Macierz rotacji

W algebrze liniowej macierz rotacji jest macierzą transformacji używaną do wykonywania obrotu w przestrzeni euklidesowej . Na przykład, stosując poniższą konwencję, macierz

${\ Displaystyle R = {\ rozpocząć {bmatrix} \ sałata \ teta i - \ grzech \ teta \\\ grzech \ teta i \ cos \ teta \ koniec{bmacierz}}}$

obraca punkty na płaszczyźnie xy przeciwnie do ruchu wskazówek zegara o kąt θ względem dodatniej osi x względem początku dwuwymiarowego kartezjańskiego układu współrzędnych . Aby wykonać obrót na punkcie na płaszczyźnie o standardowych współrzędnych v = ( x , y ) , należy go zapisać jako wektor kolumnowy i pomnożyć przez macierz R :

${\ Displaystyle R \ mathbf {v} = {\ rozpocząć {bmatrix} \ cos \ theta & - \ sin \ theta \\\ sin \ theta & \ cos \ theta \ koniec {bmatrix}}} {\ rozpocząć {bmatrix} x \\y\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}x\cos \theta -y\sin \theta \\x\sin \theta +y\cos \theta \end{bmatrix}}.}$

Jeśli x i y są współrzędnymi punktu końcowego wektora, gdzie x to cosinus, a y to sinus, to powyższe równania stają się trygonometrycznymi wzorami sumowania kątów . Rzeczywiście, macierz rotacji może być postrzegana jako trygonometryczne formuły sumowania kątów w postaci macierzy. Jednym ze sposobów zrozumienia tego jest powiedzenie, że mamy wektor ustawiony pod kątem 30° do x i chcemy obrócić ten kąt o kolejne 45°. Musimy po prostu obliczyć współrzędne punktu końcowego wektora pod kątem 75°.

Przykłady w tym artykule dotyczą aktywnych obrotów wektorów przeciwnie do ruchu wskazówek zegara w prawoskrętnym układzie współrzędnych ( y przeciwnie do ruchu wskazówek zegara od x ) przez wstępne pomnożenie ( R po lewej). Jeśli którykolwiek z nich zostanie zmieniony (np. obracanie osi zamiast wektorów, transformacja pasywna ), wówczas należy zastosować odwrotność przykładowej macierzy, która pokrywa się z jej transpozycją .

Ponieważ mnożenie macierzy nie ma wpływu na wektor zerowy (współrzędne początku), macierze rotacji opisują obroty wokół początku. Macierze rotacji zapewniają algebraiczny opis takich rotacji i są szeroko stosowane do obliczeń w geometrii , fizyce i grafice komputerowej . W niektórych literaturach termin obrót jest uogólniony i obejmuje obroty niewłaściwe , charakteryzujące się macierzami ortogonalnymi z wyznacznikiem -1 (zamiast +1). Te łączą właściwe obroty z odbiciami (które odwracają orientację ). W innych przypadkach, gdy odbicia nie są brane pod uwagę, właściwa etykieta może zostać usunięta. Ta ostatnia konwencja jest przestrzegana w tym artykule.

Macierze rotacji to macierze kwadratowe z liczbami rzeczywistymi . Dokładniej, można je scharakteryzować jako macierze ortogonalne z wyznacznikiem 1; to znaczy macierz kwadratowa R jest macierzą rotacji wtedy i tylko wtedy, gdy R ^T = R ⁻¹ i det R = 1 . Zbiór wszystkich macierzy ortogonalnych o rozmiarze n z wyznacznikiem +1 jest reprezentacją grupy zwanej specjalna grupa ortogonalna SO( n ) , której przykładem jest grupa rotacyjna SO(3) . Zbiór wszystkich macierzy ortogonalnych o rozmiarze n z wyznacznikiem +1 lub −1 jest reprezentacją (ogólnej) grupy ortogonalnej O( n ) .

W dwóch wymiarach

Obrót wektora w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara o kąt θ . Wektor jest początkowo wyrównany z x .

W dwóch wymiarach standardowa macierz rotacji ma następującą postać:

${\ Displaystyle R (\ theta) = {\ rozpocząć {bmatrix} \ cos \ theta & - \ sin \ theta \\\ sin \ theta & \ cos \ theta \\\ koniec {bmatrix}}.}$

To obraca wektory kolumn za pomocą następującego mnożenia macierzy ,

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {bmatrix} x '\\ y' \\ koniec {bmatrix}} = {\ rozpocząć {bmatrix} \ cos \ theta & - \ sin \ theta \\\ sin \ theta & \ cos \ theta \\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\\\end{bmatrix}}.}$

Zatem nowe współrzędne ( x ′, y ′) punktu ( x , y ) po obrocie to

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} x '& = x \ cos \ teta -y \ sin \ teta \, \\ y' i = x \ sin \ teta + y \ cos \ teta \, \ koniec {wyrównane} }.}$

Przykłady

Na przykład, gdy wektor

${\ Displaystyle \ mathbf {\ kapelusz {x}} = {\ rozpocząć {bmatrix} 1 \\ 0 \\\ koniec {bmatrix}}}$

jest obrócony o kąt θ , jego nowe współrzędne to

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {bmatrix} \ cos \ teta \\\ sin \ teta \\\ koniec {bmatrix}}}$

a kiedy wektor

${\ Displaystyle \ mathbf {\ kapelusz {y}} = {\ rozpocząć {bmatrix} 0 \\1 \\\ koniec {bmatrix}}}$

jest obrócony o kąt θ , jego nowe współrzędne to

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {bmatrix} - \ sin \ theta \\\ cos \ theta \\\ koniec {bmatrix}}.}$

Kierunek

Kierunek obrotu wektora jest przeciwny do ruchu wskazówek zegara, jeśli θ jest dodatnia (np. 90°), i zgodny z ruchem wskazówek zegara, jeśli θ jest ujemna (np. −90°). Zatem macierz obrotu zgodnie z ruchem wskazówek zegara jest znaleziona jako

${\ Displaystyle R (- \ theta) = {\ rozpocząć {bmatrix} \ cos \ theta & \ sin \ theta \\- \ sin \ theta & \ cos \ theta \\\ koniec {bmatrix}}.}$

Przypadek dwuwymiarowy jest jedynym nietrywialnym (tj. nie jednowymiarowym) przypadkiem, w którym grupa macierzy rotacji jest przemienna, więc nie ma znaczenia, w jakiej kolejności wykonywane są wielokrotne obroty. Alternatywna konwencja wykorzystuje obracające się osie, a powyższe macierze reprezentują również obrót osi zgodnie z ruchem wskazówek zegara o kąt θ .

Niestandardowa orientacja układu współrzędnych

Obrót o kąt θ z niestandardowymi osiami.

Jeśli używany jest standardowy prawoskrętny układ współrzędnych kartezjańskich , z osią x po prawej stronie i osią y do góry, obrót R ( θ ) jest przeciwny do ruchu wskazówek zegara. Jeśli używany jest leworęczny kartezjański układ współrzędnych, gdzie x jest skierowane w prawo, ale y jest skierowane w dół, R ( θ ) jest zgodne z ruchem wskazówek zegara. Takie niestandardowe orientacje są rzadko stosowane w matematyce, ale są powszechne w grafice komputerowej 2D , które często mają początek w lewym górnym rogu i oś y w dół ekranu lub strony.

Zobacz poniżej inne alternatywne konwencje, które mogą zmienić kierunek obrotu wytwarzanego przez macierz rotacji.

Wspólne obroty

Szczególnie przydatne są macierze

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {bmatrix} 0 i -1 \\ [3 pkt] 1 i 0 \\\ koniec {bmatrix}} \ quad {\ rozpocząć {bmatrix}-1&0\\[3pt]0&-1\\\end{bmatrix}},\quad {\begin{bmatrix}0&1\\[3pt]-1&0\\\end{bmatrix}}}$

dla obrotów o 90°, 180° i 270° w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara.

Obrót o 180° (w środku) , po którym następuje dodatni obrót o 90° (w lewo), odpowiada pojedynczemu obrotowi o ujemne 90° (dodatnie 270°) (w prawo). Każda z tych figur przedstawia wynik obrotu względem pionowej pozycji początkowej (na dole po lewej) i zawiera macierzową reprezentację permutacji zastosowanej przez obrót (na środku po prawej), a także inne powiązane diagramy. Zobacz „Notacja permutacji” na Wikiwersytecie, aby uzyskać szczegółowe informacje.

Związek z płaszczyzną zespoloną

Od

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {bmatrix} 0 i 1 \\ - 1 i 0 \ koniec {bmatrix}} ^ {2} \ = \ {\ rozpocząć {bmatrix} -1&0\\0&-1\end{bmacierz}}\ =-I,}$

macierze kształtu

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {bmatrix} x & y \\ -y & x \ koniec {bmatrix}}}$

tworzą pierścień izomorficzny z polem liczb zespolonych ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ . Przy tym izomorfizmie macierze rotacji odpowiadają okręgowi jednostkowych liczb zespolonych , liczbom zespolonym modułu 1 .

Jeśli ktoś utożsamia się $($$izomorfizmem$ ( za , $+$ działanie macierzy powyższej postaci na wektorach odpowiada mnożeniu przez liczbę zespoloną x + iy ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$ , a obroty odpowiadają mnożeniu przez liczby zespolone modułu 1 .

Jak każdą macierz rotacji można napisać

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {pmatrix} \ bo t & \ sin t \\ - \ sin t & \ cos t \ koniec {pmatrix}}}$

powyższa korespondencja wiąże taką macierz z liczbą zespoloną

${\ Displaystyle \ sałata t + i \ grzech t = e ^ {to}}$

(ta ostatnia równość to wzór Eulera ).

W trzech wymiarach

Zobacz też: Formalizmy rotacyjne w trzech wymiarach

Dodatni obrót o 90° wokół osi y (po lewej) po jednym wokół osi z (w środku) daje obrót o 120° wokół głównej przekątnej (po prawej). W lewym górnym rogu znajdują się macierze rotacji, w prawym dolnym rogu odpowiednie permutacje sześcianu z początkiem w środku.

Podstawowe obroty

Obrót podstawowy (zwany także obrotem elementarnym) to obrót wokół jednej z osi układu współrzędnych. Następujące trzy podstawowe macierze rotacji obracają wektory o kąt θ wokół osi x , y lub z w trzech wymiarach, stosując regułę prawej dłoni — która kodyfikuje ich naprzemienne znaki. Zauważ, że reguła prawej ręki działa tylko podczas mnożenia ${\ Displaystyle R \ cdot {\ vec {x}}}$ . (Te same macierze mogą również reprezentować obrót osi zgodnie z ruchem wskazówek zegara).

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane w} {1} R_ {x} (\ teta) & = {\ rozpocząć {bmatrix} 1 i 0 i 0 \\ 0 i \ cos \ teta & - \ sin \ teta \\ [3pt] 0 i \ sin \theta &\cos \theta \\[3pt]\end{bmatrix}}\\[6pt]R_{y}(\theta )&={\begin{bmatrix}\cos \theta &0&\sin \theta \\ [3pt]0&1&0\\[3pt]-\sin \theta &0&\cos \theta \\\end{bmatrix}}\\[6pt]R_{z}(\theta )&={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta &0\\[3pt]\sin \theta &\cos \theta &0\\[3pt]0&0&1\\\end{bmatrix}}\end{alignedat}}}$

W przypadku wektorów kolumnowych każdy z tych podstawowych obrotów wektorów pojawia się przeciwnie do ruchu wskazówek zegara, gdy oś, wokół której występują, jest skierowana w stronę obserwatora, układ współrzędnych jest prawoskrętny, a kąt θ jest dodatni. Na przykład R _z obróciłby w kierunku osi y wektor wyrównany z osią x , co można łatwo sprawdzić, operując R _z na wektorze (1,0,0) :

${\ Displaystyle R_ {z} (90 ^ {\ circ}) {\ rozpocząć {bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\\ koniec {bmatrix}} = {\ rozpocząć {bmatrix} \ cos 90 ^ {\ circ }&-\sin 90^{\circ }&0\\\sin 90^{\circ }&\quad \cos 90^{\circ }&0\\0&0&1\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix }1\\0\\0\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&-1&0\\1&0&0\\0&0&1\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1\\0 \\0\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\1\\0\\\end{bmatrix}}}$

Jest to podobne do obrotu wytwarzanego przez wspomnianą powyżej dwuwymiarową macierz obrotu. Zobacz poniżej alternatywne konwencje, które mogą pozornie lub faktycznie odwrócić kierunek obrotu wytwarzanego przez te macierze.

