Kolejność cykliczna

Miesiące są porządkiem cyklicznym.

W matematyce porządek cykliczny to sposób ułożenia zbioru obiektów w okrąg . W przeciwieństwie do większości struktur w teorii porządku porządek cykliczny nie jest modelowany jako relacja binarna , taka jak „ a < b ”. Nikt nie mówi, że wschód jest „bardziej zgodny z ruchem wskazówek zegara” niż zachód. Zamiast tego porządek cykliczny jest definiowany jako relacja trójskładnikowa [ a , b , c ] , co oznacza „po a osiąga się b przed c ”. Np. [czerwiec, październik, luty], ale nie [czerwiec, luty, październik], por. zdjęcie. Relacja trójskładnikowa nazywana jest porządkiem cyklicznym, jeśli jest cykliczna, asymetryczna, przechodnia i spójna . Rezygnacja z wymogu „połączonego” skutkuje częściowym uporządkowaniem cyklicznym .

Zbiór o porządku cyklicznym nazywany jest zbiorem uporządkowanym cyklicznie lub po prostu cyklem . Niektóre znane cykle są dyskretne i mają tylko skończoną liczbę elementów : jest siedem dni tygodnia , cztery główne kierunki , dwanaście nut w skali chromatycznej i trzy gry w kamień-papier-nożyce . W skończonym cyklu każdy element ma „następny element” i „poprzedni element”. Istnieją również cykle zmienne w sposób ciągły z nieskończenie wieloma elementami, takimi jak zorientowany okrąg jednostkowy na płaszczyźnie.

Porządki cykliczne są blisko spokrewnione z bardziej znanymi porządkami liniowymi , które układają obiekty w linii . Każdy porządek liniowy można zagiąć w okrąg, a każdy porządek cykliczny można przeciąć w punkcie, uzyskując linię. Operacje te, wraz z powiązanymi konstrukcjami przedziałów i mapami pokrywającymi, oznaczają, że pytania o porządki cykliczne często można przekształcić w pytania o rzędy liniowe. Cykle mają więcej symetrii niż rzędów liniowych i często naturalnie występują jako pozostałości struktur liniowych, jak w skończonych grupach cyklicznych lub rzeczywistej linii rzutowej .

Cykle skończone

Cykl 5 elementów

Porządek cykliczny na zbiorze X z n elementami jest jak układ X na tarczy zegara dla n -godzinnego zegara. Każdy element x w X ma „następny element” i „poprzedni element”, a wzięcie następców lub poprzedników dokładnie raz przechodzi przez elementy jako x (1), x (2), ..., x ( n ) .

Istnieje kilka równoważnych sposobów sformułowania tej definicji. Porządek cykliczny na X jest tym samym, co permutacja , która sprawia, że ​​wszystkie X są jednym cyklem . Cykl z n elementami jest również torsorem Z _n : zbiorem ze swobodnym działaniem przechodnim skończonej grupy cyklicznej . Innym sformułowaniem jest przekształcenie X w standardowy skierowany wykres cyklu na n wierzchołkach przez pewne dopasowanie elementów do wierzchołków.

Instynktowne może być używanie porządków cyklicznych dla funkcji symetrycznych , na przykład jak w

xy + yz + zx

gdzie zapisanie końcowego jednomianu jako xz odwróciłoby uwagę od wzoru.

Istotnym zastosowaniem porządków cyklicznych jest określanie klas koniugacji wolnych grup . Dwa elementy g i h grupy swobodnej F na zbiorze Y są sprzężone wtedy i tylko wtedy, gdy są zapisane jako iloczyny elementów y i y ⁻¹ z y w Y , a następnie te produkty są ułożone cyklicznie, to porządki cykliczne są równoważne zgodnie z regułami przepisywania , które pozwalają usuwać lub dodawać sąsiednie y i y ⁻¹ .

Cykliczny porządek na zbiorze X można określić na podstawie liniowego porządku na X , ale nie w unikalny sposób. Wybór porządku liniowego jest równoznaczny z wyborem pierwszego elementu, więc istnieje dokładnie n rzędów liniowych, które indukują dany porządek cykliczny. Ponieważ istnieje n ! możliwych rzędów liniowych jest ( n − 1)! możliwe zlecenia cykliczne.

Definicje

Nieskończony zbiór można również uporządkować cyklicznie. Ważnymi przykładami cykli nieskończonych są koło jednostkowe S ¹ i liczby wymierne Q . Podstawowa idea jest ta sama: elementy zestawu układamy wokół koła. Jednak w przypadku nieskończonym nie możemy polegać na bezpośredniej relacji następczej, ponieważ punkty mogą nie mieć następników. Na przykład, biorąc pod uwagę punkt na okręgu jednostkowym, nie ma „następnego punktu”. Nie możemy też polegać na relacji binarnej, aby określić, który z dwóch punktów jest „pierwszy”. Podróżując zgodnie z ruchem wskazówek zegara po okręgu, ani wschód, ani zachód nie są pierwsze, ale każdy podąża za drugim.

Zamiast tego używamy relacji trójskładnikowej oznaczającej, że elementy a , b , c występują po sobie (niekoniecznie natychmiast), gdy poruszamy się po okręgu. Na przykład w kolejności zgodnej z ruchem wskazówek zegara: [wschód, południe, zachód]. Wykorzystując argumenty relacji trójskładnikowej [ a , b , c ] , można myśleć o porządku cyklicznym jako o jednoparametrowej rodzinie binarnych relacji rzędów, zwanych cięciami , lub jako o dwuparametrowej rodzinie podzbiorów K , zwanych interwały .

Relacja trójskładnikowa

Ogólna definicja jest następująca: porządek cykliczny na zbiorze X to relacja C ⊂ X ³ , zapisana [ a , b , c ] , która spełnia następujące aksjomaty:

1. Cykliczność: jeśli [ a , b , c ] to [ b , c , a ]
2. Asymetria: Jeśli [ a , b , c ] to nie [ c , b , a ]
3. Przechodniość: jeśli [ a , b , c ] i [ a , c , d ] to [ a , b , d ]
4. Powiązanie: jeśli a , b i c są różne, to albo [ a , b , c ] albo [ c , b , a ]

Aksjomaty są nazywane przez analogię do aksjomatów asymetrii , przechodniości i łączności dla relacji binarnej, które razem definiują ścisły porządek liniowy . Edward Huntington ( 1916 , 1924 ) rozważał inne możliwe listy aksjomatów, w tym jedną, która miała podkreślać podobieństwo między porządkiem cyklicznym a relacją pomiędzy . Relacja trójskładnikowa, która spełnia pierwsze trzy aksjomaty, ale niekoniecznie aksjomat całości, jest częściowym porządkiem cyklicznym .

