Współczynniki Clebscha – Gordana dla SU (3)

W fizyce matematycznej współczynniki Clebscha-Gordana to współczynniki ekspansji całkowitych stanów własnych momentu pędu na podstawie niezwiązanego iloczynu tensorowego . Matematycznie określają rozkład iloczynu tensorowego dwóch nieredukowalnych reprezentacji na bezpośrednią sumę nieredukowalnych reprezentacji, gdzie rodzaj i wielokrotności tych nieredukowalnych reprezentacji są znane abstrakcyjnie. Nazwa wywodzi się od niemieckich matematyków Alfreda Clebscha (1833–1872) i Paula Gordana (1837–1912), którzy napotkali równoważny problem w teorii niezmienników .

Uogólnienie do SU(3) współczynników Clebscha-Gordana jest przydatne ze względu na ich przydatność do charakteryzowania rozpadów hadronowych , w których istnieje symetria smaku-SU(3) ( droga ośmiokrotna ), która łączy trzy lekkie kwarki : górny , dolny i dziwny .

Grupa SU(3).

Główny artykuł: Specjalna grupa unitarna

Specjalna grupa unitarna SU to grupa macierzy unitarnych , których wyznacznik jest równy 1. Zbiór ten jest domknięty przy mnożeniu macierzy. Wszystkie przemiany charakteryzujące się specjalną grupą unitarną pozostawiają normy niezmienione. SU (3) pojawia się w chromodynamice kwantowej i, jak już wskazano, w symetrii smaku kwarków lekkich, nazwanej Ośmioraką Drogą (fizyka) . Kwarki posiadają kolorowe liczby kwantowe i tworzą podstawową (trypletową) reprezentację grupy SU(3) .

Grupa SU(3) jest podgrupą grupy U(3) , grupy wszystkich macierzy unitarnych 3×3. Warunek unitarności nakłada dziewięć relacji ograniczeń na łącznie 18 stopni swobody złożonej macierzy 3 × 3. Zatem wymiar U(3) wynosi 9. Ponadto, pomnożenie U przez fazę, e ^iφ pozostawia niezmienniczą normę. Zatem U(3) można rozłożyć na iloczyn bezpośredni U(1)×SU(3)/Z ₃ . Z powodu tego dodatkowego ograniczenia SU(3) ma wymiar 8.

Generatory algebry Liego

Każdą macierz unitarną U można zapisać w postaci

$\ Displaystyle U = e ^ {iH} \,}$

gdzie H jest hermitowskie . Elementy SU(3) można wyrazić jako

${\ Displaystyle U = e ^ {i \ suma {a_ {k} \ lambda _ {k}}}}$

gdzie $to$ 8 liniowo niezależnych macierzy tworzących podstawę algebry Liego SU 3) , w reprezentacji trypletów Warunek wyznacznika jednostki wymaga, aby macierze były bezśladowe, ponieważ ${\ displaystyle \ lambda _ {k}}$

${\ Displaystyle \ det (e ^ {A}) = e ^ {\ nazwa operatora {TR} (A)}}$ .

Wyraźną podstawę w podstawowej reprezentacji 3 można skonstruować analogicznie do algebry macierzowej Pauliego operatorów spinowych. Składa się z macierzy Gell-Manna ,

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {tablica} {ccc} \ lambda _ {1} = {\ rozpocząć {pmatrix} 0 i 1 i 0 \\ 1 i 0 i 0 \\ 0 i 0 i 0 \ koniec {pmatrix}} i \ lambda _ {2} = {\ rozpocząć { pmatrix}0&-i&0\\i&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}&\lambda _{3}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&0\end{pmatrix}}\\\\ \lambda _{4}={\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\\1&0&0\end{pmatrix}}&\lambda _{5}={\begin{pmatrix}0&0&-i\\0&0&0\\i&0&0\ end{pmatrix}}\\\\\lambda _{6}={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}}&\lambda _{7}={\begin{pmatrix}0&0&0 \\0&0&-i\\0&i&0\end{pmatrix}}&\lambda _{8}={\frac {1}{\sqrt {3}}}{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&- 2\end{pmacierz}}.\end{tablica}}}$

Są to generatory grupy SU(3) w reprezentacji tripletów i są znormalizowane jako

${\ Displaystyle \ nazwa operatora {tr} (\ lambda _ {j} \ lambda _ {k}) = 2 \ delta _ {jk}.}$

Stałe struktury algebry Liego grupy są podane przez komutatory ${\ Displaystyle \ lambda _ {k}}$

$\ Displaystyle [\ lambda _ {j} \ lambda _ {k}] = 2if_ {jkl} \ lambda _ {l} ~,}$

gdzie $są stałymi$ całkowicie antysymetrycznymi i są analogiczne $z$ Civita 2 .

Na ogół znikają, chyba że zawierają nieparzystą liczbę indeksów ze zbioru {2,5,7}, odpowiadających antysymetryczności λ s. Uwaga fa ${\ Displaystyle f_ {ljk} = {\ Frac {-i} {4}} \ operatorname {tr} ([\$ .

Ponadto,

${\ Displaystyle \ {\ lambda _ {j} \ lambda _ {k} \} = {\ Frac {4} {3 }}\delta _{jk}+2d_{jkl}\lambda _{l}}$

gdzie $.$ stałymi Znikają, jeśli liczba indeksów ze zbioru {2,5,7} jest nieparzysta. Jeśli chodzi o matryce,

${\ Displaystyle d_ {jkl}={\frac {1}{4}}\nazwa operatora {tr} (\{\lambda _{j},\lambda _{k}\}\lambda _{l})={\frac {1 }{4}}\operatorname {tr} (\{\lambda _{k},\lambda _{l}\}\lambda _{j})=d_{klj}=d_{kjl}}$

Podstawa standardowa

System główny SU (3) . 6 korzeni jest wzajemnie nachylonych o π / 3 , tworząc sześciokątną siatkę: α odpowiada izospinowi; β do zakręcenia w kształcie litery U; i α + β do V-spinu.

Nieco inaczej znormalizowana podstawa standardowa składa się z operatorów spinu F , które są zdefiniowane jako ${\ Displaystyle {\ kapelusz {F_ {i}}} = {\ Frac {1} {2}} \lambda _{i}}$ dla 3 i są wykorzystywane do zastosowania do dowolnej reprezentacji tej algebry .

Podstawę Cartana-Weyla algebry Liego SU (3) uzyskuje się przez kolejną zmianę podstawy, w której definiuje się,

${\ Displaystyle {\ kapelusz {I}} _ {\ pm} = {\ kapelusz {F}} _ {1} \ pm ja {\ kapelusz {F}} _ {2}}$

${\ Displaystyle {\ kapelusz {I}} _ {3} = {\ kapelusz {F_ {3}}}}$

${ \ Displaystyle {\ kapelusz {V}} _ {\ pm} = {\ kapelusz {F}} _ {4} \ pm ja {\ kapelusz {F}} _ {5}}$

${\ Displaystyle {\ kapelusz {U}} _ {\ pm} = {\ kapelusz {F}} _ {6} \ pm ja {\ kapelusz {F}} _ {7}}$

${\ Displaystyle {\ kapelusz {Y}} = {\ Frac {2} {\ sqrt {3}}} {\ kapelusz {F}} _ {8} ~.}$

Ze względu na współczynniki i w tych wzorach jest to technicznie podstawa złożoności algebry Liego su(3), a mianowicie sl(3, C ). Poprzednia podstawa jest zatem zasadniczo taka sama, jak w książce Halla.

