Rzutowo przedłużona linia rzeczywista

Projekcyjnie rozciągniętą linię rzeczywistą można zwizualizować jako linię liczb rzeczywistych owiniętą wokół okręgu ( za pomocą jakiejś formy rzutu stereograficznego ) z dodatkowym punktem w nieskończoności .

W analizie rzeczywistej rzutowo rozciągnięta linia rzeczywista (zwana także jednopunktową zagęszczeniem linii rzeczywistej ) jest przedłużeniem zbioru liczb rzeczywistych o punkt oznaczony $\infty$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ . Jest to zatem zbiór ze standardowymi operacjami arytmetycznymi rozszerzonymi tam, gdzie to możliwe, i czasami jest oznaczony przez $\ Displaystyle \ mathbb {R} \ puchar \ {\ infty \}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {*}}$ lub ${\ displaystyle {\ widehat {\ mathbb {R}}}.}$ Dodany punkt nazywany jest punktem w nieskończoności , ponieważ jest uważany za sąsiada obu końców linii rzeczywistej. Dokładniej, punkt w nieskończoności jest granicą każdego ciągu liczb rzeczywistych, których wartości bezwzględne rosną i są nieograniczone .

$0$ Rzutowo rozciągniętą prostą rzeczywistą można utożsamiać z rzeczywistą prostą rzutową, w której trzem punktom przypisano określone wartości , $1$ i $\infty$ . Rzutowo rozciągnięta oś liczb rzeczywistych różni się od afinicznie rozciągniętej osi liczb rzeczywistych , w której $+ \infty$ i $-\infty$ są różne.

Dzielenie przez zero

W przeciwieństwie do większości matematycznych modeli liczb, ta struktura umożliwia dzielenie przez zero :

{\ Displaystyle {\ Frac {a} {0}} = \ infty}

dla niezerowego a . W szczególności $1/0 = \infty$ i $1/\infty = 0$ , czyniąc funkcję odwrotności $1/ x$ funkcją całkowitą w tej strukturze. Struktura nie jest jednak polem i żadna z binarnych operacji arytmetycznych nie jest sumaryczna — na przykład $0\cdot\infty$ jest nieokreślone, mimo że odwrotność jest całkowita. Ma jednak użyteczną interpretację – na przykład w geometrii nachylenie linii pionowej wynosi $\infty$ .

Przedłużenia linii rzeczywistej

Rzutowo rozciągnięta linia rzeczywista rozszerza $konwencjonalnie$ liczb rzeczywistych w taki sam sposób, w jaki sfera Riemanna rozszerza pole liczb zespolonych , dodając pojedynczy punkt nazywany .

W przeciwieństwie do tego, afinicznie rozciągnięta oś liczb rzeczywistych (zwana także dwupunktową zagęszczeniem linii rzeczywistej) rozróżnia i ${\ displaystyle + \ infty}$ i ${\ displaystyle - \ infty}$ .

Zamówienie

kolejności nie można w znaczący sposób rozszerzyć na ${\ displaystyle {\ widehat {\ mathbb {R}}}}$ . Biorąc pod uwagę liczbę , nie ma przekonującego argumentu, aby zdefiniować albo ${\ Displaystyle a <\ infty$ $Displaystyle a$ $\ infty}$ lub za . ponieważ ${\ displaystyle \ infty}$ nie można porównać z żadnym innym elementem, nie ma sensu zachowywać tej relacji na ${\ displaystyle {\ widehat {\ mathbb {R}}}}$ . Jednak kolejność na $displaystyle {\ widehat {\ mathbb {R}}}}$ używana w definicjach w $\$ .

Geometria

Fundamentalne dla idei, że ∞ jest punktem nieróżniącym się od żadnego innego, jest sposób, w jaki rzeczywista linia rzutowa jest przestrzenią jednorodną , w rzeczywistości homeomorficzną z okręgiem. Na przykład ogólna grupa liniowa rzeczywistych odwracalnych macierzy 2 × 2 ma na sobie działanie przechodnie . Działanie grupowe można wyrazić za pomocą transformacji Möbiusa (zwane także liniowymi transformacjami ułamkowymi), przy założeniu, że gdy mianownik liniowej transformacji ułamkowej wynosi 0, obraz jest ∞.

