Stożek normalny (analiza funkcjonalna)

$jest$ szczególnie w porządku $i$ analizie , jeśli stożkiem na początku $,$ przestrzeni wektorowej tak że i jeśli $\ mathcal {U}}}$$,$ jest filtrem sąsiedztwa na początku, wtedy nazywa się normalnym jeśli $\ lewo [{\ mathcal {U}} \ prawej] _ {C},} gdzie [$${\ Displaystyle \ lewo [{\ mathcal {U}} \ prawo] _ {C}: = \ lewo \ {[U] _ {C}: U \ w {\ mathcal {U}} \ prawo \}}$ U i gdzie dla dowolnego podzbioru ${\ Displaystyle S \ subseteq X,}$${\ Displaystyle [S] _ {C}: = (S + C) \ cap ($ SC ${\ Displaystyle S.}$ nasyceniem $}$ jest

Stożki normalne odgrywają ważną rolę w teorii uporządkowanych topologicznych przestrzeni wektorowych i topologicznych sieci wektorowych .

Charakteryzacje

Jeśli jest $stożkiem$$[S] _ {C}: = \ lewo (S + C \ prawo) \ czapka \ lewo (SC \ prawo)}$ TVS , to dla dowolnego podzbioru $\ Displaystyle S \ subseteq X}$$X$ do być $C}$ nasycony kadłub S ⊆ X do ${\ Displaystyle S \ subseteq X}$ i dla dowolnej kolekcji ${\ Displaystyle {\ mathcal {S}}}$ podzbiorów ${\ Displaystyle X}$ niech ${\ Displaystyle \ lewo [{\ mathcal {S}} \ prawo] _ {C}: = \ lewo \ {\ lewo [S \ prawo] _ {C}: S \ w {\ mathcal {S}} \ prawo \}.}$ Jeśli jest stożkiem w TVS, to ${$ \ displaystyle $}$${\ Displaystyle C}$ jest normalne , jeśli ${\ Displaystyle {\ mathcal {U}} = \ lewo [{\ mathcal {U}} \ prawej] _ {C},}$ gdzie ${\ displaystyle C} displaystyle {\mathcal {U}}}$ to filtr sąsiedztwa na początku.

T {\ displaystyle {\ mathcal { $}}}$$}}}$ jest zbiorem podzbiorów ${\ displaystyle X}$ i jeśli jest podzbiorem $} {$$\ displaystyle {\ mathcal$$\ Displaystyle$ wtedy jest podstawową podrodziną T ${\ mathcal {T}}},$ jeśli każdy ${\ Displaystyle T \ w {\ mathcal { T}}}$ jest zawarte jako podzbiór pewnego elementu $F$$}}.}$ Jeśli jest rodziną podzbiorów TVS ${\ displaystyle X},$ to stożek w ${\ Displaystyle X}$$}$ nazywa się ${\ Displaystyle {\ mathcal {G}}}$ -stożek , jeśli ${\ Displaystyle \ lewo \ {{\ overline {\ lewo [G \ prawo]_{C}}}:G\w {\mathcal {G}}\prawo\}}$$jest$ podstawową podrodziną $}}},$${\ Displaystyle \ lewo \ {\ lewo [G \ prawej] _ {C}: G \ in {\ mathcal {G}} \ prawej \}} jest podstawową$ ścisłą $G$ , a jest jeśli podrodziną ${\ Displaystyle {\ mathcal {G}}.}$ Niech ${\ Displaystyle {\ mathcal {B}}}$ oznaczają rodzinę wszystkich ograniczonych podzbiorów ${\ Displaystyle X.}$

Jeśli jest stożkiem w TVS (nad liczbami rzeczywistymi lub zespolonymi $)$ , to następujące są równoważne: do {\ $}$

1. $do {\ displaystyle C}$ normalny stożek.
2. ${\ displaystyle \ lim {\ mathcal {F}} = 0}$ każdego filtra w $\$$Displaystyle X,}$ jeśli to ${\ Displaystyle \ lim \ lewo [{\ mathcal {F}} \ prawej] _ {C} = 0.}$
3. Istnieje baza sąsiedztwa ${\ Displaystyle \ lewo [B \ czapka C \ prawo] _ {C} \ subseteq B.}$ X $taka$$Displaystyle X}$ , że $}$ [

a jeśli jest przestrzenią wektorową nad liczbami rzeczywistymi, to możemy dodać do tej listy: ${\ displaystyle X}$

