Macierz dominująca po przekątnej

W matematyce mówi się, że macierz kwadratowa jest dominująca po przekątnej , jeśli dla każdego wiersza macierzy wielkość elementu ukośnego w rzędzie jest większa lub równa sumie wielkości wszystkich pozostałych (niediagonalnych) wpisy w tym wierszu. Dokładniej, macierz A jest diagonalnie dominująca, jeśli

$i} | a_ {ij} | \ quad {\ tekst {dla wszystkich}} i \,}$

gdzie ij oznacza wpis w i _- tym wierszu i j- tej kolumnie.

Ta definicja wykorzystuje słabą nierówność i dlatego jest czasami nazywana słabą dominacją diagonalną . Jeśli używana jest ścisła nierówność (>), nazywa się to ścisłą dominacją diagonalną . Nieokreślony termin dominacja diagonalna może oznaczać zarówno ścisłą, jak i słabą dominację diagonalną, w zależności od kontekstu.

Wariacje

Definicja w pierwszym akapicie sumuje wpisy w każdym wierszu. Dlatego czasami nazywa się to dominacją po przekątnej rzędu . Jeśli zmieni się definicję, aby zsumować każdą kolumnę, nazywa się to dominacją przekątnej kolumny .

Każda macierz ściśle diagonalnie dominująca jest trywialnie słabo łańcuchową macierzą dominującą diagonalnie . Słabo połączone macierze diagonalnie dominujące nie są osobliwe i obejmują rodzinę nieredukowalnie dominujących diagonalnie macierzy. Są to nieredukowalne macierze, które są słabo dominujące diagonalnie, ale ściśle diagonalnie dominujące w co najmniej jednym rzędzie.

Przykłady

Macierz

${\ Displaystyle A = {\ rozpocząć {bmatrix} 3 i - 2 i 1 \\ 1 i - 3 i 2 \\ - 1 i 2 i 4 \ koniec {bmatrix}}}$

jest diagonalnie dominujący, ponieważ

${\ Displaystyle | a_ {11} | \ geq | a_ {12} | + | a_ {13} |}$ od ${\ Displaystyle | + 3 | \ geq | -2 | + | + 1 |}$

${\ Displaystyle | a_ {22} | \ geq | a_ {21} | + | a_ {23} |}$ od ${\ Displaystyle |-3|\ geq |+1|+|+2|}$

${\ Displaystyle | a_ {33} | \ geq | a_ {31} | + | a_ {32} |}$ od ${\ Displaystyle | + 4 | \ geq | -1 | + | + 2 |}$ .

Macierz

${\ Displaystyle B = {\ rozpocząć {bmatrix} -2 i 2 i 1 \\ 1 i 3 i 2 \\ 1 i - 2 i 0 \ koniec {bmatrix}}}$

nie jest diagonalnie dominujący, ponieważ

${\ Displaystyle | b_ {11} | <| b_ {12} | + | b_ {13} |}$ od ${\ Displaystyle |-2|<|+2|+|+1|}$

${\ Displaystyle | b_ {22} | \ geq | b_ {21} | + | b_ {23} |}$ od ${\ Displaystyle | + 3 | \ geq | + 1 | + | + 2 |}$

${\ Displaystyle | b_ {33} | <| b_ {31} | + | b_ {32} |}$ od ${\ Displaystyle | + 0 | <| + 1 | + | -2 |}$ .

Oznacza to, że pierwszy i trzeci rząd nie spełniają warunku dominacji po przekątnej.

Macierz

${\ Displaystyle C = {\ rozpocząć {bmatrix} -4 i 2 i 1 \\ 1 i 6 i 2 \\ 1 i -2 i 5 \ koniec {bmatrix}}}$

jest ściśle diagonalnie dominująca, ponieważ

${\ Displaystyle | c_ {11}|>| c_ {12}|+ | c_ {13}|}$ od ${\ Displaystyle |-4|>|+2|+|+1|}$

${\ Displaystyle | c_ {22}|>| c_ {21}|+ | c_ {23}|}$ od ${\ Displaystyle |+6|>|+1|+|+2|}$

${\ Displaystyle | c_ {33}|>| c_ {31}|+ | c_ {32}|}$ od ${\ Displaystyle |+5|>|+1|+|-2|}$ .

Zastosowania i właściwości

Następujące wyniki można w prosty sposób udowodnić na podstawie twierdzenia Gershgorina o okręgu . Samo twierdzenie Gershgorina o okręgu ma bardzo krótki dowód.

Macierz ściśle diagonalnie dominująca (lub macierz nieredukowalnie dominująca diagonalnie) jest nieosobliwa .

Hermitowska macierz dominująca po $z$ prawdziwymi nieujemnymi wpisami po przekątnej jest dodatnia półokreślona . Wynika to z rzeczywistych wartości własnych i twierdzenia Gershgorina o okręgu. Jeśli wymóg symetrii zostanie wyeliminowany, taka macierz niekoniecznie jest dodatnio półokreślona. Na przykład rozważ

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {pmatrix} -2 i 2 i 1 \ koniec {pmatrix}} {\ rozpocząć {pmatrix} 1 i 1 i 0 \\ 1 i 1 i 0 \\1&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-2\\2\\1\end{pmatrix}}<0.}$

Jednak rzeczywiste części jego wartości własnych pozostają nieujemne na mocy twierdzenia Gershgorina o okręgu.

Podobnie hermitowska ściśle dominująca diagonalnie macierz z rzeczywistymi dodatnimi przekątnymi jest dodatnio określona .

Żadne (częściowe) obracanie nie jest konieczne dla ściśle kolumnowej macierzy dominującej po przekątnej podczas przeprowadzania eliminacji Gaussa (rozkład na czynniki LU).

Metody Jacobiego i Gaussa – Seidela rozwiązywania układu liniowego są zbieżne, jeśli macierz jest ściśle (lub nieredukowalnie) dominująca diagonalnie.

Wiele macierzy, które pojawiają się w metodach elementów skończonych, jest dominujących diagonalnie.

Niewielka wariacja na temat idei dominacji diagonalnej służy do udowodnienia, że ​​​​parowanie na diagramach bez pętli w algebrze Temperleya-Lieba nie jest zdegenerowane. W przypadku macierzy z wpisami wielomianowymi, jedną rozsądną definicją dominacji po przekątnej jest to $,$ że najwyższa potęga pojawiająca się w każdym rzędzie pojawia się tylko na przekątnej (Oceny takiej macierzy przy dużych wartościach $przekątnej$ w powyższym sensie).

Notatki

•   Golub, Gene H .; Van Loan, Charles F. (1996). Obliczenia macierzowe . ISBN 0-8018-5414-8 .
•   Róg, Roger A.; Johnson, Charles R. (1985). Analiza macierzy (wyd. Miękka). Wydawnictwo Uniwersytetu Cambridge. ISBN 0-521-38632-2 .

Linki zewnętrzne

• PlanetMath: definicja dominacji diagonalnej
• PlanetMath: Właściwości macierzy dominujących po przekątnej
• Świat matematyki