Filtruj (matematyka)

Aby uzyskać informacje o filtrach na zbiorach, zobacz Filtr (teoria mnogości) .

W przypadku innych zastosowań zobacz Filtr (ujednoznacznienie) .

Siatka $_ ,4\}}$$Displaystyle$ z górnym w kolorze ciemnozielonym. Jest filtrem , a nawet filtrem głównym . Nie jest to ultrafiltr , ponieważ można go rozszerzyć na większy nietrywialny filtr ${\ displaystyle \ uparrow \ {1 \}},$ włączając również jasnozielone elementy. Ponieważ nie można dalej rozszerzać $,$

W matematyce filtr lub filtr porządkowy to specjalny podzbiór częściowo uporządkowanego zestawu ( pozyt). Filtry pojawiają się w porządku i teorii sieci , ale można je również znaleźć w topologii , z której się wywodzą. Podwójne pojęcie filtra jest ideałem porządku .

Filtry na zbiorach zostały wprowadzone przez Henri Cartana w 1937 roku i jak opisano w artykule poświęconym filtrom w topologii , zostały następnie użyte przez Nicolasa Bourbakiego w ich książce Topologie Générale jako alternatywa dla powiązanego pojęcia sieci opracowanego w 1922 roku przez EH Moore'a i Hermana L. Smitha . Filtry porządkowe to uogólnienia tego pojęcia od zbiorów do bardziej ogólnego ustawienia częściowo uporządkowanych zbiorów . Aby uzyskać informacje na temat filtrów porządku w szczególnym przypadku, w którym poset składa się ze zbioru mocy uporządkowanego przez włączenie zbioru , zobacz artykuł Filtr (teoria mnogości) .

Motywacja

1. Intuicyjnie filtr w zbiorze częściowo uporządkowanym ( $poset$$)$ jest podzbiorem zbioru są wystarczająco duże, aby spełnić określone kryterium. Na przykład, jeśli $posetu$ , to zestaw elementów, które są powyżej, $jest$ filtrem, zwanym filtrem w ${\ displaystyle x.}$ (Jeśli ${\ displaystyle x}$ i ${\ displaystyle y}$ są nieporównywalnymi elementami posetu, to żaden z głównych filtrów w $displaystyle$ y $y}$ nie jest zawarty w drugim i odwrotnie.)

Podobnie filtr na zbiorze zawiera te podzbiory, które są wystarczająco duże, aby pomieścić daną rzecz . $displaystyle$ przykład, jeśli zbiór jest linią rzeczywistą , a jednym z jej punktów jest rodzina zbiorów, która zawiera w swoim wnętrzu filtr, zwany filtrem sąsiedztwa ${\ displaystyle x.}$$x}$ Rzecz w tym przypadku jest nieco większa niż ${\ displaystyle x,}$ ale nadal nie zawiera żadnego innego określonego punktu linii.

Powyższe interpretacje wyjaśniają warunki 1 i 3 w sekcji Ogólna definicja : Najwyraźniej zbiór pusty nie jest „wystarczająco duży”, a zbiór „wystarczająco dużych” rzeczy powinien być „zamknięty w górę”. Jednak tak naprawdę, bez rozwinięcia, nie wyjaśniają warunku 2 ogólnej definicji. Dlaczego bowiem dwie „wystarczająco duże” rzeczy miałyby zawierać wspólną „wystarczająco dużą” rzecz?

2. Alternatywnie filtr można postrzegać jako „schemat lokalizacji”: próbując zlokalizować coś (punkt lub podzbiór) w przestrzeni, $wywołaj$${\ displaystyle X,}$ podzbiorów $displaystyle X}$ , który może zawierać „to, czego szuka”. Wtedy ów "filtr" powinien posiadać następującą naturalną budowę:

1. Schemat lokalizacji musi być niepusty, aby w ogóle był użyteczny.
2. Jeśli dwa podzbiory, $oba mogą zawierać „to$ się szuka”, to samo może mieć $ich$ Zatem filtr powinien być domknięty względem skończonego przecięcia.
3. Jeśli zestaw może zawierać „to, czego się szuka $” , to samo$ każdego jego nadzbioru. W ten sposób filtr jest zamknięty do góry.