Algebra komutacji generatorów

Standardowa postać generatorów grupy SU(3) spełnia podane poniżej relacje komutacyjne ,

${\ Displaystyle [{\ kapelusz {Y}}, {\ kapelusz {I}} _ {3}] = 0,}$

${\ displaystyle [{\ kapelusz {Y}}, {\ kapelusz {I}} _ {\ pm}] = 0,} [$

$\ Displaystyle [{\ kapelusz {Y }}, {\ kapelusz {U}} _ {\ pm}] = \ pm {\ kapelusz {U_ {\ pm}}},} [ Y ^$

$[ {\ kapelusz {Y}}, {\ kapelusz {V}} _ {\ pm}] = \ pm {\ kapelusz {V_ {\ pm}}},}$

${\ Displaystyle [{\ kapelusz {I}} _ {3}, {\ kapelusz {I}} _ {\ pm}] = \ pm {\ kapelusz {I _ {\ pm}}},}$

${\ Displaystyle [{\ kapelusz {I}} _ {3}, {\ kapelusz {U}} _ {\ pm}] = \ mp {\ Frac { 1} {2}} {\ kapelusz {U_ {\ pm}}},}$

${\ Displaystyle [{\ kapelusz {ja}} _ {3 }, {\ kapelusz {V}} _ {\ pm}] = \ pm {\ frac {1}{2}}{\ kapelusz {V_ {\ pm}}},}$

${\ Displaystyle [{\ kapelusz {I}} _ {+}, {\ kapelusz {I}} _ {-}] = 2 {\ kapelusz {I}} _ {3},}$

${\ Displaystyle [{\ kapelusz {U}} _ {+}, {\ kapelusz {U}} _ {-}] = {\ Frac {3} {2}} {\ kapelusz {Y}} - {\ kapelusz {I}} _ {3}}$

$\ Displaystyle [{\kapelusz {V}}_{+},{\kapelusz {V}}_{-}]={\frac {3}{2}}{\kapelusz {Y}}+{\kapelusz {I} } _ {3},}$

${\ Displaystyle [{\ kapelusz {I}} _ {+}, {\ kapelusz {V}} _ {-}] = - {\ kapelusz {U}} _ {-},}$

${\ Displaystyle [{\ kapelusz {I}} _ {+}, {\ kapelusz {U }} _ {+}] = {\ kapelusz {V}} _ {+},}$

${\ Displaystyle [{\ kapelusz {U}} _ {+} {\ kapelusz {V}} _ {-}] = {\ kapelusz {I}} _ {-}} [$

$\ Displaystyle [{\ kapelusz {I}} _ {+}, {\ kapelusz {V}} _ {+}] = 0,}$

${\ Displaystyle [{\ kapelusz {I}} _ {+}, {\ kapelusz {U}} _ {-}] = 0,}$

${\ Displaystyle [{\ kapelusz {U}} _ {+}, {\ kapelusz {V}} _ { +}]=0.}$

Wszystkie inne relacje komutacji wynikają z hermitowskiej koniugacji tych operatorów.

Te relacje komutacji można wykorzystać do skonstruowania nieredukowalnych reprezentacji grupy SU(3) .

Reprezentacje grupy leżą na dwuwymiarowej płaszczyźnie I ₃ − Y. Tutaj ${\ Displaystyle {\ kapelusz {I}} _ {3}}$ oznacza składnik Z Isospin i ${\ Displaystyle {\ kapelusz {Y}}}$ to Hypercharge i obejmują one (abelowa) podalgebra Cartana pełnej algebry Liego. Maksymalna liczba wzajemnie komutujących się generatorów algebry Liego nazywana jest jej rangą : SU(3) ma rangę 2. Pozostałe 6 generatorów, operatory drabinkowe ±, odpowiada 6 pierwiastkom ułożonym na dwuwymiarowej siatce heksagonalnej figury .

Operatory Kazimierza

Główny artykuł: operator Casimira

Operator Casimira jest operatorem komutującym ze wszystkimi generatorami grupy Liego. W przypadku SU (2) operator kwadratowy J ² jest jedynym niezależnym takim operatorem.

w przypadku grupy SU (3) można skonstruować dwa niezależne operatory Casimira, kwadratowy i sześcienny: są to:

${\ Displaystyle {\ kapelusz {C_ {1}}} = \ suma _ {k} {\ kapelusz {F_ {k}}}} {\ kapelusz {F_ {k}}} \ qquad \ qquad {\ kapelusz {C_ { 2}}}=\sum _{jkl}d_{jkl}{\kapelusz {F_{j}}}{\kapelusz {F_{k}}}{\kapelusz {F_{l}}}~.}$

Te operatory Casimira służą do oznaczania nieredukowalnych reprezentacji algebry grup Liego SU (3) , ponieważ wszystkie stany w danej reprezentacji przyjmują tę samą wartość dla każdego operatora Casimira, który służy jako tożsamość w przestrzeni z wymiarem tej reprezentacji. Dzieje się tak, ponieważ stany w danej reprezentacji są połączone działaniem generatorów algebry Liego, a wszystkie generatory komutują się z operatorami Casimira.

Na przykład dla reprezentacji trypletu $} \hat {C}}_{2}}$ ( 1,0) wartość własna wynosi 4/3 i do ${\ displaystyle {\ kapelusz {C}$ , 10/9.

Bardziej ogólnie, ze ${\ Displaystyle {\ kapelusz {C}} _ ​​{1}}$ Freudenthala , dla ogólnego D ( p, q ) , wartość własna wynosi do .

${\ Displaystyle (p ^ {2} + q ^ {2} + 3 p + 3q + pq) / 3}$ .

Wartość własna („współczynnik anomalii”) wynosi do ^ $\ Displaystyle {\ hat {C}} _ ​​{2}$

${\ Displaystyle (pq) (3 + p + 2q) (3 + q + 2 p) / 18.}$

Jest to funkcja nieparzysta pod zamianą p ↔ q . W $zarówno anomalie$ znika dla rzeczywistych reprezentacji p = q , takich jak sprzężenie, re (1,1) , tj . znikają dla niego

Reprezentacje grupy SU(3).

Zobacz też: Teoria reprezentacji półprostych algebr Liego § Przypadek sl(3,C)

Nieredukowalne reprezentacje SU(3) są analizowane w różnych miejscach, w tym w książce Halla. Ponieważ grupa SU(3) jest po prostu spójna, reprezentacje odpowiadają jeden do jednego reprezentacjom jej algebry Liego su(3) lub złożoności jej algebry Liego, sl(3, C ) .

