Wymień macierz

W matematyce , zwłaszcza w algebrze liniowej , macierze wymiany (zwane także macierzą odwrotną , tożsamością wsteczną lub standardową permutacją inwolucyjną ) są szczególnymi przypadkami macierzy permutacji , w których 1 elementy znajdują się na antydiagonie , a wszystkie inne elementy są zerowe. Innymi słowy, są to wersje macierzy tożsamości z „odwróconymi wierszami” lub „odwróconymi kolumnami” .

${\ Displaystyle J_ {2} = {\ rozpocząć {pmatrix} 0 i 1 \\ 1 i 0 \ koniec {pmatrix}}; \ quad J_ {3} = {\ rozpocząć {pmatrix} 0 i 0 i 1 \\ 0 i 1 i 0 \\ 1 & 0 i 0 \ koniec {pmatrix} };\quad J_{n}={\begin{pmatrix}0&0&\cdots &0&0&1\\0&0&\cdots &0&1&0\\0&0&\cdots &1&0&0\\\vdots &\vdots &&\vdots &\vdots &\vdots \\0&1& \cdots &0&0&0\\1&0&\cdots &0&0&0\end{pmatrix}}.}$

Definicja

Jeśli J jest macierzą wymiany n × n , to elementy J są

$${\ Displaystyle J_ {i, j} = {\ rozpocząć {przypadki} 1, i + j = n + 1 \\ 0,&i+j\neq n+1\\\end{przypadki}}}$$

Nieruchomości

• Macierze wymiany są symetryczne ; to znaczy J _n ^T = J _n .
• Dla dowolnej liczby całkowitej k J _n ^k = I , jeśli k jest parzyste i J _n ^k = J _n , jeśli k jest nieparzyste . W szczególności Jn jest macierzą inwolucyjną _; to znaczy J _n ⁻¹ = J _n .
• Ślad J _n wynosi 1, jeśli n jest nieparzyste , a 0 , jeśli n jest parzyste. Innymi słowy, ślad po jot n _równa się ${\ displaystyle n {\ bmod {2}}}$ .
• Wyznacznik jot n równa się ${\ Displaystyle (-1) ^ {n (n-1) / 2$ ) _} . Jako funkcja n ma okres 4, dając 1, 1, −1, −1, gdy n jest przystające modulo 4 odpowiednio do 0, 1, 2 i 3.
• Charakterystyczny wielomian jot n to $}) = {\ duży (}(\lambda +1)(\lambda -1){\big )}^{n/2}}$ _n gdy n jest parzyste i ${\ Displaystyle (\ lambda -1) ^ {(n + 1)/2} (\ lambda + 1) ^ {(n-1)/2}}, gdy$ n jest nieparzyste.
• Macierz adjugatowa jot _n to $J_ {n}) = \ operatorname {sgn} (\ pi _ {n}) J_{n}}$ jot .

Relacje

• Macierz wymiany jest najprostszą macierzą antydiagonalną .
• , że każda macierz A spełniająca warunek AJ = JA jest centrosymetryczna .
• , że każda macierz A spełniająca warunek AJ = JA ^T jest persymetryczna .
• Macierze symetryczne A spełniające warunek AJ = JA nazywane są macierzami bisymetrycznymi . Macierze bisymetryczne są zarówno centrosymetryczne, jak i persymetryczne.

Zobacz też

• Macierze Pauliego (pierwsza macierz Pauliego to macierz wymiany 2 × 2)