Ultrafiltr można postrzegać jako „doskonały schemat lokalizacji”, w którym ${\ Displaystyle E.}$ podzbiór przestrzeni może być użyty do decydowania , czy „ $to$ , czego się szuka” może $leżeć$

Z tej interpretacji zwartość (patrz charakterystyka matematyczna poniżej) może być postrzegana jako właściwość, że „żaden schemat lokalizacji nie może skończyć się niczym” lub, mówiąc inaczej, „zawsze coś się znajdzie”.

Matematyczne pojęcie filtra zapewnia precyzyjny język traktowania tych sytuacji w sposób rygorystyczny i ogólny, co jest przydatne w analizie, ogólnej topologii i logice.

3. Powszechnym zastosowaniem filtra jest definiowanie właściwości, które spełniają „prawie wszystkie” elementy pewnej przestrzeni topologicznej ${\ displaystyle X.}$ Cała przestrzeń $;$ zawiera w sobie prawie wszystkie elementy jeśli jakiś $displaystyle$ prawie wszystkie elementy z $X}, to na$ każdy jego nadzbiór a jeśli dwa podzbiory, i ${\ displaystyle E}$${\ displaystyle F,}$ zawierają prawie wszystkie elementy ${\ displaystyle X,}$ to tak samo jak ich przecięcie. W $wynosi$ teorii miary „ zawiera prawie wszystkie elementy ” jest $że$$,$ is 0.

Ogólna definicja: filtrowanie na zbiorze częściowo uporządkowanym

Podzbiór częściowo uporządkowanego zbioru $Displaystyle (P, \ równoważnik)}$$\$ jest filtrem porządku lub podwójnym , jeśli spełnione są następujące warunki: fa {\ displaystyle F}

1. ${\ displaystyle F} nie$ jest pusty .
2. $\ displaystyle F}$$styl wyświetlania z\leq x}$ jest dół skierowany $\$ : dla każdego istnieje takie, $z$$F$ takie, że i ${\ displaystyle z \ równoważnik r.}$
3. ${\ displaystyle F}$ to zestaw górny lub zamknięty w górę $,}$ Dla każdego $Displaystyle$ p ${\ Displaystyle x \ leq p}$ implikuje, że ${\ displaystyle p \ w F.}$

Mówi się, że jest to właściwy filtr $,$ jeśli dodatkowo nie jest całemu zbiorowi ${\ displaystyle P.}$$\ displaystyle F}$ W zależności od autora termin filtr jest albo synonimem filtra kolejności, albo odnosi się do właściwego filtra kolejności. W tym artykule termin filtr oznacza filtr kolejności.

Chociaż powyższa definicja jest najbardziej ogólnym sposobem definiowania filtra dla dowolnych posetów , pierwotnie była zdefiniowana tylko dla krat . W tym przypadku powyższą definicję można scharakteryzować następującym równoważnym stwierdzeniem: Podzbiór $\$ ( $Displaystyle (P, \ równoważnik)}$ jest filtrem wtedy i tylko wtedy, gdy jest to niepusty zbiór górny, który jest domknięty pod skończoną infimą (lub spełnia ), czyli dla wszystkich ${\ Displaystyle x, y \ in F,}$ jest również tak, ${\ Displaystyle x \ klin y \ w F.}$ Podzbiór ${\ displaystyle S}$ z ${\ displaystyle F}$ jest podstawą filtra , jeśli górny zestaw generowany przez ${\ displaystyle S}$ jest cały z ${\ displaystyle F.}$ Zauważ, że każdy filtr ma swoją własną podstawę.

Najmniejszy filtr zawierający $filtrem$$sytuacji$ głównym iw tej jest elementem . Główny filtr dla $i$$}$ zbiór przez przedrostek $styl wyświetlania p}$${$ ze strzałką w górę: ${\ Displaystyle \ uparrow str.}$

Podwójne pojęcie filtra, to znaczy koncepcja uzyskana przez odwrócenie wszystkiego $,}$$}$ \ Displaystyle $\$$vee$ jest idealne . Z powodu tej dwoistości dyskusja o filtrach zwykle sprowadza się do dyskusji o ideałach. Dlatego większość dodatkowych informacji na ten temat (w tym definicje filtrów maksymalnych i filtrów pierwszych ) można znaleźć w artykule o ideałach . Jest osobny artykuł o ultrafiltrach .

