Rzeczywista linia rzutowa

Rzeczywistą linię rzutową można modelować rzutowo rozciągniętą linią rzeczywistą , która składa się z prostej rzeczywistej wraz z punktem w nieskończoności ; tj. jednopunktowe zagęszczenie R .

W geometrii rzeczywista linia rzutowa jest linią rzutową nad liczbami rzeczywistymi . Jest to rozszerzenie zwykłej koncepcji linii , która została historycznie wprowadzona w celu rozwiązania problemu postawionego przez perspektywę wizualną : dwie równoległe linie nie przecinają się, ale wydają się przecinać „w nieskończoności”. Do rozwiązania tego problemu wprowadzono punkty w nieskończoności , w taki sposób, że w rzeczywistej płaszczyźnie rzutowej , dwie różne linie rzutowe spotykają się dokładnie w jednym punkcie. Zbiór tych punktów w nieskończoności, „horyzont” perspektywy wizualnej na płaszczyźnie, jest rzeczywistą linią rzutową. Jest to zbiór kierunków wychodzących od obserwatora znajdującego się w dowolnym punkcie, ze zidentyfikowanymi przeciwnymi kierunkami.

Przykładem rzeczywistej linii rzutowej jest rzutowo rozciągnięta linia rzeczywista , często nazywana linią rzutową.

Formalnie rzeczywista linia rzutowa P ( R ) jest zdefiniowana jako zbiór wszystkich jednowymiarowych liniowych podprzestrzeni dwuwymiarowej przestrzeni wektorowej nad liczbami rzeczywistymi. Automorfizmy rzeczywistej linii rzutowej nazywane są transformacjami rzutowymi , homografiami lub liniowymi transformacjami ułamkowymi . Tworzą one rzutową grupę liniową PGL(2, R ). Każdy element PGL(2, R ) może być zdefiniowany przez liczbę nieosobliwą Rzeczywista macierz 2×2, a dwie macierze definiują ten sam element PGL(2, R ), jeśli jedna jest iloczynem drugiej i niezerowej liczby rzeczywistej.

Topologicznie, rzeczywiste linie rzutowe są homeomorficzne z okręgami . Złożony odpowiednik rzeczywistej linii rzutowej jest złożoną linią rzutową ; to znaczy sfera Riemanna .

Definicja

Punkty rzeczywistej linii rzutowej są zwykle definiowane jako klasy równoważności relacji równoważności . Punktem wyjścia jest rzeczywista przestrzeń wektorowa o wymiarze 2, $V$ . Zdefiniuj na $V ∖ 0$ relację binarną $v ~ w$ , która ma być zachowana, gdy istnieje niezerowa liczba rzeczywista $t$ taka, że $v = t w$ . Definicja przestrzeni wektorowej implikuje niemal natychmiast, że jest to relacja równoważności. Klasy równoważności to linie wektorów, z których usunięto wektor zerowy. Rzeczywista prosta rzutowa $P (V)$ jest zbiorem wszystkich klas równoważności. Każda klasa równoważności jest traktowana jako pojedynczy punkt lub, innymi słowy, punkt jest definiowany jako klasa równoważności.

Jeśli ktoś wybierze podstawę $V$ , sprowadza się to (poprzez identyfikację wektora z jego wektorem współrzędnych ) do utożsamienia $V$ z iloczynem bezpośrednim $R \times R = R 2$ , a relacja równoważności przyjmuje postać $(x, y) ~ (w, z)$ jeśli istnieje niezerowa liczba rzeczywista $t$ taka, że $(x, y) = (tw, tz)$ . W tym przypadku linia rzutowa $P (R 2)$ jest korzystnie oznaczona $P 1 (R)$ lub ${\ Displaystyle \ mathbb {R} \ mathbb {P} ^ {1}}$ . Klasa równoważności pary $(x, y)$ jest tradycyjnie oznaczana jako $[x : y]$ , dwukropek w notacji przypomina, że jeśli $y \neq 0$ , stosunek $x : y$ jest takie samo dla wszystkich elementów klasy równoważności. Jeśli punkt $P$ jest klasą równoważności $[x : y] ,$ to mówi się , że $(x, y)$ jest parą współrzędnych rzutowych $P$ .

