Cofinal (matematyka)

W matematyce mówi $współkońcowy$ , że podzbiór wstępnie zamówionego zestawu ( $\ Displaystyle (A, \ równoważnik)}$ lub częsty w ZA { $},$ displaystyle jeśli dla każdego $\ displaystyle B$ znaleźć element $}$ b , który jest „większy niż ${\ displaystyle a}$$”$ (wyraźnie, za „większy niż ${\ Displaystyle a}$ " oznacza ${\ Displaystyle a \ leq b}$ ).

Podzbiory współkońcowe są bardzo ważne w teorii zbiorów skierowanych i sieci , gdzie „ podsieć kokońcowa ” jest odpowiednim uogólnieniem „ podsekwencji ”. Są one również ważne w $jest$ porządku , ${\ Displaystyle A.}$ tym w teorii liczb kardynalnych , gdzie minimalna możliwa liczność współkońcowego podzbioru określana jako współfinalność A

Definicje

Niech $będzie$ jednorodną binarną na zbiorze ${\ Displaystyle A.} Mówi się, że$ podzbiór ${\ Displaystyle B \ subseteq A}$ jest kofinalny lub częsty w odniesieniu do ${\ Displaystyle \, \ równoważnik \,},$ jeśli spełnia następujący warunek:

Dla każdego $Displaystyle a$ jakiś $\ in A}$ że ${\ Displaystyle a \ równoważnik b.}$

Podzbiór, który nie jest częsty, nazywamy rzadkim . Ta definicja jest najczęściej stosowana, gdy jest $zbiorem$ skierowanym , który jest wyprzedzeniem z dodatkowymi

Funkcje końcowe

$X$${\ Displaystyle f (X)}$ dwoma $displaystyle f$ jest ostateczna jeśli obraz jest ( fa { kokońcowy podzbiór ${\ Displaystyle A.}$

Podzbiory koinicjalne

podzbiór jest równopoczątkowy (lub gęsty w sensie wymuszania ), jeśli spełnia następujący warunek: ${\ Displaystyle B \ subseteq A}$

Dla każdego ${ \$ jakiś taki, że $b \ in$${\ displaystyle b \ równoważnik a.}$

Jest to podwójna teoria porządku z pojęciem podzbioru współkońcowego. Podzbiory współkońcowe (odpowiednio koinicjalne) są właśnie zbiorami gęstymi względem topologii prawego (odpowiednio lewego) rzędu .

Nieruchomości

Relacja kofinalna w zbiorach częściowo uporządkowanych („ pozycjach ”) jest zwrotna : każda pozycja jest sama w sobie kofinalna. Jest również przechodni $:$ jeśli $displaystyle B$ kofinalnym podzbiorem poset $($ jest kofinalnym podzbiorem z częściowym uporządkowaniem) $}$ z $}$${\ Displaystyle A.}$$)$$ZA$ do , to jest również kofinalnym podzbiorem

W przypadku częściowo uporządkowanego zbioru z elementami maksymalnymi każdy podzbiór współkońcowy musi zawierać wszystkie elementy maksymalne , w przeciwnym razie element maksymalny, którego nie ma w podzbiorze, nie byłby mniejszy lub równy jakiemukolwiek elementowi podzbioru, naruszając definicję współkońcowego. W przypadku częściowo uporządkowanego zbioru z największym elementem , podzbiór jest kofinalny wtedy i tylko wtedy, gdy zawiera ten największy element (wynika to z tego, że największy element jest koniecznie elementem maksymalnym). Zbiory częściowo uporządkowane bez elementu największego lub elementów maksymalnych dopuszczają rozłączne podzbiory współkońcowe. Na przykład parzyste i nieparzyste liczby naturalne tworzą rozłączne współkońcowe podzbiory zbioru wszystkich liczb naturalnych.

Jeśli częściowo uporządkowany zbiór $dopuszcza$ całkowicie uporządkowany współkońcowy ${\ Displaystyle A.}$ , to możemy znaleźć podzbiór który jest dobrze uporządkowany $i$ kokońcowy w

Jeśli $, \ równoważnik)}$$},$ jest skierowanym i jeśli ${\ displaystyle (B, \ leq)}$ współkońcowym podzbiorem ${\ Displaystyle A$ to jest również zbiorem skierowanym.

Przykłady i warunki wystarczające

Każdy nadzbiór współkońcowego podzbioru sam w sobie jest współkońcowy.