$jest$ definicje do przypadku, w którym jest przestrzenią wektorową i zbiorem wszystkich podprzestrzeni wektorowych uporządkowanych przez włączenie $,}$$\$$\ Displaystyle$$, \ subseteq$ daje początek pojęciu filtrów liniowych i ultrafiltrów liniowych . Wyraźnie filtr liniowy w przestrzeni wektorowej to rodzina ${\ displaystyle X}$${\ Displaystyle {\ mathcal {B}}}$ podprzestrzeni wektorowych takich, że jeśli i jeśli $Displaystyle$$, B \ in {\ mathcal {B}}}$ i jeśli ${\ displaystyle {\ mathcal {B}}} displaystyle C}$ to podprzestrzeń wektorowa z ${\ displaystyle X}$${\ Displaystyle A \ czapka B, C \ w {\ mathcal {B}}.}$ która zawiera ${\ displaystyle A,}$ a następnie Filtr liniowy nazywamy właściwym , jeśli nie zawiera ${\ displaystyle \ {0 \};}$ liniowy ultrafiltr na ${\ displaystyle X}$ to maksymalny właściwy filtr liniowy na ${\ Displaystyle X.}$

Filtruj według zestawu

Główny artykuł: Filtr (teoria mnogości)

${\ Displaystyle {\ mathcal {F}}} fa {$ Rodziny zestawów nad $Displaystyle \ Omega}$
Jest koniecznie prawdziwe dla $}$$\ displaystyle {\ mathcal {F}} \$ lub jest zamknięte pod:	Reżyseria : ${\ Displaystyle \, \ supseteq}$	${\ Displaystyle A \ czapka B}$	${\ Displaystyle A \ kubek B}$	${\ Displaystyle B \ setminus A}$	${\ Displaystyle \ Omega \ setminus A}$	${\ Displaystyle A_ {1} \ czapka A_ {2} \ czapka \ cdots}$	${\ Displaystyle A_ {1} \ kubek A_ {2} \ kubek \ cdots}$	${\ Displaystyle \ Omega \ w {\ mathcal {F}}}$	${\ Displaystyle \ varnic \ w {\ mathcal {F}}}$	FIP
układ π
Semiring										Nigdy
Semilgebra (Semifield)										Nigdy
Klasa monotonna						tylko jeśli ${\ Displaystyle A_ {i} \ searrow}$	tylko wtedy, gdy ${\ Displaystyle A_ {i} \ nearrow}$
𝜆-system (System Dynkina)				tylko wtedy, gdy ${\ Displaystyle A \ subseteq B}$			tylko wtedy, gdy lub są rozłączne ${\ Displaystyle A_ {i} \ nearrow}$			Nigdy
Pierścień (teoria porządku)
Pierścień (teoria miary)										Nigdy
δ-Pierścień										Nigdy
𝜎-Pierścień										Nigdy
Algebra (Dziedzina)										Nigdy
𝜎-Algebra (𝜎-Pole)										Nigdy
Podwójny ideał
Filtr				Nigdy	Nigdy				${\ Displaystyle \ varnic \ nie \ w {\ mathcal {F}}}$
Filtr wstępny (podstawa filtra)				Nigdy	Nigdy				${\ Displaystyle \ varnic \ nie \ w {\ mathcal {F}}}$
Filtruj bazę podrzędną				Nigdy	Nigdy				${\ Displaystyle \ varnic \ nie \ w {\ mathcal {F}}}$
Topologia otwarta							(nawet arbitralne ) ${\ Displaystyle \ puchar$ }			Nigdy
Topologia zamknięta						(nawet arbitralnie ${\ Displaystyle \ cap}$ )				Nigdy
Jest koniecznie prawdziwe dla $}$$\ displaystyle {\ mathcal {F}} \$ lub jest zamknięte pod:	skierowany w dół	skończone przecięcia	skończone związki	względne komplementy	uzupełnia w ${\ Displaystyle \ Omega}$	przeliczalne skrzyżowania	policzalne związki	zawiera ${\ Displaystyle \ Omega}$	zawiera ${\ Displaystyle \ varnothing}$	Skończona właściwość przecięcia
Dodatkowo półpierścień jest systemem π $sumie$ którym każde dopełnienie jest równe skończonej $Displaystyle {\ mathcal {F}}.}$ zbiorów w \ Semialgebra to semiring, który zawiera ${\ Displaystyle \ Omega.}$${\ Displaystyle A, B, A_ {1}, A_ {2}, \ ldots}$$są$ elementami i zakłada się, że ${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} \ neq \ varnothing.}$