Szczegółowa analiza działania pokazuje, że dla dowolnych trzech różnych punktów P , Q i R istnieje liniowa transformacja ułamkowa przyjmująca P do 0, Q do 1 i R do ∞, to znaczy grupa liniowych transformacji ułamkowych jest potrójnie przechodnia na rzeczywistej linii rzutowej. Nie można tego rozszerzyć na 4 krotki punktów, ponieważ stosunek krzyżowy jest niezmienny.

Linia rzutowania terminologii jest odpowiednia, ponieważ punkty odpowiadają 1 do 1 jednowymiarowym liniowym podprzestrzeniom R $\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$ .

Działania arytmetyczne

Motywacja do działań arytmetycznych

Operacje arytmetyczne na tej przestrzeni są rozszerzeniem tych samych operacji na liczbach rzeczywistych. Motywacją do nowych definicji są granice funkcji liczb rzeczywistych.

Zdefiniowane operacje arytmetyczne

Oprócz standardowych operacji na podzbiorze z $Displaystyle$ ${\ widehat {\ mathbb {R}}}}$ , zdefiniowane są następujące operacje dla $\ displaystyle a\in {\widehat {\mathbb {R}}}}$ , ze wskazanymi wyjątkami:

\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} a + \ infty = \ infty + a & = \ infty, & a \ neq \ infty \\ a- \ infty = \infty -a&=\infty ,&a\neq \infty \\a/\infty =a\cdot 0=0\cdot a&=0,&a\neq \infty \\\infty /a&=\infty ,&a\neq \infty \\a/0=a\cdot \infty =\infty \cdot a&=\infty ,&a\neq 0\\0/a&=0,&a\neq 0\end{wyrównane}}}

Operacje arytmetyczne, które pozostają niezdefiniowane

Poniższych wyrażeń nie można uzasadnić rozważaniem granic funkcji rzeczywistych, a żadna ich definicja nie pozwala na zachowanie niezmienionej formy twierdzenia o standardowych właściwościach algebraicznych dla wszystkich zdefiniowanych przypadków. W związku z tym pozostają nieokreślone:

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} i \ infty + \ infty \\&\ infty - \ infty \\&\ infty \ cdot 0 \\& 0 \ cdot \infty \\&\infty /\infty \\&0/0\end{wyrównane}}}

Funkcja wykładnicza nie może zostać rozszerzona na $Displaystyle$ $\ mathbb {R} ^ {*$ }

Właściwości algebraiczne

Następujące równości oznaczają: albo obie strony są nieokreślone, albo obie strony są zdefiniowane i równe. Jest to prawdziwe dla dowolnego ${\ Displaystyle a, b, c \ w {\ widehat {\ mathbb {R}}}.}$

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} (a ​​+ b) + c & = a + (b + c) \\ a + b & = b + a \\ (a \ cdot b) \ cdot c & = a \ cdot (b \ cdot c)\\a\cdot b&=b\cdot a\\a\cdot \infty &={\frac {a}{0}}\\\end{wyrównane}}}

Poniższe jest prawdziwe zawsze, gdy zdefiniowana jest prawa strona, dla dowolnego ${\ Displaystyle a, b, c \ w {\ widehat {\ mathbb {R}}}.}$

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} a \ cdot (b + c) & = a \ cdot b + a \ cdot c \\ a & = \ lewo ({\ Frac {a} {b}} \ prawo) \ cdot b&=\,\,&{\frac {(a\cdot b)}{b}}\\a&=(a+b)-b&=\,\,&(ab)+b\end{wyrównane}} }

Ogólnie rzecz biorąc, wszystkie prawa arytmetyki, które są ważne dla $są$ $ważne$ zawsze , gdy zdefiniowane są wszystkie występujące wyrażenia.

Przedziały i topologia

Pojęcie przedziału można rozszerzyć na ${\ displaystyle {\ widehat {\ mathbb {R}}}}$ . Ponieważ jednak nie jest to zbiór uporządkowany, przedział ma nieco inne znaczenie. Definicje przedziałów zamkniętych są następujące (zakłada się, że ${\ Displaystyle a, b \ in \ mathbb {R}, a <b}$ ): ^{[ potrzebne dodatkowe cytaty ]}