Ogólne rotacje

Inne macierze rotacji można uzyskać z tych trzech przy użyciu mnożenia macierzy . Na przykład produkt

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} R = R_ {z} (\ alfa) \, R_ {y} (\ beta) \, R_ {x} (\ gamma) & = {\ overset {\ tekst {odchylenie} }{\begin{bmatrix}\cos \alpha &-\sin \alpha &0\\\sin \alpha &\cos \alpha &0\\0&0&1\\\end{bmatrix}}}}{\overset {\text{ton }}{\begin{bmatrix}\cos \beta &0&\sin \beta \\0&1&0\\-\sin \beta &0&\cos \beta \\\end{bmatrix}}}{\overset {\text{roll} }{\begin{bmatrix}1&0&0\\0&\cos \gamma &-\sin \gamma \\0&\sin \gamma &\cos \gamma \\\end{bmatrix}}}\\&={\begin{ bmatrix}\cos \alpha \cos \beta &\cos \alpha \sin \beta \sin \gamma -\sin \alpha \cos \gamma &\cos \alpha \sin \beta \cos \gamma +\sin \alpha \sin \gamma \\\sin \alpha \cos \beta &\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma +\cos \alpha \cos \gamma &\sin \alpha \sin \beta \cos \gamma - \cos \alpha \sin \gamma \\-\sin \beta &\cos \beta \sin \gamma &\cos \beta \cos \gamma \\\end{bmatrix}}\end{aligned}}}$

reprezentuje obrót, którego kąty odchylenia, pochylenia i przechyłu wynoszą odpowiednio α , β i γ . Bardziej formalnie, jest to wewnętrzny obrót , którego kąty Taita-Bryana wynoszą odpowiednio α , β , γ wokół osi odpowiednio z , y , x . Podobnie produkt

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \\ R = R_ {z} (\ gamma) \, R_ {y} (\ beta) \, R_ {x} (\ alfa) & = {\ rozpocząć {bmatrix} \ cos \gamma &-\sin \gamma &0\\\sin \gamma &\cos \gamma &0\\0&0&1\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\cos \beta &0&\sin \beta \\ 0&1&0\\-\sin \beta &0&\cos \beta \\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0&0\\0&\cos \alpha &-\sin \alpha \\0&\sin \alpha &\ cos \alpha \\\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}\cos \beta \cos \gamma &\sin \alpha \sin \beta \cos \gamma -\cos \alpha \sin \ gamma &\cos \alpha \sin \beta \cos \gamma +\sin \alpha \sin \gamma \\\cos \beta \sin \gamma &\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma +\cos \ alpha \cos \gamma &\cos \alpha \sin \beta \sin \gamma -\sin \alpha \cos \gamma \\-\sin \beta &\sin \alpha \cos \beta &\cos \alpha \cos \beta \\\end{bmatrix}}\end{wyrównane}}}$

reprezentuje obrót zewnętrzny, którego (niewłaściwe) kąty Eulera wynoszą α , β , γ wokół osi x , y , z .

Te macierze dają pożądany efekt tylko wtedy, gdy są używane do wstępnego mnożenia wektorów kolumnowych i (ponieważ generalnie mnożenie macierzy nie jest przemienne ) tylko wtedy, gdy są stosowane w określonej kolejności ( więcej szczegółów w Niejednoznaczności ). Kolejność operacji obracania jest od prawej do lewej; jako pierwsza stosowana jest macierz przylegająca do wektora kolumnowego, a następnie ta po lewej stronie.

Konwersja z macierzy obrotu na kąt osi

Każdy obrót w trzech wymiarach jest określony przez jego oś (wektor wzdłuż tej osi pozostaje niezmieniony przez obrót), a jego kąt — wielkość obrotu wokół tej osi ( twierdzenie Eulera o obrocie ).

Istnieje kilka metod obliczania osi i kąta z macierzy obrotu (patrz także reprezentacja kąta osi ). Tutaj opisujemy tylko metodę opartą na obliczeniu wektorów własnych i wartości własnych macierzy rotacji. Możliwe jest również wykorzystanie śladu macierzy rotacji.

Wyznaczanie osi

Obrót R wokół osi u można rozłożyć za pomocą 3 endomorfizmów P , ( I - P ) i Q (kliknij, aby powiększyć).

Biorąc pod uwagę macierz obrotu 3 × 3 R , wektor u równoległy do ​​osi obrotu musi spełniać

${\ Displaystyle R \ mathbf {u} = \ mathbf {u},}$

ponieważ obrót u wokół osi obrotu musi skutkować u . Powyższe równanie można rozwiązać dla u , które jest unikalne aż do współczynnika skalarnego, chyba że R = I .

Ponadto równanie można przepisać

${\ Displaystyle R \ mathbf {u} = ja \ mathbf {u} \ implikuje \ lewo (RI \ prawo) \ mathbf {u} = 0,}$

co pokazuje, że u leży w przestrzeni zerowej R - I .

Patrząc w inny sposób, u jest wektorem własnym R odpowiadającym wartości własnej λ = 1 . Każda macierz rotacji musi mieć tę wartość własną, przy czym pozostałe dwie wartości własne są złożonymi sprzężeniami wzajemnymi . Wynika z tego, że ogólna macierz rotacji w trzech wymiarach ma, aż do stałej multiplikatywnej, tylko jeden rzeczywisty wektor własny.

Jednym ze sposobów określenia osi obrotu jest pokazanie, że:

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} 0 & = R ^ {\ mathsf {T}} 0 + 0 \\& = R ^ {\ mathsf {T}} \ lewo (RI \ prawo) \ mathbf {u} + \left(RI\right)\mathbf {u} \\&=\left(R^{\mathsf {T}}RR^{\mathsf {T}}+RI\right)\mathbf {u} \\& =\left(IR^{\mathsf {T}}+RI\right)\mathbf {u} \\&=\left(RR^{\mathsf {T}}\right)\mathbf {u} \end{ wyrównany}}}$

Ponieważ ( R − R ^T ) jest macierzą skośno-symetryczną , możemy wybrać u takie, że

${\ Displaystyle [\ mathbf {u}] _ {\ razy} = \ lewo (RR ^ {\ mathsf {T}} \ prawo).}$

Iloczyn macierzowo-wektorowy staje się iloczynem krzyżowym wektora z samym sobą, zapewniając, że wynik wynosi zero:

${\ Displaystyle \ lewo (RR ^ {\ mathsf {T}} \ prawo) \ mathbf {u} = [\ mathbf {u}] _ {\times}\mathbf {u} =\mathbf {u} \times \mathbf {u} =0\,}$

Dlatego jeśli

${\ Displaystyle R = {\ rozpocząć {bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \\\ koniec {bmatrix}}}$

Następnie

${\ Displaystyle \ mathbf {u} = {\ rozpocząć {bmatrix} hf \\ cg \\ db \\\ koniec {bmatrix}}.}$

Wielkość u obliczona w ten sposób wynosi || ty || = 2 sin θ , gdzie θ jest kątem obrotu.

To nie działa , jeśli R jest symetryczne. Powyżej, jeśli R − R ^T wynosi zero, to wszystkie kolejne kroki są nieważne. W takim przypadku konieczne jest przekątowanie R i znalezienie wektora własnego odpowiadającego wartości własnej równej 1.

Określenie kąta

Aby znaleźć kąt obrotu, znając oś obrotu, wybierz wektor v prostopadły do ​​tej osi. Wtedy kąt obrotu jest kątem między v a R v .

Bardziej bezpośrednią metodą jest jednak po prostu obliczenie śladu : sumy przekątnych elementów macierzy rotacji. Należy zwrócić uwagę na właściwy dobór znaku kąta θ do wybranej osi:

${\ Displaystyle \ operatorname {tr} (R) = 1 + 2 \ cos \ teta,}$

z czego wynika, że ​​wartość bezwzględna kąta wynosi

${\ Displaystyle | \ theta | = \ arccos \ lewo ({\ Frac {\ operatorname {tr} (R) -1} {2}} \ prawo).}$

Macierz obrotu od osi i kąta

Macierz obrotu właściwego R o kąt θ wokół osi u = ( u _x , u _y , u _z ) , wektor jednostkowy z u
² _x + u
² _y + u
² _z = 1 , jest dana wzorem:

${\ Displaystyle R = {\ rozpocząć {bmatrix} \ cos \ theta + u_ {x} ^ {2} \ lewo (1- \ cos \ theta \ prawo) i u_ {x} u_ {y} \ lewo (1- \ cos \theta \right)-u_{z}\sin \theta &u_{x}u_{z}\left(1-\cos \theta \right)+u_{y}\sin \theta \\u_{y} u_{x}\left(1-\cos \theta \right)+u_{z}\sin \theta &\cos \theta +u_{y}^{2}\left(1-\cos \theta \right )&u_{y}u_{z}\left(1-\cos \theta \right)-u_{x}\sin \theta \\u_{z}u_{x}\left(1-\cos \theta \ prawo)-u_{y}\sin \theta &u_{z}u_{y}\left(1-\cos \theta \right)+u_{x}\sin \theta &\cos \theta +u_{z} ^{2}\left(1-\cos \theta \right)\end{bmatrix}}.}$

Wyprowadzenie tej macierzy z pierwszych zasad można znaleźć w sekcji 9.2 tutaj. Podstawową ideą wyprowadzenia tej macierzy jest podzielenie problemu na kilka znanych prostych kroków.

1. Najpierw obróć podaną oś i punkt tak, aby oś leżała w jednej z płaszczyzn współrzędnych ( xy , yz lub zx )
2. Następnie obróć podaną oś i punkt tak, aby oś była wyrównana z jedną z dwóch osi współrzędnych dla tej konkretnej płaszczyzny współrzędnych ( x , y lub z )
3. Użyj jednej z podstawowych macierzy obrotu, aby obrócić punkt w zależności od osi współrzędnych, z którą pokrywa się oś obrotu.
4. Odwróć obróć parę osi i punktów, aby uzyskać ostateczną konfigurację, taką jak w kroku 2 (cofnięcie kroku 2)
5. Odwróć obrót pary punktów osi, co zostało wykonane w kroku 1 (cofanie kroku 1)

Można to zapisać bardziej zwięźle jako

${\ Displaystyle R = (\ cos \ teta) \, ja + (\ sin \ theta )\,[\mathbf {u} ]_{\times }+(1-\cos \theta )\,(\mathbf {u} \otimes \mathbf {u} ),}$

gdzie [ u ] _× jest macierzą iloczynu krzyżowego u ; wyrażenie u ⊗ u jest iloczynem zewnętrznym , a I jest macierzą tożsamości . Alternatywnie, wpisy macierzy to:

${\ Displaystyle R_ {jk} = {\ rozpocząć {przypadki} \ cos ^ {2} {\ Frac {\ teta} {2}} + \ sin ^ {2} {\ Frac {\ teta} {2} }\left(2u_{j}^{2}-1\right),\quad &{\text{if }}j=k\\2u_{j}u_{k}\sin ^{2}{\frac {\theta }{2}}-\varepsilon _{jkl}u_{l}\sin \theta,\quad &{\text{if}}j\neq k\end{przypadki}}}$

gdzie ε _jkl jest symbolem Levi-Civita z ε ₁₂₃ = 1 . Jest to forma macierzowa wzoru na rotację Rodriguesa (lub równoważnego, różnie sparametryzowanego wzoru Eulera – Rodriguesa ) z

${\ Displaystyle \ mathbf {u} \ otimes \ mathbf {u} = \ mathbf {u} \ mathbf {u} ^ {\ mathsf {T}} = {\ rozpocząć {bmatrix} u_ {x} ^ {2} i u_ {x}u_{y}&u_{x}u_{z}\\[3pt]u_{x}u_{y}&u_{y}^{2}&u_{y}u_{z}\\[3pt]u_ {x}u_{z}&u_{y}u_{z}&u_{z}^{2}\end{bmatrix}},\qquad [\mathbf {u}]_{\times}={\begin{bmatrix }0&-u_{z}&u_{y}\\[3pt]u_{z}&0&-u_{x}\\[3pt]-u_{y}&u_{x}&0\end{bmacierz}}.}$

W ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$ obrót wektora x wokół osi u o kąt θ można zapisać jako: R 3 {\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}

${\ Displaystyle R _ {\ mathbf {u}} (\ teta) \ mathbf {x} = \ mathbf {u} (\ mathbf {u} \ cdot \ mathbf {x}) + \ cos \ lewo (\ teta \ prawo )(\mathbf {u} \times \mathbf {x} )\times \mathbf {u} +\sin \left(\theta \right)(\mathbf {u} \times \mathbf {x} )}$

Jeśli przestrzeń 3D jest prawoskrętna i θ > 0 , ten obrót będzie przeciwny do ruchu wskazówek zegara, gdy u będzie skierowane w stronę obserwatora ( reguła prawej dłoni ). Wyraźnie, z prawoskrętną podstawą ortonormalną ${\ Displaystyle ({\ boldsymbol {\ alfa}}, {\ boldsymbol {\ beta}}, \ mathbf {u})}$

${\ Displaystyle R _ {\ mathbf {u}} (\ teta) {\ boldsymbol {\ alfa}} = \ bo \ lewo (\ teta \ po prawej) {\ pogrubiony symbol {\ alfa}} + \ sin \ lewo (\ teta \right){\boldsymbol {\beta}},\quad R_{\mathbf {u}}(\theta){\boldsymbol {\beta}}=-\sin \left(\theta \right){\boldsymbol { \alpha }}+\cos \left(\theta \right){\boldsymbol {\beta }},\quad R_{\mathbf {u}}(\theta)\mathbf {u} =\mathbf {u} . }$

Zwróć uwagę na uderzające, zaledwie pozorne różnice w stosunku do równoważnego sformułowania Lie-algebraicznego poniżej .