Walcowanie i cięcie

Biorąc pod uwagę liniowy porządek < na zbiorze X , cykliczny porządek na X indukowany przez < jest zdefiniowany następująco:

[ a , b , c ] wtedy i tylko wtedy gdy a < b < c lub b < c < a lub c < a < b

Dwa liniowe porządki indukują ten sam porządek cykliczny, jeśli mogą zostać przekształcone w siebie przez cykliczne przegrupowanie, jak w przypadku przecinania talii kart . Relację porządku cyklicznego można zdefiniować jako relację trójskładnikową, która jest indukowana przez ścisły porządek liniowy, jak powyżej.

Wycięcie pojedynczego punktu z porządku cyklicznego pozostawia porządek liniowy. Dokładniej, biorąc pod uwagę cyklicznie uporządkowany zbiór ( K , [ ]) , każdy element a ∈ K definiuje naturalny porządek liniowy < _a na pozostałej części zbioru, K ∖ a , zgodnie z następującą regułą:

x < _a y wtedy i tylko wtedy, gdy [ a , x , y ] .

Co więcej, < _a można rozszerzyć, dołączając a jako najmniejszy element; wynikowy porządek liniowy na K nazywa się głównym przekrojem z najmniejszym elementem a . Podobnie przyleganie a jako największego elementu skutkuje cięciem < ^a .

Interwały

Mając dane dwa elementy a ≠ b ∈ K , otwarty przedział od a do b , zapisany ( a , b ) , jest zbiorem wszystkich x ∈ K takim , że [ a , x , b ] . System otwartych przedziałów całkowicie definiuje porządek cykliczny i może być używany jako alternatywna definicja relacji porządku cyklicznego.

Przedział ( a , b ) ma naturalny porządek liniowy określony wzorem < _a . Można zdefiniować przedziały półzamknięte i domknięte [ a , b ) , ( a , b ] i [ a , b ] przez dołączenie a jako najmniejszego elementu i/lub b jako największego elementu . W szczególnym przypadku otwarte przedział ( a , a ) jest zdefiniowany jako przekrój K ∖ a .

Mówiąc bardziej ogólnie, właściwy podzbiór S z K jest nazywany wypukłym , jeśli zawiera przedział między każdą parą punktów: dla a ≠ b ∈ S albo ( a , b ) albo ( b , a ) musi być również w S . Zbiór wypukły jest uporządkowany liniowo przez przecięcie < _x dla dowolnego x nie należącego do zbioru; to uporządkowanie jest niezależne od wyboru x .

Automorfizmy

Ponieważ koło ma porządek zgodny z ruchem wskazówek zegara i porządek przeciwny do ruchu wskazówek zegara, każdy zbiór z porządkiem cyklicznym ma dwa zmysły . Bijekcja zbioru zachowująca porządek nazywana jest korespondencją uporządkowaną . Jeśli sens jest zachowany jak poprzednio, jest to zgodność bezpośrednia , w przeciwnym razie nazywana jest korespondencją przeciwną . Coxeter używa relacji separacji do opisania porządku cyklicznego, a relacja ta jest wystarczająco silna, aby rozróżnić dwa znaczenia porządku cyklicznego. Automorfizmy zbioru cyklicznie uporządkowanego można utożsamiać z C ₂ , grupą dwuelementową, o bezpośrednich i przeciwnych odpowiednikach .

Funkcje monotoniczne

Pomysł „porządek cykliczny = układanie w okrąg” działa, ponieważ każdy podzbiór cyklu sam w sobie jest cyklem. Aby wykorzystać ten pomysł do narzucenia cyklicznych porządków na zbiorach, które w rzeczywistości nie są podzbiorami koła jednostkowego na płaszczyźnie, konieczne jest rozważenie funkcji między zbiorami.

Funkcja między dwoma cyklicznie uporządkowanymi zbiorami, f : X → Y , nazywana jest funkcją monotoniczną lub homomorfizmem , jeśli cofa uporządkowanie na Y : kiedykolwiek [ f ( a ), f ( b ), f ( c )] , jeden ma [ a , b , c ] . Równoważnie f jest monotoniczne, jeśli kiedykolwiek [ a , b , c ] i f ( a ), f ( b ) i f ( c ) są różne, to [ f ( a ), f ( b ), f ( c ) ] . Typowym przykładem funkcji monotonicznej jest następująca funkcja w cyklu z 6 elementami:

fa (0) = fa (1) = 4,

fa (2) = fa (3) = 0,

fa (4) = fa (5) = 1.

Funkcja jest nazywana osadzeniem, jeśli jest zarówno monotonna, jak i iniekcyjna . Równoważnie, osadzanie jest funkcją, która popycha do przodu porządkowanie na X : ilekroć [ a , b , c ] , mamy [ f ( a ), f ( b ), f ( c )] . Jako ważny przykład, jeśli X jest podzbiorem cyklicznie uporządkowanego zbioru Y , a X ma swoje naturalne uporządkowanie, to mapa inkluzji i : X → Y jest osadzeniem.

Ogólnie rzecz biorąc, funkcja iniekcyjna f ze zbioru nieuporządkowanego X do cyklu Y indukuje unikalny porządek cykliczny na X , który sprawia, że ​​f jest osadzeniem.

Funkcje na zbiorach skończonych

Porządek cykliczny na skończonym zbiorze X można wyznaczyć przez wstrzyknięcie do okręgu jednostkowego X → S ¹ . Istnieje wiele możliwych funkcji, które indukują ten sam porządek cykliczny — w rzeczywistości nieskończenie wiele. Aby określić ilościowo tę redundancję, potrzebny jest bardziej złożony obiekt kombinatoryczny niż prosta liczba. Badanie przestrzeni konfiguracyjnej wszystkich takich map prowadzi do zdefiniowania politopu wymiarowego ( n - 1) znanego jako cyklohedron . Cykloedry zostały po raz pierwszy zastosowane do badania niezmienników węzłów ; ostatnio zastosowano je do eksperymentalnego wykrywania okresowo eksprymowanych genów w badaniu zegarów biologicznych .