Ponieważ $P (V)$ jest definiowane przez relację równoważności, rzut kanoniczny z $V$ do $P (V)$ definiuje topologię ( topologię ilorazową ) i strukturę różniczkową na linii rzutowej. Jednak fakt, że klasy równoważności nie są skończone, powoduje pewne trudności w definiowaniu struktury różniczkowej. Rozwiązuje się je, uznając $V$ za euklidesową przestrzeń wektorową . Koło _ _ wektory jednostkowe to w przypadku $R 2$ zbiór wektorów, których współrzędne spełniają $x 2 + y 2 = 1$ . Okrąg ten przecina każdą klasę równoważności dokładnie w dwóch przeciwległych punktach. Dlatego linię rzutową można uznać za przestrzeń ilorazową koła za pomocą relacji równoważności takiej, że $v ~ w$ wtedy i tylko wtedy, gdy $v = w$ lub $v = - w$ .

Wykresy

Linia rzutowa jest rozmaitością . Można to zobaczyć w powyższej konstrukcji poprzez relację równoważności, ale łatwiej jest to zrozumieć, dostarczając atlas składający się z dwóch wykresów

Wykres nr 1: ${\ Displaystyle y \ neq 0, \ quad [x: y] \ mapsto {\ Frac {x} {y}}}$
Wykres nr 2: ${\ Displaystyle x \ neq 0, \ quad [x: y] \ mapsto {\ Frac {y} {x}}}$

Relacja równoważności przewiduje, że wszyscy przedstawiciele klasy równoważności są wysyłani przez wykres do tej samej liczby rzeczywistej.

Każde z $x$ lub $y$ może wynosić zero, ale nie oba, więc oba wykresy są potrzebne do pokrycia linii projekcyjnej. Mapa przejść między tymi dwoma wykresami to multiplikatywna odwrotność . Ponieważ jest to funkcja różniczkowalna , a nawet funkcja analityczna (poza zerem), rzeczywista linia rzutowa jest zarówno rozmaitością różniczkowalną , jak i rozmaitością analityczną .

Odwrotną funkcją wykresu nr 1 jest mapa

{\ displaystyle x \ mapsto [x: 1].}

Definiuje osadzenie prostej rzeczywistej w prostej rzutowej, której dopełnieniem obrazu jest punkt $[1:0]$ . Para składająca się z tego zanurzenia i prostej rzutowej nazywana jest rzutowo rozciągniętą linią rzeczywistą . Utożsamiając linię rzeczywistą z jej obrazem przez to osadzenie, widać, że linię rzutową można uznać za sumę prostej rzeczywistej i pojedynczego punktu [1: 0] , $zwanego$ punktem w nieskończoności rzutowo rozciągniętej linii rzeczywistej, oraz oznaczony $\infty$ . To osadzenie pozwala nam zidentyfikować punkt $[x : y]$ albo z liczbą rzeczywistą $.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px} x / y$ , jeśli $y \neq 0$ , albo z $\infty$ w drugim przypadku.

Tę samą konstrukcję można wykonać z innym wykresem. W tym przypadku punktem w nieskończoności jest $[0:1]$ . Pokazuje to, że pojęcie punktu w nieskończoności nie jest nieodłączne od rzeczywistej linii rzutowej, ale jest zależne od wyboru osadzenia linii rzeczywistej w linii rzutowej.

Struktura

Rzeczywista linia rzutowa to pełny zakres rzutowy , który znajduje się na rzeczywistej płaszczyźnie rzutowej i na zespolonej linii rzutowej. Jego struktura jest zatem dziedziczona z tych nadbudów. Podstawową wśród tych struktur jest relacja rzutowych koniugatów harmonicznych między punktami zakresu rzutowego.

Rzeczywista linia rzutowa ma porządek cykliczny , który rozszerza zwykły porządek liczb rzeczywistych.

