Transformata Cayleya

W matematyce transformata Cayleya , nazwana na cześć Arthura Cayleya , jest dowolną grupą powiązanych rzeczy. Jak pierwotnie opisał Cayley (1846) , transformata Cayleya jest odwzorowaniem między macierzami skośno-symetrycznymi a specjalnymi macierzami ortogonalnymi . Transformacja jest homografią stosowaną w analizie rzeczywistej , analizie zespolonej i analizie kwaternionów . W teorii przestrzeni Hilberta transformata Cayleya jest odwzorowaniem między operatorami liniowymi ( Nikol'skii 2001 ).

Prawdziwa homografia

Transformata Cayleya jest automorfizmem rzeczywistej linii rzutowej , która permutuje kolejno elementy {1, 0, −1, ∞}. Na przykład odwzorowuje dodatnie liczby rzeczywiste na przedział [−1, 1]. Zatem transformata Cayleya jest używana do przystosowania wielomianów Legendre'a do użycia z funkcjami na dodatnich liczbach rzeczywistych z funkcjami wymiernymi Legendre'a .

Jako prawdziwa homografia , punkty są opisane współrzędnymi rzutowymi , a odwzorowanie jest

${\ Displaystyle [y, \ 1] = \ lewo [{\ Frac {x-1} {x + 1}}, \ 1 \ prawo] \ gruby [x-1, \ x + 1] = [x, \ 1] {\rozpocznij{pmacierz}1&1\\-1&1\koniec{pmacierz}}.}$

Homografia złożona

Transformata Cayleya z górnej zespolonej półpłaszczyzny na dysk jednostkowy

W sferze Riemanna transformata Cayleya to:

${\ Displaystyle f (z) = {\ Frac {zi} {z + i}}.}$

Ponieważ {∞, 1, –1 } jest odwzorowywane na {1, –i, i }, a transformacje Möbiusa permutują uogólnione okręgi na płaszczyźnie zespolonej , f odwzorowuje linię rzeczywistą na okrąg jednostkowy . Ponadto, ponieważ f jest ciągłe , a i wynosi 0 przez f , górna półpłaszczyzna jest odwzorowywana na dysk jednostkowy .

Jeśli chodzi o modele geometrii hiperbolicznej , ta transformata Cayleya wiąże model półpłaszczyzny Poincarégo z modelem dysku Poincarégo . W elektrotechnice transformata Cayleya została wykorzystana do odwzorowania półpłaszczyzny reaktancji na wykres Smitha używany do dopasowywania impedancji linii przesyłowych.

Homografia kwaternionów

W czterowymiarowej przestrzeni kwaternionów q = a + b i + c j + d k , wersory

${\ Displaystyle u (\ teta, r) ​​= \ cos \ teta + r \ sin \ teta}$ tworzą jednostkę 3-kula .

Ponieważ kwaterniony są nieprzemienne, elementy jego linii rzutowej mają jednorodne współrzędne zapisane U( a, b ), aby wskazać, że jednorodny czynnik mnoży się po lewej stronie. Transformacja kwaternionów jest

${\ Displaystyle f (u, q) = U [q, 1] {\ początek {pmatrix} 1 i 1 \\ - u i u \ koniec {pmatrix}} = U [qu, \ q + u] \ sim U [(q + u)^{-1}(qu),\ 1].}$

Opisane powyżej homografie rzeczywiste i złożone są przypadkami homografii kwaternionów, w których θ wynosi odpowiednio zero lub π/2. Najwyraźniej transformacja przyjmuje u → 0 → –1 i przyjmuje – u → ∞ → 1.

Ocena tej homografii przy q = 1 odwzorowuje wersor u na jego oś:

${\ Displaystyle f (u, 1) = (1 + u) ^ {-1} (1-u) = (1 + u) ^ {*} (1-u) / | 1 + u | ^ {2} .}$

Ale ${\ Displaystyle | 1 + u | ^ {2} = (1 + u) (1 + u ^ {*}) = 2 + 2 \ bo \ teta \ quad {\ tekst {i}} \ quad (1+ u^{*})(1-u)=-2r\sin \theta .}$

Zatem ${\ Displaystyle f (u, 1) = - r {\ Frac {\ sin \ teta} {1+ \ cos \ teta}} = - r \ tan {\ frac {\ teta} {2}}.}$

W tej postaci transformatę Cayleya opisano jako racjonalną parametryzację obrotu: Niech t = tan φ/2 w tożsamości liczby zespolonej

${\ Displaystyle e ^ {-i \ varphi} = {\ Frac {1-ti} {1 + ti}}}$

gdzie prawa strona jest transformatą t i, a lewa strona reprezentuje obrót płaszczyzny o ujemne φ radiany.