Oznaczamy reprezentacje jako D (p, q), gdzie p i q są nieujemnymi liczbami całkowitymi, gdzie w sensie fizycznym p to liczba kwarków, a q to liczba antykwarków. Z matematycznego punktu widzenia reprezentację D („p, q”) można skonstruować, łącząc razem p kopii standardowej reprezentacji trójwymiarowej i q kopii podwójnej reprezentacji standardowej, a następnie wyodrębniając nieredukowalną niezmienną podprzestrzeń. (Zobacz także sekcję Younga tableaux poniżej: p to liczba kolumn z pojedynczym polem, „kwarków”, a q liczba kolumn z podwójnym polem, „antykwarków”).

Jeszcze innym sposobem myślenia o parametrach p i q są maksymalne wartości własne macierzy diagonalnych

${\ Displaystyle H_ {1} = {\ rozpocząć {pmatrix} 1 i 0 i 0 \\ 0 i -1 i 0 \\ 0 i 0 i 0 \ koniec {pmatrix}} \ quad H_ {2}={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&1&0\\0&0&-1\end{pmatrix}}}$ .

(Elementy i $H_$$są$$}}$ {2} $}$ elementów $H_ {2}} są liczbami całkowitymi$ , ale znormalizowane tak, że wartości własne i $displaystyle$ ) To należy porównać. do teorii reprezentacji SU(2) , gdzie nieredukowalne reprezentacje są oznaczone maksymalną wartością własną pojedynczego elementu, h .

Reprezentacje mają wymiar

Reprezentacja 10 D (3,0) (dekuplet barionowy o spinie 3/2)

${\ Displaystyle d (p, q) = {\ Frac {1} {2}} (p + 1)(q+1)(p+q+2),}$

ich nieredukowalne charaktery są podane przez

${\ Displaystyle \ chi ^ {p, q} (\ teta, \ fi) = e ^ {i {\ Frac {\ teta} {3}} (2 p + q)}\sum \limits _{k=0}^{p}\sum \limits _{l=0}^{q}e^{-i(k+l)\theta }\left({\frac {\sin((k-l+q+1)\phi /2)}{\sin(\phi /2)}}\right),}$

a odpowiadająca jej miara Haara to ${\ Displaystyle \ mu (SU (3)) = 64 \ sin \ lewo ({\ Frac {\ fi}} {2}} \ prawo) ^ {2} \ sin \ lewo ({\ Frac {1} {2} }}(\theta +\phi /2)\right)^{2}\sin \left({\frac {1}{2}}(\theta -\phi /2)\right)^{2}}$ takie, że ${\ Displaystyle -2 \ pi \ równoważnik \ fi \ równoważnik 2 \ pi}$ i ${\ Displaystyle -3 \ pi \ równoważnik \ teta \ równoważnik 3 \pi}$ ,

${\ Displaystyle V (SU (3)) = \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} \! \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} d \! \ lewo ({\ frac {\ phi }{2}}\right)d\!\left({\frac {\theta }{3}}\right)\mu (SU(3))=\int _{-2\pi}^{2 \pi }{\frac {d\phi }{2}}\int _{-3\pi }^{3\pi }{\frac {d\theta}{3}}\mu (SU(3)) =24\pi^{2}.}$

Multiplet SU(3) może być całkowicie określony przez pięć etykiet, z których dwie, wartości własne dwóch Casimira, są wspólne dla wszystkich członków multipletu. To uogólnia tylko dwie etykiety dla SU(2) , a mianowicie wartości własne jego kwadratowego Casimira i I ₃ .

Ponieważ ${\ Displaystyle [{\ kapelusz {I}} _ {3}, {\ kapelusz {Y}}] = 0}$ , możemy oznaczyć różne stany wartościami własnymi ${\ Displaystyle {\ kapelusz {I}} _ {3}}$ operatory i ${\ Displaystyle {\ kapelusz {Y}}}$${\ Displaystyle | t, y \ rangle}$ , dla danej wartości własnej izospinu Casimira. Działanie operatorów na tych stanach to,

${\ Displaystyle {\ kapelusz {I}} _ {3} | t, y \ rangle = t | t, y \ rangle}$

Reprezentacja generatorów grupy SU(3) .

${\ Displaystyle {\ kapelusz {Y}} | t, y \ rangle = y | t, y \ rangle}$

${\ Displaystyle {\ kapelusz {U}} _ {0} | t, y \ rangle = {\ Bigl (} {\ Frac {3} {4}} y- {\ Frac {1} {2} }}t{\Duży )}|t,y\rangle }$

${\ Displaystyle {\ kapelusz {V}} _ {0} | t, y \ rangle = {\ Bigl (} {\ Frac {3} {4}} y + {\ Frac {1} {2} }t{\Duży )}|t,y\rangle }$

${\ Displaystyle {\ kapelusz {I}} _ {\ pm} | t, y \ rangle = \ alfa | t \ pm 1, y \ rangle}$

${\ Displaystyle {\ kapelusz {U}} _ {\ pm} | t, y \ rangle = \ beta | t \ pm {\ Frac {1} {2}}, y \ pm 1\rangle }$

${\ Displaystyle {\ kapelusz {V}} _ {\ pm} | t, y \ rangle = \ gamma | t \ mp {\ Frac {1} {2}}, y \ pm 1\szereg }$

Tutaj,

${\ Displaystyle {\ kapelusz {U}} _ {0} \ równoważnik {\ Frac {1} {2} }[{\kapelusz {U}}_{+},{\kapelusz {U}}_{-}]={\frac {3}{4}}{\kapelusz {Y}}-{\frac {1 }{2}}{\kapelusz {I}}_{3}}$

I

${\ Displaystyle {\ kapelusz {V}} _ {0} \ równoważnik {\ Frac {1} {2}} [{\ kapelusz {V}} _ {+}, {\ kapelusz {V}} _ {-} ]={\frac {3}{4}}{\kapelusz {Y}}+{\frac {1}{2}}{\kapelusz {I}}_{3}.}$

15-wymiarowa reprezentacja D (2,1)

$\ pm}}$$stany$ reprezentacji można drabinkowych i ${\ displaystyle {\ hat {V}} _ {\ pm}}$ oraz identyfikując stany podstawowe, które są unicestwiane przez działanie operatorów obniżających. Operatory te leżą na wierzchołkach i środku sześciokąta.

Zobacz też: Model kwarków

Współczynnik Clebscha-Gordana dla SU (3)

Reprezentacja produktu dwóch nieredukowalnych reprezentacji ${\ Displaystyle D (p_ {1}, q_ {1})}$ i ${\ Displaystyle D (p_ {2}, q_{2})}$ jest generalnie redukowalne. Symbolicznie,

${\ Displaystyle D (p_ {1}, q_ {1} )\czasami D(p_{2},q_{2})=\suma _{P,Q}\oplus \sigma (P,Q)D(P,Q)~,}$

gdzie ${\ Displaystyle \ sigma (P, Q)}$ jest liczbą całkowitą.

Na przykład komponują się dwa oktety (dodatki).

$\ Displaystyle D (1,1) \ czasami D (1,1) = D (2,2) \ oplus D (3,0) \ oplus D (1,1) \ oplus D (1,1) \oplus D(0,3)\oplus D(0,0)~,}$

to znaczy, ich iloczyn redukuje się do icosaseptetu ( 27 ), dekupletu, dwóch oktetów, antydekupletu i singletu, w sumie 64 stany.

