Koniec (topologia)

W topologii , gałęzi matematyki , końce przestrzeni topologicznej są, z grubsza mówiąc, połączonymi składnikami „idealnej granicy” przestrzeni. Oznacza to, że każdy koniec reprezentuje topologicznie odrębny sposób poruszania się w nieskończoność w przestrzeni. Dodanie punktu na każdym końcu daje zagęszczenie pierwotnej przestrzeni, znane jako zagęszczenie końcowe .

Pojęcie końca przestrzeni topologicznej wprowadził Hans Freudenthal ( 1931 ).

Definicja

Niech X będzie przestrzenią topologiczną i załóżmy, że

{\ Displaystyle K_ {1} \ subseteq K_ {2} \ subseteq K_ {3} \ subseteq \ cdots}

jest rosnącą sekwencją zwartych podzbiorów X , których wnętrza pokrywają X . Wtedy X ma jeden koniec dla każdego ciągu

{\ Displaystyle U_ {1} \ supseteq U_ {2} \ supseteq U_ {3} \ supseteq \ cdots}

gdzie każdy U _n jest połączonym składnikiem X \ K _n . Liczba końców nie zależy od określonej sekwencji { K _i } zbiorów zwartych; istnieje naturalna bijekcja między zbiorami końców powiązanych z dowolnymi dwoma takimi sekwencjami.

Używając tej definicji, sąsiedztwo końca { U _i } jest zbiorem otwartym V takim, że V ⊇ U _n dla pewnego n . Takie sąsiedztwa reprezentują sąsiedztwa odpowiedniego punktu w nieskończoności w końcowym zagęszczeniu (to „zagęszczenie” nie zawsze jest zwarte; przestrzeń topologiczna X musi być spójna i lokalnie połączona ).

₀₀₀₀ Podana powyżej definicja końców dotyczy tylko przestrzeni X , które posiadają wyczerpanie przez zbiory zwarte (czyli X musi być hemicompact ). Można to jednak uogólnić w następujący sposób: niech X będzie dowolną przestrzenią topologiczną i rozważmy bezpośredni system { K } zwartych podzbiorów X i map inkluzji . Istnieje odpowiedni układ odwrotny { $π$ ( X \ K ) }, gdzie $π$ ( Y ) oznacza zbiór spójnych składowych przestrzeni Y , a każda mapa inkluzji Y → Z indukuje funkcję $π$ ( Y ) → $π$ ( Z ) . Wtedy zbiór końców X jest definiowany jako odwrotna granica tego odwrotnego układu .

Zgodnie z tą definicją zbiór końców jest funktorem z kategorii przestrzeni topologicznych , gdzie morfizmy są tylko właściwymi odwzorowaniami ciągłymi, do kategorii zbiorów . Jawnie, jeśli φ : X → Y jest mapą właściwą i x = ( x _K ) _K jest końcem X (tj. każdy element x _K w rodzinie jest spójną składową X ∖ K i są one kompatybilne z mapami indukowanymi φ ( x ) to rodzina $(x _ {\ varphi ^ {- 1} (K ')})}$ ${\ Displaystyle K '}$ } rozciąga się na zwarte podzbiory Y i φ _* jest mapą indukowaną przez φ z ${\ Displaystyle \ pi _ {0} (X \ smallsetminus \ varphi ^ {- 1} (K '))}$ do ${\ Displaystyle \ pi _ {0} (Y \ smallsetminus K')}$ . Właściwość φ służy do zapewnienia, że każdy φ ⁻¹ ( K ) jest zwarty w X .

Oryginalna definicja powyżej reprezentuje szczególny przypadek, w którym bezpośredni system zwartych podzbiorów ma kokońcową sekwencję .

Przykłady

Zbiór końców dowolnej przestrzeni zwartej jest zbiorem pustym .
Rzeczywista linia $.$ dwa końce Na przykład, jeśli K _n będzie przedziałem domkniętym [− n , n ], to oba końce będą ciągami zbiorów otwartych U _n = ( n , ∞) i V _n = (−∞, − n ). Te końce są zwykle określane odpowiednio jako „nieskończoność” i „minus nieskończoność”.
Jeśli n > 1, to przestrzeń euklidesowa $.$ tylko jeden $ma$ tak, ponieważ nieograniczony składnik dla dowolnego zbioru zwartego K .
Mówiąc bardziej ogólnie, jeśli M jest zwartą rozmaitością z brzegiem , to liczba końców wnętrza M jest równa liczbie połączonych składowych granicy M .
Związek n różnych promieni wychodzących ze $.$ ma n końców
Nieskończone , kompletne drzewo binarne ma niezliczoną liczbę końców, odpowiadających niezliczonej liczbie różnych zstępujących ścieżek, zaczynających się od korzenia. (Można to zobaczyć, pozwalając K _n być kompletnym drzewem binarnym o głębokości n ). Te końce można traktować jako „liście” nieskończonego drzewa. W zwartości końcowej zbiór końców ma topologię zbioru Cantora .

Końce grafów i grup

W teorii grafów nieskończonych koniec definiuje się nieco inaczej, jako klasę równoważności półnieskończonych ścieżek w grafie lub jako przystań , funkcję odwzorowującą skończone zbiory wierzchołków na połączone składowe ich dopełnień. Jednak w przypadku grafów lokalnie skończonych (wykresów, w których każdy wierzchołek ma skończony stopień ), zdefiniowane w ten sposób końce korespondują jeden do jednego z końcami przestrzeni topologicznych zdefiniowanych na podstawie grafu ( Diestel & Kühn 2003 ).

Końce skończenie generowanej grupy są definiowane jako końce odpowiedniego wykresu Cayleya ; ta definicja jest niewrażliwa na wybór zespołu prądotwórczego. Każda skończenie generowana nieskończona grupa ma 1, 2 lub nieskończenie wiele końców, a twierdzenie Stallingsa o końcach grup zapewnia rozkład grup z więcej niż jednym końcem.

Końce kompleksu CW

W przypadku ścieżki połączonej CW-complex , $X$ można scharakteryzować jako klasy homotopii map , zwanych promieniami w dokładniej, jeśli ograniczenie - do podzbioru $. Ten$ dowolnych dwóch z tych map istnieje właściwa homotopia, mówimy, że są one równoważne i definiują klasę równoważności odpowiednich promieni zbiór nazywa się końcem X .

Diestel, Reinhard; Kühn, Daniela (2003), „Graph-teoretyczne a topologiczne końce grafów”, Journal of Combinatorial Theory , Seria B, 87 (1): 197–206, doi : 10.1016 / S0095-8956 (02) 00034-5 , MR 1967888 .
Freudenthal, Hans (1931), „Über die Enden topologischer Räume und Gruppen”, Mathematische Zeitschrift , Springer Berlin / Heidelberg, 33 : 692–713, doi : 10.1007/BF01174375 , ISSN 0025-5874 , S2CID 120965216 , Zbl 0002.05603
Ross Geoghegan, Metody topologiczne w teorii grup , GTM-243 (2008), Springer ISBN 978-0-387-74611-1 .
Scott, Piotr; Ściana, Terry; Ściana, CTC (1979). „Metody topologiczne w teorii grup”. Homologiczna teoria grup . s. 137–204. doi : 10.1017/CBO9781107325449.007 . ISBN 9781107325449 .