Definicja filtra

Istnieją dwie konkurujące ze sobą definicje „filtra w zbiorze”, z których obie wymagają, aby filtr był ideałem podwójnym . Jedna definicja definiuje „filtr” jako synonim „podwójnego ideału”, podczas gdy druga definiuje „filtr” jako podwójny ideał, który jest również właściwy .

Ostrzeżenie : Zaleca się, aby czytelnicy zawsze sprawdzali, jak zdefiniowano „filtr” podczas czytania literatury matematycznej.

Podwójny ideał $}$ zbiorze niepusty podzbiór $o$ następujących $F$ { \

1. ${\ displaystyle F}$ jest domknięty pod skończonymi przecięciami : Jeśli ${\ Displaystyle A, B \ in F},$ to tak samo jest z ich przecięciem.
   • Właściwość $,$ że $skończoną$ właściwość przecięcia .
2. ${\ Displaystyle F}$$\ subseteq B,}$ zamknięty w górę / izoton Jeśli i $A$ B $\ Displaystyle B \ w fa ,}$ dla wszystkich podzbiorów ${\ Displaystyle B \ subseteq S.}$
   • Ta właściwość powoduje, że ${\ Displaystyle S \ w F}$ (od ${\ Displaystyle F}$ jest niepustym podzbiorem ${\ Displaystyle \ wp (S)}$ .

Biorąc pod uwagę zbiór $($ kanoniczne uporządkowanie częściowe można zdefiniować na zbiorze potęg $S)}$$\ Displaystyle$ przez włączenie podzbioru, obracając ${\ Displaystyle (\ wp (S), \ subseteq)}$ w siatkę. „Podwójny ideał” to tylko filtr w odniesieniu do tego częściowego uporządkowania. Zauważ, że jeśli ${\ displaystyle S = \ varnothing}$ wtedy istnieje dokładnie jeden podwójny ideał na ${\ displaystyle S},$ który wynosi ${\ Displaystyle \ wp (S) = \ {\ varnothing \}.}$

Filtr na zestawie może być traktowany jako reprezentujący „zbiór dużych podzbiorów”.

Filtruj definicje

W artykule zastosowano następującą definicję „filtra na zestawie”.

$Definicja$ jako ideał podwójny Filtr na zbiorze jest ideałem podwójnym na ${\ Displaystyle S.}$ Równoważnie, filtr na ${\ displaystyle S}$ jest tylko filtrem w odniesieniu do opisanego kanonicznego uporządkowania częściowego ${\ Displaystyle (\ wp (S), \ subseteq)}$ powyżej.

Inną definicją „filtra na zbiorze” jest oryginalna definicja „filtra” podana przez Henri Cartana , która wymagała, aby filtr na zbiorze był podwójnym ideałem, który nie zawiera pustego zbioru.

Oryginalna / alternatywna definicja jako właściwy podwójny ideał : filtr na zbiorze to podwójny ideał na ${\ displaystyle S}$ z następującą dodatkową właściwością: ${\ displaystyle S}$

3. ${\ displaystyle F}$ jest właściwy / niezdegenerowany : Pusty zestaw nie jest w (tj $\ displaystyle F$$}$ .

Uwaga : Ten artykuł nie wymaga, aby filtr był prawidłowy.

Jedynym niewłaściwym filtrem na ${\ displaystyle S}$ jest ${\ displaystyle \ wp (S).}$ Wiele literatury matematycznej, zwłaszcza związanej z topologią , definiuje „filtr” jako niezdegenerowany podwójny ideał.