Szereg prawostronny nazywa się szeregiem Clebscha-Gordana. $_$$,$ reprezentacja pojawia _ ${\ Displaystyle D (p_ {1}, q_ {1})}$ z re $\ Displaystyle D (p_ {2}, q_ {2})}$ .

Teraz potrzebny jest pełny zestaw operatorów, aby jednoznacznie określić stany każdej nieredukowalnej reprezentacji wewnątrz właśnie zredukowanej. Kompletny zestaw operatorów dojeżdżających w przypadku reprezentacji nieredukowalnej to ${\ Displaystyle D (P, Q)}$

${\ Displaystyle \ {{\ kapelusz {C}} _ ​​{1}, {\ kapelusz {C}} _ ​​{2}, {\kapelusz {I}}_{3},{\kapelusz {I}}^{2},{\kapelusz {Y}}\}~,}$

Gdzie

${\ Displaystyle I ^ {2} \ równoważnik {I_ {1}} ^ {2} + {I_ {2}} ^ {2} + {I_ {3} }}^{2}}$ .

Stany powyższej bezpośredniej reprezentacji iloczynu są zatem całkowicie reprezentowane przez zbiór operatorów

${\ Displaystyle \ {{\ kapelusz {C}} _ ​​{1} (1), {\ kapelusz {C}} _ ​​{2 }(1),{\kapelusz {I}}_{3}(1),{\kapelusz {I}}^{2}(1),{\kapelusz {Y}}(1),{\kapelusz { C}}_{1}(2),{\kapelusz {C}}_{2}(2),{\kapelusz {I}}_{3}(2),{\kapelusz {I}}^{ 2}(2),{\kapelusz {Y}}(2)\},}$

gdzie liczba w nawiasie oznacza reprezentację, na której działa operator.

Alternatywny zestaw operatorów dojazdów można znaleźć dla bezpośredniej reprezentacji produktu, jeśli weźmie się pod uwagę następujący zestaw operatorów,

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} {\ kapelusz {\ mathbb {C}}} _ {1} & = {\ kapelusz {C}} _ ​​{1} (1) + {\ kapelusz {C}} _ ​​{ 1}(2)\\{\kapelusz {\mathbb {C}}}_{2}&={\kapelusz {C}}_{2}(1)+{\kapelusz {C}}_{2} (2)\\{\kapelusz {\mathbb {I}}}^{2}&={\kapelusz {I}}^{2}(1)+{\kapelusz {I}}^{2}(2) )\\{\kapelusz {\mathbb {Y}}}&={\kapelusz {Y}}(1)+{\kapelusz {Y}}(2)\\{\kapelusz {\mathbb {I}}} _{3}&={\kapelusz {I}}_{3}(1)+{\kapelusz {I}}_{3}(2).\end{wyrównane}}}$

Zatem zestaw operatorów dojazdów obejmuje

${\ Displaystyle \ {{\ kapelusz {\ mathbb {C}}} _ {1}, {\ kapelusz {\ mathbb {C}}} _ {2}, {\ kapelusz {\ mathbb {Y}}}, { \hat {\mathbb {I}}}_{3},{\kapelusz {\mathbb {I}}}^{2},{\kapelusz {C}}_{1}(1),{\kapelusz { C}}_{1}(2),{\kapelusz {C}}_{2}(1),{\kapelusz {C}}_{2}(2)\}.}$

Jest to zestaw tylko dziewięciu operatorów. Ale zestaw musi zawierać dziesięć operatorów, aby jednoznacznie zdefiniować wszystkie stany bezpośredniej reprezentacji iloczynu. Aby znaleźć ostatniego operatora Γ , należy spojrzeć poza grupę. $P$ rozróżnienie podobnych i Q _ _

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {tablica} {cc | cc | cc | cc} {\ tekst {Operator}} i {\ tekst {wartość własna}} & {\text{Operator}}&{\text{Wartość własna}}&{\text{Operator}}&{\text{Operator}}&{\text{Operator}}&{\text{Wartość własna}}\\\ hline {\kapelusz {C}}_{1}(1)&{c^{1}}_{1}&{\kapelusz {C}}_{1}(2)&{c^{1}} _{2}&{\kapelusz {C}}_{2}(1)&{c^{2}}_{1}&{\kapelusz {C}}_{2}(2)&{c^ {2}}_{2}\\{\kapelusz {\mathbb {I}}}^{2}&{i^{2}}&{\kapelusz {\mathbb {I}}}_{3}& {i^{z}}&{\kapelusz {\mathbb {Y}}}&{y}&{\kapelusz {\Gamma}}&\gamma \\{\kapelusz {\mathbb {C}}}_{ 1}&{c^{1}}&{\kapelusz {\mathbb {C}}}_{2}&{c^{1}}&{\kapelusz {Y}}_{1}&{y} _{1}&{\kapelusz {Y}}_{2}&{y}_{2}\\{\kapelusz {I}}^{2}(1)&{i^{2}}_{ 1}&{\kapelusz {I}}^{2}(2)&{i^{2}}_{2}&{\kapelusz {I}}_{3}(1)&{i^{z }}_{1}&{\kapelusz {I}}_{3}(2)&{i^{z}}_{2}\end{tablica}}}$

Zatem każdy stan w bezpośredniej reprezentacji produktu może być reprezentowany przez ket,

${\ Displaystyle | {c ^ {1}} _ {1},{c^{1}}_{2},{c^{2}}_{1},{c^{2}}_{2},y_{1},y_{2}, {i^{2}}_{1},{i^{2}}_{2},{i^{z}}_{1},{i^{z}}_{2}\rangle }$

również używając drugiego pełnego zestawu operatora komutującego, możemy zdefiniować stany w bezpośredniej reprezentacji iloczynu jako

${\ Displaystyle | {c ^ {1}} _ {1}, {c ^{1}}_{2},{c^{2}}_{1},{c^{2}}_{2},y,\gamma ,{i^{2}},{i^ {z}},c^{1},c^{2}\rangle }$

do $\ Displaystyle {c ^ {1}} _ {1}, {c ^ {1}} _ {2}, {c ^ { 2}}_{1},{c^{2}}_{2}}$ ze stanu i oznacz stany jako

${\ Displaystyle | y_ {1}, y_ {2}, {i ^ {2}} _ {1}, {ja ^{2}}_{2},{i^{z}}_{1},{i^{z}}_{2}\rangle }$

używając operatorów z pierwszego zestawu, oraz

${\ Displaystyle | y, \ gamma, {i ^ {2}}, {i ^ {z}}, c ^ {1}, c ^ {2}\zakres ~,}$

używając operatorów z drugiego zestawu.

Oba te stany obejmują bezpośrednią reprezentację produktu, a dowolne stany w reprezentacji mogą być oznaczone przez odpowiedni wybór wartości własnych.

