Uporządkowana przestrzeń wektorowa

Punkt w $^ {2}}$$\ Displaystyle \ mathbb {R$$Displaystyle$ i zbiór wszystkich takich, że $x \ leq y}$ (w czerwony). Kolejność tutaj jest następująca wtedy i tylko wtedy, gdy $Displaystyle x_$$y_ {1}}$${\ displaystyle x_ {2} \ równoważnik y_ {2}.}$ i

W matematyce uporządkowana przestrzeń wektorowa lub częściowo uporządkowana przestrzeń wektorowa to przestrzeń wektorowa wyposażona w częściowy porządek zgodny z operacjami na przestrzeni wektorowej.

Definicja

$}$ uwagę przestrzeń wektorową nad liczbami rzeczywistymi i preorder na zestawie $R$${\$ mathbb $}$ para ${\ Displaystyle (X, \ równoważnik)}$ nazywana jest wstępnie uporządkowaną przestrzenią wektorową i mówimy, że wstępne zamówienie jest zgodne ze strukturą przestrzeni wektorowej ${\ Displaystyle \, \ równoważnik \,}$ z ${\ Displaystyle X}$ i wezwij wektor w przedsprzedaży na ${\ Displaystyle X}$$,$ jeśli dla wszystkich $\ Displaystyle x, y, z \ in X}$ i ${\ displaystyle r \ in \ mathbb {R}}$ z ${\ displaystyle r \ geq 0}$ spełnione są następujące dwa aksjomaty

1. ${\ Displaystyle x \ równoważnik y}$ implikuje ${\ Displaystyle x + z \ równoważnik y + z,}$
2. ${\ Displaystyle y \ równoważnik x}$ implikuje ${\ displaystyle ry \ równoważnik rx.}$

Jeśli jest porządkiem częściowym zgodnym ze strukturą przestrzeni wektorowej $\ równoważnik \,}$$\ Displaystyle X}$$to$ nazywany { \ przestrzeń i $jest$ częściowym rzędem wektora na ${\ Displaystyle X.}$ Te dwa aksjomaty implikują, że tłumaczenia i pozytywne jednorodności są automorfizmami struktury $odwzorowanie$ , a jest izomorfizmem podwójnego Uporządkowane przestrzenie wektorowe to uporządkowane grupy w ramach operacji dodawania. Zauważ, że ${\ Displaystyle x \ równoważnik y}$ wtedy i tylko wtedy, gdy ${\ Displaystyle -y \ równoważnik -x.}$

Stożki dodatnie i ich równoważność z rzędami

Podzbiór przestrzeni wektorowej nazywany jest stożkiem , jeśli dla wszystkich rzeczywistych r $r>$$C$$displaystyle$ $rC\subseteq C.$ A cone is called pointed if it contains the origin. A cone $C$ is convex if and only if $C+C\subseteq C.$ Przecięcie dowolnej niepustej rodziny stożków (odpowiednio stożków wypukłych) jest ponownie stożkiem (odpowiednio stożkiem wypukłym) ; to samo dotyczy połączenia rosnącej (pod ustalonym włączeniem ) rodziny czopków (odp. stożków wypukłych). Mówi się, ${\ Displaystyle X = CC.}$$stożek$ przestrzeni wektorowej $generuje$ , jeśli Dodatni stożek generuje się wtedy i tylko wtedy, gdy jest a zestaw skierowany pod ${\ Displaystyle \, \ równoważnik.}$