Nieruchomości

Dla dowolnej n -wymiarowej macierzy rotacji R działającej na ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n},}$

${\ Displaystyle R ^ {\ mathsf {T}} = R ^ {-1}}$ (Obrót jest macierzą ortogonalną )

Wynika, że:

${\ Displaystyle \ det R = \ pm 1}$

Rotację nazywamy właściwą, jeśli det R = 1 , a niewłaściwą (lub odwróceniem od rotacji), jeśli det R = –1 . Dla parzystych wymiarów n = 2 k , n wartości własnych λ rotacji właściwej występują jako pary koniugatów zespolonych , które są pierwiastkami jedności: λ = e ^{± iθ _j} dla j = 1, ..., k , co jest rzeczywiste tylko dla λ = ±1 . Dlatego nie może być żadnych wektorów ustalonych przez obrót ( λ = 1 ), a tym samym żadnej osi obrotu. Wszelkie ustalone wektory własne występują parami, a oś obrotu jest podprzestrzenią parzystowymiarową.

Dla nieparzystych wymiarów n = 2 k + 1 właściwy obrót R będzie miał nieparzystą liczbę wartości własnych, z co najmniej jednym λ = 1 , a oś obrotu będzie nieparzystą wymiarową podprzestrzenią. Dowód:

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ det \ lewo (RI \ prawo) & = \ det \ lewo (R ^ {\ mathsf {T}} \ prawo) \ det \ lewo (RI \ prawo) = \ det \ left(R^{\mathsf {T}}RR^{\mathsf {T}}\right)=\det \left(IR^{\mathsf {T}}\right)\\&=\det(IR) =\left(-1\right)^{n}\det \left(RI\right)=-\det \left(RI\right).\end{wyrównane}}}$

Tutaj I jest macierzą tożsamości i używamy ^, det( RT ) = det( R ) = 1 , jak również (−1) ⁿ = −1 ponieważ n jest nieparzyste. Dlatego det( R – I ) = 0 , co oznacza, że ​​istnieje wektor zerowy v z ( R – I ) v = 0 , czyli R v = v , ustalony wektor własny. Mogą również istnieć pary ustalonych wektorów własnych w parzystej podprzestrzeni prostopadłej do v , więc całkowity wymiar ustalonych wektorów własnych jest nieparzysty.

Na przykład w przestrzeni 2 n = 2 obrót o kąt θ ma wartości własne λ = e ^iθ i λ = e ^{- iθ} , więc nie ma osi obrotu, z wyjątkiem sytuacji, gdy θ = 0 , przypadek obrotu zerowego. W przestrzeni 3 n = 3 oś niezerowego obrotu właściwego jest zawsze linią jednoznaczną, a obrót wokół tej osi o kąt θ ma wartości własne λ = 1, e ^iθ , mi ^{- jaθ} . W przestrzeni 4 n = 4 cztery wartości własne mają postać e ^{± iθ} , e ^{± iφ} . Rotacja zerowa ma θ = φ = 0 . Przypadek θ = 0, φ ≠ 0 nazywany jest prostym obrotem , z dwoma jednostkowymi wartościami własnymi tworzącymi płaszczyznę osi , oraz dwuwymiarowym obrotem prostopadłym do płaszczyzny osi. W przeciwnym razie nie ma płaszczyzny osi. Sprawa θ = φ nazywamy obrotem izoklinicznym , którego wartości własne e ^{± iθ} są powtórzone dwukrotnie, więc każdy wektor jest obrócony o kąt θ .

Ślad macierzy rotacji jest równy sumie jej wartości własnych. Dla n = 2 obrót o kąt θ ma ślad 2 cos θ . Dla n = 3 obrót wokół dowolnej osi o kąt θ ma ślad 1 + 2 cos θ . Dla n = 4 , a ślad to 2(cos θ + cos φ ) , co daje 4 cos θ dla obrotu izoklinicznego.

Przykłady

• Macierz obrotu 2 × 2

$wokół$

obrotowi o 90 ° zgodnie z

• Transpozycja macierzy 2 × 2 } 0,936 i 0,352 \\ 0,352 i -

$0,936 \ koniec {bmatrix}}}$

jest jej odwrotnością, ale ponieważ jej wyznacznikiem jest −1, nie jest to właściwa macierz rotacji; jest to odbicie w poprzek linii 11 y = 2 x .

• Macierz obrotu 3 × 3

${\ Displaystyle Q = {\ rozpocząć {bmatrix} 1 i 0 i 0 \\ 0 & {\ Frac {\ sqrt {3}} {2}} i {\ Frac {1} {2}} \\ 0 & - {\ Frac {1}{2}}&{\frac {\sqrt {3}}{2}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&\cos 30^{\circ}&\sin 30^{\circ }\\0&-\sin 30^{\circ }&\cos 30^{\circ }\\\end{bmatrix}}}$

odpowiada obrotowi o −30° wokół osi x w trzech -wymiarowa przestrzeń.

• Macierz rotacji 3 × 3

odpowiada

$_$

−74° wokół osi (− 1 / 2 ,1,1) w przestrzeni trójwymiarowej.

• Macierz permutacji 3 ×

$podobnie$

macierzą parzystą permutację i obraca się o 120° wokół osi x = y = z .

• Macierz 3 × 3 bmatrix

$} 3 i -4 i 1 \\ 5 i 3 i -7 \\ - 9 i 2 i 6 \ koniec {bmatrix}} }$

ma wyznacznik +1, ale nie jest ortogonalny (jego transpozycja nie jest jego odwrotnością), więc nie jest macierzą rotacji.

• Macierz 4 3 0,7

${\ Displaystyle M = {\ rozpocząć {bmatrix} 0,5 i -0,1 i 0,7 \\ 0,1 i 0,5 i -0,5 \\ -0,7 i 0,5 i 0,5 \\ -0,5 &-0,7&-0,1\end{bmacierz}}}$

nie jest kwadratem, więc nie może być macierzą rotacji; jednak MTM ^{identyczności} . daje macierz 3 × 3 (kolumny są ortonormalne)

• Macierz 4 4 −

${\ Displaystyle Q = -I = {\ rozpocząć {bmatrix} -1&0&0&0 \\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end {bmatrix}}} opisuje rotację izokliniczną$

w czterech wymiarach , obrót o równe kąty (180°) przez dwie prostopadłe płaszczyzny.

• Macierz obrotu 5 × 5

${\ Displaystyle Q = {\ rozpocząć {bmatrix} 0&-1&0&0&0\\1&0&0&0&0\\0&0&-1&0&0\\0&0&0&-1&0\\0&0&0&0&1\end{bmatrix}}} obraca wektory w płaszczyźnie dwóch pierwszych osi współrzędnych o 90$

° , obraca wektory w płaszczyźnie dwóch kolejnych osi o 180°, a ostatnią oś współrzędnych pozostawia niewzruszoną.

Geometria

W geometrii euklidesowej obrót jest przykładem izometrii , transformacji, która przesuwa punkty bez zmiany odległości między nimi. Obroty różnią się od innych izometrii dwiema dodatkowymi właściwościami: pozostawiają (co najmniej) jeden stały punkt i pozostawiają niezmienioną „ ręczność ”. W przeciwieństwie do tego, translacja przesuwa każdy punkt, odbicie wymienia uporządkowanie lewo- i prawoskrętne, odbicie poślizgowe robi jedno i drugie, a niewłaściwa rotacja łączy zmianę ręczności z normalną rotacją.

Jeśli punkt stały zostanie przyjęty jako początek układu współrzędnych kartezjańskich , to każdemu punktowi można nadać współrzędne jako przesunięcie względem początku układu współrzędnych. W ten sposób zamiast samych punktów można pracować z przestrzenią wektorową przemieszczeń. Załóżmy teraz, że ( p ₁ , ..., p _n ) to współrzędne wektora p od początku O do punktu P . Wybierz podstawę ortonormalną dla naszych współrzędnych; następnie kwadrat odległości do P , przez Pitagoras , jest

${\ Displaystyle d ^ {2} (O, P) = \|\ mathbf {p} \|^ {2} = \ suma _{r=1}^{n}p_{r}^{2}}$

które można obliczyć za pomocą mnożenia macierzy

${\ Displaystyle \|\ mathbf {p} \|^ {2} = {\ rozpocząć {bmatrix} p_ {1} \ cdots p_ {n} \ koniec {bmatrix}} {\ rozpocząć {bmatrix} p_ {1} \ \\vdots \\p_{n}\end{bmatrix}}=\mathbf {p} ^{\mathsf {T}}\mathbf {p} .}$

Obrót geometryczny przekształca linie w linie i zachowuje proporcje odległości między punktami. Na podstawie tych właściwości można wykazać, że obrót jest liniową transformacją wektorów, a zatem można go zapisać w postaci macierzowej Q p . Fakt, że obrót zachowuje nie tylko proporcje, ale także same odległości, określa się jako

${\ Displaystyle \ mathbf {p} ^ {\ mathsf {T}} \ mathbf {p} = (Q \ mathbf {p}) ^ {\ mathsf {T }}(Q\mathbf {p}),}$

Lub

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ mathbf {p} ^ {\ mathsf {T}} ja \ mathbf {p} & {} = \ lewo (\ mathbf {p} ^ {\ mathsf {T}} Q ^ {\mathsf {T}}\right)(Q\mathbf {p} )\\&{}=\mathbf {p} ^{\mathsf {T}}\left(Q^{\mathsf {T}}Q \right)\mathbf {p} .\end{aligned}}}$

Ponieważ to równanie zachodzi dla wszystkich wektorów p , dochodzimy do wniosku, że każda macierz rotacji Q spełnia warunek ortogonalności ,

${\ Displaystyle Q ^ {\ mathsf {T}} Q = I.}$

Obroty zachowują ręczność, ponieważ nie mogą zmienić kolejności osi, co implikuje specjalny warunek matrycy ,

${\ Displaystyle \ det Q = + 1.}$

Co równie ważne, można wykazać, że każda macierz spełniająca te dwa warunki działa jak obrót.

Mnożenie

Odwrotnością macierzy rotacji jest jej transpozycja, która jest również macierzą rotacji:

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ lewo (Q ^ {\ mathsf {T}} \ prawej) ^ {\mathsf {T}}\left(Q^{\mathsf {T}}\right)&=QQ^{\mathsf {T}}=I\\\det Q^{\mathsf {T}}&= \det Q=+1.\end{wyrównane}}}$

Iloczyn dwóch macierzy rotacji jest macierzą rotacji:

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ lewo (Q_ {1} Q_ {2} \ prawo) ^ {\ mathsf {T}} \ lewo (Q_ {1} Q_ {2} \ prawo) & = Q_ {2 }^{\mathsf {T}}\left(Q_{1}^{\mathsf {T}}Q_{1}\right)Q_{2}=I\\\det \left(Q_{1}Q_{ 2}\right)&=\left(\det Q_{1}\right)\left(\det Q_{2}\right)=+1.\end{aligned}}}$

Dla n > 2 mnożenie macierzy rotacji n × n generalnie nie jest przemienne .

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} Q_ {1} & = {\ rozpocząć {bmatrix} 0 i -1 i 0 \\ 1 i 0 i 0 \\ 0 i 0 i 1 \ koniec {bmatrix}} i Q_ {2} i = {\ zacząć {bmatrix} 0 i 0 i 1 \ \0&1&0\\-1&0&0\end{bmatrix}}\\Q_{1}Q_{2}&={\begin{bmatrix}0&-1&0\\0&0&1\\-1&0&0\end{bmatrix}}&Q_{2} Q_{1}&={\begin{bmatrix}0&0&1\\1&0&0\\0&1&0\end{bmatrix}}.\end{wyrównane}}}$

Zauważając, że dowolna macierz tożsamości jest macierzą rotacji, a mnożenie macierzy jest asocjacyjne , możemy podsumować wszystkie te właściwości, mówiąc, że macierze rotacji n × n tworzą grupę , która dla n > 2 jest nieabelowa , zwaną specjalną ortogonalną grupa i oznaczona przez SO( n ) , SO( n , R ) , SO _n lub SO _n ( R ) , grupa macierzy rotacji n × n jest izomorficzna z grupą rotacji w przestrzeni n -wymiarowej . Oznacza to, że mnożenie macierzy rotacji odpowiada złożeniu rotacji zastosowanych w kolejności od lewej do prawej odpowiadających im macierzy.