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ lewo [a, b \ prawo] & = \ lbrace x \ mid x \ in \ mathbb {R}, a \ równoważnik x \ równoważnik b \ rbrace \ \\left[a,\infty \right]&=\lbrace x\mid x\in \mathbb {R} ,a\leq x\rbrace \cup \lbrace \infty \rbrace \\\left[b,a\ po prawej]&=\lbrace x\mid x\in \mathbb {R} ,b\leq x\rbrace \cup \lbrace \infty \rbrace \cup \lbrace x\mid x\in \mathbb {R} ,x\ leq a\rbrace \\\left[\infty ,a\right]&=\lbrace \infty \rbrace \cup \lbrace x\mid x\in \mathbb {R} ,x\leq a\rbrace \\\left [a,a\right]&=\{a\}\\\left[\infty ,\infty \right]&=\lbrace \infty \rbrace \end{aligned}}}

Z wyjątkiem sytuacji, gdy punkty końcowe są równe, odpowiednie przedziały otwarte i półotwarte są definiowane przez usunięcie odpowiednich punktów końcowych. Ta ponowna definicja jest przydatna w arytmetyce przedziałów podczas dzielenia przez przedział zawierający 0.

$}}}$ $R}$ i pusty zbiór są również przedziałami, podobnie jak z wyłączeniem dowolnego pojedynczego punktu

Otwarte przedziały jako podstawa definiują topologię na ${\ displaystyle {\ widehat {\ mathbb {R}}}}$ . dla podstawy są ograniczone przedziały otwarte przedziały $)$ $) = \ {x \ środkowy x \ w \ mathbb {R}, b <x \} \ kubek \ {\ infty \} \ kubek \ {x \ mid x \ in \ mathbb {R}, x <a \}}$ dla wszystkich ${\ Displaystyle a, b \ in \ mathbb {R}}$ tak, że ${\ Displaystyle a <b.}$

Jak powiedziano, topologia jest homeomorficzna z okręgiem. Zatem jest metryzowalna , odpowiadając (dla danego homeomorfizmu) zwykłej metryce na tym okręgu (mierzonej w linii prostej lub wzdłuż okręgu). Nie ma metryki, która byłaby rozszerzeniem zwykłej metryki na ${\ Displaystyle \ mathbb {R}.}$

Arytmetyka przedziałów

Arytmetyka interwałowa rozciąga się na ${\ displaystyle {\ widehat {\ mathbb {R}}}}$ od $^ {\ displaystyle \ mathbb {R}}$ . Wynikiem operacji arytmetycznej na przedziałach jest zawsze przedział, z wyjątkiem sytuacji, gdy przedziały z operacją binarną zawierają niezgodne wartości prowadzące do niezdefiniowanego wyniku. W szczególności mamy dla każdego ${\ Displaystyle a, b \ in {\ widehat {\ mathbb {R}}}}$ :

{\ Displaystyle x \ w [a, b] \ Iff {\ Frac {1} {x}} \ w \ lewo [{\ Frac {1}{b}},{\frac {1}{a}}\right]\!,}

niezależnie od tego, czy któryś z przedziałów $obejmuje$ i ${\ Displaystyle \ infty.}$

Rachunek różniczkowy

Narzędzia rachunku różniczkowego mogą być używane do analizy funkcji ${\ displaystyle {\ widehat {\ mathbb {R}}}}$ . Definicje są motywowane topologią tej przestrzeni.

Okolice

Niech ${\ Displaystyle x \ w {\ widehat {\ mathbb {R}}}}$ i ${\ Displaystyle A \ subseteq {\ widehat {\ mathbb {R}}}}$ .

$A$ jest otoczeniem x , jeśli A zawiera przedział otwarty B zawierający $x$ .
$A$ jest prawostronnym sąsiedztwem $x$ , jeśli istnieje liczba rzeczywista $y$ taka, że ${\ Displaystyle y \ neq x}$ i $A$ zawiera przedział półotwarty ${\ Displaystyle [x, y )}$ .
$A$ $]}$ lewostronnym sąsiedztwem $x$ , jeśli istnieje liczba rzeczywista $}$ $taka$ , że i $A$ zawiera przedział półotwarty ${\ Displaystyle (y,$ .
$A$ jest przebitym sąsiedztwem (odp. Prawostronnym lub lewostronnym przebitym sąsiedztwem) $x$ , jeśli ${\ Displaystyle x \ nie \ w A}$ i ${\ Displaystyle A \ puchar \{x\}}$ to sąsiedztwo (odp. sąsiedztwo prawostronne lub lewostronne) $x$ .

Granice

Podstawowe definicje granic

Niech ${\ Displaystyle f: {\ widehat {\ mathbb {R}}} \ do {\ widehat {\ mathbb {R}}},}$ ${\ Displaystyle p \ w {\ widehat {\ mathbb {R}}},}$ i ${\ Displaystyle L \ w {\ widehat {\ mathbb {R}}}}$ .

