Podwójny stożek i stożek biegunowy

Zbiór C i jego podwójny stożek C ^* .

Zbiór C i jego stożek biegunowy C ^o . Podwójny stożek i stożek biegunowy są względem siebie symetryczne względem pochodzenia.

Stożek podwójny i stożek biegunowy to blisko spokrewnione pojęcia w analizie wypukłej , gałęzi matematyki .

Podwójny stożek

W przestrzeni wektorowej

Stożek podwójny C ^* podzbioru C w przestrzeni ^* liniowej X nad liczbami rzeczywistymi , np. ^przestrzeń euklidesowa Rn , z przestrzenią dualną X jest zbiorem

${\ Displaystyle C ^ {*} = \ lewo \ {y \ w X ^ {*}: \ langle y, x \ rangle \geq 0\quad \forall x\in C\right\},}$

gdzie ${\ Displaystyle \ langle y, x \ rangle}$ to parowanie dualności między X i X ^* , tj. ${\ Displaystyle \ langle y, x \ rangle = y (x)}$ .

C ^* jest zawsze stożkiem wypukłym , nawet jeśli C nie jest ani wypukły , ani stożkowy .

W topologicznej przestrzeni wektorowej

Jeśli X jest topologiczną przestrzenią wektorową nad liczbami rzeczywistymi lub zespolonymi, to podwójny stożek podzbioru C ⊆ X jest następującym zbiorem ciągłych funkcjonałów liniowych na X :

${\ Displaystyle C ^ {\ liczba pierwsza}: = \ lewo \ {f \ w X ^ {\ liczba pierwsza}: \operatorname {Re} \left(f(x)\right)\geq 0{\text{dla wszystkich}}x\in C\right\}}$ ,

który jest biegunem zbioru - C . Bez względu na to, czym $.$ C , stożkiem wypukłym Jeśli do ⊆ {0}, to do ${\ Displaystyle C ^ {\ liczba pierwsza} = X ^ {\ liczba pierwsza}$ .

W przestrzeni Hilberta (wewnętrzny podwójny stożek)

Alternatywnie, wielu autorów definiuje stożek podwójny w kontekście rzeczywistej przestrzeni Hilberta (takiej jak R ⁿ wyposażonej w iloczyn wewnętrzny euklidesa) jako coś, co czasami nazywa się wewnętrznym stożkiem podwójnym .

${\ Displaystyle C _ {\ tekst {wewnętrzny}} ^ {*}: = \ lewo \ {y \ w X: \ langle y, x \ rangle \ geq 0 \ quad \ forall x \ w C \ prawo \}.}$

Korzystając z tej ostatniej definicji dla C ^* , mamy, że gdy C jest stożkiem, zachodzą następujące właściwości:

• Niezerowy wektor y jest w C ^* wtedy i tylko wtedy, gdy spełnione są oba poniższe warunki:

1. y jest normalną na początku hiperpłaszczyzny , która obsługuje C .
2. y i C leżą po tej samej stronie tej wspierającej hiperpłaszczyzny.

• C ^* jest domknięty i wypukły.
• ${\ Displaystyle C_ {1} \ subseteq C_ {2}}$ implikuje ${\ Displaystyle C_ {2} ^ {*} \ subseteq C_ {1} ^ {*}}$ .
• Jeśli C ma niepuste wnętrze, to C ^* jest spiczaste , tzn. C* nie zawiera całej linii.
• Jeśli C jest stożkiem, a zamknięcie C jest spiczaste, to C ^* ma niepuste wnętrze.
• C ^** jest zamknięciem najmniejszego wypukłego stożka zawierającego C (konsekwencja twierdzenia o separacji hiperpłaszczyzn )

Samopodwójne stożki

stożek C w przestrzeni wektorowej X jest samodualny , jeśli X można wyposażyć w iloczyn wewnętrzny ⟨⋅,⋅⟩ taki, że wewnętrzny stożek podwójny względem tego iloczynu wewnętrznego jest równy C . Ci autorzy, którzy definiują podwójny stożek jako wewnętrzny podwójny stożek w rzeczywistej przestrzeni Hilberta, zwykle mówią, że stożek jest samodualny, jeśli jest równy jego wewnętrznemu podwójnemu stożkowi. Różni się to nieco od powyższej definicji, która pozwala na zmianę iloczynu wewnętrznego. ^powyższa definicja sprawia, że ​​stożek o podstawie elipsoidalnej w Rn jest samopodwójny, ponieważ iloczyn wewnętrzny można zmienić, aby podstawa była kulista, a stożek o kulistej podstawie w Rn jest równy jego wewnętrznej liczbie podwójnej ^.

Nieujemny ortant Rn i przestrzeń wszystkich dodatnich półokreślonych macierzy są samodualne, podobnie jak stożki o elipsoidalnej podstawie (często nazywane „stożkami kulistymi”, „stożkami Lorentza” lub czasami „rożkami lodów” ) ^. Podobnie wszystkie stożki w R ³ , których podstawą jest wypukła powłoka wielokąta foremnego o nieparzystej liczbie wierzchołków. Mniej regularnym przykładem jest stożek w R ³ , którego podstawą jest „dom”: wypukła obudowa kwadratu i punkt na zewnątrz kwadratu, tworzący trójkąt równoboczny (o odpowiedniej wysokości) z jednym bokiem kwadratu.

Stożek polarny

Biegunem zamkniętego stożka wypukłego C jest zamknięty stożek wypukły C ^o i odwrotnie.

Dla zbioru C w X , zbiorem jest stożek biegunowy C

${\ Displaystyle C ^ {o} = \ lewo \ {y \ w X ^ {*}: \ langle y, x \ rangle \ równoważnik 0 \ quad \ forall x \ w C \ w prawo \}.}$

Można zauważyć, że stożek biegunowy jest równy ujemnemu stożkowi podwójnemu, czyli C ^o = − C ^* .

Dla zamkniętego stożka wypukłego C w X , stożek biegunowy jest równoważny zbiorowi biegunowemu dla C .

Zobacz też

• Twierdzenie dwubiegunowe
• Zestaw polarny

Bibliografia

•   Bołtyański, WG ; Martini, H.; Sołtan, P. (1997). Wycieczki do geometrii kombinatorycznej . Nowy Jork: Springer. ISBN 3-540-61341-2 .
•   Boże, CJ; Yang, XQ (2002). Dualność w optymalizacji i nierówności wariacyjne . Londyn; Nowy Jork: Taylor i Francis. ISBN 0-415-27479-6 .
•    Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Topologiczne przestrzenie wektorowe . Matematyka czysta i stosowana (wyd. Drugie). Boca Raton, Floryda: CRC Press. ISBN 978-1584888666 . OCLC 144216834 .
•   Ramm, AG (2000). Shivakumar, PN; Strauss, AV (red.). Teoria operatorów i jej zastosowania . Providence, RI: Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne. ISBN 0-8218-1990-9 .
•    Schaefer, Helmut H .; Wolff, Manfred P. (1999). Topologiczne przestrzenie wektorowe . GTM . Tom. 8 (wyd. Drugie). Nowy Jork, NY: Springer Nowy Jork Impressum Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0 . OCLC 840278135 .