Niejasności

Rotacje aliasów i alibi

Interpretacja macierzy rotacji może być przedmiotem wielu niejasności.

W większości przypadków efekt niejednoznaczności jest równoważny efektowi odwrócenia macierzy obrotu (dla tych macierzy ortogonalnych równoważnie transpozycja macierzy ).

Transformacja aliasu lub alibi (pasywna lub aktywna)

Współrzędne punktu P mogą ulec zmianie w wyniku obrotu układu współrzędnych CS ( alibi ) lub obrotu punktu P ( alibi ). W tym drugim przypadku obrót P powoduje również obrót wektora v reprezentującego P . Innymi słowy, albo P i v są stałe, podczas gdy CS obraca się (alias), albo CS jest stałe, podczas gdy P i v obrócić (alibi). Dowolny obrót można prawidłowo opisać w obie strony, ponieważ wektory i układy współrzędnych faktycznie obracają się względem siebie, wokół tej samej osi, ale w przeciwnych kierunkach. W całym artykule wybraliśmy podejście alibi do opisu rotacji. Na przykład

${\ Displaystyle R (\ theta) = {\ rozpocząć {bmatrix} \ cos \ theta & - \ sin \ theta \\\ sin \ theta & \ cos \ theta \\\ koniec {bmatrix}}} reprezentuje obrót w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek$

zegara wektor v o kąt θ lub obrót CS o ten sam kąt, ale w przeciwnym kierunku (tj. zgodnie z ruchem wskazówek zegara). Transformacje alibi i alias są również znane odpowiednio jako transformacje aktywne i pasywne .

Przed mnożeniem lub po mnożeniu

Ten sam punkt P może być reprezentowany przez wektor kolumnowy v lub a wektor wiersza w . Macierze rotacji mogą albo wstępnie mnożyć wektory kolumnowe ( R v ), albo mnożyć wektory wierszowe ( w R ). Jednak R v powoduje obrót w kierunku przeciwnym do w R . W całym artykule obroty tworzone na wektorach kolumnowych są opisywane za pomocą wstępnego mnożenia. . te same współrzędne końcowe punktu P ), równoważny wektor wierszowy musi zostać pomnożony przez transpozycję R (tj. w R ^T ).

Współrzędne prawoskrętne lub lewoskrętne

Macierz i wektor można przedstawić w odniesieniu do układu współrzędnych prawoskrętnych lub lewoskrętnych. W całym artykule przyjęliśmy orientację praworęczną, chyba że określono inaczej.

Wektory lub formy

Przestrzeń wektorowa ma podwójną przestrzeń form liniowych , a macierz może oddziaływać albo na wektory, albo na formy.

Rozkłady

Niezależne samoloty

Rozważ macierz rotacji 3 × 3

${\ Displaystyle Q = {\ rozpocząć {bmatrix} 0,36 i 0,48 i -0,80 \\ -0,80 i 0,60 i 0,00 \\ 0,48 i 0,64 i 0,60 \ koniec {bmatrix}}.}$

Jeśli Q działa w pewnym kierunku, v , wyłącznie jako skalowanie o współczynnik λ , to mamy

${\ Displaystyle Q \ mathbf {v} = \ lambda \ mathbf {v}}$

aby

${\ Displaystyle \ mathbf {0} = (\ lambda IQ) \ mathbf {v}.}$

Zatem λ jest pierwiastkiem wielomianu charakterystycznego dla Q ,

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} 0& {} = \ det (\ lambda IQ) \\& {} = \ lambda ^ {3} - {\ tfrac {39} {25}} \ lambda ^ {2} + {\tfrac {39}{25}}\lambda -1\\&{}=(\lambda -1)\left(\lambda ^{2}-{\tfrac {14}{25}}\lambda +1 \right).\end{wyrównane}}}$

Na uwagę zasługują dwie cechy. Po pierwsze, jeden z pierwiastków (lub wartości własnych ) wynosi 1, co mówi nam, że macierz nie ma wpływu na pewien kierunek. W przypadku obrotów w trzech wymiarach jest to oś obrotu (pojęcie, które nie ma znaczenia w żadnym innym wymiarze). Po drugie, pozostałe dwa pierwiastki to para złożonych koniugatów, których iloczyn wynosi 1 (człon stały kwadratu), a suma wynosi 2 cos θ (zanegowany składnik liniowy). Ta faktoryzacja jest interesująca dla 3 × 3 macierze rotacji, ponieważ to samo dzieje się z nimi wszystkimi. (W szczególnych przypadkach, dla obrotu zerowego, „koniugaty zespolone” to oba 1, a dla obrotu o 180 ° oba to −1.) Ponadto podobny rozkład na czynniki obowiązuje dla dowolnej macierzy rotacji n × n . Jeśli wymiar n jest nieparzysty, wartość własna „zawieszona” będzie równa 1; i dla dowolnego wymiaru reszta wielomianów rozkłada się na wyrażenia kwadratowe, takie jak ten tutaj (z zaznaczonymi dwoma przypadkami specjalnymi). Mamy gwarancję, że wielomian charakterystyczny będzie miał stopień n , a zatem n wartości własne. A ponieważ macierz rotacji dojeżdża wraz ze swoją transpozycją, jest to macierz normalna , więc może być diagonalizowana. Wnioskujemy, że każda macierz rotacji, wyrażona w odpowiednim układzie współrzędnych, dzieli się na niezależne obroty dwuwymiarowych podprzestrzeni, co najwyżej n / 2 z nich.

Suma wpisów na głównej przekątnej macierzy nazywana jest śladem ; nie zmienia się, jeśli zmienimy orientację układu współrzędnych i zawsze jest równy sumie wartości własnych. Ma to wygodną implikację dla macierzy rotacji 2 × 2 i 3 × 3 , że ślad ujawnia kąt obrotu θ w przestrzeni dwuwymiarowej (lub podprzestrzeni). Dla 2 × 2 ślad wynosi 2 cos θ , a dla macierzy 3 × 3 jest to 1 + 2 cos θ . W przypadku trójwymiarowym podprzestrzeń składa się ze wszystkich wektorów prostopadłych do osi obrotu (niezmienny kierunek o wartości własnej 1). W ten sposób możemy wyodrębnić z dowolnej 3 × 3 oś obrotu i kąt, a to całkowicie określa obrót.

Kąty sekwencyjne

Ograniczenia macierzy rotacji 2 × 2 implikują, że musi ona mieć postać

$\ Displaystyle Q = {\ rozpocząć {bmatrix} a&- b \\ b & a \ koniec {bmatrix}}}$

gdzie za 2 + b ^{2 =} 1 . Dlatego możemy ustawić a = cos θ i b = sin θ dla pewnego kąta θ . Aby rozwiązać problem θ, nie wystarczy spojrzeć na samo a lub b ; musimy rozważyć oba razem, aby umieścić kąt we właściwej ćwiartce , używając dwuargumentowej funkcji arcus tangens.

Rozważmy teraz pierwszą kolumnę macierzy rotacji 3 × 3 ,

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {bmatrix} a \\ b \\ c \ koniec {bmatrix}}.}$

Chociaż a ² + b ² prawdopodobnie nie będzie równe 1, ale pewna wartość r ² < 1 , możemy użyć niewielkiej zmiany poprzedniego obliczenia, aby znaleźć tak zwaną rotację Givensa , która przekształca kolumnę w

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {bmatrix} r \\ 0 \\ c \ koniec {bmatrix}},}$

zerowanie b . Działa to na podprzestrzeń rozpiętą przez x i y . Następnie możemy powtórzyć proces dla xz do zera c . Działając na pełną macierz, te dwa obroty tworzą schematyczną formę

${\ Displaystyle Q_ {xz} Q_ {xy} Q = {\ początek {bmatrix} 1&0&0 \\0&\ast &\ast \\0&\ast &\ast \end{bmatrix}}.}$

Przenosząc uwagę na drugą kolumnę, obrót Givensa podprzestrzeni yz może teraz wyzerować wartość z . To sprowadza pełną macierz do formy

${\ Displaystyle Q_ {yz} Q_ {xz} Q_ {xy} Q = {\ rozpocząć {bmatrix} 1 i 0 i 0 \\ 0 i 1 i 0 \\ 0 i 0 i 1 \ koniec { bmacierz}},}$

która jest macierzą tożsamości. W ten sposób rozłożyliśmy Q jako

${\ Displaystyle Q = Q_ {xy} ^ {-1} Q_ {xz} ^ {-1} Q_ {yz} ^ {-1}.}$

Macierz obrotu n × n będzie miała ( 2 n - 1 ) + ( n - ) + ⋯ + 2 + 1 lub

${\ Displaystyle \ suma _ {k = 1} ^ {n-1} k = {\ Frac {1} {2}} n (n- 1)}$

wpisy poniżej przekątnej do zera. Możemy je wyzerować, rozszerzając ten sam pomysł przechodzenia przez kolumny z serią obrotów w ustalonej sekwencji płaszczyzn. Wnioskujemy, że zbiór n × n 1/2 . macierzy n ( n − 1) rotacji, z których każda ma n ² wpisów, może być sparametryzowany przez kątów

xzx w	xzy w	xyx w	xyz w
yxy w	yxz w	yzy w	yzx w
zyz w	zyx w	zxz w	zxy w
xzx b	yzx b	xyx b	zyks b
yxy b	zxy b	yzy b	xzy b
zyz b	xyz b	zxz b	yxz b

W trzech wymiarach przekłada się to w postaci macierzy na obserwację dokonaną przez Eulera , dlatego matematycy nazywają uporządkowany ciąg trzech kątów kątami Eulera . Sytuacja jest jednak nieco bardziej skomplikowana, niż wskazywaliśmy do tej pory. Mimo niewielkich wymiarów mamy właściwie sporą dowolność w kolejności stosowanych par osi; mamy też pewną dowolność w doborze kątów. W ten sposób znajdujemy wiele różnych konwencji stosowanych przy parametryzacji trójwymiarowych obrotów w fizyce, medycynie, chemii lub innych dyscyplinach. Gdy uwzględnimy opcję osi świata lub osi ciała, możliwe są 24 różne sekwencje. I podczas gdy niektóre dyscypliny nazywają dowolną sekwencję kątami Eulera, inne nadają inne nazwy (Cardano, Tait-Bryan, roll-pitch-yaw ) do różnych sekwencji.

Jednym z powodów dużej liczby opcji jest to, że, jak wspomniano wcześniej, obroty w trzech wymiarach (i wyższych) nie są komutowane. Jeśli odwrócimy daną sekwencję obrotów, otrzymamy inny wynik. Oznacza to również, że nie możemy utworzyć dwóch obrotów, dodając odpowiadające im kąty. Zatem kąty Eulera nie są wektorami , pomimo podobieństwa wyglądu jako trójki liczb.