Jeśli ${\ Displaystyle (A, \ równoważnik)}$ jest zbiorem skierowanym i jeśli jakiś związek (jednego lub więcej) skończenie wielu podzbiorów $}}$${\ Displaystyle S_ {1} \ kubek \ cdots \$$cup S_ {$ ze zbioru jest współkońcowy $skierowana$ bez hipotezy,

Relacje podzbiorów i bazy sąsiedztwa

Niech $topologiczną$ będzie przestrzenią i ${\ Displaystyle x \ w X.}$ oznacza sąsiedztwa $.$ punkcie Relacja nadzbioru jest częściowym porządkiem na ${\ mathcal {N}} _ {x}}$$Displaystyle$ jawnie dla dowolnego S $}$$wtedy$ i deklarują, że $\ Displaystyle S \ leq T}$ i tylko wtedy, gdy ${\ Displaystyle S \ supseteq T}$ (więc w istocie ${\ Displaystyle \, \ równoważnik \,}$ jest równe ${\ Displaystyle \, \ supseteq \,}$ ). Podzbiór ${\ Displaystyle {\ mathcal {B}} \ subseteq {\ mathcal {N}} _ {x}} jest$ nazywany bazą sąsiedztwa w ${\ Displaystyle x}$ wtedy (i tylko wtedy) ${ \ displaystyle {\ mathcal {B}}}$ jest współkońcowym podzbiorem ${\ Displaystyle \ lewo ({\ mathcal {N}} _ {x}, \ supseteq \ prawej);} to znaczy$ wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego $_ {x}}$${\ Displaystyle N \ w {\ mathcal {N}$$taki$ istnieje ${\ Displaystyle N \ supseteq B.}$ że (tj. takie, że ${\ Displaystyle N \ leq B}$ ).

Podzbiory współkońcowe liczb rzeczywistych

Dla dowolnego ${\ Displaystyle - \ infty <x <\ infty,}$ przedział ${\ Displaystyle (x, \ infty)}$ jest kokońcowym podzbiorem ${ \displaystyle (\mathbb {R} ,\leq )} ale$ nie jest to podzbiór współkońcowy $).}$$geq$ Zbiór liczb naturalnych (składający się z dodatnich liczb całkowitych) jest kokońcowym podzbiorem ${\ Displaystyle ( ( \mathbb {R} ,\leq )}$ ale nie jest to prawdą dla zbioru ujemnych liczb całkowitych ${\ Displaystyle - \ mathbb {N}: = \ {-1, -2, -3, \ ldots \}.}$

Podobnie, dla dowolnego przedziału ${\ Displaystyle - \ infty <y <\ infty$$( R ) - ∞ <$ y < ${\ Displaystyle (\ mathbb {R}, \ geq)}, ale$ nie jest to współkońcowy podzbiór ${\ Displaystyle (\ mathbb {R}, \ równoważnik).}$ Zbiór ujemnych liczb całkowitych jest kokońcowym podzbiorem ${N}} } ,\geq )}$$\ mathbb {R}) - N {\ Displaystyle -$ ale nie dotyczy to liczb naturalnych ${\ Displaystyle \ mathbb {N}.}$$Zbiór$ wszystkich liczb całkowitych jest współkońcowym podzbiorem ${\ Displaystyle (\ mathbb {R}, \ równoważnik)$ i również współkońcowy podzbiór ${\ Displaystyle (\ mathbb {R}, \ geq)}$ ; to samo dotyczy zbioru ${\ Displaystyle \ mathbb {Q}.}$

Kokońcowy zbiór podzbiorów

Podano szczególny, ale ważny przypadek, jeśli $uporządkowanego$$A$$ZA {$ mocy pewnego zbioru włączenie odwrotne $\, \ supseteq.}$$Displaystyle$ pod uwagę to uporządkowanie podzbioru $B \ subseteq A}$ jest kofinalny w ${\ Displaystyle A}$ , jeśli dla każdego ${ \ Displaystyle a \ in A}$ istnieje za ${\ displaystyle b \ in B}$ takie, że ${\ Displaystyle a \ supseteq b.}$

$Na$ przykład niech $grupą$ i niech zbiorem normalnych podgrup o skończonym indeksie . Profinite uzupełnienie $)$ się jako $odwrotną$ granicę odwrotnego systemu skończonych ilorazów ( które są $sparametryzowane$ przez $współkońcowy$ podzbiór jest wystarczający do skonstruowania i opisania skończonego zakończenia ${\ Displaystyle E.}$

Zobacz też

• Cofinite – bycie podzbiorem, którego uzupełnieniem jest zbiór skończony Strony wyświetlające krótkie opisy celów przekierowania
• Kofinalność - Wielkość podzbiorów w teorii porządku
• Zestaw górny - podzbiór zamówienia w przedsprzedaży, który zawiera wszystkie większe elementy,
  • $≤$ częściowo uporządkowanego zestawu ${\ Displaystyle (P, \ równoważnik)}$ , który zawiera każdy element $\ Displaystyle y \ w P}$ , dla którego istnieje ${\ Displaystyle x \ w U}$ z ${\ Displaystyle x \ równoważnik y}$

•    Lang, Serge (1993), Algebra (wyd. Trzecie), Reading, Mass .: Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-55540-0 , Zbl 0848.13001
•    Schechter, Eric (1996). Podręcznik analizy i jej podstaw . San Diego, Kalifornia: Prasa akademicka. ISBN 978-0-12-622760-4 . OCLC 175294365 .