Macierze Gell-Manna

Macierze Gell-Manna , opracowane przez Murraya Gell-Manna , to zestaw ośmiu liniowo niezależnych bezśladowych macierzy hermitowskich 3 × 3 używanych w badaniu oddziaływań silnych w fizyce cząstek elementarnych . Obejmują algebrę Liego grupy SU(3) w reprezentacji definiującej.

macierze

${\ Displaystyle \ lambda _ {1} = {\ początek {pmatrix} 0 i 1 i 0 \\ 1 i 0 i 0 \\ 0 i 0 i 0 \ koniec {pmatrix}}}$	${\ Displaystyle \ lambda _ {2} = {\ rozpocząć {pmatrix} 0 i - i & 0 \\ i & 0 i 0 \\ 0 i 0 i 0 \ koniec {pmatrix}}}$	${\ Displaystyle \ lambda _ {3} = {\ początek {pmatrix} 1 i 0 i 0 \\ 0 i -1 i 0 \\ 0 i 0 i 0 \ koniec {pmatrix}}}$
${\ Displaystyle \ lambda _ {4} = {\ początek {pmatrix} 0 i 0 i 1 \\ 0 i 0 i 0 \\ 1 i 0 i 0 \ koniec {pmatrix}}}$	${\ Displaystyle \ lambda _ {5} = {\ początek {pmatrix} 0 i 0 i - i \\ 0 i 0 i 0 \\ i i 0 i 0 \ koniec {pmatrix}}}$
${\ Displaystyle \ lambda _ {6} = {\ początek {pmatrix} 0 i 0 i 0 \\ 0 i 0 i 1 \\ 0 i 1 i 0 \ koniec {pmatrix}}}$	${\ Displaystyle \ lambda _ {7} = {\ początek {pmatrix} 0 i 0 i 0 \\ 0 i 0 i -i \\ 0 i i i 0 \ koniec {pmatrix}}}$	${\ Displaystyle \ lambda _ {8} = {\ Frac {1} {\ sqrt {3}}} {\ rozpocząć {pmatrix} 1&0&0 \\0&1&0\\0&0&-2\koniec {pmatrix}}.}$

Nieruchomości

Główny artykuł: Uogólnienia macierzy Pauliego

Te macierze są bezśladowe , hermitowskie i przestrzegają dodatkowej relacji ortonormalności śladowej (dzięki czemu mogą generować jednolite elementy grupy macierzy SU(3) poprzez potęgowanie ). Te właściwości zostały wybrane przez Gell-Manna, ponieważ następnie w naturalny sposób uogólniają macierze Pauliego dla SU(2) do SU(3), które stanowiły podstawę modelu kwarków Gell-Manna . Uogólnienie Gell-Manna rozciąga się dalej na ogólne SU( n ) . Za ich podłączenie do standardowa podstawa algebr Liego, patrz podstawa Weyla-Cartana .

Śledź ortonormalność

W matematyce ortonormalność zwykle implikuje normę, która ma wartość jedności (1). Macierze Gell-Manna są jednak normalizowane do wartości 2. Zatem ślad iloczynu parami daje warunek ortonormalizacji

${\ Displaystyle \ nazwa operatora {tr} (\ lambda _ {i} \ lambda _ {j}) = 2 \ delta _ {ij}}$

gdzie ${\ Displaystyle \ delta _ {ij}}$ to delta Kroneckera .

Jest tak, że osadzone macierze Pauliego odpowiadające trzem osadzonym podalgebrom SU (2) są konwencjonalnie znormalizowane. W tej trójwymiarowej reprezentacji macierzowej podalgebra Cartana jest zbiorem kombinacji liniowych (z rzeczywistymi współczynnikami) dwóch macierzy i ${\ Displaystyle \ lambda _ {3}}$ i ${\ Displaystyle \ lambda _ {8} }$ , które dojeżdżają do pracy ze sobą.