Kategoria homomorfizmów standardowych cykli skończonych nazywana jest kategorią cykliczną ; można go użyć do skonstruowania cyklicznej homologii Alaina Connesa .

Można zdefiniować stopień funkcji między cyklami, analogicznie do stopnia odwzorowania ciągłego . Na przykład mapa naturalna od koła piątych do koła chromatycznego jest mapą stopnia 7. Można również zdefiniować liczbę rotacji .

Ukończenie

• Cięcie z najmniejszym i największym elementem jest nazywane skokiem . Na przykład każde cięcie skończonego cyklu _Zn jest skokiem. Cykl bez skoków nazywany jest gęstym .
• Cięcie, w którym nie ma ani najmniejszego, ani największego elementu, nazywa się przerwą . Na przykład liczby wymierne Q mają przerwę przy każdej liczbie niewymiernej. Mają też lukę w nieskończoności, czyli zwykłą kolejność. Cykl bez przerw nazywamy kompletnym .
• Cięcie z dokładnie jednym punktem końcowym nazywa się cięciem głównym lub cięciem Dedekinda . Na przykład każde przecięcie okręgu S ¹ jest przecięciem głównym. Cykl, w którym każde cięcie jest główne, zarówno gęste, jak i kompletne, nazywamy cyklem ciągłym .

[< ₁ , < ₂ , < ₃ ] i [ x , y , z ]

Zbiór wszystkich przekrojów jest cyklicznie uporządkowany według następującej relacji: [< ₁ , < ₂ , < ₃ ] wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją x , y , z takie, że:

x < ₁ y < ₁ z ,

x < ₁ y < ₂ z < ₂ x , i

x < ₁ y < ₁ z < ₃ x < ₃ y .

Pewnym podzbiorem tego cyklu cięć jest zakończenie pierwotnego cyklu przez Dedekinda.

Dalsze konstrukcje

Rozwijanie i okładki

Wychodząc z cyklicznie uporządkowanego zbioru K , można utworzyć porządek liniowy, rozwijając go wzdłuż nieskończonej linii. To oddaje intuicyjne pojęcie śledzenia, ile razy okrąża się koło. Formalnie definiuje się porządek liniowy na iloczynie kartezjańskim Z × K , gdzie Z jest zbiorem liczb całkowitych , ustalając element a i wymagając tego dla wszystkich i :

Jeśli [ za , x , y ] , to za _ja < x _ja < y _ja < za _{ja + 1} .

Na przykład miesiące styczeń 2023, maj 2023, wrzesień 2023 i styczeń 2024 występują w tej kolejności.

To uporządkowanie Z × K nazywa się uniwersalnym pokryciem K . Jego typ kolejności jest niezależny od wyboru a , ale notacja nie jest, ponieważ współrzędna całkowita „przewraca się” w a . Na przykład, chociaż cykliczny porządek klas tonacji jest zgodny z porządkiem alfabetycznym od A do G, C jest wybierane jako pierwsza nuta w każdej oktawie, więc w zapisie nut-oktaw , po B ₃ następuje C ₄ .

Konstrukcja odwrotna zaczyna się od zbioru uporządkowanego liniowo i zwija go w zbiór uporządkowany cyklicznie. Biorąc pod uwagę liniowo uporządkowany zbiór L i zachowującą porządek bijekcję T : L → L z nieograniczonymi orbitami, przestrzeń orbity L / T jest cyklicznie uporządkowana według wymagania:

Jeśli a < b < c < T ( a ) , to [[ a ], [ b ], [ c ]] .

W szczególności można odzyskać K , definiując T ( x _i ) = x _{i + 1} na Z × K .

Istnieją również n -krotne pokrycia dla skończonego n ; w tym przypadku jeden zbiór uporządkowany cyklicznie obejmuje inny zbiór uporządkowany cyklicznie. Na przykład zegar 24-godzinny jest podwójną osłoną zegara 12-godzinnego . W geometrii ołówek promieni wychodzących z punktu w zorientowanej płaszczyźnie jest podwójnym pokryciem ołówka niezorientowanych linii przechodzących przez ten sam punkt . Te mapy pokrywające można scharakteryzować, podnosząc je do okładki uniwersalnej.

Produkty i wycofania

Biorąc pod uwagę zbiór uporządkowany cyklicznie ( K , [ ]) i zbiór uporządkowany liniowo ( L , <) , (całkowity) iloczyn leksykograficzny jest porządkiem cyklicznym na zbiorze iloczynów K × L , zdefiniowanym przez [( a , x ), ( b , y ), ( c , z )] jeśli spełniony jest jeden z poniższych warunków:

• [ a , b , c ]
• a = b ≠ c i x < y
• b = do ≠ a i y < z
• c = za ≠ b i z < x
• za = b = do i [ x , y , z ]

Produkt leksykograficzny K × L globalnie wygląda jak K , a lokalnie wygląda jak L ; można to traktować jako K kopii L . Ta konstrukcja jest czasami używana do charakteryzowania grup uporządkowanych cyklicznie.

Można również skleić ze sobą różne zestawy uporządkowane liniowo, aby utworzyć zestaw uporządkowany kołowo. Na przykład, mając dwa liniowo uporządkowane zbiory L ₁ i L ₂ , można utworzyć okrąg łącząc je ze sobą w dodatniej i ujemnej nieskończoności. Porządek kołowy na związku rozłącznym L ₁ ∪ L ₂ ∪ {–∞, ∞ } jest zdefiniowany przez ∞ < L ₁ < –∞ < L ₂ < ∞ , gdzie uporządkowanie indukowane na L ₁ jest przeciwieństwem jego pierwotnego uporządkowania. Na przykład zbiór wszystkich długości geograficznych jest uporządkowany kołowo, łącząc ze sobą wszystkie punkty na zachód i wszystkie punkty na wschód, wraz z południkiem zerowym i południkiem 180 . Kuhlmann, Marshall i Osiak (2011) wykorzystują tę konstrukcję, charakteryzując przestrzenie porządków i rzeczywiste miejsca podwójnych formalnych szeregów Laurenta nad rzeczywistym ciałem zamkniętym .