Wymiary zagnieżdżone

Macierz rotacji 3 × 3, taka jak

${\ Displaystyle Q_ {3 \ razy 3} = {\ rozpocząć {bmatrix} \ sałata \ teta & - \ sin \ teta & { \color {CadetBlue}0}\\\sin \theta &\cos \theta &{\color {CadetBlue}0}\\{\color {CadetBlue}0}&{\color {CadetBlue}0}&{\color {CadetBlue}1}\end{bmatrix}}}$

sugeruje macierz rotacji 2 × 2 ,

${\ Displaystyle Q_ {2 \ razy 2} = {\ rozpocząć {bmatrix} \ sałata \ teta i - \ grzech \ teta \\ \sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}},}$

jest osadzony w lewym górnym rogu:

${\ Displaystyle Q_ {3 \ razy 3} = \ lewo [{\ rozpocząć {macierz} Q_ {2 \ razy 2} i \ mathbf {0} \\\ mathbf {0} ^ {\ mathsf {T}} i 1 \ koniec {macierz}}\prawo].}$

To nie jest złudzenie; nie tylko jedna, ale wiele kopii n -wymiarowych obrotów znajduje się w ( n + 1) -wymiarowych obrotach, jako podgrupy . Każde osadzenie pozostawia jeden stały kierunek, którym w przypadku 3 × 3 jest oś obrotu. Na przykład mamy

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} Q _ {\ mathbf {x}} (\ teta) & = {\ rozpocząć {bmatrix} {\ kolor {CadetBlue} 1} i {\ kolor {CadetBlue} 0} i {\ kolor {CadetBlue}0}\\{\color {CadetBlue}0}&\cos \theta &-\sin \theta \\{\color {CadetBlue}0}&\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix }},\\[8px]Q_{\mathbf {y}}(\theta )&={\begin{bmatrix}\cos \theta &{\color {CadetBlue}0}&\sin \theta \\{\ color {CadetBlue}0}&{\color {CadetBlue}1}&{\color {CadetBlue}0}\\-\sin \theta &{\color {CadetBlue}0}&\cos \theta \end{bmatrix} },\\[8px]Q_{\mathbf {z}}(\theta )&={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta &{\color {CadetBlue}0}\\\sin \theta &\cos \theta &{\color {CadetBlue}0}\\{\color {CadetBlue}0}&{\color {CadetBlue}0}&{\color {CadetBlue}1}\end{bmatrix}} ,\koniec {wyrównane}}}$

ustalenie odpowiednio osi x , osi y i osi z . Oś obrotu nie musi być osią współrzędnych; jeśli u = ( x , y , z ) jest wektorem jednostkowym w żądanym kierunku, to wtedy

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} Q _ {\ mathbf {u}} (\ teta) & = {\ rozpocząć {bmatrix} 0 & -z & y \\ z&0&-x \\-y&x&0 \ koniec {bmatrix}} \ sin \ theta +\left(I-\mathbf {u} \mathbf {u} ^{\mathsf {T}}\right)\cos \theta +\mathbf {u} \mathbf {u} ^{\mathsf {T} }\\[8px]&={\begin{bmatrix}\left(1-x^{2}\right)c_{\theta }+x^{2}&-zs_{\theta}-xyc_{\theta }+xy&ys_{\theta }-xzc_{\theta }+xz\\zs_{\theta }-xyc_{\theta }+xy&\left(1-y^{2}\right)c_{\theta }+y ^{2}&-xs_{\theta }-yzc_{\theta }+yz\\-ys_{\theta }-xzc_{\theta }+xz&xs_{\theta }-yzc_{\theta }+yz&\left( 1-z^{2}\right)c_{\theta }+z^{2}\end{bmatrix}}\\[8px]&={\begin{bmatrix}x^{2}(1-c_{ \theta})+c_{\theta}&xy(1-c_{\theta})-zs_{\theta}&xz(1-c_{\theta})+ys_{\theta}\\xy(1-c_{ \theta })+zs_{\theta }&y^{2}(1-c_{\theta })+c_{\theta }&yz(1-c_{\theta })-xs_{\theta }\\xz( 1-c_{\theta})-ys_{\theta}&yz(1-c_{\theta})+xs_{\theta}&z^{2}(1-c_{\theta})+c_{\theta} \end{bmacierz}},\end{wyrównane}}}$

gdzie c _θ = cos θ , s _θ = sin θ , jest obrotem o kąt θ pozostawiając oś u stałą.

Kierunek w ( n + 1) -wymiarowej przestrzeni będzie jednostkowym wektorem wielkości, który możemy uznać za punkt na uogólnionej kuli S ⁿ . Sn ^Zatem naturalne jest opisanie grupy rotacyjnej SO( n + 1) jako łączącej SO( n ) i . Odpowiednim formalizmem jest wiązka włókien ,

${\ Displaystyle SO (n) \ hookrightarrow SO (n + 1) \ do S ^ {n},}$

gdzie dla każdego kierunku w przestrzeni bazowej S ⁿ włókno nad nim w całej przestrzeni SO( n + 1) jest kopią przestrzeni światłowodowej SO( n ) , czyli obrotów, które utrzymują ten kierunek na stałym poziomie.

W ten sposób możemy zbudować macierz rotacji n × n , zaczynając od macierzy 2 × 2 , kierując jej ustaloną oś na S ² (zwykłą kulę w przestrzeni trójwymiarowej), kierując wynikowy obrót na S ³ i tak dalej aż do Sn ^{- 1} . Punkt na n ^można wybrać za pomocą n liczb, więc znowu mamy 1/2 dowolne n n ( n − 1) liczb opisujących S × n macierz rotacji.

W rzeczywistości możemy postrzegać sekwencyjny rozkład kątów, omówiony wcześniej, jako odwrócenie tego procesu. Złożenie n - 1 obrotów Givensa sprowadza pierwszą kolumnę (i wiersz) do (1, 0, ..., 0) , tak że pozostała część macierzy jest macierzą rotacji o jeden wymiar mniejszym, osadzoną tak, aby pozostawić (1, 0, ..., 0) stałe.

Parametry pochylenia za pomocą wzoru Cayleya

Główne artykuły: transformata Cayleya i macierz skośno-symetryczna

Kiedy macierz obrotu n × n Q nie zawiera wartości własnej −1, a zatem żaden z płaskich obrotów, które zawiera, nie jest obrotem o 180 °, to Q + I jest macierzą odwracalną . Większość macierzy rotacji pasuje do tego opisu i dla nich można wykazać, że ( Q - I ) ( Q + I ) ^-1 jest macierzą skośno-symetryczną , A . Zatem A ^T = − A ; a ponieważ przekątna jest koniecznie równa zeru 1/2 , . n ( n - 1) a ponieważ górny trójkąt wyznacza dolny, A zawiera liczb niezależnych

Dogodnie I - A jest odwracalne, gdy A jest skośno-symetryczne; w ten sposób możemy odzyskać oryginalną macierz za pomocą transformaty Cayleya ,

${\ Displaystyle A \ mapsto (I + A) (IA) ^ {- 1},}$

który odwzorowuje dowolną skośno-symetryczną macierz A na macierz rotacji. W rzeczywistości, poza wymienionymi wyjątkami, możemy w ten sposób stworzyć dowolną macierz rotacji. Chociaż w praktycznych zastosowaniach nie możemy pozwolić sobie na ignorowanie obrotu o 180°, transformata Cayleya jest nadal potencjalnie użytecznym narzędziem, umożliwiającym parametryzację większości macierzy obrotu bez funkcji trygonometrycznych.

Na przykład w trzech wymiarach mamy ( Cayley 1846 )

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} i {\ rozpocząć {bmatrix} 0 & -z & y \\ z&0& -x \\ -y&x&0 \ koniec {bmatrix}} \ mapsto \\ [3pt] \ quad {\ frac {1} 1+x^{2}+y^{2}+z^{2}}}&{\begin{bmacierz}1+x^{2}-y^{2}-z^{2}&2xy-2z&2y +2xz\\2xy+2z&1-x^{2}+y^{2}-z^{2}&2yz-2x\\2xz-2y&2x+2yz&1-x^{2}-y^{2}+z^ {2}\end{bmacierz}}.\end{wyrównane}}}$

Jeśli skondensujemy wpisy skośne do wektora, ( x , y , z ) , to wykonamy obrót o 90° wokół osi x dla (1, 0, 0), wokół osi y dla (0, 1, 0) i wokół osi z dla (0, 0, 1). Obroty o 180° są po prostu poza zasięgiem; ponieważ w granicy, gdy x → ∞ , ( x , 0, 0) zbliża się do obrotu o 180 ° wokół osi x i podobnie dla innych kierunków.

Rozkład na nożyce

W przypadku 2D macierz rotacji można rozłożyć na trzy macierze ścinania ( Paeth 1986 ):

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} R (\ teta) i {} = {\ begin{bmatrix}1&-\tan {\frac {\theta}{2}}\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0\\\sin \theta &1\end{bmatrix}}{\ rozpocząć{bmatrix}1&-\tan {\frac {\theta}{2}}\\0&1\end{bmatrix}}\end{wyrównane}}}$

Jest to przydatne na przykład w grafice komputerowej, ponieważ ścinanie można zaimplementować przy mniejszej liczbie instrukcji mnożenia niż bezpośrednie obracanie mapy bitowej. Na nowoczesnych komputerach może to nie mieć znaczenia, ale może być istotne w przypadku bardzo starych lub niskobudżetowych mikroprocesorów.

Obrót można również zapisać jako dwa ścinanie i skalowanie ( Daubechies & Sweldens 1998 ):

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} R (\ teta) i {} = {\begin{bmatrix}1&0\\\tan \theta &1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&-\sin \theta \cos \theta \\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix }\cos \theta &0\\0&{\frac {1}{\cos \theta }}\end{bmatrix}}\end{wyrównane}}}$

Teoria grup

Poniżej przedstawiono kilka podstawowych faktów na temat roli zbioru wszystkich macierzy rotacji o ustalonym wymiarze (tu głównie 3) w matematyce, a szczególnie w fizyce, gdzie symetria obrotowa jest wymogiem każdego prawdziwie fundamentalnego prawa (ze względu na założenie izotropii przestrzeni ) i gdzie ta sama symetria, jeśli występuje, jest właściwością upraszczającą wiele problemów o mniej fundamentalnym charakterze. Przykłady obfitują w mechanikę klasyczną i mechanikę kwantową . Znajomość części rozwiązań odnoszących się do tej symetrii ma zastosowanie (z zastrzeżeniami) do wszystkich takich problemów i można ją wyodrębnić z konkretnego problemu, zmniejszając w ten sposób jego złożoność. Doskonałym przykładem – w matematyce i fizyce – byłaby teoria harmonicznych sferycznych . Ich rolą w teorii grup grup rotacyjnych jest bycie przestrzenią reprezentacji dla całego zestawu skończonych wymiarów nieredukowalnych reprezentacji grupy rotacyjnej SO (3). Aby zapoznać się z tym tematem, zobacz Grupa rotacji SO(3) § Harmoniczne sferyczne .

Bardziej szczegółowe odniesienia znajdują się w głównych artykułach wymienionych w każdej podsekcji.

Grupa kłamstwa

Główne artykuły: Specjalna grupa ortogonalna i Grupa rotacyjna SO (3)

Macierze rotacji n × n dla każdego n tworzą grupę , specjalną grupę ortogonalną , SO( n ) . Ta struktura algebraiczna jest połączona ze strukturą topologiczną odziedziczoną po ${\ Displaystyle \ nazwa operatora {GL} _ {n} (\ mathbb {R})}$ w taki sposób, że operacje mnożenia i odwrotność są funkcjami analitycznymi wpisów macierzy. Zatem SO( n ) jest dla każdego n grupą Liego. Jest kompaktowy i połączony , ale nie po prostu podłączony . Jest to również grupa półprosta , w rzeczywistości jest to grupa prosta z wyjątkiem SO(4). Znaczenie tego jest takie, że wszystkie twierdzenia i wszystkie maszyny z teorii rozmaitości analitycznych (rozmaitości analityczne są w szczególności rozmaitościami gładkimi ) mają zastosowanie, a dobrze rozwinięta teoria reprezentacji zwartych półprostych grup jest gotowa do użycia.

Algebra kłamstw

Główny artykuł: Grupa rotacyjna SO(3) § Algebra Lie

Algebra Liego so ( n ) dla SO( n ) jest dana przez

${\ Displaystyle {\ mathfrak {tak}} (n) = {\ mathfrak {o}} (n )=\left\{X\in M_{n}(\mathbb {R} )\mid X=-X^{\mathsf {T}}\right\},}$

i jest przestrzenią macierzy skośno-symetrycznych o wymiarze n , patrz grupa klasyczna , gdzie o ( n ) jest algebrą Liego O ( n ) , grupy ortogonalnej . Dla porównania, najczęstszą podstawą dla tak (3) jest

${\ Displaystyle L _ {\ mathbf {x}} = {\ rozpocząć {bmatrix} 0 i 0 i 0 \\ 0 i 0 i -1 \\ 0 i 1 i 0 \ koniec {bmatrix}}, \ quad L _ {\ mathbf {y}} = {\ rozpocząć {bmatrix }0&0&1\\0&0&0\\-1&0&0\end{bmatrix}},\quad L_{\mathbf {z}}={\begin{bmatrix}0&-1&0\\1&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}}.}$

Mapa wykładnicza

Główne artykuły: Grupa rotacji SO (3) § Mapa wykładnicza i Matryca wykładnicza

Połączeniem algebry Liego z grupą Liego jest mapa wykładnicza , która jest zdefiniowana przy użyciu standardowej macierzy wykładniczej dla e ^A Dla dowolnej macierzy skośno-symetrycznej A exp( A ) jest zawsze macierzą rotacji.

Ważnym praktycznym przykładem jest przypadek 3 × 3 . W grupie rotacji SO(3) pokazano, że każdy A ∈ so (3) można utożsamić z wektorem Eulera ω = θ u , gdzie u = ( x , y , z ) jest jednostkowym wektorem wielkości.

$,$ identyfikacji w _ _ _ _ Zatem u pozostaje niezmienne przez exp( A ) i dlatego jest osią obrotu.