Istnieją trzy niezależne podalgebry SU(2) :

• ${\ Displaystyle \ {\ lambda _ {1}, \ lambda _ {2}, \ lambda _ {3} \}}$
• ${\ Displaystyle \ {\ lambda _ {4}, \ lambda _ {5}, x \},$ i
• ${\ Displaystyle \ {\ lambda _ {6}, \ lambda _ {7}, y \},}$

gdzie x i y są $\ lambda _$ kombinacjami i ${\ Displaystyle$ } SU(2) Casimirs tych podalgebr wzajemnie dojeżdżają.

Jednak każda transformacja podobieństwa jednostkowego tych podalgebr da podalgebry SU (2). Takich przekształceń jest niezliczona ilość.

Relacje komutacyjne

8 generatorów SU(3) spełnia relacje komutacji i antykomutacji

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ lewo [\ lambda _ {a}, \ lambda _ {b} \ prawo] & = 2i \ suma _ {c} f ^ {abc} \ lambda _ {c}, \ \\{\lambda _{a},\lambda _{b}\}&={\frac {4}{3}}\delta _{ab}I+2\suma _{c}d^{abc} \lambda _{c},\end{wyrównane}}}$

ze stałymi struktury

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} f ^ {abc} & = - {\ Frac {1} {4}} i \ nazwa operatora {tr} (\ lambda _ {a} [\ lambda _ {b}, \ lambda _{c}]),\\d^{abc}&={\frac {1}{4}}\operatorname {tr} (\lambda _{a}\{\lambda _{b},\lambda _ {c}\}).\end{wyrównane}}}$

Stałe strukturalne $całkowicie antysymetryczne$ w $indeksach$ antysymetrię Levi - Civita 2) . Dla obecnego rzędu macierzy Gell-Manna przyjmują wartości

${\ Displaystyle f ^ {123} = 1 \ \ quad f ^ {147} = f ^ {165} = f ^ {246} = f ^ {257} = f ^ {345} = f ^ {376} = {\frac {1}{2}}\ ,\quad f^{458}=f^{678}={\frac {\sqrt {3}}{2}}\ .}$

Na ogół oceniają one na zero, chyba że zawierają nieparzystą liczbę indeksów ze zbioru {2,5,7}, odpowiadających antysymetrycznemu (urojonemu) λ s.

Korzystając z tych relacji komutacji, iloczyn macierzy Gell-Manna można zapisać jako

${\ Displaystyle \ lambda _ {a} \ lambda _ {b} = {\ Frac {1} {2}} ([\ lambda _ {a}, \ lambda _ {b}] + \ {\ lambda _ {a },\lambda _{b}\})={\frac {2}{3}}\delta _{ab}I+\sum _{c}\left(d^{abc}+if^{abc}\ po prawej)\lambda _{c},}$

gdzie I jest macierzą tożsamości.

Relacje kompletności Fierza

Ponieważ osiem macierzy i tożsamość są kompletnym zbiorem śladowo-ortogonalnym obejmującym wszystkie macierze 3 × 3, łatwo jest znaleźć dwie relacje kompletności Fierza , (Li i Cheng, 4.134), analogiczne do tych, które spełniają macierze Pauliego . Mianowicie, używając kropki do sumowania ośmiu macierzy i używając greckich indeksów dla ich indeksów wierszy / kolumn, zachodzą następujące tożsamości:

${\ Displaystyle \ delta _ {\ beta} ^ {\ alfa} \ delta _ {\ delta} ^ {\ gamma }={\frac {1}{3}}\delta _{\delta}^{\alpha}\delta _{\beta}^{\gamma}+{\frac {1}{2}}\lambda _{\delta}^{\alpha}\cdot \lambda _{\beta}^{\gamma}}$

I

${\ Displaystyle \ lambda _ {\ beta} ^ {\ alfa} \ cdot \ lambda _ {\ delta} ^ {\ gamma} = {\ Frac {16} {9}} \ delta _ {\ delta} ^ {\ alpha }\delta _{\beta}^{\gamma}-{\frac {1}{3}}\lambda _{\delta}^{\alpha}\cdot \lambda _{\beta}^{\gamma }~.}$