Topologia

Przedziały otwarte tworzą podstawę topologii naturalnej , topologii porządku cyklicznego . Zbiory otwarte w tej topologii to dokładnie te zbiory, które są otwarte w każdym zgodnym rzędzie liniowym. Aby zilustrować różnicę, w zbiorze [0, 1) podzbiór [0, 1/2) jest sąsiedztwem 0 w porządku liniowym, ale nie w porządku cyklicznym.

Interesujące przykłady cyklicznie uporządkowanych przestrzeni obejmują granicę konforemną prosto połączonej powierzchni Lorentza i przestrzeń liścia podniesionej istotnej laminacji pewnych 3-rozmaitości. Zbadano również dyskretne układy dynamiczne w przestrzeniach uporządkowanych cyklicznie.

Topologia interwałowa zapomina o pierwotnej orientacji porządku cyklicznego. Orientację tę można przywrócić, wzbogacając interwały o ich indukowane rzędy liniowe; wtedy mamy zbiór pokryty atlasem porządków liniowych, które są kompatybilne tam, gdzie się nakładają. Innymi słowy, cyklicznie uporządkowany zbiór można traktować jako lokalnie uporządkowaną liniowo przestrzeń: obiekt podobny do rozmaitości , ale z relacjami porządku zamiast wykresów współrzędnych. Ten punkt widzenia ułatwia precyzję takich pojęć, jak zakrywanie map. Uogólnienie do lokalnie częściowo uporządkowanej przestrzeni jest badane w Roll (1993) ; zobacz także Topologia skierowana .

Powiązane struktury

Grupy

Główny artykuł: Grupa uporządkowana cyklicznie

Grupa uporządkowana cyklicznie to zbiór, który ma zarówno strukturę grupową , jak i porządek cykliczny, tak że zarówno mnożenie w lewo, jak iw prawo zachowuje porządek cykliczny. Grupy uporządkowane cyklicznie zostały po raz pierwszy dogłębnie zbadane przez Ladislava Riegera w 1947 r. Są one uogólnieniem grup cyklicznych : nieskończonej grupy cyklicznej Z i skończonych grup cyklicznych Z / n . Ponieważ porządek liniowy indukuje porządek cykliczny, grupy uporządkowane cyklicznie są również uogólnieniem grup uporządkowanych liniowo : liczb wymiernych Q , liczb rzeczywistych R i tak dalej. Niektóre z najważniejszych cyklicznie uporządkowanych grup nie należą do żadnej z poprzednich kategorii: grupa kołowa T i jej podgrupy, takie jak podgrupa punktów wymiernych .

Każdą cyklicznie uporządkowaną grupę można wyrazić jako iloraz L / Z , gdzie L jest grupą uporządkowaną liniowo , a Z jest cykliczną kokońcową podgrupą L . Każdą cyklicznie uporządkowaną grupę można również wyrazić jako podgrupę produktu T × L , gdzie L jest grupą uporządkowaną liniowo. Jeśli cyklicznie uporządkowana grupa jest archimedesowa lub zwarta, może być osadzona w samym T.

Zmodyfikowane aksjomaty

Częściowy porządek cykliczny to relacja trójskładnikowa, która uogólnia (całkowity) porządek cykliczny w taki sam sposób, w jaki porządek częściowy uogólnia porządek całkowity . Jest cykliczny, asymetryczny i przechodni, ale nie musi być całkowity. Różnorodność rzędów to częściowy porządek cykliczny, który spełnia dodatkowy aksjomat rozprzestrzeniania się . Zastąpienie aksjomatu asymetrii wersją komplementarną skutkuje zdefiniowaniem porządku kocyklicznego . Odpowiednio całkowite porządki kocykliczne są powiązane z porządkami cyklicznymi w taki sam sposób, w jaki ≤ jest związane z < .

Porządek cykliczny jest zgodny ze stosunkowo silnym 4-punktowym aksjomatem przechodniości. Jedną strukturą, która osłabia ten aksjomat, jest system CC : trójskładnikowa relacja, która jest cykliczna, asymetryczna i całkowita, ale generalnie nie jest przechodnia. Zamiast tego system CC musi przestrzegać 5-punktowego aksjomatu przechodniości i nowego wewnętrzności , który ogranicza 4-punktowe konfiguracje naruszające cykliczną przechodniość.

Porządek cykliczny musi być symetryczny przy cyklicznej permutacji, [ a , b , c ] ⇒ [ b , c , a ] i asymetryczny przy odwróceniu: [ a , b , c ] ⇒ ¬[ c , b , a ] . Relacja trójskładnikowa, która jest asymetryczna w przypadku cyklicznej permutacji i symetryczna w przypadku odwrócenia, wraz z odpowiednimi wersjami aksjomatów przechodniości i totalności, nazywana jest relacją między . Relacja separacji to czwartorzędowa relacja , którą można traktować jako porządek cykliczny bez orientacji. Związek między porządkiem kołowym a relacją separacji jest analogiczny do związku między porządkiem liniowym a relacją pośrednią.

Symetrie i teoria modeli

Evans, Macpherson i Ivanov (1997) przedstawiają modelowo teoretyczny opis pokrywających się map cykli.

Tararin ( 2001 , 2002 ) bada grupy automorfizmów cykli o różnych właściwościach przechodniości . Giraudet i Holland (2002) charakteryzują cykle, których pełne grupy automorfizmów działają swobodnie i przechodnio . Campero-Arena i Truss (2009) charakteryzują policzalne kolorowe cykle, których grupy automorfizmów działają przechodnio. Truss (2009) bada grupę automorfizmów unikalnego (z dokładnością do izomorfizmu) policzalnego gęstego cyklu.

Kulpeshov i Macpherson (2005) badają warunki minimalności na strukturach uporządkowanych kołowo , tj. modele języków pierwszego rzędu, które zawierają cykliczną relację porządku. Warunki te są odpowiednikami o-minimalności i słabej o-minimalności dla przypadku struktur uporządkowanych liniowo. Kulpeshov ( 2006 , 2009 ) kontynuuje niektóre charakterystyki struktur ω-kategorycznych .

Poznawanie

Hans Freudenthal podkreślił rolę porządków cyklicznych w rozwoju poznawczym, w przeciwieństwie do Jeana Piageta , który odnosi się tylko do porządków liniowych. Przeprowadzono pewne eksperymenty w celu zbadania mentalnych reprezentacji zestawów uporządkowanych cyklicznie, takich jak miesiące w roku.