Zgodnie ze wzorem rotacji Rodriguesa na postaci macierzowej , otrzymuje się,

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ exp (A) & = \ exp {\ bigl (} \ theta (\ mathbf {u} \ cdot \ mathbf {L}) {\ bigr )}\\&=\exp \left({\begin{bmatrix}0&-z\theta &y\theta \\z\theta &0&-x\theta \\-y\theta &x\theta &0\end{bmatrix }}\right)\\&=I+\sin \theta \ \mathbf {u} \cdot \mathbf {L} +(1-\cos \theta )(\mathbf {u} \cdot \mathbf {L} ) ^{2},\end{wyrównane}}}$

Gdzie

${\ Displaystyle \ mathbf {u} \ cdot \ mathbf {L} = {\ rozpocząć {bmatrix} 0&-z&y \\z&0&-x\\-y&x&0\koniec {bmatrix}}.}$

Jest to macierz obrotu wokół osi u o kąt θ . Aby uzyskać szczegółowe informacje, zobacz mapę wykładniczą SO(3) .

Formuła Bakera-Campbella-Hausdorffa

Główne artykuły: wzór Bakera – Campbella – Hausdorffa i grupa rotacyjna SO (3) § Wzór Bakera – Campbella – Hausdorffa

Formuła BCH zapewnia jawne wyrażenie dla Z = log( e ^X e ^Y ) w kategoriach rozwinięcia szeregowego zagnieżdżonych komutatorów X i Y . Ta ogólna ekspansja rozwija się jako

${\ Displaystyle Z = C (X, Y) = X + Y + {\ tfrac {1} {2}} [X, Y] + {\ tfrac {1} {12}}} {\ bigl [} X, [X ,Y]{\bigr ]}-{\tfrac {1}{12}}{\bigl [}Y,[X,Y]{\bigr ]}+\cdots .}$

W przypadku 3 × 3 ogólna nieskończona ekspansja ma postać zwartą,

${\ Displaystyle Z = \ alfa X + \ beta Y + \ gamma [X, Y],}$

dla odpowiednich współczynników funkcji trygonometrycznych, wyszczególnionych we wzorze Bakera – Campbella – Hausdorffa na SO(3) .

Jako tożsamość grupowa powyższe dotyczy wszystkich wiernych reprezentacji , w tym dubletu (reprezentacji spinorowej), który jest prostszy. Ta sama wyraźna formuła wynika zatem bezpośrednio z macierzy Pauliego; zobacz 2 × 2 dla SU(2) . W ogólnym n × n można użyć Ref.

Grupa spinowa

Główne artykuły: Grupa wirowania i Grupa rotacji SO (3) § Połączenie między SO (3) i SU (2)

Grupa Liego macierzy rotacji n × n , SO( n ) , nie jest po prostu spójna , więc teoria Liego mówi nam, że jest to homomorficzny obraz uniwersalnej grupy pokrywającej . Często grupa pokrywająca, która w tym przypadku nazywana jest grupą spinową oznaczoną przez Spin( n ) , jest prostsza i bardziej naturalna w użyciu.

W przypadku płaskich obrotów, SO(2) jest topologicznie kołem , S ¹ . Jego uniwersalna grupa pokrywająca, Spin(2), jest izomorficzna z linią rzeczywistą , R , w ramach dodawania. Zawsze, gdy używane są kąty o dowolnej wielkości, korzysta się z wygody uniwersalnej osłony. Każda 2 × 2 jest tworzona przez policzalną nieskończoność kątów, oddzielonych całkowitymi wielokrotnościami 2 π . Odpowiednio podstawowa grupa SO (2) jest izomorficzna z liczbami całkowitymi Z .

W przypadku rotacji przestrzennych SO(3) jest topologicznie równoważne trójwymiarowej rzeczywistej przestrzeni rzutowej RP ³ . Jego uniwersalna grupa pokrywająca, Spin(3), jest izomorficzna z S3 ³ -sferą . Każda 3 × 3 jest tworzona przez dwa przeciwległe punkty na kuli. Odpowiednio, podstawowa grupa SO(3) jest Z2 _izomorficzna z dwuelementową grupą .

Możemy również opisać Spin (3) jako izomorficzny z czwartorzędami normy jednostkowej podczas mnożenia lub z pewnymi rzeczywistymi macierzami 4 × 4 lub ze złożonymi specjalnymi macierzami unitarnymi 2 × 2 , a mianowicie SU (2). Mapy pokrywające dla pierwszego i ostatniego przypadku są podane przez

${\ Displaystyle \ mathbb {H} \ supset \ {q \ in \ mathbb {H}: \ | q \ | = 1 \} \ ni w + \ mathbf {i} x + \ mathbf {j} y + \ mathbf {k} z\mapsto {\begin{bmatrix}1-2y^{2}-2z^{2}&2xy-2zw&2xz+2yw\\2xy+2zw&1-2x^{2}-2z^{2}&2yz-2xw\\2xz -2yw&2yz+2xw&1-2x^{2}-2y^{2}\end{bmatrix}}\in \mathrm {SO} (3),}$

I

${\ Displaystyle \ operatorname {SU} (2) \ ni {\ rozpocząć {bmatrix} \ alfa & \ beta \\ - {\ overline {\ beta}} i {\ overline {\ alfa}} \ koniec {bmatrix}} \mapsto {\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}\left(\alpha ^{2}-\beta ^{2}+{\overline {\alpha ^{2}}}-{\ overline {\beta ^{2}}}\right)&{\frac {i}{2}}\left(-\alpha ^{2}-\beta ^{2}+{\overline {\alpha ^{ 2}}}+{\overline {\beta ^{2}}}\right)&-\alpha \beta -{\overline {\alpha}}{\overline {\beta}}\\{\frac {i }{2}}\left(\alpha ^{2}-\beta ^{2}-{\overline {\alpha ^{2}}}+{\overline {\beta ^{2}}}\right) &{\frac {i}{2}}\left(\alpha ^{2}+\beta ^{2}+{\overline {\alpha ^{2}}}+{\overline {\beta ^{2 }}}\right)&-i\left(+\alpha \beta -{\overline {\alpha }}{\overline {\beta }}\right)\\\alpha {\overline {\beta }}+ {\overline {\alpha}}\beta &i\left(-\alpha {\overline {\beta}}+{\overline {\alpha}}\beta \right)&\alpha {\overline {\alpha}} -\beta {\overline {\beta}}\end{bmatrix}}\w \mathrm {SO} (3).}$

Aby uzyskać szczegółowe informacje na temat pokrycia SU (2) i pokrycia czwartorzędowego, zobacz grupę spinową SO (3) .

Wiele cech tych przypadków jest takich samych dla wyższych wymiarów. Wszystkie pokrycia są typu dwa do jednego, z SO( ) , n n > 2 , mającymi grupę podstawową Z2 _. Naturalne otoczenie dla tych grup mieści się w algebrze Clifforda . Jeden rodzaj działania obrotów jest wytwarzany przez rodzaj „kanapki”, oznaczanej przez qvq ^∗ . Co ważniejsze w zastosowaniach fizycznych, odpowiednia reprezentacja spinowa algebry Liego znajduje się wewnątrz algebry Clifforda. Można go potęgować w zwykły sposób, aby uzyskać a dwuwartościowa , znana również jako reprezentacja rzutowa grupy rotacji. Tak jest w przypadku SO(3) i SU(2), gdzie dwuwartościową reprezentację można postrzegać jako „odwrotność” mapy pokrywającej. Dzięki właściwościom pokrywania map odwrotność można wybrać jako przekrój lokalny, ale nie globalnie.

Nieskończenie małe obroty

Główny artykuł: Grupa rotacji SO (3) § Obroty nieskończenie małe

Macierze w algebrze Liego same w sobie nie są obrotami; macierze skośno-symetryczne są pochodnymi, proporcjonalnymi różnicami obrotów. Rzeczywista „rotacja różniczkowa” lub nieskończenie mała macierz rotacji ma postać

${\ Displaystyle I + A \, d \ teta,}$

gdzie dθ jest znikomo małe i A ∈ więc (n) , na przykład dla A = L _x ,

${\ Displaystyle dL_ {x} = {\ początek {bmatrix} 1 i 0 i 0 \\ 0 i 1 i - d \ teta \\ 0 i d \ teta i 1 \ koniec {bmatrix}}.}$

Zasady obliczeń są takie same, z wyjątkiem tego, że nieskończenie małe drugiego rzędu są rutynowo odrzucane. Przy tych regułach macierze te nie spełniają wszystkich tych samych właściwości, co zwykłe macierze o skończonej rotacji przy zwykłym traktowaniu nieskończenie małych. Okazuje się, że kolejność wykonywania nieskończenie małych obrotów jest nieistotna . Aby zobaczyć to na przykładzie, zapoznaj się z nieskończenie małymi obrotami SO(3) .

Konwersje

Zobacz też: Formalizmy rotacyjne w trzech wymiarach § Formuły konwersji między formalizmami

Widzieliśmy istnienie kilku dekompozycji, które mają zastosowanie w dowolnym wymiarze, a mianowicie niezależnych płaszczyznach, sekwencyjnych kątach i zagnieżdżonych wymiarach. We wszystkich tych przypadkach możemy albo rozłożyć macierz, albo ją skonstruować. Zwróciliśmy również szczególną uwagę na 3 × 3 , które wymagają dalszej uwagi w obu kierunkach ( Stuelpnagel 1964 ).

Kwaternion

Główny artykuł: Quaternions i rotacja przestrzenna

Biorąc pod uwagę jednostkę quaternion q = w + x i + y j + z k , równoważna wstępnie pomnożona (do użycia z wektorami kolumnowymi) macierz rotacji 3 × 3 to

${\ Displaystyle Q = {\ rozpocząć {bmatrix} 1-2y ^ {2} -2z ^ {2} i 2xy-2zw i 2xz + 2yw \\ 2xy + 2zw i 1-2x ^ {2} -2z ^ {2} i 2yz-2xw \ \2xz-2yw&2yz+2xw&1-2x^{2}-2y^{2}\end{bmacierz}}.}$

Teraz każdy składnik kwaternionu pojawia się pomnożony przez dwa w wyrazie stopnia drugiego, a jeśli wszystkie takie wyrazy są zerowe, pozostaje macierz tożsamości. Prowadzi to do wydajnej, solidnej konwersji z dowolnego kwaternionu - czy to jednostkowego, czy niejednostkowego - na macierz rotacji 3 × 3 . Dany:

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} n & = w \ razy w + x \ razy x + y \ razy y+z\times z\\s&={\begin{przypadków}0&{\text{if }}n=0\\{\frac {2}{n}}&{\text{inaczej}}\end{ przypadki}}\\\koniec {wyrównane}}}$

możemy obliczyć

${\ Displaystyle Q = {\ rozpocząć {bmatrix} 1-s (yy + zz) i s ( xy-wz)&s(xz+wy)\\s(xy+wz)&1-s(xx+zz)&s(yz-wx)\\s(xz-wy)&s(yz+wx)&1-s( xx+yy)\end{bmacierz}}}$

Uwolnieni od zapotrzebowania na kwaterniony jednostkowe, odkrywamy, że niezerowe kwaterniony działają jako jednorodne współrzędne dla macierzy rotacji 3 × 3 . Omówioną wcześniej transformatę Cayleya uzyskuje się przez skalowanie kwaternionu tak, aby jego składnik w wynosił 1. Dla obrotu o 180° wokół dowolnej osi w będzie równe zero, co wyjaśnia ograniczenie Cayleya.

Suma wpisów wzdłuż głównej przekątnej (śladu ) plus jeden równa się 4 − 4( x ² + y ² + z ² ) , czyli 4 w ² . Zatem sam ślad możemy zapisać jako 2 w ² + 2 w ² − 1 ; a z poprzedniej wersji macierzy widzimy, że same wpisy na przekątnej mają taką samą postać: 2 x ² + 2 w ² − 1 , 2 y ² + 2 w ² - 1 , i 2 z ² + 2 w ² - 1 . Możemy więc łatwo porównać wielkości wszystkich czterech składowych kwaternionów za pomocą przekątnej macierzy. W rzeczywistości możemy uzyskać wszystkie cztery wielkości za pomocą sum i pierwiastków kwadratowych oraz wybrać spójne znaki za pomocą skośno-symetrycznej części wpisów poza przekątną:

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} t & = \ nazwa operatora {tr} Q = Q_ {xx} + Q_ {yy} + Q_ {zz} \ quad ({\ tekst {ślad}} Q) \\ r & = {\sqrt {1+t}}\\w&={\tfrac {1}{2}}r\\x&=\operatorname {sgn} \left(Q_{zy}-Q_{yz}\right)\left |{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {1+Q_{xx}-Q_{yy}-Q_{zz}}}\right|\\y&=\operatorname {sgn} \left(Q_{ xz}-Q_{zx}\right)\left|{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {1-Q_{xx}+Q_{yy}-Q_{zz}}}\right|\\ z&=\nazwa operatora {sgn} \left(Q_{yx}-Q_{xy}\right)\left|{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {1-Q_{xx}-Q_{yy} +Q_{zz}}}\prawo|\end{wyrównane}}}$

Ewentualnie użyj pojedynczego pierwiastka kwadratowego i dzielenia

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} t & = \ nazwa operatora {tr} Q = Q_ {xx} + Q_ {yy} + Q_ {zz} \\ r & ={\sqrt {1+t}}\\s&={\tfrac {1}{2r}}\\w&={\tfrac {1}{2}}r\\x&=\left(Q_{zy} -Q_{yz}\right)s\\y&=\left(Q_{xz}-Q_{zx}\right)s\\z&=\left(Q_{yx}-Q_{xy}\right)s\ koniec {wyrównany}}}$

Jest to liczbowo stabilne, o ile ślad t nie jest ujemny; w przeciwnym razie ryzykujemy dzielenie przez (prawie) zero. W takim przypadku załóżmy, że Q _xx jest największą pozycją na przekątnej, więc x będzie miało największą wielkość (pozostałe przypadki są wyprowadzane przez permutację cykliczną); to następujące jest bezpieczne.