Granicą f ( x ) gdy x zbliża się do p jest L , oznaczone

{\ Displaystyle \ lim _ {x \ do p} {f (x)} = L}

$f (x) \ w ZA }$ gdy dla każdego sąsiedztwa A z L , istnieje przebite sąsiedztwo B z p , takie, że implikuje $Displaystyle$ .

Jednostronną granicą f ( x ) gdy x zbliża się do p z prawej (lewej) strony jest L , oznaczony

{\ Displaystyle \ lim _ {x \ do p ^ {+}} {f (x)} = L \ qquad \left(\lim _{x\to p^{-}}{f(x)}=L\right),}

$x$ ${\ displaystyle f (x) \ w A.}$ każdego sąsiedztwa A z L , istnieje prawostronne (lewostronne) przebite sąsiedztwo B z p , takie, że

Można pokazać, że ${\ Displaystyle \ lim _ {x \ do p} {f (x)} = L}$ wtedy i tylko wtedy, gdy zarówno ${\ Displaystyle \ lim _ {x \ do p ^ {+}} {f (x)} = L}$ i ${\ Displaystyle \ lim _ {x \ do p ^{-}}{f(x)}=L}$ .

Porównanie z ograniczeniami w ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$

Definicje podane powyżej można porównać ze zwykłymi definicjami granic funkcji rzeczywistych. W poniższych stwierdzeniach pierwsza granica jest taka, jak zdefiniowano powyżej, a druga granica jest w zwykłym znaczeniu: ${\ displaystyle p, L \ in \ mathbb {R}}$

${\ Displaystyle \ lim _ {x \ do p} {f (x)} = L}$ jest równoważne z ${\ Displaystyle \ lim _ {x\do p}{f(x)}=L}$
${\ Displaystyle \ lim _ {x \ do \ infty ^ {+}} {f (x)} = L} jest$ odpowiednikiem ${\ Displaystyle \ lim _ {x \ do - \ infty} {f (x)} = L}$
${\ Displaystyle \ lim _ {x \ do \ infty ^ {-}} {f (x)} = L} jest$ równoważne ${\ Displaystyle \ lim _ {x \ do + \ infty} {f (x)} = L}$
${\ Displaystyle \ lim _ {x \ do p} {f (x)} = \ infty}$ jest równoważne ${\ Displaystyle \ lim _ {x \ do p} {| f (x) |} = + \ infty}$
${\ Displaystyle \ lim _ {x \ do \ infty ^ {+}} {f (x)} = \ infty}$ jest równoważne ${\ Displaystyle \ lim _ {x \ do - \ infty} {| f (x) |} = + \ infty}$
${\ Displaystyle \ lim _ {x \ do \ infty ^ {-}} {f (x)} = \ infty}$ jest równoważne ${\ Displaystyle \ lim _ {x \ do + \ infty} {| f (x) |} = + \ infty}$

Rozszerzona definicja granic

Niech ${\ Displaystyle A \ subseteq {\ widehat {\ mathbb {R}}}}$ . Wtedy p jest punktem granicznym A wtedy i tylko wtedy, gdy każde ${\ Displaystyle y \ neq p.}$ $p$ zawiera taki ,

Niech ${\ Displaystyle f: {\ widehat {\ mathbb {R}}} \ do {\ widehat {\ mathbb {R} }}, A \ subseteq {\ widehat {\ mathbb {R}}}, L \ w {\ widehat {\ mathbb {R}}}, p \ w {\ widehat {\ mathbb {R}}}}$ , p punkt graniczny A. Granica f ( x ) gdy x zbliża się do p przez A jest L , wtedy $x$ tylko wtedy, gdy dla każdego sąsiedztwa ${\ Displaystyle f (x) \ w B.}$ istnieje przebite sąsiedztwo C p , takie że implikuje

$_$ ${\ Displaystyle A \ puchar \ lbrace p \ rbrace.}$ regularnej topologicznej definicji ciągłości zastosowanej topologii na do ∪ p