Korzystając z relacji kompletności,

${\ Displaystyle | y, \ gamma, {i ^ {2}}, {i ^ {z}}, c ^ { 1},c^{2}\rangle =\suma _{y_{1},y_{2}}\suma _{{i^{2}}_{1},{i^{2}}_{ 2}}\suma _{{i^{z}}_{1},{i^{z}}_{2}}\langle y_{1},y_{2},{i^{2}} _{1},{i^{2}}_{2},{i^{z}}_{1},{i^{z}}_{2}|y,\gamma ,{i^{ 2}},{i^{z}},c^{1},c^{2}\rangle |y_{1},y_{2},{i^{2}}_{1},{i ^{2}}_{2},{i^{z}}_{1},{i^{z}}_{2}\rangle }$

Tutaj współczynniki

${\ Displaystyle \ langle y_ {1}, y_ {2}, {i ^ {2}} _ {1}, {i ^ {2}} _{2},{i^{z}}_{1},{i^{z}}_{2}|y,\gamma ,{i^{2}},{i^{z}}, c^{1},c^{2}\rangle }$

są współczynnikami Clebscha-Gordana.

Inna notacja

Aby uniknąć nieporozumień, wartości własne można jednocześnie oznaczyć przez $,i^{z},y}$ , wartości własne $z$$Displaystyle i$ są jednocześnie oznaczane przez ν . Wtedy stan własny bezpośredniej reprezentacji produktu można oznaczyć przez ${\ Displaystyle D (P, Q)}$

${\ Displaystyle \ psi {\ rozpocząć {pmatrix} \ mu _ {1} i \ mu _ {2} i \ gamma \\&&\ nu \ koniec {pmatrix}}}$

gdzie ${\ Displaystyle \ mu _ {1}}$ to wartości własne do ${\ Displaystyle {c ^ {1}} _ {1}, {c ^ {2}} _$ i ${\ Displaystyle \ mu _ {2}}$ to wartości własne do $\ Displaystyle {c ^ {1}} _ {2}, {c ^ {2}} _ {2 }}$ oznaczone jednocześnie. Tutaj wielkość wyrażona w nawiasie to symbol Wignera 3-j .

Ponadto $_ \ Displaystyle D (p_ {1}, q_ {1})}$$)$ że i ${\ Displaystyle {\ phi ^ {\ mu _ {2}}} _ {\ nu _ {2}}}$ są podstawą stany re ${\ Displaystyle D (p_ {2}, q_ {2})$ . również ${\ Displaystyle {\ phi ^ {\ mu _ {1}}} _ {\ nu _ {1}}, {\ fi ^ {\ mu _ {2}} }_{\nu _{2}}}$ to stany bazowe reprezentacji iloczynu. Tutaj ${\ Displaystyle \ nu _ {1}, \ nu _ {2}}$ reprezentuje połączone wartości własne ${\ Displaystyle ({i ^ {2}}} _ {1}, {i ^ {z}} _ {1}, y_ {1})} i$ ( $\ Displaystyle ({i ^ {2}} _ {2 },{i^{z}}_{2},y_{2})}$ odpowiednio.

Zatem jednostkowe przekształcenia, które łączą dwie bazy, są

${\ Displaystyle \ psi {\ rozpocząć {pmatrix} \ mu _{1}&\mu _{2}&\gamma \\&&\nu \end{pmatrix}}=\sum _{\nu _{1},\nu _{2}}{\begin{pmatrix }\mu _{1}&\mu _{2}&\gamma \\\nu _{1}&\nu _{2}&\nu \end{pmatrix}}{\phi ^{\mu _{ 1}}}_{\nu _{1}}{\phi ^{\mu _{2}}}_{\nu _{2}}}$

Jest to stosunkowo zwarta notacja. Tutaj,

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {pmatrix} \ mu _ {1} i \ mu _ {2} i \ gamma \\\ nu _ {1} i \ nu _ { 2}&\nu \end{pmatrix}}}$

są współczynnikami Clebscha-Gordana.

Relacje ortogonalności

Współczynniki Clebscha-Gordana tworzą rzeczywistą macierz ortogonalną. Dlatego,

${\ Displaystyle {\ fi ^ {\ mu _ {1}}} _ {\ nu _ {1}} {\ fi ^ {\ mu _ {2}}} _ {\ nu _ {2}} = \ suma _{\mu ,\nu ,\gamma }{\begin{pmatrix}\mu _{1}&\mu _{2}&\gamma \\\nu _{1}&\nu _{2}&\ nu \end{pmatrix}}\psi {\begin{pmatrix}\mu _{1}&\mu _{2}&\gamma \\&&\nu \end{pmatrix}}.}$

Ponadto przestrzegają następujących relacji ortogonalności,

${\ Displaystyle \ suma _ {\ nu _{1},\nu _{2}}{\begin{pmatrix}\mu _{1}&\mu _{2}&\gamma \\\nu _{1}&\nu _{2} &\nu \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\mu _{1}&\mu _{2}&\gamma '\\\nu _{1}&\nu _{2}&\nu '\end{pmacierz}}=\delta _{\nu \nu '}\delta _{\gamma ,\gamma '}}$

${\ Displaystyle \ suma _ {\ mu \ nu \ gamma} {\ rozpocząć {pmatrix} \ mu _ {1} &\mu _{2}&\gamma \\\nu _{1}&\nu _{2}&\nu \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\mu _{1}&\mu _ {2}&\gamma \\\nu _{1}'&\nu _{2}'&\nu \end{pmatrix}}=\delta _{\nu _{1}\nu _{1}' }\delta _{\nu _{2},\nu _{2}'}}$

Właściwości symetrii

Jeśli nieredukowalna reprezentacja pojawia $się$ w serii Clebsch-Gordan ${\ mu} _ {1} \otimes {\ mu} _ {2}}}$ , to musi pojawić się w serii Clebsch-Gordan ${\ Displaystyle {\ scriptstyle {\ mu} _ {2} \ otimes {\ mu} _ {1}}}$ . co implikuje,

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {pmatrix} \ mu _ {1} i \ mu _ {2} & \gamma \\\nu _{1}&\nu _{2}&\nu \end{pmatrix}}=\xi _{1}{\begin{pmatrix}\mu _{2}&\mu _{ 1}&\gamma \\\nu _{2}&\nu _{1}&\nu \end{pmatrix}}}$

gdzie ${\ Displaystyle \ xi _ {1} = \ xi _ {1} (\ mu _ {1}, \ mu _ {2}, \ gamma )=\pm 1}$ Ponieważ wszystkie współczynniki Clebscha-Gordana są rzeczywiste, można wydedukować następującą właściwość symetrii:

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {pmatrix} \ mu _ {1} i \ mu _ { 2}&\gamma \\\nu _{1}&\nu _{2}&\nu \end{pmatrix}}=\xi _{2}{\begin{pmatrix}{\mu _{1}} ^{*}&{\mu _{2}}^{*}&{\gamma }^{*}\\\nu _{1}&\nu _{2}&\nu \end{pmatrix}} }$

gdzie ${\ Displaystyle \ xi _ {2} = \ xi _ {2} (\ mu _ {1}, \ mu _ {2}, \ gamma )=\pm 1}$ .

Grupa symetrii oscylatora 3D, operator hamiltonowski

Hamiltonian opisuje trójwymiarowy oscylator harmoniczny

${\ Displaystyle {\ kapelusz {H}} = - {\ tfrac {1} {2}} \ nabla ^ {2} +{\tfrac {1}{2}}(x^{2}+y^{2}+z^{2}),}$

gdzie stała sprężystości, masa i stała Plancka zostały wchłonięte do definicji zmiennych, ħ = m =1 .

