macierz Hessenberga

W algebrze liniowej macierz Hessenberga jest szczególnym rodzajem macierzy kwadratowej , która jest „prawie” trójkątna . Dokładniej, górna macierz Hessenberga ma zero wpisów poniżej pierwszej podprzekątnej , a dolna macierz Hessenberga ma zero wpisów powyżej pierwszej superprzekątnej . Noszą one imię Karla Hessenberga .

Definicje

Górna macierz Hessenberga

macierz kwadratowa $lub$ w górnej postaci Hessenberga $jest$ macierzą Hessenberga, jeśli za $= 0}$$Displaystyle a_ {i, j$ dla wszystkich ${\ Displaystyle i, j}$ z ${\ Displaystyle i> j + 1}$ .

Górna macierz Hessenberga nazywana jest niezredukowaną , jeśli wszystkie wpisy pod $i\in \{1,\ldots ,n-1\}$ jeśli dla wszystkich $i} \ neq$.

Dolna macierz Hessenberga

$, że$ macierz kwadratowa $dolnej$ w postaci Hessenberga $lub$ dolną macierzą Hessenberga , jeśli jej transpozycja górną macierzą Hessenberga lub równoważnie, ${\ Displaystyle a_ {i, j} = 0}$ dla wszystkich ${\ Displaystyle i, j}$ z ${\ Displaystyle j> i + 1}$ .

Dolna macierz Hessenberga nazywana jest $a_{i,i+1}\neq 0$ , $i\in \{1,\ldots ,n-1\}$ jeśli dla wszystkich .

Przykłady

Rozważ następujące macierze.

${\ Displaystyle A = {\ rozpocząć {bmatrix} 1 i 4 i 2 i 3 \\ 3 i 4 i 1 i 7 \\ 0 i 2 i 3 i 4 \\ 0 i 0 i 1 i 3 \\\ koniec {bmatrix}}}$

${\ Displaystyle B = {\ początek {bmatrix} 1&2&0&0\\5&2&3&0\\3&4&3&7\\5&6&1&1\\\koniec {bmatrix}}} do = [$

$C ={\begin{bmatrix}1&2&0&0\\5&2&0&0\\3&4&3&7\\5&6&1&1\\\end{bmatrix}}}$

Macierz $jest$ górną niezredukowaną macierzą Hessenberga, $jest$ macierzą Hessenberga i $.$ dolną macierzą Hessenberga, ale nie jest niezredukowana

Programowanie komputerowe

Wiele algorytmów algebry liniowej wymaga znacznie mniejszego wysiłku obliczeniowego , gdy są stosowane do macierzy trójkątnych , a to ulepszenie często przenosi się również na macierze Hessenberga. Jeśli ograniczenia problemu algebry liniowej nie pozwalają na wygodne sprowadzenie ogólnej macierzy do trójkątnej, redukcja do postaci Hessenberga jest często następną najlepszą rzeczą. W rzeczywistości redukcję dowolnej macierzy do postaci Hessenberga można osiągnąć w skończonej liczbie kroków (na przykład poprzez transformację Householdera przekształceń podobieństwa jednostkowego). Późniejszą redukcję macierzy Hessenberga do macierzy trójkątnej można osiągnąć za pomocą procedur iteracyjnych, takich jak faktoryzacja z przesuniętym QR . W algorytmach wartości własnych macierz Hessenberga można dalej zredukować do macierzy trójkątnej poprzez faktoryzację z przesunięciem QR w połączeniu z krokami deflacji. Redukowanie ogólnej macierzy do macierzy Hessenberga, a następnie dalsze redukowanie do macierzy trójkątnej, zamiast bezpośredniej redukcji ogólnej macierzy do macierzy trójkątnej, często oszczędza arytmetykę związaną z algorytmem QR dla problemów z wartością własną.

Redukcja do macierzy Hessenberga

Dowolną macierz można przekształcić w macierz Hessenberga przez transformację podobieństwa przy $użyciu$ Poniższa procedura takiego przekształcenia jest adaptacją A Second Course In Linear Algebra autorstwa Garcii i Rogera .

Niech $będzie dowolną$$macierzą$ lub złożoną , a następnie niech ( $} displaystyle (n-1) \ razy n}$$Displaystyle A$$skonstruowana$ przez usunięcie pierwszego wiersza w $Displaystyle$ niech $\ mathbf {a} _ {1} ^ { \główny }}$ być pierwszą kolumną ${\ Displaystyle A ^ {\ pierwsza}}$ . Skonstruuj $_$ gospodarza $1$ _

${\ Displaystyle w = {\ rozpocząć {przypadki}||\ mathbf {a} _ {1} ^ {\ pierwsza} ||_ {2} \ mathbf {e} _ {1} - \ mathbf {a} _ { 1}^{\prime }\;\;\;\;\;\;\;\;,\;\;\;a_{11}^{\prime }=0\\||\mathbf {a} _{1}^{\prime}||_{2}\mathbf {e} _{1}+{\frac {\overline {a_{11}^{\prime}}}{|a_{11}^ {\prime }|}}\mathbf {x} \;\;\;,\;\;\;a_{11}^{\prime }\neq 0\\\end{przypadki}}}$

