Pusta matryca

W matematyce pusta macierz może odnosić się do jednej z kilku powiązanych klas macierzy : macierz rzadka; macierz z dużym blokiem zer; lub macierz z ukośnymi wpisami zerowymi.

Definicje

Rzadki

Pustą macierzą może być macierz z „kilkoma” niezerowymi wpisami: to znaczy rzadka macierz .

Blok zer

Pusta macierz może być macierzą kwadratową n × n z blokiem r × s zer, gdzie r + s > n .

Wszystkie wpisy po przekątnej zero

Pusta macierz może być macierzą kwadratową , której elementy diagonalne są równe zeru. Oznacza to, że macierz n × n A = ( a _ij ) jest pusta, jeśli a _ij = 0 zawsze, gdy i = j (tj. a _ii = 0 dla wszystkich i ). Najbardziej oczywistym przykładem jest rzeczywista macierz skośno-symetryczna . Inne przykłady to macierz sąsiedztwa skończonego prosty wykres i macierz odległości lub euklidesowa macierz odległości .

Innymi słowy, dowolna macierz kwadratowa, która przyjmuje formę

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {pmatrix} 0 i \ ast &&\ ast & \ ast \\\ ast & 0&&\ ast &\ ast \\&&\ ddots \\ \ast &\ast &&0&\ast \\\ast &\ast &&\ast &0\end{pmatrix}}}$

jest pustą macierzą, gdzie symbol $dowolny$ wpis.

Na przykład,

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {pmatrix} 0 i 2 i 6 i {\ Frac {1} {3}} i 4 \\ 2 i 0 i 4 i 8 i 0 \\ 9 i 4 i 0 i 2 i 933 \ \1&4&4&0&6\\7&9&23&8&0\end{pmacierz}}}$

jest pustą macierzą.

Nieruchomości

• Ślad pustej matrycy wynosi zero .
• Jeśli A reprezentuje mapę liniową $odniesieniu$ do ustalonej podstawy , to odwzorowuje każdy wektor bazowy e e ${\ Displaystyle L (\ langle e \ rangle) \ czapka \ langle e \ rangle = \ langle 0 \$ rangle } ${\ Displaystyle \ langle e \ rangle = \ {\ lambda e: \ lambda \ w F \}}$ .
• Twierdzenie Gershgorina o okręgu pokazuje , że moduły wartości własnych pustej macierzy są mniejsze lub równe sumie modułów niediagonalnych wpisów w rzędach.