Biorąc pod uwagę wstępnie uporządkowaną przestrzeń wektorową $Displaystyle$ podzbiór wszystkich elementów $Displaystyle$$X ^ {+}}$ w $}$$(X, \ równoważnik) X , {\ Displaystyle X$ satysfakcjonujący $wypukły$ spiczasty stożek z wierzchołkiem to znaczy zawiera ${\ Displaystyle 0}$$)$ zwany dodatnim stożkiem ${\ displaystyle X}$ i oznaczony przez ${\ Displaystyle \ operatorname {PosCone} X.}$ Elementy dodatniego stożka nazywane są dodatnimi . x ${\ Displaystyle x}$ i ${\ Displaystyle y}$ są elementami wstępnie uporządkowanej przestrzeni wektorowej ${\ Displaystyle (X, \ równoważnik)},$ następnie $Displaystyle x \ równoważnik y}$ wtedy i tylko wtedy, gdy ${\ Displaystyle yx \ w X ^ {+}.}$ Biorąc pod uwagę dowolny spiczasty wypukły stożek $Displaystyle$ wierzchołkiem $0,} można$ zdefiniować preorder ${\ Displaystyle \, \ równoważnik \,}$${\ Displaystyle X} , który$$w X,}$ , { $y$ że ${\ Displaystyle x \ równoważnik y}$ wtedy i tylko wtedy, gdy ${\ Displaystyle yx \ w C;}$ dodatni stożek tej wynikowej wstępnie uporządkowanej przestrzeni wektorowej to ${\ displaystyle C.}$ Istnieje zatem relacja jeden do jednego między spiczastymi wypukłymi stożkami z wierzchołkami $i$ preorderami wektorów na ${\ displaystyle X.}$ Jeśli jest $uporządkowany$ , możemy utworzyć relację równoważności na $Displaystyle X}$$\$ przez zdefiniowanie jest równoważne z ${\ Displaystyle y}$ wtedy i tylko wtedy, gdy $równoważnik y}$ i $;}$$X}$$x$ jeśli jest klasą równoważności zawierającą pochodzenie, to jest podprzestrzenią wektorową $Displaystyle$ i ${\ Displaystyle X/N}$ jest uporządkowaną przestrzenią wektorową pod relacją: ${\ Displaystyle A \ leq B}$ wtedy i tylko istnieje ${\ Displaystyle a \ in A}$ i ${\ Displaystyle b \ in B}$ takie, że ${\ Displaystyle a \ równoważnik b.}$

Podzbiór przestrzeni wektorowej $nazywany$ jest $stożkiem$ właściwym $, jeśli$${\ Displaystyle C \ cap (-C) = \ {0 \}.}$ wypukłym stożkiem spełniającym Wyraźnie, ${\ Displaystyle C}$ jest właściwym stożkiem, jeśli (1) ${\ Displaystyle C + C \ subseteq C, }$ (2) ${\ Displaystyle rC \ subseteq C}$ wszystkich ${\ Displaystyle r> 0,}$ i (3) ${\ Displaystyle C \ cap (-C) = \ {0 \}.}$ Przecięcie dowolnej niepustej rodziny właściwych stożków jest znowu właściwym stożkiem. Każdy właściwy stożek $rzeczywistej$ przestrzeni wektorowej indukuje porządek w przestrzeni wektorowej, ${\ Displaystyle x \ równoważnik y}$ wtedy i tylko wtedy, gdy ${\ Displaystyle yx \ w C,}$ a ponadto dodatni stożek tej uporządkowanej przestrzeni wektorowej będzie ${\ displaystyle C.}$ Dlatego istnieje zgodność jeden do jednego między właściwymi stożkami wypukłymi ${\ displaystyle X}$ a rzędami częściowymi wektorów na ${\ Displaystyle X.}$

Przez całkowite $}$ wektorów na mamy na myśli całkowite uporządkowanie na $X$ , które jest zgodne ze strukturą przestrzeni wektorowej $X.}$$displaystyle$ Rodzina całkowitych rzędów wektorów w przestrzeni wektorowej w relacji jeden do jednego z rodziną wszystkich właściwych stożków, które są maksymalne przy uwzględnieniu zestawu. Całkowite uporządkowanie wektorów nie może być archimedesowe , jeśli jego wymiar , rozpatrywany jako przestrzeń wektorowa nad liczbami rzeczywistymi, jest większy niż 1.

Jeśli $}$ są odpowiednio dwoma porządkami przestrzeni wektorowej z dodatnimi stożkami $\$ Q $displaystyle Q}$$, to$ , że $}$${\ displaystyle$ R jest drobniejszy niż ${\ displaystyle S},$ jeśli ${\ Displaystyle P \ subseteq P.}$

Przykłady

Liczby rzeczywiste ze zwykłym uporządkowaniem tworzą całkowicie uporządkowaną przestrzeń wektorową. Dla wszystkich liczb całkowitych przestrzeń euklidesowa rozpatrywana jako przestrzeń wektorowa nad liczbami rzeczywistymi z uporządkowaniem leksykograficznym tworzy wstępnie uporządkowaną przestrzeń wektorową $≥ , {\ Displaystyle n \$$n\geq 0,$ Archimedean if and only if $n=1$.

