Macierz Frobeniusa

Aby zapoznać się z normą macierzową, zobacz normę macierzową Frobeniusa .

Macierz Frobeniusa jest szczególnym rodzajem macierzy kwadratowej z matematyki numerycznej . Macierz jest macierzą Frobeniusa, jeśli ma następujące trzy właściwości:

• wszystkie wpisy na głównej przekątnej są jedynkami
• wpisy poniżej głównej przekątnej co najwyżej jednej kolumny są dowolne
• co drugi wpis to zero

Poniższa macierz jest przykładem.

${\ Displaystyle A = {\ rozpocząć {pmatrix} 1 & 0 & 0 & \ cdots & 0 \\ 0 & 1 & 0 & \ cdots & 0 \\ 0 & a_ {32} & 1 & \cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&a_{n2}&0&\cdots &1\end{pmatrix}}}$

Macierze Frobeniusa są odwracalne . Odwrotność macierzy Frobeniusa jest ponownie macierzą Frobeniusa, równą oryginalnej macierzy ze zmienionymi znakami poza główną przekątną. Odwrotnością powyższego przykładu jest zatem:

$\ Displaystyle A ^ {-1} = {\ początek {pmatrix} 1 & 0 & 0 & \ cdots & 0 \\ 0 & 1 & 0 & \ cdots &0\\0&-a_{32}&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&-a_{n2}&0&\cdots &1\end{pmatrix}}}$

Macierze Frobeniusa zostały nazwane na cześć Ferdinanda Georga Frobeniusa .

Termin macierz Frobeniusa może być również używany dla alternatywnej postaci macierzy, która różni się od macierzy tożsamości tylko elementami pojedynczego wiersza poprzedzającego przekątną tego wiersza (w przeciwieństwie do powyższej definicji, w której macierz różni się od macierzy tożsamości w jednej kolumnie poniżej przekątnej). Poniższa macierz jest przykładem tej alternatywnej postaci, pokazując macierz 4 na 4 z trzecim rzędem różniącym się od macierzy tożsamości.

${\ Displaystyle A = {\ początek {pmatrix} 1 i 0 i 0 i 0 \\ 0 i 1 i 0 i 0 \\ a_ {31} i a_ {32} i 1 i 0 \\ 0 i 0 i 1 \ koniec {pmatrix}}}$

Alternatywną nazwą tej ostatniej postaci macierzy Frobeniusa jest macierz transformacji Gaussa , na cześć Carla Friedricha Gaussa . Są one używane w procesie eliminacji Gaussa do reprezentowania transformacji Gaussa.

Jeśli macierz jest mnożona od lewej (mnożona w lewo) przez macierz transformacji Gaussa, do danego wiersza macierzy dodawana jest liniowa kombinacja poprzednich wierszy (w powyższym przykładzie liniowa kombinacja wierszy 1 i 2 będzie dodać do wiersza 3). Mnożenie za pomocą macierzy odwrotnej odejmuje odpowiednią kombinację liniową z danego wiersza. Odpowiada to jednej z elementarnych operacji eliminacji Gaussa (poza operacją transpozycji wierszy i mnożenia wiersza przez wielokrotność skalarną).

Zobacz też

• Macierz elementarna , szczególny przypadek macierzy Frobeniusa z tylko jedną niezerową poza przekątną

Notatki

•     Gene H. Golub i Charles F. Van Loan (1996). Obliczenia macierzowe , wydanie trzecie, Johns Hopkins University Press. ISBN 0-8018-5413-X (oprawa twarda), ISBN 0-8018-5414-8 (oprawa miękka).