Uwagi dotyczące użytkowania

Porządek cykliczny Relację można nazwać porządkiem cyklicznym ( Huntington 1916 , s. 630), porządkiem kołowym ( Huntington 1916 , s. 630), porządkiem cyklicznym ( Kok 1973 , s. 6) lub porządkiem kołowym ( Mosher 1996 , s. 109). Niektórzy autorzy nazywają takie uporządkowanie całkowitym porządkiem cyklicznym ( Isli & Cohn 1998 , s. 643), całkowitym porządkiem cyklicznym ( Novák 1982 , s. 462), liniowym porządkiem cyklicznym ( Novák 1984 , s. 323 ) lub -cykliczny porządek lub ℓ- cykliczny porządek ( Černák 2001 , s. 32), dla odróżnienia od szerszej klasy częściowych porządków cyklicznych , które nazywają po prostu porządkami cyklicznymi . Wreszcie, niektórzy autorzy mogą przyjąć, że porządek cykliczny oznacza niezorientowaną czwartorzędową relację separacji ( Bowditch 1998 , s. 155).

^cykl Zbiór o porządku cyklicznym można nazwać cyklem ( Novák 1982 , s. 462) lub kołem ( Giraudet & Holland 2002 , s. 1). Powyższe warianty występują również w formie przymiotnikowej: zbiór cyklicznie uporządkowany ( cyklicky uspořádané množiny , Čech 1936 , s. 23), zbiór kołowo uporządkowany , całkowity zbiór cyklicznie uporządkowany , kompletny zbiór cyklicznie uporządkowany , zbiór liniowo uporządkowany cyklicznie , zbiór l-cyklicznie uporządkowany , ℓ- zestaw zamawiany cyklicznie . Wszyscy autorzy zgadzają się, że cykl jest całkowicie uporządkowany.

^relacja trójskładnikowa Istnieje kilka różnych symboli relacji cyklicznej. Huntington (1916 , s. 630) używa konkatenacji: ABC . Čech (1936 , s. 23) i ( Novák 1982 , s. 462) używają uporządkowanych trójek i symbolu przynależności do zbioru: ( a , b , c ) ∈ C . Megiddo (1976 , s. 274) używa konkatenacji i przynależności do zbioru: abc ∈ C , rozumiejąc abc jako cyklicznie uporządkowaną trójkę. Literatura dotycząca grup, jak np . Świerczkowski (1959a , s. 162) oraz Černák i Jakubík (1987 , s. 157), często używa nawiasów kwadratowych: [ a , b , c ] . Giraudet i Holland (2002 , s. 1) używają nawiasów okrągłych: ( a , b , c ) , rezerwując nawiasy kwadratowe dla relacji pośredniej. Campero-Arena & Truss (2009 , s. 1) używają notacji w stylu funkcji: R ( a , b , c ) . Rieger (1947) , cyt. za Pecinová 2008 , s. 82) używa symbolu „mniej niż” jako separatora: < x , y , z < . Niektórzy autorzy używają notacji wrostkowej: a < b < c , rozumiejąc, że nie ma to zwykłego znaczenia a < b i b < c dla jakiejś relacji binarnej < ( Černy 1978 , s. 262). Weinstein (1996 , s. 81) podkreśla cykliczność, powtarzając element: p ↪ r ↪ q ↪ p .

^ osadzanie Novák (1984 , s. 332) nazywa osadzanie „osadzeniem izomorficznym”.

^roll W tym przypadku Giraudet i Holland (2002 , s. 2) piszą, że K to L „zrolowane”.

^orbit space Mapę T nazwano archimedean przez Bowditcha (2004 , s. 33), coterminal przez Campero-Arena & Truss (2009 , s. 582) oraz tłumaczenie McMullena (2009 , s. 10).

^ uniwersalna osłona McMullen (2009 , s. 10) nazywa Z × K „uniwersalną osłoną” K . Giraudet i Holland (2002 , s. 3) piszą, że K to Z × K „skręcony”. Freudenthal & Bauer (1974 , s. 10) nazywają Z × K „∞-czasami pokrycia” K . Często ta konstrukcja jest zapisywana jako porządek antyleksykograficzny na K × Z .