Porządek punktowy

Jeśli jest dowolnym zbiorem i jeśli jest przestrzenią wektorową (nad liczbami rzeczywistymi $)$ funkcji o wartościach rzeczywistych na $,$$}$ to porządek punktowy na $X}$$\ displaystyle S$ jest podane przez, dla wszystkich ${\ Displaystyle f, g \ in X,}$${\ Displaystyle f \ równoważnik g}$ wtedy i tylko wtedy, gdy ${\ Displaystyle f (s) \ równoważnik g (s)}$ dla wszystkich ${\ displaystyle s \ w S.}$

Przestrzenie, które są zwykle przypisywane w tej kolejności, obejmują:

• przestrzeń ograniczonych map o wartościach rzeczywistych na ${\ Displaystyle S.}$$Displaystyle \ ell ^ {\ infty} (S, \ mathbb {R})}$
• przestrzeń sekwencji o wartościach rzeczywistych , które zbiegają się do $}$$\ mathbb {R}}$
• przestrzeń $ciągłych$ w topologicznej ${\ Displaystyle S.}$ _ _
• dla dowolnej nieujemnej liczby całkowitej przestrzeń euklidesowa $} ^ {n}}$$Displaystyle$${ \ Displaystyle C (\ {1, \ kropki, n \}, \ mathbb {R})}$ rozpatrywana jako przestrzeń gdzie $S = \ {1, \ kropki, n \}}$ Displaystyle topologia dyskretna .

L ${\ Displaystyle {\ mathcal {L}} ^ {\ infty} (\ mathbb {R}, \ mathbb {R})}$ wszystkich mierzalnych map wartościach rzeczywistych ograniczonych prawie wszędzie na ${\ Displaystyle \ mathbb {R},}$ gdzie preorder jest zdefiniowany dla wszystkich ${\ Displaystyle f, g \ in {\ mathcal {L}} ^ {\ infty} (\mathbb {R} ,\mathbb {R} )}$ przez ${\ Displaystyle f \ równoważnik g}$ wtedy i tylko wtedy, gdy ${\ Displaystyle f (s) \ równoważnik g (s)}$ prawie wszędzie.

Przedziały i dualność związana z porządkiem

Przedział porządku w wstępnie uporządkowanej przestrzeni wektorowej jest ustawiony w formie

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane dat} {4} [a, b] & = \ {x: a \ równoważnik x \ równoważnik b \}, \\ [0,1ex] [a, b [& = \ {x: a\równoważnik x<b\},\\]a,b]&=\{x:a<x\równoważnik b\},{\tekst{ lub }}\\]a,b[&=\{x :a<x<b\}.\\\end{wyrównanydat}}}$$

$_$$_$ wynika ​​i _ ${\ Displaystyle tx + (1-t) y}$ należy do ${\ Displaystyle [a, b];}$ zatem te przedziały rzędów są wypukłe. Mówimy, że podzbiór jest ograniczony rzędem , jeśli jest zawarty w jakimś przedziale rzędów. $W$ zamówionej $zrównoważony$ jeśli dla to postaci Jednostką porządku wstępnie uporządkowanej przestrzeni wektorowej $dowolny$ element taki, że zbiór ${\ Displaystyle [-x, x]$ } pochłania .

Zbiór wszystkich funkcjonałów liniowych w uporządkowanej z góry przestrzeni wektorowej $,$$które$ odwzorowują każdy przedział porządku na zbiór ograniczony, nazywany jest związanym z i oznaczany przez ${\ Displaystyle X ^ {\ operatorname {b}}.}$ Jeśli przestrzeń jest uporządkowana, to jej podprzestrzeń podwójna związana z porządkiem jest wektorową podprzestrzenią jej algebraicznej liczby podwójnej .

