${\ Displaystyle 0 = 0 + \ int \ operatorname {d} ^ {4} y \ delta ^ {4} (xy) \ langle 0 | j (y) | p \ rangle; \ quad \ strzałka w lewo \ quad \langle 0|j(x)|p\rangle = 0}$

Dochodzimy więc do zależności:

${\ Displaystyle \ langle 0 | \ varphi (x) | p \ rangle = {\ sqrt {Z}} \ langle 0 | \ varphi _ {\ operatorname {w}} (x) | p \ rangle}$

co uwzględnia potrzebę czynnika Z . Pole in jest polem swobodnym, więc może łączyć tylko stany jednocząsteczkowe z próżnią. Oznacza to, że jego wartość oczekiwana między próżnią a stanem wielu cząstek jest zerowa. Z drugiej strony pole oddziałujące może również łączyć stany wielu cząstek z próżnią, dzięki interakcji, więc wartości oczekiwane po obu stronach ostatniego równania są różne i pomiędzy nimi potrzebny jest współczynnik normalizacji. Prawą stronę można obliczyć jawnie, rozszerzając in w operatorach tworzenia i anihilacji:

${\ Displaystyle \ langle 0 | \ varphi _ {\ operatorname {w}} (x) | p \ rangle = \ int {\ Frac {\ operatorname {d} ^ {3} q} {(2 \ pi) ^ { \frac {3}{2}}(2\omega _{q})^{\frac {1}{2}}}}e^{-iq\cdot x}\langle 0|a_{\mathrm {in } }(\mathbf {q} )|p\rangle =\int {\frac {\mathrm {d} ^{3}q}{(2\pi)^{\frac {3}{2}}}} e^{-iq\cdot x}\langle 0|a_{\mathrm {in} }(\mathbf {q} )a_{\mathrm {in} }^{\sztylet }(\mathbf {p} )|0 \rangle }$

Korzystając z relacji komutacji między za _w i ${\ Displaystyle a _ {\ operatorname {in}} ^ {\ sztylet}}$ otrzymujemy:

${\ Displaystyle \ langle 0 | \ varphi _ {\ operatorname {w}} (x) | p \ rangle = {\ Frac {e ^ {-ip \ cdot x}}{(2\pi )^{\frac {3}{2}}}}}$

prowadząc do relacji:

${\ Displaystyle \ langle 0 | \ varphi (0) | p \ rangle = {\ sqrt {\ Frac {Z} {(2 \ pi) ^ {3}}}}}$

za pomocą którego można obliczyć wartość Z , pod warunkiem, że umie się obliczyć ${\ Displaystyle \ langle 0 | \ varphi (0) | p \ rangle}$ .

• Oryginalna praca to:   Lehmann, H.; Symanzik, K.; Zimmermann, W. (styczeń 1955). „Zur Formulierung Quantisierter Feldtheorien”. Il Nuovo Cimento (w języku niemieckim). Włoskie Towarzystwo Fizyczne. 1 (1): 205–225. doi : 10.1007/BF02731765 . S2CID 121373082 .
• Pedagogiczne wyprowadzenie formuły redukcji LSZ można znaleźć w: Peskin i Schroeder, rozdział 7.2, także u Srednickiego, rozdział I.5, czy też u Weinberga, s. 436–438.