Macierz grotów strzałek

W matematycznej dziedzinie algebry liniowej macierz grotów strzałek to macierz kwadratowa zawierająca zera we wszystkich wpisach z wyjątkiem pierwszego wiersza, pierwszej kolumny i głównej przekątnej, wpisy te mogą być dowolną liczbą. Innymi słowy, macierz ma postać

${\ Displaystyle A = {\ rozpocząć {bmatrix} \, \!*&*&*&*&*\\\,\!*&*&0&0&0\\\,\!*&0&*&0&0\\\,\! *&0&0&*&0\\\,\!*&0&0&0&*\end{bmacierz}}.}$

Każda symetryczna permutacja macierzy grotów strzałek , gdzie $P$ jest macierzą permutacji , jest permutowaną) . Prawdziwe symetryczne macierze grotów strzałek są używane w niektórych algorytmach do znajdowania wartości własnych i wektorów własnych .

Prawdziwe symetryczne macierze grotów strzałek

Niech A będzie rzeczywistą symetryczną (permutowaną) macierzą grotów strzałek postaci

${\ Displaystyle A = {\ rozpocząć {bmatrix} D & z \\ z ^ {T} i \ alfa \ koniec {bmatrix}},}$

gdzie ${\ Displaystyle D = \ mathop {\ operatorname {diag}} (d_ {1}, d_ {2}, \ ldots, d_{n-1})}$ jest macierzą diagonalną rzędu n −1,

$} ^ {T}}$${\ Displaystyle z = {\ rozpocząć {bmatrix} \ zeta _ {1} i \ zeta _ {2} i \ cdots & \ zeta _ {n-1} \end {bmatrix$$skalarem$ jest wektorem, a . Pozwalać

${\ Displaystyle A = V \ Lambda V ^ {T}}$

Λ $\ldots, \ lambda _ {n}}}$ λ ${\ Displaystyle \ Lambda = \ operatorname {diag} (\ lambda _ {1},$ \ lambda _ jest macierzą diagonalną, której elementy diagonalne są wartościami własnymi A i ${\ Displaystyle V = {\ rozpocząć {bmatrix} v_ {1} & \cdots &v_{n}\end{bmatrix}}}$ jest macierzą ortonormalną, której kolumny są odpowiednimi wektorami własnymi . Co następuje:

• ζ ${\ Displaystyle \ zeta _ {i} = 0}$ dla jakiegoś ja , ${\ Displaystyle (d_ {i}, e_ {i})}$ para , gdzie ${ \displaystyle e_{i}}$ jest i -tym standardowym wektorem bazowym , jest parą własną A . W ten sposób wszystkie takie wiersze i kolumny można usunąć, pozostawiając macierz ze wszystkimi. ${\ Displaystyle \ zeta _ {i} \ neq 0}$ .
• Twierdzenie Cauchy'ego o przeplocie implikuje $\ Displaystyle d_ {1} \ geq d_ { 2} \ geq \ cdots \ geq d_ {n-1}}$ że posortowane wartości własne A przeplatają posortowane elementy $:$ jeśli (można to osiągnąć przez symetryczną permutację wierszy i kolumn bez utraty ogólności), a jeśli s są sortowane ${\ Displaystyle \ lambda _ {i}}$${\ Displaystyle \ lambda _ {1} \ geq d_ {1} \ geq \ lambda _$ re .
• ${\ Displaystyle d_ {i} = d_ {j}}$ jot $,$ dla niektórych , powyższa nierówność implikuje, że jest $}$ wartość własna A . $i$ problemu można zmniejszyć, $postępując$ Givensa płaszczyźnie - jak

Symetryczne macierze grotów strzałek powstają w opisach przejść bezpromienistych w izolowanych cząsteczkach i oscylatorach sprzężonych wibracyjnie z cieczą Fermiego .

Wartości własne i wektory własne

Symetryczna macierz grotów jest ${j$ { \ Displaystyle d_ { $neq$ wszystkich ${\ Displaystyle i \ neq j}$ . Wartości własne nieredukowalnej rzeczywistej symetrycznej macierzy grotów strzałek są zerami świeckiego równania

${\ Displaystyle f (\ lambda) = \ alpha -\lambda -\sum _{i=1}^{n-1}{\frac {\zeta _{i}^{2}}{d_{i}-\lambda }}\equiv \alpha -\ lambda -z^{T}(D-\lambda I)^{-1}z=0}$

które można na przykład obliczyć metodą bisekcji . Odpowiednie wektory własne są równe

${\ Displaystyle v_ {i} = {\ Frac {x_ {i}}} {\| x_ {i} \|_ {2}}}, \ quad x_ {i} = {\ rozpocząć {bmatrix} \ lewo (D -\lambda _{i}I\right)^{-1}z\\-1\end{bmatrix}},\quad i=1,\ldots, rz.}$

Bezpośrednie zastosowanie powyższego wzoru może dać wektory własne, które nie są numerycznie wystarczająco ortogonalne. Algorytm stabilny w przód, który oblicza każdą wartość własną i każdy składnik odpowiedniego wektora własnego z prawie pełną dokładnością, opisano w . Dostępna jest wersja oprogramowania Julia .

Odwrotności

Niech A będzie nieredukowalną rzeczywistą symetryczną macierzą grotów strzałek. Jeśli dla pewnego i , odwrotność jest permutowaną, nieredukowalną, rzeczywistą symetryczną macierzą grotów strzałek: ${\ displaystyle d_ {i} = 0}$

${\ Displaystyle A ^ {- 1} = {\ rozpocząć {bmatrix} D_ {1}^{-1}&w_{1}&0&0\\w_{1}^{T}&b&w_{2}^{T}&1/\zeta _{i}\\0&w_{2}&D_{2}^ {-1}&0\\0&1/\zeta _{i}&0&0\end{bmacierz}}}$

Gdzie

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane dat} {2} D_ {1} & = \ mathop {\ operatorname {diag}} (d_ {1}, d_ {2}, \ ldots, d_ {i-1}), \ \D_{2}&=\mathop {\mathrm {diag}} (d_{i+1},d_{i+2},\ldots,d_{n-1}),\\z_{1}&= {\begin{bmatrix}\zeta _{1}&\zeta _{2}&\cdots &\zeta _{i-1}\end{bmatrix}}^{T},\\z_{2}&= {\begin{bmatrix}\zeta _{i+1}&\zeta _{i+2}&\cdots &\zeta _{n-1}\end{bmatrix}}^{T},\\w_{ 1}&=-D_{1}^{-1}z_{1}{\frac {1}{\zeta _{i}}},\\w_{2}&=-D_{2}^{- 1}z_{2}{\frac {1}{\zeta _{i}}},\\b&={\frac {1}{\zeta _{i}^{2}}}\left(-a +z_{1}^{T}D_{1}^{-1}z_{1}+z_{2}^{T}D_{2}^{-1}z_{2}\prawo).\end {wyrównana data}}}$

Jeśli $i} \ neq 0}$ wszystkich , odwrotność jest modyfikacją pierwszego stopnia macierzy diagonalnej ( macierz przekątna plus jeden lub DPR1 ): re ja ≠ {\ Displaystyle d_

${\ Displaystyle A ^ {- 1} = {\ rozpocząć {bmatrix} D ^ {- 1} i \\& 0 \ koniec {bmatrix}} + \ rho uu^{T},}$

Gdzie

${\ Displaystyle u = {\ rozpocząć {bmatrix} D ^ {-1} z \\ -1 \ koniec {bmatrix}}, \ quad \ rho = {\ Frac {1} {\ alfa -z ^ {T} D ^{-1}z}}.}$