Podzbiór uporządkowanej przestrzeni wektorowej $nazywa$ się porządkiem kompletnym , jeśli dla każdego niepustego podzbioru $subseteq A}$$Displaystyle B$ \ taki, że ${\ displaystyle B$ porządek ograniczony w $displaystyle$ sup $\ sup B}$ i $inf B}$ istnieją i są elementami Mówimy, że uporządkowana przestrzeń wektorowa $jest$ porządkiem kompletnym $,$ to $podzbiorem$ kompletnym ${\ Displaystyle X.}$

Przykłady

Jeśli ${\ Displaystyle (X, \ równoważnik)}$ jest wstępnie uporządkowaną przestrzenią wektorową nad liczbami rzeczywistymi z jednostką rzędu ${\ Displaystyle u},$ to mapa ${\ Displaystyle p (x): = \ inf \ {t \ w \ mathbb {R}: x \ równoważnik tu \}}$ jest funkcjonałem podliniowym .

Nieruchomości

Jeśli ${\ Displaystyle X}$ jest wstępnie uporządkowaną przestrzenią wektorową, to dla wszystkich ${\ Displaystyle x, y \ w X,}$

• ${\ Displaystyle x \ geq 0}$ i ${\ Displaystyle y \ geq 0}$ implikują ${\ Displaystyle x + y \ geq 0.}$
• ${\ Displaystyle x \ równoważnik y}$ wtedy i tylko wtedy, gdy ${\ Displaystyle -y \ równoważnik -x.}$
• ${\ Displaystyle x \ równoważnik y}$ i ${\ Displaystyle r <0}$ implikują ${\ displaystyle rx \ geq ry.}$
• ${\ Displaystyle x \ równoważnik y}$ wtedy i tylko wtedy, gdy ${\ Displaystyle y = \ sup \ {x, y \}}$ wtedy i tylko wtedy, gdy ${\ displaystyle x = \ inf \ {x, y \}}$
• ${\ Displaystyle \ sup \ {x, y \}}$ istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje ${\ Displaystyle \ inf \ {-x, -y \}}$ który przypadek ${\ Displaystyle \ inf \ {-x, -y \} = - \ sup \ {x, y \}.}$
• ${\ Displaystyle \ sup \ {x, y \}}$ istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje ${\ Displaystyle \ inf \ {x, y \}}$ , w którym to przypadku dla wszystkich ${\ Displaystyle Z \ w X,}$
  • ${\ Displaystyle \ sup \ {x + z, y + z \} = z + \ sup \ {x, y \},}$ i
  • ${\ Displaystyle \ inf \ {x + z, y + z \} = z + \ inf \ {x, y \}}$
  • ${\ Displaystyle x + y = \ inf \ {x, y \} + \ sup \ {x, y \}.}$
• ${\ displaystyle X}$ jest siatką wektorową wtedy i tylko wtedy, gdy ${\ displaystyle \ sup \ {0, x \}}$ istnieje dla wszystkich ${\ displaystyle x \ w X.}$

Przestrzenie odwzorowań liniowych

Główny artykuł: Dodatni operator liniowy

Mówi się, że $.$ jeśli jest $równy$ całej wektorowej Jeśli i są $dwiema$ nietrywialnymi uporządkowanymi przestrzeniami wektorowymi z odpowiednimi dodatnimi stożkami i Q $\$$P},$$displaystyle$ generuje się $displaystyle P}$ w ${\ Displaystyle X}$ wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór do ${\ Displaystyle C = \ {u \ w L (X; W): u (P) \ subseteq Q$${\ Displaystyle W.}$ właściwym $W.$$liniowych$ przestrzenią od ${\ Displaystyle L (X; W).}$ przypadku kolejność zdefiniowana przez nazywa się kolejnością kanoniczną $.$ Bardziej ogólnie, jeśli jest dowolną podprzestrzenią wektorową z $Displaystyle$$L (X; W)}$ taką, że $C\cap M}$${\ Displaystyle$ jest stożkiem właściwym, którego kolejność jest zdefiniowana przez ${\ Displaystyle C \ cap M}$ nazywa się uporządkowaniem kanonicznym ${\ Displaystyle M.}$