Odwrotność

Niech ${\ Displaystyle u ^ {*} = \ cos \ theta -r \ sin \ theta = u ^ {-1}.}$ Ponieważ

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {pmatrix} 1 i 1 \\ - u&u \ koniec {pmatrix}} \ {\ begin{pmatrix}1&-u^{*}\\1&u^{*}\end{pmatrix}}\ =\ {\begin{pmatrix}2&0\\0&2\end{pmatrix}}\ \sim \ {\begin {pmacierz}1&0\\0&1\koniec{pmacierz}}\ ,}$

gdzie równoważność jest w rzutowej grupie liniowej na kwaterniony, odwrotność f ( u , 1) to

${\ Displaystyle U [p, 1] {\ początek {pmatrix} 1 & - u ^ {*} \\ 1 i u ^ {*} \ koniec {pmatrix}} \ = \ U [p + 1, \ (1-p) u^{*}]\sim U[u(1-p)^{-1}(p+1),\ 1].}$

$.$ homografie są , odwzorowuje wektorów Ponieważ wersory reprezentują obroty w przestrzeni 3, homografia f ⁻¹ wytwarza obroty kuli w ℝ ³ .

Mapa matrycy

Wśród n × n macierzy kwadratowych nad liczbami rzeczywistymi , gdzie I jest macierzą identyczności, niech A będzie dowolną macierzą skośno-symetryczną (tak, że A ^T = − A ).

Wtedy I + A jest odwracalne i transformata Cayleya

${\ Displaystyle Q = (IA) (I + A) ^ {- 1} \, \!}$

tworzy macierz ortogonalną , Q (tak, że Q ^T Q = I ). Mnożenie macierzy w powyższej definicji Q jest przemienne, więc Q można alternatywnie zdefiniować jako ${\ Displaystyle Q = (I + A) ^ {- 1} (IA )}$ . W rzeczywistości Q musi mieć wyznacznik +1, więc jest specjalnym ortogonalnym.

I odwrotnie, niech Q będzie dowolną macierzą ortogonalną, która nie ma −1 jako wartości własnej ; Następnie

${\ Displaystyle A = (IQ) (I + Q) ^ {- 1} \, \!}$

jest macierzą skośno-symetryczną.

Zobacz też: inwolucja

Warunek na Q automatycznie wyklucza macierze z wyznacznikiem -1, ale także wyklucza pewne specjalne macierze ortogonalne.

Widoczna jest również nieco inna forma, wymagająca różnych mapowań w każdym kierunku,

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} Q& {} = (IA) ^ {- 1} (I + A) \\ A & {} = (QI) (Q + I) ^ {- 1} \ koniec {wyrównane} }.}$

Odwzorowania można również zapisać z odwróconą kolejnością czynników; jednak A zawsze dojeżdża do pracy z (μ I ± A ) ⁻¹ , więc zmiana kolejności nie wpływa na definicję.

Przykłady

W przypadku 2×2 mamy

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {bmatrix} 0 & \ tan {\ Frac {\ theta} {2}} \\ - \ tan {\ Frac {\ theta} {2}} & 0 \ koniec {bmatrix}} \ leftrightarrow {\ begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}}.}$

Macierz obrotu o 180 °, − I , jest wykluczona, chociaż jest to granica, ponieważ tan ^θ / ₂ dąży do nieskończoności.

W przypadku 3×3 mamy

${\ displaystyle {\begin{bmatrix}0&z&-y\\-z&0&x\\y&-x&0\end{bmatrix}}\leftrightarrow {\frac {1}{K}}{\begin{bmatrix}w^{2}+x ^{2}-y^{2}-z^{2}&2(xy-wz)&2(wy+xz)\\2(xy+wz)&w^{2}-x^{2}+y^ {2}-z^{2}&2(yz-wx)\\2(xz-wy)&2(wx+yz)&w^{2}-x^{2}-y^{2}+z^{ 2}\end{bmacierz}},}$

gdzie K = w ² + x ² + y ² + z ² i gdzie w = 1. Rozpoznajemy to jako macierz rotacji odpowiadającą kwaternionom

${\ Displaystyle w + \ mathbf {i} x + \ mathbf {j} y + \ mathbf {k} z \, \!}$

(za pomocą wzoru, który Cayley opublikował rok wcześniej), z wyjątkiem przeskalowania tak, że w = 1 zamiast zwykłego skalowania, tak że w ² + x ² + y ² + z ² = 1. Zatem wektor ( x , y , z ) to jednostkowa oś obrotu przeskalowana przez tan ^θ ⁄ ₂ . Ponownie wykluczone są obroty o 180 °, które w tym przypadku są Q , które są symetryczne (tak, że Q ^T = Q ).