4. $zbiorów$ zrównoważonych początku istnieje baza sąsiedztwa składająca się z wypukłych, , nasyconych .
5. Istnieje rodzina generująca $półnorm$ na takich, że $Displaystyle p (x) \$$)$ dla wszystkich ${\ Displaystyle x, y \ w C$${\ displaystyle p \ w {\ mathcal {P}}.}$ i

a jeśli jest lokalnie wypukłą przestrzenią i jeśli podwójny stożek jest oznaczony przez $\$$Displaystyle X ^ {\ pierwsza}},$$to$ możemy dodać do tej listy: X {\ displaystyle

6. Dla każdego równociągłego podzbioru ${\ displaystyle S \ subseteq BB.}$ równociągły podzbiór $Displaystyle$ że $}$
7. Topologia jest topologią jednolitej zbieżności na ${\ Displaystyle C ^ {\ pierwsza}.}$$′$

${\ displaystyle X } {\prime }}$ jeśli jest lokalnie wypukłą przestrzenią w podczerwieni i jeśli $jest$ rodziną wszystkich silnie ograniczonych podzbiorów $}} ^$ to możemy dodać do tej listy:

8. Topologia jest topologią jednolitej zbieżności na silnie $′$${\ Displaystyle C ^ {\ pierwsza}.}$
9. ${\ Displaystyle C ^ {\ liczba pierwsza}}$ to stożek w ${\ Displaystyle X ^ {\ pierwsza}.}$${\ Displaystyle {\ mathcal {B}} ^ {\ liczba pierwsza}$
   • Oznacza to, że rodzina ${\ Displaystyle \ lewo \ {{\ overline {\ lewo [B ^ {\ pierwsza} \right]_{C}}}:B^{\prime }\in {\mathcal {B}}^{\prime }\right\}} jest$ podstawową podrodziną ${\ Displaystyle {\ mathcal {B}} ^ {\ pierwsza}.}$
10. ${\ Displaystyle C ^ {\ pierwsza}}$${\ Displaystyle X ^ {\ pierwsza}.}$ ścisły stożek w ${\ Displaystyle {\ mathcal {B}} ^ {\ pierwsza}}$
    • oznacza to, że rodzina ${\ Displaystyle \ lewo \ {\ lewo [B ^ {\ pierwsza} \ prawo] _ { C}:B^{\prime }\in {\mathcal {B}}^{\prime }\right\}} jest$ podstawową podrodziną ${\ Displaystyle {\ mathcal {B}} ^ {\ pierwsza}.}$

$\ displaystyle X}$ jeśli jest uporządkowanym lokalnie wypukłym TVS nad liczbami rzeczywistymi, których dodatnim stożkiem jest to możemy dodać do tej listy: ${$

11. istnieje lokalnie zwarta przestrzeń topologiczna Hausdorffa taka, że $\ Displaystyle R (S)$$uporządkowany$ TVS) z podprzestrzenią $gdzie$${\ Displaystyle R (S)}$ jest przestrzenią wszystkich funkcji ciągłych o wartościach rzeczywistych $topologii$ zwartej zbieżności.

Jeśli $\ Displaystyle X}$${$ jest lokalnie wypukłym TVS, to stożek w $X$ podwójnym stożkiem $^ {\ pierwsza} \ subseteq X ^ {\ liczba pierwsza},}$ i jest $nasyconą$ rodziną słabo ograniczonych podzbiorów ${\ Displaystyle X ^ {\ liczba pierwsza}},$

1. jeśli jest $-stożek$ to do ${\ displaystyle$$}$ normalnym stożkiem dla $G}}}$$\mathcal {\mathcal {}$ - topologia na ${\ displaystyle X}$ ;
2. jeśli jest normalnym stożkiem dla -topologii na $z$${\ Displaystyle X}$$zgodnej$ ⟨ $} \ prawo \ rangle}$$X ,$$wtedy$${ \$ jest ścisłym -stożkiem w ${\ Displaystyle X ^ {\ pierwsza}.}$

Jeśli jest przestrzenią Banacha, to $Displaystyle$ zamkniętym stożkiem w $X}$$i$$\ Displaystyle {\ mathcal {B}} ^ {\ pierwsza} }$ jest rodziną wszystkich ograniczonych podzbiorów z ${\ Displaystyle X_ {b} ^ {\ pierwsza}}$ wtedy podwójny stożek do ${\ Displaystyle C ^ {\ pierwsza}}$ jest normalny w $\ Displaystyle X_{b}^{\prime}}$ wtedy i tylko wtedy, gdy $do {\ displaystyle$$}$ jest ścisłym .