Funkcjonały dodatnie i porządek podwójny

Funkcja liniowa na wstępnie uporządkowanej przestrzeni wektorowej nazywana jest dodatnią , jeśli spełnia jeden z następujących równoważnych warunków: ${\ displaystyle f}$

1. ${\ Displaystyle x \ geq 0}$ implikuje ${\ Displaystyle f (x) \ geq 0.}$
2. jeśli ${\ Displaystyle x \ równoważnik y}$ to ${\ displaystyle f (x) \ równoważnik f (y).}$

Zbiór wszystkich dodatnich form liniowych w przestrzeni wektorowej z dodatnim stożkiem zwanym podwójnym stożkiem i oznaczony przez jest stożkiem równym biegunowi $do$$}}$${\ displaystyle -C.}$ Preorder indukowany przez podwójny stożek w przestrzeni funkcjonałów liniowych na ${\ displaystyle X}$ nazywany jest podwójnym preorderem .

Kolejność podwójna uporządkowanej przestrzeni wektorowej to zbiór oznaczony przez $Displaystyle$$X ^ {+},}$${\ Displaystyle X ^ {+}: = C ^ {*} -C ^ {*}.}$ zdefiniowany przez Chociaż istnieją ${\ Displaystyle X ^ {+} \ subseteq X ^ {b}}$ uporządkowane przestrzenie wektorowe, dla których nie zachodzi równość zbioru.

Specjalne typy uporządkowanych przestrzeni wektorowych

Niech ${\ displaystyle X}$ będzie uporządkowaną przestrzenią wektorową. Mówimy, że uporządkowana przestrzeń wektorowa ${\ displaystyle$ uporządkowana według Archimedesa ${\ Displaystyle \ {nx: n \ in \ mathbb {N} \}}$ kolejność jest archimedesowa , jeśli ilekroć w $X}$${\ displaystyle$$}$ taka, że jest majoryzowane (to znaczy istnieje jakiś $Displaystyle$ , że $nx \ równoważnik y}$ dla wszystkich ${\ Displaystyle n \ w \ mathbb {N$ ) wtedy ${\ Displaystyle x \ eq 0.}$ Topologiczna przestrzeń wektorowa (TVS), która jest uporządkowaną przestrzenią wektorową, jest z konieczności Archimedesem, jeśli jej dodatni stożek jest zamknięty.

Mówimy, że wstępnie uporządkowana przestrzeń wektorowa $jest$ regularnie $uporządkowana$ i że jej kolejność jest jeśli jest w Archimedesie i rozróżnia punkty w ${\ displaystyle X.}$ Ta właściwość gwarantuje, że istnieje wystarczająco wiele dodatnich form liniowych, aby móc z powodzeniem używać narzędzi dualności do badania uporządkowanych przestrzeni wektorowych.

Uporządkowana przestrzeń wektorowa nazywana jest siatką wektorową, jeśli dla wszystkich elementów i ${\ Displaystyle$$}$ supremum ${\ Displaystyle \ sup (x, y)$ } i infimum ${\ Displaystyle \ inf (x, y)}$ istnieje.

Podprzestrzenie, ilorazy i iloczyny

Niech przez cały czas $wstępnie$ uporządkowaną przestrzenią wektorową z dodatnim stożkiem ${\ Displaystyle C.}$

podprzestrzenie

Jeśli jest podprzestrzenią wektorową z $uporządkowanie$${\ Displaystyle X},$$Displaystyle M}$ kanoniczne na dodatnim stożku $\$${$ częściowe $wywołany$ przez spiczasty wypukły stożek $właściwy$ stożek jest właściwy, jeśli .

Przestrzeń ilorazowa

Niech będzie podprzestrzenią wektorową uporządkowanej przestrzeni wektorowej ${\ Displaystyle X,}$$π$$X \ do X/M}$ będzie projekcją kanoniczną i M {\ displaystyle M} niech ${\ Displaystyle {\ kapelusz {C}}: = \ pi (C).}$ Wtedy do $\ Displaystyle {\ kapelusz {C}}}$ jest stożkiem w ${\ Displaystyle X/M}$ co indukuje kanoniczne uporządkowanie wstępne w przestrzeni ilorazowej ${\ Displaystyle X/M.}$ Jeśli jest właściwym stożkiem w $} }$$\$${$ hat zamienia ${\ displaystyle X/M}$ w uporządkowaną przestrzeń wektorową. Jeśli $-nasycony$ _ $_$ _ następnie $_$ porządek ${\ Displaystyle X/M.}$$} pi (C)}$ że stanowi przykład uporządkowanej przestrzeni wektorowej, w której ${\ Displaystyle X = \ mathbb {R} _ {0}$ nie jest właściwym stożkiem.