Widać, że $przekształceniach$ współrzędnych Zatem dowolne operatory w grupie SO (3) zachowują ten niezmiennik Hamiltona.

Co ważniejsze, ponieważ hamiltonian jest hermitowski, ponadto pozostaje niezmienny w działaniu elementów ze znacznie większej grupy SU (3) .

Dowód, że grupa symetrii liniowego izotropowego oscylatora harmonicznego 3D to SU(3)

Można zdefiniować symetryczny (diadyczny) operator tensora analogiczny do wektora Laplace'a – Runge – Lenza dla problemu Keplera,

$\ Displaystyle {\ kapelusz {A}} _ {ij} = {\ Frac {1} {2}} p_ {i} p_ {j }+\omega ^{2}r_{i}r_{j}}$

który dojeżdża z hamiltonianem,

${\ Displaystyle [{\ kapelusz {A}} _ {ij}, {\ kapelusz {H}}] = 0.}$

Ponieważ dojeżdża do hamiltonianu (jego śladu), reprezentuje 6−1=5 stałych ruchu.

Ma następujące właściwości,

${\kapelusz {A}}_{ij}=0} ∑$

${\ Displaystyle \ suma _ {j} {\ kapelusz {A}} _ {ij} {\ kapelusz {L}} _ {j }=\sum _{i}{\kapelusz {L}}_{i$

${\ Displaystyle \ suma _ {j} {\ kapelusz {A}}_{ij}{\kapelusz {A}}_{jk}={\kapelusz {H}}{\kapelusz {A}}_{ik}+{\frac {1}{4}}\ omega ^{2}\{{\kapelusz {L}}_{i}{\kapelusz {L}}_{k}-\delta _{ik}{\kapelusz {L}}^{2}+2[ {\kapelusz {L}}_{i},{\kapelusz {L}}_{k}]-2\hbar ^{2}\delta _{ik}\}}$

${\ Displaystyle Tr [{\ kapelusz {A}} _ {ij}] = \ suma _ {i} {{\ kapelusz {A}} _ {ii}} = {\ kapelusz {H}}.}$

Oprócz śladu tensorycznego operatora $do$ który jest hamiltonianem, pozostałych 5 operatorów można przestawić

${\ Displaystyle {\ kapelusz {A}} _ {0} = \ omega ^ {- 1} (2 {\ kapelusz {A} } _ {33} - {\ kapelusz {A}} _ {11} - {\ kapelusz {A}} _ {22})}$

${ \ Displaystyle {\ kapelusz {A}} _ {\ pm} = \ mp \ omega ^ {-1} ({\ kapelusz {A}} _ {13} \ pm ja {\ kapelusz {A}} _ {23} )}$

${\ Displaystyle {\ kapelusz {A'}} _ {\ pm} = \ omega ^ {- 1} ( {\kapelusz {A}}_{11}-{\kapelusz {A}}_{22}\pm 2i{\kapelusz {A}}_{22})}$

Ponadto operatory momentu pędu są zapisywane w postaci składowej sferycznej jako

${\ Displaystyle {\ kapelusz {L}} _ {3} = {\ kapelusz {L}} _ {3}}$

${\ Displaystyle {\ kapelusz {L}} _ {\ pm} = ({\ kapelusz {L}} _ {1} \ pm ja {\ kapelusz {L}} _ {2}).}$

Przestrzegają następujących relacji komutacyjnych,

${\ Displaystyle [{\ kapelusz {L }}_{3},{\kapelusz {A}}_{0}]=[{\kapelusz {A}}_{0},{\kapelusz {A'}}_{\pm }]=[{ \kapelusz {A}}_{\pm},{\kapelusz {A'}}_{\pm}]=[{\kapelusz {L}}_{\pm},{\kapelusz {A'}}_ {\pm}]=0}$

${\ Displaystyle [{\ kapelusz {L}} _ {\ pm}, {\ kapelusz {L}} _ {\ mp}] = -4 [{\ kapelusz {A}} _ {\ pm}, {\ kapelusz {A}}_{\mp}]={\frac {1}{2}}[{\kapelusz {A'}}_{\pm},{\kapelusz {A'}}_{\mp}] = \ pm 2 \ hbar {\ kapelusz {L}} _ {3}}$

${\ Displaystyle [{\ kapelusz {L}} _ {\ pm}, {\ kapelusz {A}}_ {\mp}]=\hbar {\kapelusz {A}}_{0}}$

${\ Displaystyle \ pm [{\ kapelusz {L}} _ {3}, {\ kapelusz {L}} _ {\ pm}] = - {\ frac {2}{3}}[{\kapelusz {A}}_{0},{\kapelusz {A}}_{\pm }]=[{\kapelusz {A}}_{\mp},{\ kapelusz {A'}}_ {\pm}]=\hbar {\kapelusz {L}}_{\pm}}$

${\ Displaystyle \ pm [{\ kapelusz {L}} _ {3}, {\ kapelusz {A}} _ {\ pm}] = -{\frac {1}{6}}[{\kapelusz {A}}_{0},{\kapelusz {L}}_{\pm}]={\frac {1}{4}}[{ \kapelusz {L}}_{\mp},{\kapelusz {A'}}_{\pm}]=\hbar {\kapelusz {A}}_{\pm}}$

${\ Displaystyle \ pm [{\ kapelusz {L}} _ {3}, {\ kapelusz {A'}} _ {\ pm}] = 2 [{\ kapelusz {L}} _ {\ pm}, {\ kapelusz {A}}_{\pm}]=2\hbar {\kapelusz {A'}}_{\pm}.}$

Osiem operatorów (składających się z 5 operatorów wywodzących się z bezśladowego symetrycznego operatora tensorowego  _ij oraz trzech niezależnych składowych wektora momentu pędu) podlega tym samym relacjom komutacji, co nieskończenie małe generatory grupy SU (3) , wyszczególnione powyżej.

W związku z tym grupa symetrii hamiltonianu dla liniowego izotropowego oscylatora harmonicznego 3D jest izomorficzna z grupą SU (3) .

Bardziej systematycznie, operatorzy, tacy jak operatorzy Ladder

${\ Displaystyle {\ sqrt {2}}} {\ kapelusz {a}} _ {i} = {\ kapelusz {X}} _ {i} + ja {\ kapelusz {P}} _ {i} ~ ~} i$ 2 $Displaystyle ~ ~ {\ sqrt {2}} {\ kapelusz {a}} _ {i} ^{\sztylet}={\kapelusz {X}}_{i}-i{\kapelusz {P}}_{i}}$

można skonstruować takie, które podnoszą i obniżają wartość własną operatora Hamiltona o 1.

Operatory â _i oraz â _i ^† nie są hermitowskie; ale operatory hermitowskie można zbudować z różnych ich kombinacji,

mianowicie za ${\ kapelusz {a}} _ {i} {\ kapelusz {a}} _ {j} ^ {\ sztylet}}$ .

Istnieje dziewięć takich operatorów dla i,j =1,2,3.