Filtruj bazy, bazy podrzędne i porównania

Filtruj bazy i podbazy

Podzbiór $S$${\ Displaystyle \ wp (S)}$ nazywany jest wstępnym , podstawą filtra lub podstawą filtra , jeśli $dwóch$ jest pusty, a przecięcie członkowie ${\ Displaystyle B}$ to nadzbiór niektórych członków ${\ Displaystyle B.}$ Jeśli zbiór pusty nie jest członkiem ${\ Displaystyle B}$ mówimy ${\ displaystyle B}$ to właściwa podstawa filtra .

$pod$ podstawę filtra $jako$ generowany lub obejmujący przez jest definiowany minimalny filtr zawierający $}$$B.$ Jest to rodzina wszystkich tych podzbiorów które są nadzbiorami niektórych członków (członków) ${\ displaystyle B.}$ Każdy filtr jest również podstawą filtra, więc proces przechodzenia od podstawy filtra do filtra można postrzegać jako swego rodzaju uzupełnienie.

Dla każdego podzbioru ℘ $\ Displaystyle \ wp$$}$${\ displaystyle T}$ istnieje najmniejszy (prawdopodobnie niewłaściwy) filtr zawierający ${\ displaystyle F}$ o nazwie filtr wygenerowany lub objęty przez ${\ displaystyle T.}$ Podobnie jak w przypadku filtra obejmującego podstawę filtra , filtr obejmujący podzbiór jest minimalnym zawierającym ${\ displaystyle T}$${\ displaystyle T.}$ Jest konstruowany przez wzięcie wszystkich skończonych przecięć ${\ displaystyle T},$ które następnie tworzą podstawę filtra dla $, gdy każde$$skończone$$przecięcie$ elementów jest niepuste iw takim przypadku mówimy, że to podstawa filtra .

Drobniejsze/równoważne bazy filtrów

Jeśli i są dwiema bazami filtrów na $displaystyle C}$$,$$}$$,$ displaystyle S mówi się $, że$ jest $drobniejsza$ niż lub że do { $}$ jest udoskonaleniem B ${\ Displaystyle B}$ ) jeśli dla każdego ${\ Displaystyle B_ {0} \ in B,$ jest ${\ Displaystyle C_ {0} \ w C}$ takie, że ${\ Displaystyle C_ {0} \ subseteq B_ {0}.}$ Dla podstaw filtrów ${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle B}$ i do $}$ jeśli ${\ Displaystyle A}$ jest drobniejszy niż ${\ Displaystyle B}$ i jest drobniejszy niż $\ Displaystyle B},$ a następnie $\ Displaystyle B}$${\ Displaystyle A}$${\ displaystyle C.}$ lepszy niż Zatem relacja uściślenia jest zamówieniem wstępnym na zbiorze podstaw filtrów, a przejście od podstawy filtra do filtra jest przypadkiem przejścia od uporządkowania wstępnego do powiązanego uporządkowania częściowego.

Jeśli również jest $}$ niż $,$ mówi się, że są to równoważne podstawy filtrów . Jeśli i do ${\ displaystyle C}$$podstawami$ filtrów, to drobniejszy niż $\$$displaystyle B} wtedy i tylko wtedy$ gdy filtr rozpięty przez zawiera do $\ displaystyle C}$ filtr objęty przez ${\ Displaystyle B.}$ Dlatego ${\ displaystyle B}$$są$ równoważnymi podstawami filtrów wtedy i tylko wtedy, gdy generują ten sam filtr.

Przykłady

Filtr w posecie można utworzyć za pomocą lematu Rasiowej-Sikorskiego , który jest często używany w forsowaniu . Inne filtry obejmują filtry klubowe i filtry ogólne .