Jeśli jest również topologiczną przestrzenią wektorową (TVS $)$ i jeśli dla każdego sąsiedztwa pochodzenia w ${\ displaystyle X$$}$ istnieje sąsiedztwo pochodzenia $displaystyle U}$ tak, że $\ Displaystyle [(U + N) \ czapka C] \ subseteq V + N}$ to do ${\ displaystyle {\ hat {C}}}$ to normalny stożek dla topologii ilorazowej .

Jeśli jest topologiczną $X/L}$ wektorową i jest zamkniętą stałą podsiecią $,$ to $displaystyle$$L$ również topologiczną siatką wektorową

Produkt

Jeśli jest dowolnym $displaystyle S}$ , to przestrzeń wszystkich funkcji od do $\ displaystyle X} jest kanonicznie$${$ przez właściwy stożek ${\ Displaystyle \ lewo \ {f \ w X ^ {S}: f (s) \ w C {\ tekst {dla wszystkich}} s \ w S \ w prawo \}.}$${$

Załóżmy, że $jest$ stożek $styl wyświetlania X_{\alpha}}$${\$ to ${\ Displaystyle C _ {\ alfa}.}$ Następnie do $\ textstyle C: = \ prod _ {\ alfa} C_ {\ alfa}}$ jest spiczastym wypukłym stożkiem w ${\textstyle \prod _{\alpha}X_{\alpha},}$ który określa porządek kanoniczny na $wszystkie$$są$ właściwym stożkiem, $jeśli$ właściwymi

Algebraiczna suma bezpośrednia

Algebraiczna suma bezpośrednia ${\ textstyle \ bigoplus _ {\ alfa} X _ {\ alfa}}$ { $\ Displaystyle \ lewo \ {X_ {\ alfa}: \ alfa \ w A \ right \}}$ jest wektorową podprzestrzenią ${\ textstyle \ prod _ {\ alfa} X_ {\ alfa}},$ która ma kanoniczne uporządkowanie podprzestrzeni odziedziczone po ${\textstyle \prod _{\alpha}X_{\alpha}.}$ Jeżeli ${\ Displaystyle X_ {1}, \ kropki, X_ {n}}$$X}$ uporządkowanymi podprzestrzeniami wektorowymi uporządkowanej przestrzeni wektorowej, a następnie $Displaystyle$ jest uporządkowaną sumą bezpośrednią tych podprzestrzeni, jeśli kanoniczny izomorfizm algebraiczny $)$$kanonicznym$ porządkiem iloczynu izomorfizmem .

Przykłady

• Liczby rzeczywiste ze zwykłym porządkiem to uporządkowana przestrzeń wektorowa.
• ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$ jest uporządkowaną przestrzenią wektorową z relacją zdefiniowaną w $.$ z następujących sposobów (w kolejności rosnącej siły, tj , malejące zbiory par):
  • Porządek leksykograficzny : ${\ Displaystyle (a, b) \ równoważnik (c, d)}$ wtedy i tylko wtedy, gdy za ${\ Displaystyle a <c$ lub ${\ Displaystyle (a = c {\ tekst {i}} b \ równoważnik d).}$ To jest całkowite zamówienie . Dodatni stożek jest dany przez ${\ displaystyle x> 0}$ lub ${\ Displaystyle (x = 0 {\ tekst {i}} y \ równoważnik 0)},$ czyli we współrzędnych biegunowych zbiór punktów o współrzędnej kątowej spełniającej $_$ _
  • ${\ Displaystyle (a, b) \ równoważnik (c, d)}$$do {\ Displaystyle a \ równoważnik c}$ i tylko wtedy, gdy i ${\ Displaystyle b \ leq d}$ ( kolejność iloczynu dwóch kopii ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ z ${\ displaystyle \ leq}$ . To jest częściowe zamówienie. Dodatni stożek jest dany przez ${\ Displaystyle x \ geq 0}$ i $}$$wraz$ to znaczy we z
  • ${\ Displaystyle (a, b) \ równoważnik (c, d)}$ wtedy i tylko wtedy, gdy ${\ Displaystyle (a <c {\ tekst {i}}b <d)}$ lub ${\ Displaystyle (a = c {\ tekst {i}} b = d)}$ ( refleksyjne zamknięcie iloczynu bezpośredniego dwóch kopii $.$ „<”) Jest to również częściowe zamówienie. Dodatni stożek jest dany przez ${\ Displaystyle (x> 0 {\ tekst {i}} y> 0)}$ lub ${\ Displaystyle x = y = 0)}$ to $_$ we