Inne macierze

Mapowanie można rozszerzyć na złożone macierze, podstawiając „ jednostkowe ” za „ortogonalne” i „ skośno-hermitowskie ” za „skośno-symetryczne”, z tą różnicą, że transpozycja (· ^T ) jest zastępowana transpozycją sprzężoną (· ^H ) . Jest to zgodne z zastąpieniem standardowego rzeczywistego iloczynu wewnętrznego standardowym złożonym iloczynem wewnętrznym. W rzeczywistości można dalej rozszerzyć definicję o wybór sprzężenia innego niż transpozycja lub transpozycja sprzężona.

Formalnie definicja wymaga tylko pewnej odwracalności, więc można zastąpić Q dowolną macierz M , której wartości własne nie zawierają −1. Na przykład,

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {bmatrix} 0&-a&ab-c \\0&0&-b\\0&0&0 \ koniec {bmatrix}} \ leftrightarrow {\ rozpocząć {bmatrix} 1 & 2a i 2c \\ 0&1 i 2b \\ 0&0&1 \ koniec {bmatrix}}. }$

Zauważ, że A jest skośno-symetryczne (odpowiednio skośno-hermitowskie) wtedy i tylko wtedy, gdy Q jest ortogonalne (odpowiednio jednostkowe) bez wartości własnej -1.

Mapa operatora

Nieskończenie wymiarową wersją przestrzeni iloczynu wewnętrznego jest przestrzeń Hilberta i nie można już mówić o macierzach . Jednak macierze są jedynie reprezentacjami operatorów liniowych i można ich używać. Tak więc, uogólniając zarówno odwzorowanie macierzowe, jak i odwzorowanie płaszczyzny zespolonej, można zdefiniować transformatę Cayleya operatorów.

$\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} U & {} = (A- \ mathbf { i} I)(A+\mathbf {i} I)^{-1}\\A&{}=\mathbf {i} (I+U)(j.m.)^{-1}\end{wyrównane}}}$

Tutaj dziedziną U , dom U , jest ( A + i I ) dom A. Aby uzyskać więcej informacji, zobacz operator samosprzężony .

Zobacz też

• Transformacja dwuliniowa
• Rozszerzenia operatorów symetrycznych

•   Sterling K. Berberian (1974) Wykłady z analizy funkcjonalnej i teorii operatorów , Graduate Texts in Mathematics # 15, strony 278, 281, Springer-Verlag ISBN 978-0-387-90081-0
•   Cayley, Arthur (1846), Sur quelques propriétés des déterminants gauches , Journal für die reine und angewandte Mathematik , 32 : 119–123, doi : 10.1515/crll.1846.32.119 , ISSN 0075-4102 ; przedrukowany jako artykuł 52 (s. 332–336) w Cayley, Arthur (1889), Zbiór artykułów matematycznych Arthura Cayleya , tom. I (1841–1853), Cambridge University Press , s. 332–336
•   Lokenath Debnath i Piotr Mikusiński (1990) Wprowadzenie do przestrzeni Hilberta z aplikacjami , strona 213, Academic Press ISBN 0-12-208435-7

• Gilbert Helmberg (1969) Wprowadzenie do teorii spektralnej w przestrzeni Hilberta , strona 288, § 38: Transformacja Cayleya, Matematyka stosowana i mechanika nr 6, Holandia Północna
•   Henry Ricardo (2010) Nowoczesne wprowadzenie do algebry liniowej , strona 504, CRC Press ISBN 978-1-4398-0040-9 .

Linki zewnętrzne

• Parametryzacja macierzy ortogonalnych Cayleya w PlanetMath .

•   Nikol'skii, NK (2001), „Transformacja Cayleya” , Encyklopedia matematyki , Springer-Verlag , ISBN 978-1-4020-0609-8 ; przeł. z j. ros. Winogradow, IM , wyd. (1977), Matematicheskaya Entsiklopediya , Moskwa: Sovetskaya Entsiklopediya