Zbiór ${\ Displaystyle \ {\ {N, N + 1, N + 2, \ kropki \}: N \ w \ mathbb {N } \}}$ nazywamy filtrową bazą ogonów ciągu liczb naturalnych ${\ Displaystyle (1,2,3, \ kropki).}$ Podstawę filtra ogonów można wykonać z dowolnej siatki ${\ Displaystyle \ lewo (x_ {\ alfa} \ prawej) _ {\ alfa \ w A}}$ przy użyciu konstrukcji $\ Displaystyle \ lewo \ {\ lewo \ {x _ {\ alfa}: \ alfa \ w A, \ alfa _ {0} \ równoważnik \ alfa \ prawo \}: \ alfa _ {0} \ w A \ prawo \},}$ gdzie filtr generowany przez tę bazę filtrów jest nazywany filtrem ewentualności sieci . Dlatego wszystkie sieci generują podstawę filtra (a więc i filtr). Ponieważ wszystkie sekwencje są sieciami, dotyczy to również sekwencji.

Niech $zbiorem$ i $podzbiorem$ niepustym ${\ displaystyle S.}$ Następnie ${\ displaystyle \ {C \}}$ jest podstawą filtra. Filtr, który generuje (to znaczy zbiór wszystkich podzbiorów zawierających ${\ displaystyle C.}$$nazywany$ jest głównym filtrem generowanym przez Mówi się, że filtr jest filtrem swobodnym jeśli przecięcie wszystkich jego członków jest puste. Właściwy filtr główny nie jest darmowy. Ponieważ przecięcie dowolnej skończonej liczby elementów filtra jest również elementem, żaden właściwy filtr w skończonym zbiorze nie jest wolny i rzeczywiście jest filtrem głównym generowanym przez wspólne przecięcie wszystkich jego elementów. Niegłówny filtr na nieskończonym zbiorze niekoniecznie jest wolny. Filtr Frécheta na nieskończonym zbiorze $skończone$ zbiór wszystkich podzbiorów $dopełnienie$ . Filtr na ${\ displaystyle S}$ jest wolny wtedy i tylko wtedy, gdy zawiera filtr Frécheta. $_$ , jeśli $jest$ przestrzenią której _ ${\ Displaystyle A \ subseteq X}$ takie, że ${\ Displaystyle \ mu (X \ smallsetminus A) <\ infty}$ tworzy filtr. Filtr $którym$$,$ przypadek i miarą zliczania .

Każda jednolita struktura na zbiorze ${\ displaystyle X \ razy X.}$ filtrem $X$

Filtry w teorii modeli

Zobacz też: Filtruj kwantyfikator

$przez$$funkcja$ filtra na zestawie zestawu zdefiniowana

$${\ Displaystyle m (A) \ quad = {\ rozpocząć {przypadki} 1 i {\ tekst {jeśli}} A \ w F \ \ 0&{\text{if }}S\smallsetminus A\in F\\{\text{is undefined}}&{\text{inaczej}}\end{przypadki}}}$$

jest skończenie addytywny — „ miarą ”, jeśli termin ten jest rozumiany raczej luźno. Dlatego oświadczenie

$${\ Displaystyle \ lewo \ {\, x \ w S: \ varphi (x) \, \ prawo \} \ w F}$$

można uznać za nieco analogiczne do stwierdzenia, że $.$ prawie wszędzie” Ta interpretacja członkostwa w filtrze jest używana (dla motywacji, chociaż nie jest potrzebna do rzeczywistych dowodów ) w teorii ultraproduktów w teorii modeli , gałęzi logiki matematycznej .

Filtry w topologii

Główny artykuł: Filtry w topologii

W topologii i analizie filtry są używane do definiowania zbieżności w sposób podobny do roli sekwencji w przestrzeni metrycznej . Zarówno sieci , jak i filtry dostarczają bardzo ogólnych kontekstów w celu ujednolicenia różnych pojęć granic dla dowolnych przestrzeni topologicznych . Sekwencja jest zwykle indeksowana przez liczby naturalne ${\ displaystyle \ mathbb {N}}$ które są całkowicie uporządkowanym zbiorem , . Sieci uogólniają pojęcie sekwencji, wymagając, aby zbiór indeksów był po prostu zbiorem skierowanym . Jeśli pracujemy tylko z pewnymi kategoriami przestrzeni topologicznych, takimi jak pierwsze przeliczalne przestrzenie , sekwencje wystarczają do scharakteryzowania większości właściwości topologicznych, ale ogólnie nie jest to prawdą. Jednak filtry (a także sieci) zawsze wystarczają do scharakteryzowania większości właściwości topologicznych. Zaletą używania filtrów jest to, że nie obejmują one żadnego innego zestawu niż $X {\ displaystyle$ i jego podzbiory), podczas gdy sekwencje i sieci opierają się na zestawach skierowanych, które mogą być niezwiązane z ${\ displaystyle X.}$ Co więcej, zbiór wszystkich filtrów na $podczas$ zbiorem , gdy klasa wszystkich sieci wycenionych w $jest$ (jest to właściwa klasa ).