Tylko drugi rząd jest, $zamknięty$ ; zobacz porządki częściowe w przestrzeniach topologicznych .

Dla trzeciego rzędu dwuwymiarowe „ przedziały ” $zbiorami$ otwartymi ,

• ${R} ^ {n}}$$mathbb$ jest uporządkowaną przestrzenią wektorową z podobnie zdefiniowaną relacją Na przykład dla drugiego rzędu wspomnianego powyżej:
  • ${\ Displaystyle x_ {i}$$Displaystyle x \ równoważnik y}}$ ja dla ${\ Displaystyle i = 1, \ kropki, n.}$
• Przestrzeń Riesza jest uporządkowaną przestrzenią wektorową, w której kolejność daje początek sieci .
• Przestrzeń funkcji ciągłych na ${\ Displaystyle [0,1]}$ gdzie ${\ Displaystyle f \ równoważnik g}$ wtedy i tylko wtedy, gdy ${\ Displaystyle f (x ) \ równoważnik g (x)$$}$ dla w ${\ Displaystyle [0,1]}$

Zobacz też

• Topologia porządku (analiza funkcjonalna) - Topologia uporządkowanej przestrzeni wektorowej
• Pole uporządkowane – Obiekt algebraiczny o uporządkowanej strukturze
• Grupa uporządkowana – Grupa z kompatybilnym zamówieniem częściowym Strony wyświetlające krótkie opisy celów przekierowań
• Uporządkowany pierścień - uporządkowana tabela wartości wykresu Karnough uproszczona i uporządkowana parami w celu uzyskania równych tabel prawdy Strony wyświetlające opisy danych wikidanych jako rozwiązanie awaryjne
• Uporządkowana topologiczna przestrzeń wektorowa
• Przestrzeń częściowo uporządkowana - Przestrzeń topologiczna częściowo uporządkowana
• Zamówienie produktu
• Przestrzeń Riesza - Częściowo uporządkowana przestrzeń wektorowa, uporządkowana jako krata
• Topologiczna siatka wektorowa
• Krata wektorowa - Częściowo uporządkowana przestrzeń wektorowa, uporządkowana jako siatka Strony wyświetlające krótkie opisy celów przekierowania

Bibliografia

•   Aliprantis, Charalambos D ; Burkinshaw, Owen (2003). Lokalnie stałe przestrzenie Riesza z zastosowaniami w ekonomii (wyd. Drugie). Providence, RI: Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne. ISBN 0-8218-3408-8 .
•   Bourbaki, Nicolas ; Elementy matematyki: topologiczne przestrzenie wektorowe ; ISBN 0-387-13627-4 .
•    Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Topologiczne przestrzenie wektorowe . Matematyka czysta i stosowana (wyd. Drugie). Boca Raton, Floryda: CRC Press. ISBN 978-1584888666 . OCLC 144216834 .
•    Schaefer, Helmut H .; Wolff, Manfred P. (1999). Topologiczne przestrzenie wektorowe . GTM . Tom. 8 (wyd. Drugie). Nowy Jork, NY: Springer Nowy Jork Impressum Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0 . OCLC 840278135 .
•    Wonga (1979). Przestrzenie Schwartza, przestrzenie jądrowe i produkty tensorowe . Berlin Nowy Jork: Springer-Verlag. ISBN 3-540-09513-6 . OCLC 5126158 .