Bibliografia

cytatów

•   Bas, Hyman ; Otero-Espinar, Maria Wiktoria; Rockmore, Daniel; Tresser, Charles (1996), Cykliczny renormallzatlon i automorfizm grup ukorzenionych drzew , Lecture Notes in Mathematics, tom. 1621, Springer, doi : 10.1007/BFb0096321 , ISBN 978-3-540-60595-9
•   Bowditch, Brian H. (wrzesień 1998), „Punkty cięcia i podziały kanoniczne grup hiperbolicznych”, Acta Mathematica , 180 (2): 145–186, doi : 10.1007 / BF02392898 , S2CID 121148668
• Bowditch, Brian H. (listopad 2004), „Grupy planarne i hipoteza Seiferta” , Journal für die Reine und Angewandte Mathematik , 2004 (576): 11–62, doi : 10.1515/crll.2004.084 , dostęp 31 maja 2011 r .
• Brown, Kenneth S. (luty 1987), „Właściwości skończoności grup” (PDF) , Journal of Pure and Applied Algebra , 44 (1–3): 45–75, doi : 10.1016 / 0022-4049 (87) 90015- 6 , pobrane 21 maja 2011 r
•    Calegari, Danny (13 grudnia 2004), „Grupy kołowe, grupy planarne i klasa Eulera” (PDF) , Monografie geometrii i topologii , 7 : 431–491, arXiv : math / 0403311 , Bibcode : 2004math ..... .3311C , CiteSeerX 10.1.1.235.122 , doi : 10.2140/gtm.2004.7.431 , S2CID 14154261 , dostęp 30 kwietnia 2011
•   Calegari, Danny; Dunfield, Nathan M. (kwiecień 2003), „Laminacje i grupy homeomorfizmów koła”, Inventiones Mathematicae , 152 (1): 149–204, arXiv : math/0203192 , Bibcode : 2003InMat.152..149D , doi : 10.1007/s00222-002-0271-6 , S2CID 15149654
• Campero-Arena, G.; Truss , John K. ( kwiecień 2009 ) _ _ _ _ _ pobrane 25 kwietnia 2011 r
• Čech, Eduard (1936), Bodové množiny (po czesku), Praga: Jednota Československých matematiků a fysiků, hdl : 10338.dmlcz/400435 , dostęp 9 maja 2011 r.
• Černák, Štefan (2001), „Rozszerzenie Cantora połowy liniowo cyklicznie uporządkowanej grupy” , Discussiones Mathematicae - General Algebra and Applications , 21 (1): 31–46, doi : 10,7151/dmgaa.1025 , dostęp 22 maja 2011 r.
•    Černák, Stefan; Jakubík, Ján (1987), „Zakończenie grupy uporządkowanej cyklicznie”, Czechosłowacki Mathematical Journal , 37 (1): 157–174, doi : 10.21136 /CMJ.1987.102144 , hdl : 10338.dmlcz/102144 , MR 0875137 , Zbl 0624.0 6021
• Černy, Ilja (1978), „Cięcia w prostych połączonych regionach i cykliczne porządkowanie systemu wszystkich elementów brzegowych” (PDF) , Časopis Pro Pěstování Matematiky , 103 (3): 259–281, doi : 10.21136/CPM.1978.117983 , hdl : 10338.dmlcz/117983 , pobrano 11 maja 2011 r.
• Courcelle, Bruno (21 sierpnia 2003), „2.3 Porządek obiegowy” (PDF) , w: Berwanger, Dietmar; Grädel, Erich (red.), Problemy w teorii modeli skończonych , s. 12, zarchiwizowane z oryginału (PDF) w dniu 27 maja 2011 r. , pobrane 15 maja 2011 r.
• Coxeter, HSM (1949), „Rozdział 3: Porządek i ciągłość”, The Real Projective Plane
•   Evans, David M.; Macpherson, Dugald; Ivanov, Alexandre A. (1997), „Finite Covers” , w: Evans, David M. (red.), Teoria modeli grup i grup automorfizmów: Blaubeuren, sierpień 1995 , London Mathematical Society Lecture Note Series, tom. 244, Cambridge University Press, s. 1–72, ISBN 978-0-521-58955-0 , dostęp 5 maja 2011 r.
•   Freudenthal, Hans (1973), Matematyka jako zadanie edukacyjne , D. Reidel, ISBN 978-90-277-0235-7
•   Freudenthal, Hans; Bauer, A. (1974), "Geometria - dyskusja fenomenologiczna" , w: Behnke, Heinrich; Gould, SH (red.), Podstawy matematyki , tom. 2, MIT Press, s. 3–28 , ISBN 978-0-262-02069-5
•   Freudenthal, Hans (1983), Fenomenologia dydaktyczna struktur matematycznych , D. Reidel, ISBN 978-90-277-1535-7
•   Giraudet, Michele; Holland, W. Charles (wrzesień 2002), „Ohkuma Structures” (PDF) , Order , 19 (3): 223–237, doi : 10.1023 / A: 1021249901409 , S2CID 40537336 , pobrane 28 kwietnia 2011 r.
•    Huntington, Edward V. (1 listopada 1916), „Zbiór niezależnych postulatów dla porządku cyklicznego”, Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America , 2 (11): 630–631, Bibcode : 1916PNAS .. ..2..630H , doi : 10.1073/pnas.2.11.630 , PMC 1091120 , PMID 16576195
•    Huntington, Edward V. (15 lutego 1924), „Zestawy całkowicie niezależnych postulatów dla porządku cyklicznego”, Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America , 10 (2): 74–78, Bibcode : 1924PNAS .. .10...74H , doi : 10.1073/pnas.10.2.74 , PMC 1085517 , PMID 16576785
• Huntington, Edward V. (lipiec 1935), „Inter-relacje między czterema głównymi rodzajami zamówień” (PDF) , Transactions of the American Mathematical Society , 38 (1): 1–9, doi : 10.1090 / S0002-9947- 1935-1501800-1 , pobrane 8 maja 2011 r
•   Isli, Amar; Cohn, Anthony G. (1998), „Algebra do cyklicznego porządkowania orientacji 2D” (PDF) , AAAI '98 / IAAI '98 Materiały z piętnastej krajowej / dziesiątej konferencji na temat sztucznej inteligencji / innowacyjnych zastosowań sztucznej inteligencji , ISBN 978 -0-262-51098-1 , pobrano 23 maja 2011 r
•    Knuth, Donald E. (1992), Aksjomaty i kadłuby , Notatki z wykładów z informatyki, tom. 606, Heidelberg: Springer-Verlag, s. IX+109, doi : 10.1007/3-540-55611-7 , ISBN 978-3-540-55611-4 , S2CID 5452191 , dostęp 5 maja 2011
•   Kok, H. (1973), Połączone uporządkowane przestrzenie , Amsterdam: Mathematisch Centrum , ISBN 978-90-6196-088-1
• Kuhlmann, Salma; Marshall, Murray; Osiak, Katarzyna (1 czerwca 2011), „Cyclic 2-structures and spaces of ordering of power szeregi pól w dwóch zmiennych”, Journal of Algebra , 335 (1): 36–48, doi : 10.1016/j.jalgebra.2011.02. 026
• ₀  Kulpeshov, Beibut Sh. (Grudzień 2006), „On ℵ -kategoryczne słabo kołowo minimalne struktury”, Mathematical Logic Quarterly , 52 (6): 555–574, doi : 10.1002 / malq.200610014 , S2CID 20279077