Automorfizmy

Rzutowa grupa liniowa i jej działanie

Mnożenie macierzowo-wektorowe definiuje lewe działanie $GL 2 (R)$ na przestrzeni $R 2$ wektorów kolumnowych: jawnie,

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {pmatrix} a & b \\ c & d \ koniec {pmatrix}}} {\ rozpocząć {pmatrix} x \\ y \ koniec {pmatrix}} = {\ rozpocząć {pmatrix} ax + przez \\ cx + dy \end{pmacierz}}.}

Ponieważ każda macierz w $GL 2 (R)$ ustala wektor zerowy i odwzorowuje proporcjonalne wektory na wektory proporcjonalne, istnieje indukowane działanie $GL 2 (R)$ na $P 1 (R)$ : jawnie,

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {pmatrix} a & b \\ c & d \ koniec {pmatrix}} [x: y] = [ax + przez: cx + dy].}

$y$ notacja dla jednorodnych oznacza klasę równoważności macierzy kolumnowej $\ Displaystyle \ textstyle {\ rozpocząć {pmatrix$ ${\ Displaystyle [x \; y].}$ nie należy go mylić z macierzą wierszy }

Elementy $GL 2 (R)$ , które trywialnie działają na $P 1 (R)$ są niezerowymi skalarnymi wielokrotnościami macierzy tożsamości; tworzą one podgrupę oznaczoną $R \times$ . Rzutowa grupa liniowa jest zdefiniowana jako grupa ilorazowa $PGL 2 (R) = GL 2 (R)/ R \times$ . Powyższe powoduje indukowane wierne działanie $PGL 2 (R)$ na $P 1 (R)$ . Z tego powodu grupę $PGL 2 (R)$ można również nazwać grupą automorfizmów liniowych $P 1 (R)$ .

Liniowe przekształcenia ułamkowe

Używając identyfikacji $R \cup \infty \to P 1 (R)$ wysyłając $x$ do $[x :1]$ i $\infty$ do $[1:0]$ , otrzymuje się odpowiednie działanie $PGL 2 (R)$ na $R \cup \infty$ , które jest przez ułamek liniowy przekształcenia : wyraźnie, ponieważ

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {pmatrix} a & b \\ c & d \ koniec {pmatrix}} [x: 1] = [ax + b: cx + d] \ quad \ operatorname {i} \ quad {\ rozpocząć {pmatrix} a & b \\c&d\end{pmacierz}}[1:0]=[a:c],}

klasa ${\ Displaystyle {\ rozpocząć {pmatrix} a & b \\ c & d \ koniec {pmatrix}}}$ w $PGL 2 (R)$ działa jako ${\ Displaystyle x \ mapsto {\ frac {ax + b} {cx + d}}}$ i ${\ displaystyle \ infty \ mapsto {\ frac {a} {c}}}$ , przy założeniu, że każdy ułamek z mianownikiem 0 należy interpretować jako $\infty$ .

Nieruchomości

Biorąc pod uwagę dwie uporządkowane trójki różnych punktów w $P 1 (R)$ , istnieje unikalny element $PGL 2 (R)$ odwzorowujący pierwszą trójkę na drugą; to znaczy akcja jest ostro 3-przechodnia . Na przykład odwzorowanie liniowej transformacji ułamkowej $(0, 1, \infty)$ na $(-1, 0, 1)$ to transformata Cayleya ${\ Displaystyle x \ mapsto {\ Frac {x-1} {x+1}}}$ .
Stabilizator w $PGL 2 (R)$ punktu $\infty$ jest grupą afiniczną linii rzeczywistej, składającą się z przekształceń dla wszystkich za $\in R \times i$ b $∈ \ R.$ $Displaystyle x \ mapsto ax + b$ za _

Notatki

Juan Carlos Alvarez (2000) The Real Projective Line , treść kursu z New York University .
Santiago Cañez (2014) Uwagi na temat geometrii rzutowej z Northwestern University .