Rzutowy koniugat harmoniczny

D jest koniugatem harmonicznym C w odniesieniu do A i B . A, D, B, C tworzą zakres harmoniczny. KLMN to generujący go kompletny czworokąt .

W geometrii rzutowej harmoniczny punkt sprzężony uporządkowanej trójki punktów na rzeczywistej linii rzutowej jest zdefiniowany przez następującą konstrukcję:

Mając trzy współliniowe punkty A, B, C , niech L będzie punktem nie leżącym na ich połączeniu i niech dowolna prosta przechodząca przez C przecina LA, LB odpowiednio w M, N. Jeśli AN i BM spotykają się w K , a LK spotyka AB w D , to D nazywamy koniugatem harmonicznym C względem A, B .

Punkt D nie zależy od tego, który punkt L jest brany na początku, ani od tego, która linia przechodząca przez C jest używana do znalezienia M i N . Fakt ten wynika z twierdzenia Desarguesa .

W rzeczywistej geometrii rzutowej sprzężenie harmoniczne można również zdefiniować za pomocą stosunku krzyżowego jako ( A , B ; C , D ) = −1 .

Kryterium stosunku krzyżowego

Cztery punkty są czasami nazywane zakresem harmonicznym (na rzeczywistej linii rzutowej), ponieważ okazuje się, że D zawsze dzieli odcinek AB wewnętrznie w tej samej proporcji, w jakiej C dzieli AB zewnętrznie . To jest:

${\ Displaystyle |AC|:|BC|=|AD|:|DB|\,.}$

Jeśli te segmenty są teraz wyposażone w zwykłą metryczną interpretację liczb rzeczywistych, zostaną podpisane i utworzą podwójną proporcję znaną jako współczynnik krzyżowy (czasami podwójny współczynnik )

${\ Displaystyle (A, B; C, D) = {\ Frac {|AC|}{|AD|}} \ lewo / {\ Frac {|BC|}{-|DB|}} \ prawo., }$

dla którego zakres harmonicznych charakteryzuje się wartością −1. Dlatego piszemy:

${\ Displaystyle (A, B; C, D) = {\ Frac {|AC|}{|AD|}} \ cdot {\ Frac {|BD|}{|BC|}} = -1 .}$

Wartość współczynnika krzyżowego na ogół nie jest jednoznaczna , ponieważ zależy od kolejności selekcji segmentów (a możliwych jest sześć takich selekcji). Ale w szczególności dla zakresu harmonicznego istnieją tylko trzy wartości współczynnika krzyżowego: {−1, 1/2, 2}, ponieważ −1 jest samoodwrotne - więc wymiana dwóch ostatnich punktów jedynie odwzajemnia każdą z tych wartości, ale nie daje nową wartość i jest klasycznie znany jako harmoniczny współczynnik krzyżowy .

Pod względem podwójnego stosunku, biorąc pod uwagę punkty aib na linii afinicznej, współczynnik podziału punktu x wynosi

${\ displaystyle t (x) = {\ frac {xa} {xb}}.}$

Zauważ, że gdy a < x < b , to t ( x ) jest ujemne i że jest dodatnie poza przedziałem. $c, d; a, b) = {\ tfrac {t (c)} {t (d)$ do , re to stosunek współczynników dzielenia lub podwójny współczynnik. Ustawienie współczynnika podwójnego na minus jeden oznacza, że ​​gdy t ( c ) + t ( re ) = 0 , wtedy c i d są sprzężeniami harmonicznymi względem a i b . Tak więc kryterium podziału jest takie, że są one addytywnymi odwrotnościami .

Harmoniczny podział odcinka linii jest szczególnym przypadkiem definicji koła Apoloniusza .

W niektórych opracowaniach szkolnych konfiguracja zakresu harmonicznego nazywana jest podziałem harmonicznym .

Z punktu środkowego

Punkt środkowy i nieskończoność to koniugaty harmoniczne.

Kiedy x jest środkiem odcinka od a do b , wtedy

${\ Displaystyle t (x) = {\ Frac {xa} {xb}} = -1.}$

Zgodnie z kryterium stosunku krzyżowego koniugat harmoniczny x będzie y , gdy t ( y ) = 1 . Ale nie ma skończonego rozwiązania dla y na linii przechodzącej przez a i b . Niemniej jednak,

${\ Displaystyle \ lim _ {y \ do \ infty} t (y) = 1,}$

motywując w ten sposób włączenie punktu w nieskończoności do linii rzutowej. Ten punkt w nieskończoności służy jako sprzężenie harmoniczne punktu środkowego x .

Z pełnego czworokąta

Innym podejściem do koniugatu harmonicznego jest koncepcja pełnego czworokąta , takiego jak KLMN na powyższym schemacie. Oparty na czterech punktach kompletny czworokąt ma pary przeciwległych boków i przekątnych. W wyrażeniu koniugatów harmonicznych przez HSM Coxetera przekątne są uważane za parę przeciwległych boków:

D jest koniugatem harmonicznym C w odniesieniu do A i B , co oznacza, że ​​istnieje czworokąt IJKL taki, że jedna para przeciwległych boków przecina się w A , a druga para w B , podczas gdy trzecia para spotyka się z AB w C i D .

To Karl von Staudt jako pierwszy użył koniugatu harmonicznego jako podstawy geometrii rzutowej niezależnej od względów metrycznych:

... Staudtowi udało się uwolnić geometrię rzutową od geometrii elementarnej. W swojej Geometrie der Lage Staudt wprowadził poczwórną harmoniczną elementów niezależnie od koncepcji stosunku krzyżowego, kierując się czysto rzutową trasą, używając pełnego czworokąta lub czworoboku.

P ₁ = A , P ₂ = S , P ₃ = B , P ₄ = Q , re = M (pomiń zielone M).