• ₀  Kulpeshov, Beibut Sh. (Marzec 2009), „Definiowalne funkcje w ℵ -kategorycznych słabo okrągłych minimalnych strukturach”, Siberian Mathematical Journal , 50 (2): 282–301, doi : 10.1007 / s11202-009-0034-3 , S2CID 123179896
  • Tłumaczenie Kulpeshov ( 2009), ₀ "Определимые функции в ℵ -kategoria слабо циклически минимальных структурах" , Sibirskiĭ Matematicheskiĭ Zhurnal , 50 (2 ): 356–379 , dostęp 24 maja 2011 r
•    Kulpeshov, Beibut Sh.; Macpherson, H. Dugald (lipiec 2005), „Warunki minimalności w strukturach uporządkowanych kołowo”, Mathematical Logic Quarterly , 51 (4): 377–399, doi : 10.1002 / malq.200410040 , MR 2150368 , S2CID 37479502
• Macpherson, H. Dugald (2011), „A Survey of jednorodnych struktur” (PDF) , Discrete Mathematics , 311 (15): 1599–1634, doi : 10.1016/j.disc.2011.01.024 , dostęp 28 kwietnia 2011
•    McMullen, Curtis T. (2009), „Ribbon R-drzewa i dynamika holomorficzna na dysku jednostkowym” (PDF) , Journal of Topology , 2 (1): 23–76, CiteSeerX 10.1.1.139.8850 , doi : 10.1112/ jtopol/jtn032 , S2CID 427594 , pobrano 15 maja 2011 r.
• Megiddo , Nimrod ( marzec 1976 ) _ _ _ _ _ 30 kwietnia 2011 r
•    Morton, James; Pachter, Lior ; Shiu, Anna; Sturmfels, Bernd (styczeń 2007), „The Cyclohedron Test for Finding Periodic Genes in Time Course Expression Studies”, Statistical Applications in Genetics and Molecular Biology , 6 (1): Artykuł 21, arXiv : q-bio / 0702049 , Bibcode : 2007q .bio.....2049M , doi : 10.2202/1544-6115.1286 , PMID 17764440 , S2CID 17402424
•   Mosher, Lee (1996), „Przewodnik użytkownika po grupie klas mapowania: powierzchnie raz przebite”, w: Baumslag, Gilbert (red.), Geometryczne i obliczeniowe perspektywy grup nieskończonych , DIMACS, tom. 25, AMS Bookstore, s. 101–174, arXiv : math/9409209 , Bibcode : 1994math......9209M , ISBN 978-0-8218-0449-0
• Novák, Vítězslav (1982), „Zestawy ( 3 ( uporządkowane cyklicznie” PDF ) , Czechoslovak Mathematical Journal , 32 ) : 460–473 , doi : 10.21136/ CMJ.1982.101821
• Novák, Vítězslav (1984), „Cięcia w zestawach uporządkowanych cyklicznie” (PDF) , Czechoslovak Mathematical Journal , 34 (2): 322–333, doi : 10.21136/CMJ.1984.101955 , hdl : 10338.dmlcz/101955 , pobrane 30 kwietnia 2011
• Novák, Vítězslav; Novotný, Miroslav (1987), „O zakończeniu cyklicznie uporządkowanych zestawów”, Czechosłowacki Mathematical Journal , 37 (3): 407–414, doi : 10.21136/CMJ.1987.102168 , hdl : 10338.dmlcz/102168
•    Pecinová-Kozáková, Eliška (2005), „Ladislav Svante Rieger and His Algebraic Work”, w Safrankova, Jana (red.), WDS 2005 - Proceedings of Contributed Papers, Part I , Praga: Matfyzpress, s. 190–197, CiteSeerX 10.1.1.90.2398 , ISBN 978-80-86732-59-6
•   Pecinová, Eliška (2008), Ladislav Svante Rieger (1916–1963) , Dějiny matematiky (po czesku), tom. 36, Praga: Matfyzpress, hdl : 10338.dmlcz/400757 , ISBN 978-80-7378-047-0 , dostęp 9 maja 2011
• Rieger, LS (1947), „О uspořádaných a cyklicky uspořádaných grupách II (O uporządkowanych i cyklicznie uporządkowanych grupach II)”, Věstník Královské české Spolecnosti Nauk, Třída Mathematicko-přírodovědná (Dziennik Królewskiego Czeskiego Towarzystwa Nauk, Matematyki i Historii Naturalnej ) (po czesku) (1): 1–33
• Roll, J. Blair (1993), „Grupy częściowo uporządkowane lokalnie” (PDF) , Czechosłowacki Mathematical Journal , 43 (3): 467–481, doi : 10.21136 /CMJ.1993.128411 , hdl : 10338.dmlcz/128411 , pobrane 30 kwiecień 2011 r
•   Stasheff, Jim (1997), „Od oper do teorii inspirowanych fizycznie” , w: Loday, Jean-Louis; Stasheff, James D.; Voronov, Alexander A. (red.), Operads: Proceedings of Renaissance Conferences , Contemporary Mathematics, tom. 202, AMS Bookstore, s. 53–82, ISBN 978-0-8218-0513-8 , zarchiwizowane z oryginału w dniu 23 maja 1997 r. , Pobrane 1 maja 2011 r.
• Świerczkowski, S. (1959a), „O grupach uporządkowanych cyklicznie” (PDF) , Fundamenta Mathematicae , 47 (2): 161–166, doi : 10.4064/fm-47-2-161-166 , dostęp 2 maja 2011
•   Tararin, Walerij Michajłowicz (2001), „O grupach automorfizmu cyklicznie uporządkowanych zbiorów”, Siberian Mathematical Journal , 42 (1): 190–204, doi : 10.1023 / A: 1004866131580 , S2CID 117396034
  • Tłumaczenie Tamarin (2001), „Math -Net.ru " о групах автоморфизов циклически уRiption чных множеств , Sibirskii Matematichesskii Zhural (w języku rosyjskim), 42 (1): 212–230 , odzyskane 30 kwietnia 2011 r.
•   Tararin, Walerij Michajłowicz (2002), „O grupach automorfizmu c-3-przechodniego cyklicznie uporządkowanych zbiorów”, Uwagi matematyczne , 71 (1): 110–117, doi : 10,1023 / A: 1013934509265 , S2CID 126544835
  • Tłumaczenie Tamarin (2002 ), "О c-3-транзитивных группах автоморфизмов циклически упорядоченных множеств", Matematicheskie Zametki , 71 (1): 122–129, doi : 10 .4213/mzm333
• Truss, John K. (2009), „O grupie automorfizmów policzalnego, gęstego porządku kołowego” (PDF) , Fundamenta Mathematicae , 204 (2): 97–111, doi : 10.4064 / fm204-2-1 , pobrane 25 kwietnia 2011
•   Wiro, Oleg ; Iwanow, Oleg; Netsvetaev, Nikita; Kharlamov, Viatcheslav (2008), „8. Zamówienia cykliczne” (PDF) , Topologia elementarna: podręcznik problemowy (wyd. 1 w języku angielskim), AMS Bookstore, s. 42–44, ISBN 978-0-8218-4506-6 , pobrane 25 kwietnia 2011 r
•   Weinstein, Tilla (lipiec 1996), Wprowadzenie do powierzchni Lorentza , De Gruyter Expositions in Mathematics, tom. 22, Walter de Gruyter, ISBN 978-3-11-014333-1