Bazy sąsiedzkie

Niech $sąsiedztwa$ filtrem w $topologicznej$ przestrzeni $}$ _ { $jest$ Oznacza to, że zbiorem wszystkich topologicznych sąsiedztw punktu ${\ displaystyle x.}$ Można zweryfikować, że ${\ displaystyle {\ mathcal {N}} _ {x}}$ jest filtrem. A system sąsiedztwa to inna nazwa filtra sąsiedztwa . Rodzina sąsiedztw jest bazą sąsiedztwa w ${\ Displaystyle x},$$jeśli$ N ${\ Displaystyle {\ mathcal {N}$$\ Displaystyle { \ mathcal {N}}}$ generuje filtr N ${\ Displaystyle {\ mathcal {N}} _ {x}.}$ Oznacza to, że każdy podzbiór ${\ displaystyle S}$ z ${\ displaystyle X}$ jest sąsiedztwem $N$ i tylko wtedy, gdy istnieje takie, że $\ Displaystyle N \ in {\ mathcal {N}}}$${\ Displaystyle N \ subseteq S.}$

Filtry zbieżne i punkty skupień

Mówimy, że podstawa filtra $B \ do x,}$ się do punktu zapisanego $jeśli$$Displaystyle$ filtr sąsiedztwa $N}} _ {x}}$${\$$generowanym$ jest zawarte w filtrze przez $znaczy$ , jeśli jest $N$ niż ${\ Displaystyle {\ mathcal {N}} _ {x}.}$ W szczególności filtr (który jest bazą filtra, która sama $)$ zbiega się do ${\ displaystyle x}$ , jeśli ${\ Displaystyle {\ mathcal {N}} _ {x} \ subseteq F.}$ Wyraźnie powiedzieć, że podstawa filtra $displaystyle$ się do $x}$ oznacza, że ​​dla każdego sąsiedztwa ${\ displaystyle U}$ z ${\ Displaystyle x,}$ jest takie, że ${\ displaystyle B_ {0} \ w B}$${\ Displaystyle B_ {0} \ subseteq U.}$ Jeśli podstawa filtra $Displaystyle$ się do punktu $x,},$$to$ nazywana jest (punktem) ${\ displaystyle B}$$i$ się zbieżną podstawą filtra .

Mówi się, że podstawa filtra na $\ displaystyle$$X}$$skupia$ się w (lub ma $displaystyle x }$ punkt skupienia ) wtedy i tylko wtedy gdy każdy element $\displaystyle B}$${\$ ma niepuste przecięcie z każdym sąsiedztwem ${\ displaystyle x.}$ Każdy punkt graniczny jest punktem skupienia, ale generalnie odwrotność nie jest prawdziwa. Jednak każdy punkt skupienia ultra filtr jest punktem granicznym.

Z definicji każda $} _ {x},$ sąsiedztwa w danym punkcie generuje $Displaystyle {\ mathcal {N$$}$ więc ${\ Displaystyle {\ mathcal {N}}}$ zbiega się do ${\ displaystyle x.}$ Jeśli jest bazą filtra na $to$${\ displaystyle X},$ do $\ displaystyle C \ do x}$ jeśli $jest$ lepszy niż jakakolwiek baza sąsiedztwa ${\ displaystyle x.}$ W przypadku filtra sąsiedztwa w tym momencie zachodzi również sytuacja odwrotna: dowolna podstawa filtra zbieżnego udoskonala filtr sąsiedztwa.