Dziewięć operatorów hermitowskich utworzonych przez formy dwuliniowe â _i ^† â _j jest kontrolowanych przez podstawowe komutatory

${\ Displaystyle [{\ kapelusz {a}} _ {i}, {\ kapelusz {a}} _ {j} ^ {\ sztylet}] = \ delta _ {ij},}$

${\ Displaystyle [{\ kapelusz {a}} _ {i}, {\ kapelusz { a}}_{j}]=[{\kapelusz {a}}_{i}^{\sztylet},{\kapelusz {a}}_{j}^{\sztylet}]=0,}$

i pilnowali, aby nie dojeżdżać do pracy między sobą. W rezultacie ten kompletny zestaw operatorów nie ma wspólnych wektorów własnych i nie można ich jednocześnie diagonalizować. Grupa nie jest zatem abelowa i jak wskazano, w hamiltonie mogą występować degeneracje.

${\ kapelusz {a}} _ { i}^{\sztylet }{\kapelusz {a}}_{i}}$ za pomocą operatora wynosi

${\ Displaystyle {\ kapelusz {H}} = \ omega {\ bigl [} {\ tfrac {3} {2}} + { \kapelusz {N}}_{1}+{\kapelusz {N}}_{2}+{\kapelusz {N}}_{3}{\bigr ]}}$ .

Hamiltonian ma 8-krotną degenerację. Kolejne zastosowanie â _i i â _j ^† po lewej stronie zachowuje niezmiennik Hamiltona, ponieważ zwiększa N _i o 1 i zmniejsza N _j o 1, utrzymując w ten sposób całkowitą

${\ Displaystyle N = \ suma {N_ {i}}}$ stała. (por. kwantowy oscylator harmoniczny )

Zobacz też: Mapa Jordanii

Maksymalnie komutujący zbiór operatorów

Ponieważ operatory należące do grupy symetrii hamiltonianu nie zawsze tworzą grupę abelową , nie można znaleźć wspólnej podstawy własnej, która diagonalizuje je wszystkie jednocześnie. Zamiast tego bierzemy maksymalnie komutujący zbiór operatorów z grupy symetrii hamiltonianu i próbujemy zredukować macierzowe reprezentacje grupy do reprezentacji nieredukowalnych.

Zobacz też: Kompletny zestaw obserwabli dojazdowych

Przestrzeń Hilberta dwóch systemów

Przestrzeń Hilberta dwóch cząstek jest iloczynem tensorowym dwóch przestrzeni Hilberta dwóch pojedynczych cząstek,

${\ Displaystyle \ mathbb {H} = \ mathbb {H} _ {1} \ czasami \ mathbb {I} + \ mathbb {I} \ czasami \ mathbb {H} _{2}~,}$

gdzie ${\ Displaystyle \ mathbb {H} _ {1}}$$są$ przestrzenią odpowiednio pierwszej i drugiej cząstki.

Operatory w każdej z przestrzeni Hilberta mają swoje własne relacje komutacji, a operator jednej przestrzeni Hilberta dojeżdża z operatorem z drugiej przestrzeni Hilberta. Zatem grupa symetrii operatora hamiltonowskiego dwóch cząstek jest nadzbiorem grup symetrii operatorów hamiltonowskich poszczególnych cząstek. Jeśli poszczególne przestrzenie Hilberta są N- wymiarowe, połączona przestrzeń Hilberta jest N- ² -wymiarowa.

W tym przypadku współczynnik Clebscha-Gordana

Grupa symetrii hamiltonianu to SU(3) . W rezultacie współczynniki Clebscha-Gordana można znaleźć, rozszerzając niezwiązane wektory bazowe grupy symetrii hamiltonianu na jego sprzężoną bazę. Szereg Clebscha-Gordana uzyskuje się przez diagonalizację blokową hamiltonianu poprzez transformację jednostkową zbudowaną ze stanów własnych, które diagonalizują maksymalny zbiór operatorów dojeżdżających do pracy.

Młode obrazy

Główny artykuł: Młody tableau

Tablica Younga (liczba mnoga tableaux ) to metoda rozkładania iloczynów reprezentacji grupy SU( N ) na sumę reprezentacji nieredukowalnych. Zapewnia typy wymiarów i symetrii nieredukowalnych reprezentacji, które są znane jako szereg Clebscha-Gordana. Każda nieredukowalna reprezentacja odpowiada stanowi pojedynczej cząstki, a iloczyn więcej niż jednej nieredukowalnej reprezentacji wskazuje stan wielocząstkowy.

Ponieważ cząstki są w większości nie do odróżnienia w mechanice kwantowej, odnosi się to w przybliżeniu do kilku permutowalnych cząstek. Permutacje n _identycznych cząstek tworzą grupę symetryczną Sn . Każdy n -cząstkowy stan S _n , który składa się ze stanów jednocząstkowych podstawowego N -wymiarowego multipletu SU(N) należy do nieredukowalnej reprezentacji SU(N). W ten sposób można go wykorzystać do wyznaczenia szeregu Clebscha – Gordona dla dowolnej grupy unitarnej.

Konstruowanie stanów

Dowolna funkcja falowa dwóch cząstek $1,2$ reprezentują stan cząstki 1 i 2, może być wykorzystana do wygenerowania stanów wyraźnej symetrii przy użyciu operatory antysymetryczne.

${\ Displaystyle \ mathbf {S_ {12}} = \ mathbf {I} + \ mathbf {P_ {12}}}$

${\ Displaystyle \ mathbf {A_ {12} }} =\mathbf {I} -\mathbf {P_{12}} }$

gdzie $są$ operatorem, który wymienia cząstki (operator wymiany

Następuje następujący związek: -

${\ Displaystyle \ mathbf {P_ {12} P_ {12}} = \ mathbf {ja}}$

${\ Displaystyle \ mathbf {P_ {12} S_ {12}} = \ mathbf {P_ {12}} + \ mathbf {I} = \ mathbf {S_ {12}}} P. 12$

$Displaystyle \ mathbf {P_ {12} A_ {12}} = \ mathbf {P_ {12}} - \ mathbf {I} = - \ mathbf {A_ {12}}}$

${\ Displaystyle \ mathbf {P_{12}} \mathbf {S_{12}} \psi _{12}=+\mathbf {S_{12}} \psi _{12}}$

zatem,

${\ Displaystyle \ mathbf {P_ {12}} \ mathbf {A_ {12}} \ psi _ {12} = - \ mathbf {A_ {12}} \ psi _ {12}.}$

${12}}}$ stanu wieloczęściowego, możemy wielokrotnie stosować i ${\ displaystyle \ mathbf {A_$ wielokrotnie konstruować stany, które są:

1. Symetryczny względem wszystkich cząstek.
2. Antysymetryczny w stosunku do wszystkich cząstek.
3. Symetrie mieszane, tj. symetryczne lub antysymetryczne względem niektórych cząstek.

Konstruowanie tableaux

Zamiast używać ψ , w tablicach Younga używamy kwadratów ( □ ) do oznaczenia cząstek oraz i do określenia stanu cząstek.