Dalsza lektura

•   Bhattacharjee, Meenaxi; Macpherson, Dugald; Möller, Rögnvaldur G.; Neumann, Peter M. (1998), Uwagi o nieskończonych grupach permutacyjnych , Notatki z wykładów z matematyki, tom. 1698, Springer, s. 108–109, doi : 10.1007/BFb0092550 , ISBN 978-3-540-64965-6
•   Bodirsky, Manuel; Pinsker, Michael (2011), „Redukty struktur Ramseya” , Modelowe metody teoretyczne w kombinatoryce skończonej , współczesna matematyka, tom. 558, AMS, s. 489ff, arXiv : 1105.6073 , Bibcode : 2011arXiv1105.6073B , ISBN 978-0-8218-4943-9
•   Cameron, Peter J. (czerwiec 1976), „Przechodniość grup permutacji na zbiorach nieuporządkowanych”, Mathematische Zeitschrift , 148 (2): 127–139, doi : 10.1007 / BF01214702 , S2CID 120757129
•   Cameron, Peter J. (czerwiec 1977), „Kohomologiczne aspekty dwóch wykresów”, Mathematische Zeitschrift , 157 (2): 101–119, doi : 10.1007 / BF01215145 , S2CID 120726731
•    Cameron, Peter J. (1997), „Algebra wieku”, w Evans, David M. (red.), Teoria modeli grup i grup automorfizmów: Blaubeuren, sierpień 1995 , London Mathematical Society Lecture Note Series, tom. 244, Cambridge University Press, s. 126–133, CiteSeerX 10.1.1.39.2321 , ISBN 978-0-521-58955-0
• Courcelle, Bruno; Engelfriet, Joost (kwiecień 2011), Graph Structure and Monadic Second-Order Logic, a Language Theoretic Approach (PDF) , Cambridge University Press , dostęp 17 maja 2011
• Droste, M.; Giraudet, M.; Macpherson, D. (marzec 1995), „Periodic Ordered Permutation Groups and Cyclic Orderings”, Journal of Combinatorial Theory , seria B , 63 (2): 310–321, doi : 10.1006 / jctb.1995.1022
•    Droste, M.; Giraudet, M.; Macpherson, D. (marzec 1997), „Set-Homogeneous Graphs and Embeddings of Total Orders”, Order , 14 (1): 9–20, CiteSeerX 10.1.1.22.9135 , doi : 10,1023 / A: 1005880810385 , S2CID 16990257
•   Evans, David M. (17 listopada 1997), „Skończone okładki ze skończonymi jądrami”, Annals of Pure and Applied Logic , 88 (2–3): 109–147, CiteSeerX 10.1.1.57.5323 , doi : 10.1016 / S0168- 0072(97)00018-3
•   Ivanov, AA (styczeń 1999), „Finite Covers, Cohomology and Homogeneous Structures”, Proceedings of the London Mathematical Society , 78 (1): 1–28, doi : 10.1112 / S002461159900163X , S2CID 120545318
•   Jakubík, Ján (2006), „O permutacjach monotonicznych zestawów uporządkowanych cyklicznie ℓ” (PDF) , Czechoslovak Mathematical Journal , 45 (2): 403–415, doi : 10.1007/s10587-006-0026-4 , hdl : 10338 .dmlcz/128075 , S2CID 51756248 , dostęp 30 kwietnia 2011 r.
•   Kennedy, Christine Cowan (sierpień 1955), O cyklicznej relacji trójskładnikowej ... (praca magisterska) , Tulane University, OCLC 16508645
• Kónya, Eszter Herendine (2006), „Matematyczna i dydaktyczna analiza pojęcia orientacji”, Nauczanie matematyki i informatyki , 4 (1): 111–130, doi : 10.5485 / TMCS.2006.0108
•   Kónya, Eszter Herendine (2008), „Przemiany geometryczne i koncepcja porządku cyklicznego” (PDF) , w: Maj, Bożena; Pytlak, Marta; Swoboda, Ewa (red.), Wspieranie niezależnego myślenia poprzez edukację matematyczną , Wydawnictwo Uniwersytetu Rzeszowskiego, s. 102–108, ISBN 978-83-7338-420-0 , dostęp 17 maja 2011 r.
•   Leloup, Gérard (luty 2011), „Ekwiwalentne egzystencjalnie cykliczne przestrzenie ultrametryczne i grupy o wartościach cyklicznych” (PDF) , Logic Journal of the IGPL , 19 (1): 144–173, CiteSeerX 10.1.1.152.7462 , doi : 10.1093 / jigpal /jzq024 , pobrano 30 kwietnia 2011 r
• ₀  Marongiu, Gabriele (1985), „Kilka uwag na temat ℵ -kategoryczności porządków kołowych”, Unione Matematica Italiana. Bollettino. B. Serie VI (w języku włoskim), 4 (3): 883–900, MR 0831297
• McCleary, Stephen; Rubin, Matatyahu (6 października 2005), Grupy przemieszczające się lokalnie i problem rekonstrukcji łańcuchów i kręgów , arXiv : math/0510122 , Bibcode : 2005math.....10122M
•   Müller, G. (1974), "Lineare und cyklische Ordnung", Praxis der Mathematik , 16 : 261–269, MR 0429660
•   Rubin, M. (1996), „Grupy poruszające się lokalnie i problemy z odbudową”, w Holandii, W. Charles (red.), Uporządkowane grupy i nieskończone grupy permutacji , Matematyka i jej zastosowania, tom. 354, Kluwer, s. 121–157, ISBN 978-0-7923-3853-6
• Świerczkowski, S. (1956), "O cyklicznych stosunkach porządkujących", Bulletin de l'Académie Polonaise des Sciences, Classe III , 4 : 585-586
• Świerczkowski, S. (1959b), „O cyklicznie uporządkowanych przedziałach liczb całkowitych” (PDF) , Fundamenta Mathematicae , 47 (2): 167–172, doi : 10.4064/fm-47-2-167-172 , dostęp 2 maja 2011 r.
• Kratownica, JK (lipiec 1992), „Ogólne automorfizmy struktur jednorodnych”, Proceedings of the London Mathematical Society , 3, 65 (1): 121–141, doi : 10.1112/plms/s3-65.1.121

Linki zewnętrzne

• zlecenie cykliczne w n Lab
• Media związane z porządkiem cyklicznym (matematyka) w Wikimedia Commons