Ciągłość

Funkcja

{\ Displaystyle f: {\ widehat {\ mathbb {R}}} \ do {\ widehat {\ mathbb {R}}}, \ quad p \ w {\ widehat {\ mathbb {R}}}.}

jest ciągła w $p$ wtedy i tylko wtedy, gdy $f$ jest określone w $p$ i

{\ Displaystyle \ lim _ {x \ do p} {f (x)} = f (p).}

Jeśli funkcja ${\ Displaystyle A \ subseteq {\ widehat {\ mathbb {R}}}}$

{\ Displaystyle f: A \ do {\ widehat {\ mathbb {R}}}}

jest ciągła w $A$ $displaystyle p \$ i tylko wtedy , $dla$ każdego $A$ jest zdefiniowane w $punkcie$ $p$ i $granica$ p ∈ } $A$ jest ${\ displaystyle f (p).}$

Każdą funkcję wymierną $P (x)/ Q (x)$ , gdzie $P$ i $Q$ są wielomianami , można w unikalny sposób przedłużyć do funkcji z ${\ Displaystyle {\ widehat {\ mathbb {R}}}}$ do , ${\ Displaystyle {\ widehat {\ mathbb {R}}}.}$ jest ciągły w $\ Displaystyle {\ widehat {\ mathbb {R}}}}$ W szczególności dotyczy to funkcje wielomianowe , które przyjmują wartość w $\ infty}$ { $\ displaystyle$ jeśli nie są .

Ponadto, jeśli funkcja styczna jest rozszerzona tak, że ${\ displaystyle \ tan}$

{\ Displaystyle \ tan \ lewo ({\ Frac {\ pi} {2}} + n \ pi \ prawej) = \ infty {\ tekst {dla }}n\w \mathbb {Z} ,}

wtedy ${\ Displaystyle \ tan}$ jest ciągły w ${\ Displaystyle \ mathbb {R}},$ ale nie można go dalej przedłużyć do funkcji, która jest ciągła w ${\ Displaystyle {\ widehat {\ mathbb {R}}}.}$

Wiele funkcji elementarnych , które są ciągłe w, $może$ być przedłużonych do funkcji, które są ciągłe w ${\ displaystyle {\ widehat {\ mathbb {R}}}.$ Tak jest na przykład w przypadku funkcji wykładniczej i wszystkich funkcji trygonometrycznych . Na przykład sinus jest ciągła w $nie$ może być ciągła w ${\ displaystyle \ infty.} Jak$ $widać$ powyżej, funkcję styczną można przedłużyć do funkcji ciągłej w ta funkcja nie może być ciągła w ${\ Displaystyle \ infty.}$

Wiele nieciągłych funkcji, które stają się ciągłe, gdy kodomena jest rozszerzona do afinicznie rozszerzonego systemu $rzeczywistych, pozostaje nieciągłych$ jeśli kodomena jest rozszerzona na afinicznie rozszerzony system liczb rzeczywistych ${\ Displaystyle {\ overline {\ mathbb {R}}}.}$ Tak jest w przypadku funkcji ${\ Displaystyle x \ mapsto {\ Frac {1} {x}}.}$ Z drugiej strony, niektóre funkcje, które są ciągłe w ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$ i nieciągłe w $,$ jeśli domena do ${\ Displaystyle {\ overline {\ mathbb {R}}}.}$ Tak jest w przypadku arcus tangens .

Jako zakres rzutowy

Kiedy rzeczywista linia rzutowa jest rozważana w kontekście rzeczywistej płaszczyzny rzutowej , wówczas konsekwencje twierdzenia Desarguesa są ukryte. W szczególności konstrukcja rzutowej harmonicznej relacji sprzężonej między punktami jest częścią struktury rzeczywistej linii rzutowej. Na przykład, biorąc pod uwagę dowolną parę punktów, punkt w nieskończoności jest koniugatem rzutowym harmonicznym ich punktu środkowego .

Ponieważ rzutowości zachowują relację harmoniczną, tworzą automorfizmy rzeczywistej linii rzutowej. Rzutności są algebraicznie opisywane jako homografie , ponieważ liczby rzeczywiste tworzą pierścień , zgodnie z ogólną konstrukcją linii rzutowej na pierścieniu . Razem tworzą grupę PGL(2, R ) .

Rzutności, które są swoimi odwrotnościami, nazywane są inwolucjami . Inwolucja hiperboliczna ma dwa stałe punkty . Dwa z nich odpowiadają elementarnym operacjom arytmetycznym na rzeczywistej linii rzutowej: negacja i odwrotność . Rzeczywiście, 0 i ∞ są ustalone w warunkach negacji, podczas gdy 1 i -1 są ustalone w warunkach odwrotności.

Zobacz też

Notatki