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} r & = {\ sqrt {1 + Q_ {xx} -Q_ {yy} -Q_ {zz}}} \\ s & = {\ tfrac {1 }{2r}}\\w&=\left(Q_{zy}-Q_{yz}\right)s\\x&={\tfrac {1}{2}}r\\y&=\left(Q_{xy }+Q_{yx}\right)s\\z&=\left(Q_{zx}+Q_{xz}\right)s\end{wyrównane}}}$

Jeśli macierz zawiera znaczny błąd, taki jak skumulowany błąd numeryczny, możemy skonstruować macierz symetryczną 4 × 4 ,

${\ Displaystyle K = {\ Frac {1} {3}} {\ rozpocząć {bmatrix} Q_ {xx} -Q_ {yy} -Q_ {zz} i Q_ {yx} + Q_ {xy} i Q_ {zx} + Q_ {xz}&Q_{zy}-Q_{yz}\\Q_{yx}+Q_{xy}&Q_{yy}-Q_{xx}-Q_{zz}&Q_{zy}+Q_{yz}&Q_{xz} -Q_{zx}\\Q_{zx}+Q_{xz}&Q_{zy}+Q_{yz}&Q_{zz}-Q_{xx}-Q_{yy}&Q_{yx}-Q_{xy}\\ Q_{zy}-Q_{yz}&Q_{xz}-Q_{zx}&Q_{yx}-Q_{xy}&Q_{xx}+Q_{yy}+Q_{zz}\end{bmacierz}},}$

i znajdź wektor własny , ( x , y , z , w ) jego największej wartości własnej. (Jeśli Q jest rzeczywiście macierzą rotacji, to wartość ta będzie wynosić 1.) Tak otrzymany kwaternion będzie odpowiadał macierzy rotacji najbliższej danej macierzy ( Bar-Itzhack 2000 ) (Uwaga: sformułowanie cytowanego artykułu jest post-mnożone, działa z wektorami wierszowymi).

Rozkład polarny

Jeśli macierz n × n M nie jest pojedyncza, jej kolumny są liniowo niezależnymi wektorami; w ten sposób proces Grama-Schmidta może dostosować je tak, aby były bazą ortonormalną. Wyrażone w kategoriach numerycznej algebry liniowej , przekształcamy M w macierz ortogonalną Q , używając dekompozycji QR . Jednak często preferujemy Q najbliższe M , czego ta metoda nie osiąga. W tym celu narzędziem, którego potrzebujemy, jest rozkład biegunowy ( Wentylator i Hoffman 1955 ; Highama 1989 ).

Aby zmierzyć bliskość, możemy użyć dowolnej niezmiennika normy macierzowej w przypadku przekształceń ortogonalnych. Wygodnym wyborem jest norma Frobeniusa , || Q - M || _F , kwadrat, który jest sumą kwadratów różnic elementów. Pisząc to w kategoriach śladu , Tr , naszym celem jest:

Znajdź Q minimalizujący Tr( ( Q - M ) ^T ( Q - M ) ) , z zastrzeżeniem Q ^T Q = ja .

funkcja celu jest zapisana w kategoriach macierzowych, jest po prostu wielomianem kwadratowym. Możemy go zminimalizować w zwykły sposób, znajdując miejsce, w którym jego pochodna wynosi zero. W przypadku 3 × 3 ograniczenie ortogonalności implikuje sześć równości skalarnych, które muszą spełniać wpisy Q. Aby włączyć ograniczenie(a), możemy zastosować standardową technikę, mnożniki Lagrange'a , złożone jako symetryczna macierz Y. Zatem nasza metoda to:

Zróżniczkuj Tr( ( Q - M ) ^T ( Q - M ) + ( Q ^T Q - I ) Y ) względem (wpisów) Q i przyrównaj do zera.

Rozważ przykład 2 × 2 . Uwzględniając ograniczenia, staramy się je minimalizować

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} i \ lewo (Q_ {xx} -M_ {xx} \ prawo) ^ {2} + \ lewo (Q_ {xy} -M_ {xy} \ prawo) ^ {2} + \left(Q_{yx}-M_{yx}\right)^{2}+\left(Q_{yy}-M_{yy}\right)^{2}\\&\quad {}+\left( Q_{xx}^{2}+Q_{yx}^{2}-1\prawo)Y_{xx}+\lewo(Q_{xy}^{2}+Q_{yy}^{2}-1\ prawo)Y_{yy}+2\lewo(Q_{xx}Q_{xy}+Q_{yx}Q_{yy}\prawo)Y_{xy}.\end{wyrównane}}}$

Biorąc po kolei pochodną po Q _xx , Q _xy , Q _yx , Q _yy składamy macierz.

$\ Displaystyle 2 {\ rozpocząć {bmatrix} Q_ {xx} -M_ {xx}+Q_{xx}Y_{xx}+Q_{xy}Y_{xy}&Q_{xy}-M_{xy}+Q_{xx}Y_{xy}+Q_{xy}Y_{yy}\\ Q_{yx}-M_{yx}+Q_{yx}Y_{xx}+Q_{yy}Y_{xy}&Q_{yy}-M_{yy}+Q_{yx}Y_{xy}+Q_{yy} Y_{yy}\end{bmacierz}}}$

Ogólnie otrzymujemy równanie

${\ Displaystyle 0 = 2 (QM) + 2QY}$

aby

${\ Displaystyle M = Q (I + Y) = QS,}$

gdzie Q jest prostopadła, a S jest symetryczna. Aby zapewnić minimum, Y (a więc S ) musi być dodatnio określona. Algebra liniowa nazywa QS rozkładem biegunowym M , gdzie S jest dodatnim pierwiastkiem kwadratowym z S ² = M ^T M .

${\ Displaystyle S ^ {2} = \ lewo (Q ^ {\ mathsf {T}} M \ prawej) ^{\mathsf {T}}\left(Q^{\mathsf {T}}M\right)=M^{\mathsf {T}}QQ^{\mathsf {T}}M=M^{\mathsf {T}}M}$

Gdy M nie jest liczbą pojedynczą , współczynniki Q i S rozkładu biegunowego są jednoznacznie określone. Jednak wyznacznik S jest dodatni, ponieważ S jest dodatnio określony, więc Q dziedziczy znak wyznacznika M . Oznacza to, że Q ma gwarancję, że jest tylko ortogonalna, a nie macierzą rotacji. Jest to nieuniknione; M z ujemnym wyznacznikiem nie ma jednoznacznie zdefiniowanej najbliższej macierzy rotacji.

Oś i kąt

Główny artykuł: Reprezentacja kąta osi

Aby skutecznie skonstruować macierz obrotu Q z kąta θ i jednostkowej osi u , możemy skorzystać z symetrii i skośno-symetrii w obrębie wpisów. Jeśli x , y i z są składnikami wektora jednostkowego reprezentującego oś, oraz

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} c & = \ cos \ teta \\ s & = \ sin \ teta \\ C & = 1-c \ koniec {wyrównane} }}$

Następnie

${\ Displaystyle Q (\ theta) = {\ rozpocząć {bmatrix} xxC + c & xyC-zs & xzC + ys \\ yxC + zs & yyC + c & yzC -xs \\ zxC-ys & zyC + xs & zzzC + c \ koniec {bmatrix} }}$

Wyznaczenie osi i kąta, podobnie jak wyznaczenie kwaternionu, jest możliwe tylko do znaku; to znaczy ( u , θ ) i (− u , − θ ) odpowiadają tej samej macierzy rotacji, podobnie jak q i − q . Dodatkowo ekstrakcja kąta osi stwarza dodatkowe trudności. Kąt można ograniczyć do zakresu od 0 ° do 180 °, ale kąty są formalnie niejednoznaczne o wielokrotności 360 °. Gdy kąt wynosi zero, oś jest niezdefiniowana. Gdy kąt wynosi 180°, macierz staje się symetryczna, co ma wpływ na wyodrębnienie osi. W pobliżu wielokrotności 180° należy zachować ostrożność, aby uniknąć problemów numerycznych: podczas wyodrębniania kąta a dwuargumentowy arcus tangens z atan2 (sin θ , cos θ ) równy θ pozwala uniknąć niewrażliwości arccos; a przy obliczaniu wielkości osi w celu wymuszenia wielkości jednostkowej podejście brutalnej siły może stracić dokładność z powodu niedomiaru ( Moler i Morrison 1983 ).

Częściowe podejście jest następujące:

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} x & = Q_ {zy} -Q_ {yz} \\ y & = Q_ {xz} -Q_ {zx} \\ z & = Q_ {yx} - Q_{xy}\\r&={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\\t&=Q_{xx}+Q_{yy}+Q_{zz}\ \\theta &=\operatorname {atan2} (r,t-1)\end{wyrównane}}}$

Składowe x , y i z osi zostałyby wtedy podzielone przez r . W pełni niezawodne podejście będzie wykorzystywać inny algorytm, gdy t , ślad macierzy Q , jest ujemny, jak w przypadku ekstrakcji kwaternionów. Kiedy r wynosi zero, ponieważ kąt jest równy zero, oś musi pochodzić z innego źródła niż macierz.

Kąty Eulera

Złożoność konwersji wzrasta wraz z kątami Eulera (użytymi tutaj w szerokim znaczeniu). Pierwsza trudność polega na ustaleniu, którą z dwudziestu czterech odmian układu osi kartezjańskich zastosujemy. Załóżmy, że te trzy kąty to θ ₁ , θ ₂ , θ ₃ ; fizyka i chemia mogą interpretować je jako

${\ Displaystyle Q (\ teta _ {1}, \ teta _ {2}, \theta _{3})=Q_{\mathbf {z}}(\theta_{1})Q_{\mathbf {y}}(\theta_{2})Q_{\mathbf {z}}(\ theta _{3}),}$

podczas gdy dynamika samolotu może być używana

${\ Displaystyle Q (\ theta _ {1}, \ theta _ {2}, \ theta _ {3}) = Q _ {\ mathbf {z}} (\ theta _ {3}) Q _ {\ mathbf {y} }(\theta_{2})Q_{\mathbf {x}}(\theta_{1}).}$

Jedno systematyczne podejście rozpoczyna się od wybrania najbardziej wysuniętej na prawo osi. Spośród wszystkich permutacji ( ; x , y , z ) tylko dwie umieszczają tę oś na pierwszym miejscu jedna to permutacja parzysta, a druga nieparzysta. Wybór parzystości ustanawia zatem środkową oś. Pozostawia to dwie możliwości dla skrajnej lewej osi, albo powielając pierwszą, albo nie. Te trzy wybory dają nam 3 × 2 × 2 = 12 wariantów; podwajamy to do 24, wybierając osie statyczne lub obrotowe.

To wystarczy, aby zbudować macierz z kątów, ale trójki różniące się na wiele sposobów mogą dać tę samą macierz obrotu. Załóżmy na przykład, że używamy zyz ; wtedy mamy następujące równoważne pary:

(90°,	45°,	−105°)	≡	(-270°,	−315°,	255°)	wielokrotności 360°
(72°,	0°,	0°)	≡	(40°,	0°,	32°)	pojedyncze wyrównanie
(45°,	60°,	−30°)	≡	(-135°,	−60°,	150°)	odwracanie bistabilne

Kąty dla dowolnej kolejności można znaleźć za pomocą zwięzłej wspólnej procedury ( Herter i Lott 1993 ; Shoemake 1994 ).

Problem pojedynczego wyrównania, matematyczny odpowiednik fizycznej blokady gimbala , pojawia się, gdy środkowy obrót wyrównuje osie pierwszego i ostatniego obrotu. Wpływa na każdą kolejność osi przy parzystych lub nieparzystych wielokrotnościach 90°. Te osobliwości nie są charakterystyczne dla macierzy rotacji jako takiej i występują tylko przy użyciu kątów Eulera.