Jeśli jest przestrzenią Banacha i jest stożkiem w $X$$},$ to następujące są równoważne: do $\ displaystyle X}$

1. $}$ to stożek -b $\ displaystyle {\ mathcal {B}}}$ w ${\ displaystyle X}$ ;
2. $\ Displaystyle X = {\ overline {C}} - {\ overline {C}}}$ ;
3. ${\ overline {C}}}$$Displaystyle$ jest ścisłym w ${\ Displaystyle X.}$

Nieruchomości

• Jeśli jest to Hausdorff TVS, to każdy normalny stożek w $X}$$displaystyle$ jest właściwym stożkiem.
• Jeśli ${\ Displaystyle X ^ {\ liczba pierwsza} = C ^ {\ liczba pierwsza} -C ^ {\ liczba pierwsza}.}$ normalną przestrzenią i jeśli jest normalnym stożkiem w $}$${\ displaystyle$$X$ to
• ${\ displaystyle X}$ , że dodatni stożek uporządkowanego lokalnie wypukłego TVS $że$ słabo normalny w $i$ jest uporządkowanym lokalnie wypukłym TVS z dodatnim stożkiem ${\ Displaystyle D.}$ Jeśli ${\ displaystyle Y = DD}$ to ${\ displaystyle HH}$ jest gęsty w ${\ Displaystyle L_ {s} (X; Y)}$ gdzie ${\ Displaystyle H}$ jest kanonicznym dodatnim stożkiem ${\ Displaystyle L (X; Y)}$ i $Displaystyle L_ {s} (X; Y)$$prostej$ zbieżności .
  • Jeśli ${\ Displaystyle {\ mathcal {G}}}$$jest$ rodziną ograniczonych podzbiorów $-stożek$$\ Displaystyle {\$$nie$ ma prostych warunków gwarantujących, że jest w { $T}$ podzbiorów ${\ Displaystyle L _ {\ mathcal {G}} (X; Y)}$ (z wyjątkiem bardzo szczególnych przypadków).

Wystarczające warunki

Jeśli topologia na $wypukła,$ to zamknięcie normalnego stożka jest normalnym stożkiem.

Załóżmy, że $jest$$rodziną$ lokalnie wypukłych TVS i $alpha }}$ to stożek w $\ Displaystyle X _ {\ alfa}.}$$sumą bezpośrednią$ lokalnie to stożek ${\ Displaystyle C: = \ bigoplus _ {\ alfa} C _ {\ alfa}}$ jest normalnym stożkiem w ${\ Displaystyle X}$ wtedy i tylko wtedy, gdy każdy jest normalny ${\ Displaystyle X_ {\ alfa}}$ w ${\ displaystyle X _ {\ alfa}.}$

Jeśli jest $lokalnie wypukłą przestrzenią, to$ normalnego stożka jest normalnym stożkiem.

Jeśli $displaystyle C}}$ stożkiem w lokalnie wypukłym TVS ${\ Displaystyle X}$$i$ jeśli jest podwójnym stożkiem z do $, {\ Displaystyle C}, to$$\ Displaystyle X ^ {\ liczba pierwsza} = C ^ {\ liczba pierwsza} -C ^ {\ liczba pierwsza}}$ { wtedy i tylko wtedy, gdy do $\ Displaystyle C}$ jest słabo normalny. Każdy normalny stożek w lokalnie wypukłym TVS jest słabo normalny. W przestrzeni znormalizowanej stożek jest normalny wtedy i tylko wtedy, gdy jest słabo normalny.

Jeśli i ${\ Displaystyle$$X$$}$ są uporządkowane lokalnie wypukłe TVS i jeśli jest rodziną ograniczonych podzbiorów $\ Displaystyle X},$ jeśli dodatni stożek to $i$ w $X$ jeśli dodatni stożek jest normalnym stożkiem w $displaystyle$$X}$${\ Displaystyle Y}$ to dodatni stożek ${\ Displaystyle L _ {\ mathcal {G}} (X; Y)}$ normalnym stożkiem dla ${\ Displaystyle {\ mathcal {G} }}$ -topologia na ${\ Displaystyle L (X; Y).}$

Zobacz też

• Nasycone stożkiem
• Topologiczna siatka wektorowa
• Krata wektorowa - Częściowo uporządkowana przestrzeń wektorowa, uporządkowana jako siatka Strony wyświetlające krótkie opisy celów przekierowania

Bibliografia

•    Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Topologiczne przestrzenie wektorowe . Matematyka czysta i stosowana (wyd. Drugie). Boca Raton, Floryda: CRC Press. ISBN 978-1584888666 . OCLC 144216834 .
•    Schaefer, Helmut H .; Wolff, Manfred P. (1999). Topologiczne przestrzenie wektorowe . GTM . Tom. 8 (wyd. Drugie). Nowy Jork, NY: Springer Nowy Jork Impressum Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0 . OCLC 840278135 .