Przykładowy obraz Younga. Liczba wewnątrz pól reprezentuje stan cząstek

Kompletny zestaw cząstek jest oznaczony przez układy $n_$${p}}$ □ s każdy z własną etykietą liczby kwantowej ( ja )

Tabele są tworzone przez układanie pudełek obok siebie i góra-dół w taki sposób, że stany symetryczne względem wszystkich cząstek są podane w jednym rzędzie, a stany antysymetryczne względem wszystkich cząstek leżą w jednej kolumnie. Podczas konstruowania tableaux przestrzegane są następujące zasady:

1. Rząd nie może być dłuższy niż poprzedni.
2. Etykiety kwantowe (liczby w □ ) nie powinny zmniejszać się podczas przechodzenia od lewej do prawej z rzędu.
3. Etykiety kwantowe muszą ściśle rosnąć podczas schodzenia w kolumnie.

Przypadek dla N = 3

Dla N =3 czyli w przypadku SU(3) zachodzi następująca sytuacja. W SU(3) są trzy etykiety, ogólnie oznaczone przez (u,d,s) odpowiadające kwarkom górnym, dolnym i dziwnym, co jest zgodne z algebrą SU(3). Można je również ogólnie określić jako (1,2,3). Dla układu dwucząstkowego mamy sześć następujących stanów symetrii:

${\ Displaystyle {{\ rozpocząć {tablica} {| c | c |} \ hline 1 i 1 \\\ hline \ koniec {tablica}} \ na szczycie uu}}$

${\ Displaystyle {{\ rozpocząć {tablica} {| c | c |} \ hline 1 i 2 \\\ hline \ koniec {tablica}} \ na szczycie {\ Frac {1} \sqrt {2}}}(ud+du)}}$

${\ Displaystyle {{\ rozpocząć {tablica} {| c | c |} \ hline 1 i 3 \\\ hline \ koniec {tablica}} \ na szczycie {\ Frac {1} \sqrt {2}}}(nas+su)}}$

${\ Displaystyle {{\ rozpocząć {tablica} {| c | c |} \ hline 2 i 2 \\\ hline \ koniec {tablica}} \ na szczycie dd}}$

${\ Displaystyle {{\ rozpocząć {tablica} {| c | c |} \ hline 2 i 3 \\\ hline \ koniec {tablica}} \ na szczycie {\ Frac {1} \sqrt {2}}}(ds+sd)}}$

${\ Displaystyle {{\ rozpocząć {tablica} {| c | c |} \ hline 3 i 3 \\\ hline \ koniec {tablica}} \ na szczycie ss}}$

oraz następujące trzy stany antysymetryczne:

${\ Displaystyle {{\ rozpocząć {tablica} {| c |} \ hline 1\\\hline 2\\\hline \end{array}} \atop {\frac {1}{\sqrt {2}}}(ud-du)}\qquad {{\begin{array}{|c |}\hline 1\\\hline 3\\\hline \end{tablica}} \atop {\frac {1}{\sqrt {2}}}(us-su)}\qquad {{\begin{tablica }{|c|}\hline 2\\\hline 3\\\hline \end{array}} \atop {\frac {1}{\sqrt {2}}}(ds-sd)}}$

1-kolumnowy, 3-rzędowy układ jest singletem, więc wszystkie układy nietrywialnych powtórzeń SU(3) nie mogą mieć więcej niż dwa rzędy. Reprezentacja D(p,q) ma pola p+q w górnym rzędzie i pola q w drugim rzędzie.

Serie Clebscha-Gordana z obrazów

Szereg Clebscha – Gordana to rozwinięcie iloczynu tensorowego dwóch nieredukowalnych reprezentacji na bezpośrednią sumę nieredukowalnych reprezentacji. ${\ Displaystyle D (p_ {1}, q_ {1}) \ czasami D (p_ { 2},q_{2})=\suma _{P,Q}\oplus D(P,Q)}$ . Można to łatwo wywnioskować z obrazów Younga.

Procedura uzyskiwania szeregu Clebscha – Gordana z tablic Younga:

Wykonano następujące kroki, aby skonstruować szereg Clebscha-Gordana z obrazów Younga: Zapisz dwa diagramy Younga dla dwóch rozważanych powtórzeń, tak jak w poniższym przykładzie. Na drugim rysunku wstaw serię liter a w pierwszym rzędzie, literę b w drugim rzędzie, literę c w trzecim rzędzie itd. : Weź pierwsze pudełko zawierające a i dołącz je do pierwszego diagramu Younga na wszystkie możliwe sposoby zgodne z zasadami tworzenia diagramu Younga: Następnie weź następne pudełko zawierające a i zrób z nim to samo, z tą różnicą, że nie wolno umieszczać dwóch „ a ” razem w tej samej kolumnie. Ostatni diagram w nawiasie klamrowym zawiera dwa a w tej samej kolumnie, dlatego diagram musi zostać usunięty. Tym samym dając: Do diagramu dopisz ostatnią kratkę w nawiasach klamrowych na wszystkie możliwe sposoby, co spowoduje: W każdym rzędzie licząc od prawej do lewej, jeśli w którymkolwiek miejscu napotkany numer danego alfabetu będzie większy niż numer poprzedniego alfabetu, to diagram należy usunąć. Tutaj pierwszy i trzeci diagram należy usunąć, w wyniku czego:

Przykład szeregu Clebscha – Gordana dla SU (3)

Iloczyn tensorowy trypletu z oktetem redukującym się do deciquintupletu ( 15 ), antysekstetu i trypletu

${\ Displaystyle D (1,0) \ czasami re (1,1) = re (2,1)\dodatkowe D(0,2)\dodatkowe D(1,0)}$

pojawia się schematycznie jako-

łącznie 24 stany. Korzystając z tej samej procedury, wszelkie bezpośrednie reprezentacje produktów można łatwo zredukować.

Zobacz też: Wzór na długość haka

Zobacz też

• Macierz D Wignera
• Operator tensora
• Twierdzenie Wignera-Eckarta
• Teoria reprezentacji
• Współczynnik Racah W
• Wzór na masę Gell-Manna-Okubo

•   Lichtenberg, DB (2012). Symetria jednostkowa i cząstki elementarne (wyd. 2). Prasa akademicka. ISBN 978-0123941992 .
•   Greiner, W .; Müller, B. (2012). Mechanika kwantowa: symetrie (wyd. 2). Skoczek. ISBN 978-3540580805 .
•   Hall, Brian C. (2015), Lie Groups, Lie Algebras and Representations: An Elementary Introduction , Absolwent Teksty z matematyki, tom. 222 (wyd. 2), Springer, ISBN 978-3319134666
• McNamee, P.; j., S.; Chilton, F. (1964). „Tabele współczynników Clebscha-Gordana SU3”. Recenzje współczesnej fizyki . 36 (4): 1005. Bibcode : 1964RvMP...36.1005M . doi : 10.1103/RevModPhys.36.1005 .
• Mandel'tsveig, VB (1965). „Nieredukowalne reprezentacje grupy SU3”. Sov Phys JETP . 20 (5): 1237–1243. online
• Coleman, Sidney (1965). „Zabawa z SU(3)” . INSPIREPomoc . MAEA.
• Pluhar, Z.; Smirnow, Yu F.; Tołstoj, WN (1986). „Współczynniki Clebscha-Gordana SU (3) o prostych właściwościach symetrii”. Journal of Physics A: Matematyczny i ogólny . 19 (1): 21–28. Bibcode : 1986JPhA...19...21P . doi : 10.1088/0305-4470/19/1/007 .