Unika się osobliwości, rozważając macierz obrotu i manipulując nią jako ortonormalnymi wektorami rzędów (w aplikacjach 3D często nazywanych wektorem prawym, wektorem górnym i wektorem zewnętrznym) zamiast kątów. Osobliwości unika się również podczas pracy z czwartorzędami.

Formuła wektora do wektora

W niektórych przypadkach interesujące jest opisanie obrotu przez określenie, w jaki sposób wektor jest odwzorowywany na inny przez najkrótszą ścieżkę (najmniejszy kąt). W $tym$ całkowicie opisuje powiązaną macierz Ogólnie rzecz biorąc, biorąc pod uwagę macierz x , y ∈ ${\ Displaystyle \ mathbb {S}}$ ⁿ

${\ Displaystyle R: = ja + yx ^ {\ mathsf {T}} -xy ^{\mathsf {T}}+{\frac {1}{1+\langle x,y\rangle }}\left(yx^{\mathsf {T}}-xy^{\mathsf {T}}\ dobrze)^{2}}$

należy do SO( n + 1) i odwzorowuje x na y .

Jednolite macierze rotacji losowej

Czasami musimy wygenerować równomiernie rozłożoną macierz rotacji losowej. Wydaje się intuicyjnie jasne w dwóch wymiarach, że oznacza to, że kąt obrotu jest równomiernie rozłożony między 0 a 2 π . Ta intuicja jest poprawna, ale nie przenosi się do wyższych wymiarów. Na przykład, jeśli rozłożymy 3 × 3 w postaci kąta osi, kąt nie powinien być równomiernie rozłożony; prawdopodobieństwo, że (wielkość) kąta wynosi co najwyżej θ , powinno wynosić 1 / π ( θ - sin θ ) , dla 0 ≤ θ ≤ π .

Ponieważ SO( n ) jest spójną i lokalnie zwartą grupą Liego, mamy proste standardowe kryterium jednorodności, a mianowicie, że rozkład pozostaje niezmieniony, gdy składa się z dowolnej rotacji („translacja” grupy Liego). Ta definicja odpowiada tak zwanej mierze Haara . León, Massé i Rivest (2006) pokazują, jak wykorzystać transformatę Cayleya do generowania i testowania macierzy zgodnie z tym kryterium.

Możemy również wygenerować równomierny rozkład w dowolnym wymiarze za pomocą algorytmu podgrup Diaconisa i Shashahani (1987) . To rekurencyjnie wykorzystuje zagnieżdżoną strukturę grupy wymiarów SO( n ) w następujący sposób. Wygeneruj jednakowy kąt i skonstruuj 2 × 2 . Aby przejść od n do n + 1 , wygeneruj wektor v równomiernie rozłożony na n -sferze S ⁿ , umieść macierz n × n w następnym większym rozmiarze z ostatnią kolumną (0, ..., 0, 1) i obróć większą macierz tak, aby ostatnia kolumna stała się v .

Jak zwykle mamy specjalne alternatywy dla przypadku 3 × 3 . Każda z tych metod zaczyna się od trzech niezależnych losowych skalarów równomiernie rozłożonych w przedziale jednostkowym. Arvo (1992) korzysta z nieparzystego wymiaru, aby zmienić odbicie Householdera na obrót przez negację i używa tego do wycelowania w oś jednolitego płaskiego obrotu.

Inna metoda wykorzystuje kwaterniony jednostkowe. Mnożenie macierzy rotacji jest homomorficzne z mnożeniem kwaternionów, a mnożenie przez kwaterniony jednostkowe obraca sferę jednostkową. Ponieważ homomorfizm jest izometrią lokalną , od razu wnioskujemy, że aby uzyskać rozkład jednorodny na SO(3), możemy użyć rozkładu jednorodnego na S ³ . W praktyce: utwórz czteroelementowy wektor, w którym każdy element jest próbką rozkładu normalnego. Normalizuj jego długość, a otrzymasz jednolicie próbkowany kwaternion jednostki losowej, który reprezentuje jednolicie próbkowaną losową rotację. Zauważ, że powyższe odnosi się tylko do obrotów w wymiarze 3. Aby uzyskać ogólne pojęcie kwaternionów, należy zajrzeć do Rotors .

Można również użyć kątów Eulera, chociaż nie każdy kąt jest równomiernie rozłożony ( Murnaghan 1962 ; Miles 1965 ).

W przypadku formy oś-kąt, oś jest równomiernie rozłożona na sferze jednostkowej kierunków, S ² , podczas gdy kąt ma nierównomierny rozkład na [0, π ] , o którym pisaliśmy wcześniej ( Miles 1965 ).

Zobacz też

• Formuła Eulera-Rodriguesa
• Twierdzenie o rotacji Eulera
• Formuła rotacji Rodriguesa
• Płaszczyzna obrotu
• Reprezentacja kąta osi
• Grupa rotacyjna SO(3)
• Formalizmy rotacyjne w trzech wymiarach
• Operator obrotu (przestrzeń wektorowa)
• Macierz transformacji
• System odchylania i przechyłu
• Algorytm Kabscha
• izometria
• Sztywna transformacja
• Obroty w 4-wymiarowej przestrzeni euklidesowej
• Tożsamości trygonometryczne
• Wersor

Notatki

•   Arvo, James (1992), „Macierze szybkiej rotacji losowej”, w: David Kirk (red.), Graphics Gems III , San Diego: Academic Press Professional, s. 117–120 , Bibcode : 1992grge.book.....K , ISBN 978-0-12-409671-4
•   Baker, Andrew (2003), Grupy macierzowe: wprowadzenie do teorii grup kłamstw , Springer , ISBN 978-1-85233-470-3
•   Bar-Itzhack, Itzhack Y. (listopad – grudzień 2000), „Nowa metoda wyodrębniania kwaternionu z macierzy rotacji”, Journal of Guidance, Control and Dynamics , 23 (6): 1085–1087, Bibcode : 2000JGCD ... 23.1085B , doi : 10.2514/2.4654 , ISSN 0731-5090
•   Björck, Åke; Bowie, Clazett (czerwiec 1971), „Iteracyjny algorytm obliczania najlepszego oszacowania macierzy ortogonalnej”, SIAM Journal on Numerical Analysis , 8 (2): 358–364, Bibcode : 1971SJNA….8..358B , doi : 10.1137/0708036 , ISSN 0036-1429
•    Cayley, Arthur (1846), "Sur quelques propriétés des déterminants gauches" , Journal für die reine und angewandte Mathematik , 1846 (32): 119–123, doi : 10.1515/crll.1846.32.119 , ISSN 0075-4102 , S2CID 199546746 ; przedrukowany jako artykuł 52 w Cayley, Arthur (1889), zebrane dokumenty matematyczne Arthura Cayleya , tom. I (1841–1853), Cambridge University Press , s. 332–336
•    Diakonis, perski ; Shahshahani, Mehrdad (1987), „Algorytm podgrupy do generowania jednolitych zmiennych losowych”, Probability in the Engineering and Informational Sciences , 1 : 15–32, doi : 10.1017 / S0269964800000255 , ISSN 0269-9648 , S2CID 122752374
•    Engø, Kenth (czerwiec 2001), „O formule BCH w tak (3)” , BIT Numerical Mathematics , 41 (3): 629–632, doi : 10.1023 / A: 1021979515229 , ISSN 0006-3835 , S2CID 126053191
•    Wentylator, Ky; Hoffman, Alan J. (luty 1955), „Niektóre nierówności metryczne w przestrzeni macierzy”, Proceedings of the American Mathematical Society , 6 (1): 111–116, doi : 10.2307/2032662 , ISSN 0002-9939 , JSTOR 2032662
•    Fulton, William ; Harris, Joe (1991), Reprezentacja Theory: A First Course , Graduate Texts in Mathematics , tom. 129, Nowy Jork, Berlin, Heidelberg: Springer , ISBN 978-0-387-97495-8 , MR 1153249
•   Goldstein, Herbert ; Poole, Charles P.; Safko, John L. (2002), Mechanika klasyczna (wyd. Trzecie), Addison Wesley , ISBN 978-0-201-65702-9
•   Hall, Brian C. (2004), Grupy kłamstw, algebry kłamstwa i reprezentacje: elementarne wprowadzenie , Springer , ISBN 978-0-387-40122-5 ( GTM 222 )
•   Herter, Tomasz; Lott, Klaus (wrzesień – październik 1993), „Algorytmy rozkładu macierzy ortogonalnych 3-D na prymitywne obroty”, Computers & Graphics , 17 (5): 517–527, doi : 10.1016/0097-8493 (93) 90003-R , ISSN 0097-8493
•   Higham, Nicholas J. (1 października 1989), „Problemy i zastosowania bliskości macierzy”, w: Gover, Michael JC; Barnett, Stephen (red.), Applications of Matrix Theory , Oxford University Press , s. 1–27 , ISBN 978-0-19-853625-3
•   Leon, Carlos A.; Massé, Jean-Claude; Rivest, Louis-Paul (luty 2006), „Model statystyczny dla rotacji losowych” , Journal of Multivariate Analysis , 97 (2): 412–430, doi : 10.1016/j.jmva.2005.03.009 , ISSN 0047-259X
•    Miles, Roger E. (grudzień 1965), „O losowych rotacjach w R ³ ”, Biometrika , 52 (3/4): 636–639, doi : 10.2307/2333716 , ISSN 0006-3444 , JSTOR 2333716
•   Moler, Cleve ; Morrison, Donald (1983), „Zastąpienie pierwiastków kwadratowych sumami pitagorejskimi” , IBM Journal of Research and Development , 27 (6): 577–581, doi : 10.1147 / rd.276.0577 , ISSN 0018-8646
•     Murnaghan, Francis D. (1950), „Element objętości grupy rotacyjnej”, Proceedings of the National Academy of Sciences , 36 (11): 670–672, Bibcode : 1950PNAS…36..670M , doi : 10.1073/pnas.36.11.670 , ISSN 0027-8424 , PMC 1063502 , PMID 16589056
• Murnaghan, Francis D. (1962), The Unitary and Rotation Groups , Wykłady z matematyki stosowanej , Washington: Spartan Books
• Cayley, Arthur (1889), Zbiór prac matematycznych Arthura Cayleya , tom. I (1841–1853), Cambridge University Press , s. 332–336
• Paeth, Alan W. (1986), „Szybki algorytm ogólnej rotacji rastra” (PDF) , Proceedings, Graphics Interface '86 : 77–81
•   Daubechies, Ingrid ; Sweldens, Wim (1998), „Factoring wavelet przekształca się w kroki podnoszenia” (PDF) , Journal of Fourier Analysis and Applications , 4 (3): 247–269, doi : 10.1007 / BF02476026 , S2CID 195242970
•   Pique, Michael E. (1990), „Narzędzia rotacyjne”, w: Andrew S. Glassner (red.), Graphics Gems , San Diego: Academic Press Professional, s. 465–469, ISBN 978-0-12-286166-6
•   Prasa, William H.; Teukolsky, Saul A.; Vetterling, William T.; Flannery, Brian P. (2007), „Sekcja 21.5.2. Wybieranie losowej macierzy rotacji” , Przepisy numeryczne: The Art of Scientific Computing (wyd. 3), Nowy Jork: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521- 88068-8

• Shepperd, Stanley W. (maj – czerwiec 1978), „Quaternion z macierzy rotacji”, Journal of Guidance and Control , 1 (3): 223–224, doi : 10,2514 / 3,55767b
•   Shoemake, Ken (1994), „Konwersja kąta Eulera”, w: Paul Heckbert (red.), Graphics Gems IV , San Diego: Academic Press Professional, s. 222–229 , ISBN 978-0-12-336155-4
•    Stuelpnagel, John (październik 1964), „O parametryzacji trójwymiarowej grupy rotacji” , SIAM Review , 6 (4): 422–430, Bibcode : 1964 SIAMR… 6..422S , doi : 10.1137/1006093 , ISSN 0036-1445 , S2CID 13990266 (także NASA-CR-53568 .)
•   Varadarajan, Veeravalli S. (1984), Grupy kłamstwa, algebry kłamstwa i ich reprezentacja , Springer , ISBN 978-0-387-90969-1 ( GTM 102)
•   Wedderburn, Joseph HM (1934), Wykłady na matrycach , AMS , ISBN 978-0-8218-3204-2

Linki zewnętrzne

• „Rotacja” , Encyklopedia matematyki , EMS Press , 2001 [1994]
• Macierze rotacji w Mathworld
• Interaktywna demonstracja Miesiąca Świadomości Matematyki 2000 (wymagana Java )
• Macierze rotacji na MathPages
• (w języku włoskim) Parametryzacja SOn(R) za pomocą uogólnionych kątów Eulera
• Obrót wokół dowolnego punktu