Aby zobaczyć pełny czworokąt zastosowany do uzyskania punktu środkowego, rozważ następujący fragment JW Younga:

Jeżeli dwie dowolne proste AQ, AS poprowadzone są przez A , a proste BS, BQ przez B równolegle do odpowiednio AQ, AS , to proste AQ, SB przecinają się z definicji w punkcie R w nieskończoności, podczas gdy AS, QB przecinają się w definicja w punkcie P w nieskończoności. Kompletny czworoboczny PQRS ma wtedy dwa ukośne punkty w A i B , podczas gdy pozostała para przeciwległych boków przechodzi przez M i punkt w nieskończoności na AB . Punkt M jest więc z konstrukcji koniugatem harmonicznym punktu w nieskończoności na AB względem A i B . Z drugiej strony, że M jest środkiem odcinka AB wynika ze znanego twierdzenia, że ​​przekątne równoległoboku ( PQRS ) przecinają się w połowie.

Relacje czwartorzędowe

Cztery uporządkowane punkty w zakresie rzutowym nazywane są punktami harmonicznymi , gdy na płaszczyźnie występuje tetrastigm , tak że pierwszy i trzeci to codoty, a pozostałe dwa punkty znajdują się na złączach trzeciego codotu.

Jeśli p nie jest punktem na prostej z punktami harmonicznymi, to połączenia p z punktami są prostymi harmonicznymi . Podobnie, jeśli oś ołówka płaszczyzn jest pochylona do prostej z punktami harmonicznymi, to płaszczyzny na punktach są płaszczyznami harmonicznymi .

Zbiór czterech w takiej relacji został nazwany poczwórną harmoniczną .

Stożki projekcyjne

Stożek w płaszczyźnie rzutowej to krzywa C , która ma następującą właściwość: jeśli P nie jest punktem na C i jeśli zmienna prosta przechodząca przez P styka się z C w punktach A i B , to koniugat zmiennej harmonicznej P względem A i B kreślą linię. Punkt P nazywany jest biegunem tej linii koniugatów harmonicznych, a ta linia nazywana jest linią biegunową P w odniesieniu do stożka. Zobacz artykuł Biegun i biegun, aby uzyskać więcej informacji.

Geometria odwrotna

Główny artykuł: Geometria odwrotna

W przypadku, gdy stożek jest kołem, na rozciągniętych średnicach koła koniugaty harmoniczne względem koła są odwrotnościami w okręgu . Fakt ten wynika z jednego z twierdzeń Smogorżewskiego:

Jeśli okręgi k i q są wzajemnie ortogonalne, to prosta przechodząca przez środek k i przecinająca q przecina się w punktach symetrycznych względem k .

To znaczy, jeśli linia jest rozciągniętą średnicą k , to przecięcia z q są koniugatami harmonicznymi.

Tetrady Galois

W geometrii Galois nad ciałem Galois GF( q ) prosta ma q + 1 punktów, gdzie ∞ = (1,0) . W tej linii cztery punkty tworzą tetradę harmoniczną, gdy dwa harmonicznie oddzielają pozostałe. Warunek

${\ Displaystyle (c, d; a, b) = -1, \ {\text{równoważnie }}\ \ 2(cd+ab)=(c+d)(a+b),}$

charakteryzuje tetrady harmoniczne. Zwrócenie uwagi na te tetrady doprowadziło Jeana Dieudonnégo do wyznaczenia kilku przypadkowych izomorfizmów rzutowych grup liniowych PGL(2, q ) dla q = 5, 7, 9 .

Jeśli q = 2 ⁿ , a biorąc pod uwagę A i B , to koniugat harmoniczny C jest sobą.

Iterowane rzutowe koniugaty harmoniczne i złoty podział

Niech ₀ P , P ₁ , P ₂ będą trzema różnymi punktami na rzeczywistej prostej rzutowej. Rozważmy nieskończony ciąg punktów Pn _- , gdzie Pn _> n jest koniugatem harmonicznym Pn _{- 3} względem Pn _{1 2} , Pn _{- 2} dla . Ten ciąg jest zbieżny.

Dla skończonej granicy P mamy

$lim _ {n \ do \ infty}} {\ Frac {P_ {n + 1 }P}{P_{n}P}}=\Phi -2=-\Phi ^{-2}=-{\frac {3-{\sqrt {5}}}{2}},}$

gdzie ${\ Displaystyle \ Phi = {\ tfrac {1} {2}} (1 + {\ sqrt {5}})}$ to złoty podział , tj. ${\ Displaystyle P_ {n + 1} P \ około - \ Phi ^ {- 2} P_ {n} P}$ dla dużego n . Dla nieskończonej granicy mamy

${\ Displaystyle \ lim _ {n \ do \ infty} {\ Frac {P_ {n + 2} P_ {n + 1}} {P_ {n + 1} P_ {n}}} = -1 - \ Phi = -\Fi ^{2}.}$

Jako dowód rozważ izomorfizm rzutowy

${\ Displaystyle f (z) = {\ Frac {az + b} {cz + d}}}$

z

${\ Displaystyle f \ lewo ((-1) ^ {n} \ Phi ^ {2n} \ prawo) = P_ {n}.}$

• Juan Carlos Alverez (2000) Geometria rzutowa , patrz Rozdział 2: Rzeczywista płaszczyzna rzutowa, część 3: Czwórki harmoniczne i twierdzenie von Staudta.
• Robert Lachlan (1893) An Elementary Treatise on Modern Pure Geometry , link z Cornell University Historical Math Monographs.
• Bertrand Russell (1903) Zasady matematyki , strona 384.
• Russella, Johna Wellesleya (1905). Czysta geometria . Prasa Clarendona.