Można preferować wersję przekształconą, wynikającą z liniowej kombinacji powyższych,

${\ Displaystyle \ lambda _ {\ beta} ^ {\ alfa} \ cdot \ lambda _ {\ delta} ^ {\ gamma} = 2 \ delta _ {\ delta} ^ {\ alfa} \ delta _ {\ beta} ^{\gamma}-{\frac {2}{3}}\delta _{\beta} ^{\alpha}\delta _{\delta}^{\gamma}~.}$

Teoria reprezentacji

Główny artykuł: Współczynniki Clebscha – Gordana dla SU (3)

Określony wybór macierzy nazywany jest reprezentacją grupową , ponieważ dowolny element SU (3) można zapisać w postaci ${\ Displaystyle \ operatorname {exp} (i \ theta ^ {j } g_ {j})}$ , gdzie osiem to $liczby rzeczywiste i$ suma po indeksie j . Mając jedną reprezentację, równoważną można uzyskać przez dowolną transformację podobieństwa jednostkowego, ponieważ pozostawia to komutator niezmieniony.

Macierze można zrealizować jako reprezentację nieskończenie małych generatorów specjalnej grupy unitarnej zwanej SU(3) . Algebra Liego tej grupy (właściwie rzeczywista algebra Liego) ma wymiar osiem i dlatego ma pewien zbiór z ośmioma liniowo niezależnymi generatorami, co można zapisać jako $g_ {i}}$ displaystyle 1 do 8.

Operatory i niezmienniki Casimira

Kwadratowa suma macierzy Gell-Manna daje kwadratowy operator Casimira , niezmiennik grupowy,

${\ Displaystyle C = \ suma _ {i = 1} ^ {8} \ lambda _ {i} \ lambda _ {i} = {\ Frac {16 {3}}ja}$

gdzie jest macierzą tożsamości 3 × 3. ${\ displaystyle I \} .$ Jest jeszcze inny, niezależny, sześcienny operator Casimira .

Zastosowanie w chromodynamice kwantowej

Główne artykuły: ładunek koloru i chromodynamika kwantowa

Macierze te służą do badania wewnętrznych (kolorowych) rotacji pól gluonowych związanych z kolorowymi kwarkami chromodynamiki kwantowej (por. kolory gluonu ). Obrót koloru miernika jest zależnym od czasoprzestrzeni elementem grupy SU (3) ${\ Displaystyle U = \ exp (i \ theta ^ {k} ({ \mathbf {r} },t)\lambda _{k}/2)}$ , gdzie sumowanie ośmiu indeksów k jest dorozumiane.

Zobacz też: Współczynniki Clebscha – Gordana dla SU (3)

Zobacz też

• pierwiastek Kazimierza
• Współczynniki Clebscha – Gordana dla SU (3)
• Uogólnienia macierzy Pauliego
• Reprezentacje grupowe
• Zabójcza forma
• macierze Pauliego
• Qutrit
• SU(3)

•   Gell-Mann, Murray (1962-02-01). „Symetrie barionów i mezonów” . Przegląd fizyczny . Amerykańskie Towarzystwo Fizyczne (APS). 125 (3): 1067–1084. Bibcode : 1962PhRv..125.1067G . doi : 10.1103/physrev.125.1067 . ISSN 0031-899X .
•   Cheng, TP; Li, L.-F. (1983). Teoria mierników fizyki cząstek elementarnych . Oxford University Press . ISBN 0-19-851961-3 .
•   Georgi, H. (1999). Algebry kłamstwa w fizyce cząstek elementarnych (wyd. 2). Prasa Westview . ISBN 978-0-7382-0233-4 .
•   Arfken, Wielka Brytania; Weber, HJ; Harris, FE (2000). Metody matematyczne dla fizyków (wyd. 7). Prasa akademicka . ISBN 978-0-12-384654-9 .
•   Kokkedee, JJJ (1969). Model Kwarków . WA Beniamin . LCCN 69014391 .