Zobacz też

• Filtracja (matematyka)
• Filtracja (teoria prawdopodobieństwa) – Model informacji dostępnych w danym punkcie losowego procesu
• Filtracja (algebra abstrakcyjna)
• Filtr ogólny - w teorii mnogości, biorąc pod uwagę kolekcję gęstych otwartych podzbiorów poset, filtr, który spełnia wszystkie zbiory w tej kolekcji Strony wyświetlające opisy wikidanych jako rezerwowe
• Idealny (teoria mnogości) - Niepusta rodzina zbiorów, która jest zamknięta na skończone sumy i podzbiory

Notatki

•   Nicolas Bourbaki , General Topology ( Topologie Générale ), ISBN 0-387-19374-X (rozdz. 1-4): Zapewnia dobre odniesienie do filtrów w topologii ogólnej (rozdział I) i filtrów Cauchy'ego w jednolitych przestrzeniach (rozdział II)
•    Bourbaki, Nicolas (1987) [1981]. Topologiczne przestrzenie wektorowe: rozdziały 1–5 . Éléments de mathématique . Przetłumaczone przez Egglestona, HG; Madan, S. Berlin Nowy Jork: Springer-Verlag. ISBN 3-540-13627-4 . OCLC 17499190 .
•   Burris, Stanley; Sankappanavar, Hanamantagouda P. (1981). Kurs algebry uniwersalnej (PDF) . Springer-Verlag. ISBN 3-540-90578-2 . Zarchiwizowane od oryginału w dniu 15 grudnia 2021 r.
•   Burris, Stanley; Sankappanavar, Hanamantagouda P. (2012). Kurs algebry uniwersalnej (PDF) . Springer-Verlag. ISBN 978-0-9880552-0-9 . Zarchiwizowane od oryginału w dniu 1 kwietnia 2022 r.
• Cartan, Henri (1937a). „Theorie des filtres” . Comptes rendus hebdomadaires des seanse de l'Académie des sciences . 205 : 595–598.
• Cartan, Henri (1937b). „Filtry i ultrafiltry” . Comptes rendus hebdomadaires des seanse de l'Académie des sciences . 205 : 777–779.
•    Dolecki, Szymon; Mynard, Frederic (2016). Konwergencja Podstawy topologii . New Jersey: World Scientific Publishing Company. ISBN 978-981-4571-52-4 . OCLC 945169917 .
•    Dugundji, James (1966). Topologia . Boston: Allyn i Bacon. ISBN 978-0-697-06889-7 . OCLC 395340485 .
• Koutras, Costas D.; Moyzes, Christos; Nomikos, Christos; Tsaprounis, Konstantinos; Zikos, Yorgos (20 października 2021). „O słabych filtrach i ultrafiltrach: teoria zestawów z (i dla) reprezentacji wiedzy” . Dziennik logiczny IGPL . doi : 10.1093/jigpal/jzab030 .
• MacIver R., David (1 lipca 2004). „Filtry w analizie i topologii” (PDF) . Zarchiwizowane od oryginału (PDF) w dniu 09.10.2007. (Zawiera wstępny przegląd filtrów w topologii i przestrzeniach metrycznych).
•    Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Topologiczne przestrzenie wektorowe . Matematyka czysta i stosowana (wyd. Drugie). Boca Raton, Floryda: CRC Press. ISBN 978-1584888666 . OCLC 144216834 .
•   Willard, Stephen (1970). Topologia ogólna . Czytanie Massachusetts: Addison-Wesley Publishing Company. ISBN 9780201087079 . (Zawiera wstępny przegląd filtrów w topologii).
•    Willard, Stephen (2004) [1970]. Topologia ogólna . Mineola, NY : Dover Publications . ISBN 978-0-486-43479-7 . OCLC 115240 .
•    Wilański, Albert (2013). Nowoczesne metody w topologicznych przestrzeniach wektorowych . Mineola, Nowy Jork: Dover Publications, Inc. ISBN 978-0-486-49353-4 . OCLC 849801114 .

Dalsza lektura

•   Bergman, George M .; Hruszowski, Ehud (1998). „Ultrafiltry liniowe”. Komunikacja w algebrze . 26 (12): 4079–4113. CiteSeerX 10.1.1.54.9927 . doi : 10.1080/00927879808826396 .