Ta ${\ Displaystyle ||\ mathbf {a} _ {1} ^ {\ pierwsza} ||\ mathbf {e} _ {1}}$$gospodarza$ będzie i jako taka macierz blokowa ${\ displaystyle U_ {1}={\begin{bmatrix}1&\mathbf {0} \\\mathbf {0} &V_{1}\end{bmatrix}}}$ odwzoruje macierz na macierz ZA $\displaystyle A}$${\ displaystyle U_ {1} A}$ , który ma tylko zera poniżej drugiego wpisu w pierwszej kolumnie. Teraz skonstruuj ${\ Displaystyle (n-2) \ razy (n-2)}$ macierz gospodarza ${\ Displaystyle V_ {2}}$ w podobny sposób jak ${1}}$${\$$V_$ taki, że pierwszą kolumnę ${\ Displaystyle A ^ {\ pierwsza \ pierwsza}}$ do ${\ Displaystyle ||\ mathbf {a} _ {1} ^ {\ pierwsza \ pierwsza} ||\ mathbf {e} _ {1}}$ , gdzie ${\ Displaystyle A ^ {\ pierwsza \ pierwsza }}$$zbudowana$ podmacierz przez usunięcie pierwszego wiersza i pierwszej $następnie$ niech ${\ Displaystyle U_ {2} = {\ rozpocząć {bmatrix} 1 i 0 i 0 \\ 0 i 1 i 0 \\ 0 i 0 i V_ {2} \ koniec {bmatrix}}}, który odwzorowuje U 1 ZA {\$ Displaystyle $}$$poniżej$ macierzy pierwszego i drugiego wpisu podprzekątnej Teraz skonstruuj $U_ {3}}$ a następnie w podobny sposób, ale dla macierzy $Displaystyle$${\ Displaystyle A ^ {\ pierwsza \ pierwsza \ pierwsza}}$ skonstruowana przez usunięcie pierwszego wiersza i pierwszej kolumny ${\ Displaystyle A ^ {\ pierwsza \ pierwsza}}$ i postępować jak w poprzednich krokach . Kontynuuj w ten sposób w sumie ${\ displaystyle n-2}$ .

$są$ że pierwsze wiersze dowolnej $macierzy$ niezmienne przy mnożeniu przez $^ {*}}$ od prawej strony konstrukcja ${\ displaystyle U_ {k}}$ , a więc dowolną macierz można przekształcić w górną macierz Hessenberga przez transformację podobieństwa postaci ${\ Displaystyle U_ {(n-2)} (\ kropki (U_ {2} (U_ {1} AU_ {1} ^ {*}) U_ {2} ^ {*}) \ kropki) U_ {(n- 2)}^{*}=U_{(n-2)}\kropki U_{2}U_{1}A(U_{(n-2)}\kropki U_{2}U_{1})^{* }=UAU^{*}}$ .

Nieruchomości

Dla $\ in \ {1,2 \}}$$\ Displaystyle$ jest próżniowo prawdą , że każda macierz jest zarówno górnym Hessenbergiem jak i dolnym Hessenbergiem

Iloczyn macierzy Hessenberga z macierzą trójkątną to znowu Hessenberg. Dokładniej, $górny$$i$ górny $trójkątny$ , to i $są$

Macierz, która jest zarówno górnym, jak i dolnym Hessenbergiem, jest macierzą tridiagonalną , której ważnymi przykładami są symetryczne lub hermitowskie macierze Hessenberga. Macierz hermitowską można zredukować do trójdiagonalnych rzeczywistych macierzy symetrycznych.

operatora Hessenberga

Operator Hessenberga jest nieskończenie wymiarową macierzą Hessenberga. Zwykle występuje jako uogólnienie operatora Jacobiego na system wielomianów ortogonalnych dla przestrzeni funkcji holomorficznych całkowalnych do kwadratu w pewnej dziedzinie - to znaczy przestrzeni Bergmana . W tym przypadku operator Hessenberga jest operatorem przesunięcia w prawo , podanym przez ${\ displaystyle S}$

${\ Displaystyle [Sf] (z) = zf (z)}$ .

Wartości własne każdej głównej podmacierzy operatora Hessenberga są określone przez wielomian charakterystyczny dla tej podmacierzy. Te wielomiany nazywane są wielomianami Bergmana i zapewniają wielomianu ortogonalnego dla przestrzeni Bergmana.

Zobacz też

• odmiany Hessenberga

Notatki

•   Róg, Roger A.; Johnson, Charles R. (1985), Analiza macierzy , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-38632-6 .
•   Stoer, Józef; Bulirsch, Roland (2002), Wprowadzenie do analizy numerycznej (wyd. 3), Berlin, Nowy Jork: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-95452-3 .
•   Prasa, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007), „Sekcja 11.6.2. Redukcja do formy Hessenberga” , Przepisy numeryczne: The Art of Scientific Computing (wyd. 3), Nowy Jork: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88068-8

Linki zewnętrzne

• Macierz Hessenberga w MathWorld.
• Macierz Hessenberga w PlanetMath .
• Wysokowydajne algorytmy redukcji do postaci skondensowanej (Hessenberg, tridiagonal, bidiagonal).