Pierścień zestawów

Nie mylić z Ringiem (matematyka) .

W matematyce istnieją dwa różne pojęcia pierścienia zbiorów , oba odnoszące się do pewnych rodzin zbiorów .

W teorii porządku niepusta rodzina zbiorów nazywana jest pierścieniem (zestawów), jeśli $jest$ zamknięta w ramach sumy i . Oznacza to , że następujące dwa stwierdzenia są prawdziwe dla wszystkich zbiorów i , $}$$A$

1. ${\ Displaystyle A, B \ in {\ mathcal {R}}}$ oznacza, że $w {\ mathcal {R}}}$ \
2. ${\ displaystyle A, B \ in {\ mathcal {R}}}$ oznacza ${\ Displaystyle A \ cap B \ w {\ mathcal {R}}.}$

W teorii miary niepusta rodzina zbiorów $nazywana$ jest pierścieniem (zestawów), jeśli jest zamknięta w ramach sumy i dopełnienia względnego (różnica w teorii mnogości) , że następujące dwa stwierdzenia są prawdziwe dla wszystkich zbiorów i , $}$$A$

1. ${\ Displaystyle A, B \ in {\ mathcal {R}}}$ oznacza, że $w {\ mathcal {R}}}$ \
2. ${\ displaystyle A, B \ in {\ mathcal {R}}}$ oznacza ${\ Displaystyle A \ setminus B \ w {\ mathcal {R}}.}$

Oznacza to, że pierścień w sensie teorii miary zawsze zawiera zbiór pusty . Ponadto dla wszystkich zbiorów A i B

${\ Displaystyle A \ czapka B = A \ setminus (A \ setminus B),}$

co pokazuje, że rodzina zbiorów zamknięta na względne dopełnienie jest również domknięta na przecięciu, tak że pierścień w sensie teorii miary jest również pierścieniem w sensie teorii porządku.

Przykłady

Jeśli X jest dowolnym zbiorem, to zbiór potęg X (rodzina wszystkich podzbiorów X ) tworzy pierścień zbiorów w dowolnym sensie.

Jeśli ( X , ≤) jest zbiorem częściowo uporządkowanym , to jego zbiory górne (podzbiory X z dodatkową właściwością, że jeśli x należy do zbioru górnego U i x ≤ y , to y także musi należeć do U ) są domknięte pod zarówno skrzyżowania, jak i połączenia. Jednak na ogół nie będzie on domknięty w przypadku różnic zbiorów.

Zbiory otwarte i zbiory domknięte dowolnej przestrzeni topologicznej są domknięte zarówno pod sumami, jak i przecięciami.

Na prostej R rodzina zbiorów składająca się ze zbioru pustego i wszystkich skończonych sum przedziałów półotwartych postaci ( a , b ] , gdzie a , b ∈ R jest pierścieniem w sensie miarowo-teoretycznym.

Jeśli T jest dowolną transformacją zdefiniowaną w przestrzeni, wówczas zbiory odwzorowywane na siebie przez T są domknięte zarówno pod sumami, jak i przecięciami.

Jeśli dwa pierścienie zbiorów są zdefiniowane na tych samych elementach, wówczas zbiory należące do obu pierścieni same tworzą pierścień zbiorów.

Powiązane struktury

Pierścień zbiorów w sensie teoretycznym porządku tworzy siatkę rozdzielczą , w której operacje przecięcia i sumowania odpowiadają odpowiednio operacjom spotkania i złączenia sieci . I odwrotnie, każda sieć rozdzielcza jest izomorficzna z pierścieniem zbiorów; w przypadku skończonych krat rozdzielczych jest to twierdzenie Birkhoffa o reprezentacji i zbiory można traktować jako dolne zbiory zbioru częściowo uporządkowanego.

Rodzina zbiorów domknięta sumą i dopełnieniem względnym jest także domknięta różnicą symetryczną i przecięciem. I odwrotnie, każda rodzina zbiorów zamknięta zarówno pod względem różnicy symetrycznej, jak i przecięcia jest również domknięta pod sumą i względnym dopełnieniem. Wynika to z tożsamości

1. ${\ Displaystyle A \ kubek B = (A \, \ trójkąt \, B) \, \ trójkąt \, (A \ czapka B)}$ i
2. ${\ Displaystyle A \ setminus B = A \, \ trójkąt \, (A \ czapka B).}$

Różnica symetryczna i przecięcie razem dają pierścień w sensie miarowo-teoretycznym strukturę pierścienia boolowskiego .

W sensie teorii miary pierścień σ jest pierścieniem zamkniętym pod przeliczalnymi sumami, a pierścień δ jest pierścieniem zamkniętym pod policzalnymi przecięciami. Jawnie, pierścień σ nad $jest$ zbiorem takim, że dla dowolnej sekwencji $\ {A_ {k}\}_{k=1}^{\infty}\subseteq {\mathcal {F}},}$$k$ mamy ${\ Textstyle \ bigcup _ {k = 1} ^ {\ infty} A_ {k} \ in {\ mathcal {F}}.}$

algebrą nad $jest$${\ displaystyle X.}$ zbiór $X$ pole zbiorów - zwane także pierścieniem zawierającym Ta definicja oznacza, że ​​algebra jest zamknięta pod absolutnym dopełnieniem ${\ Displaystyle A ^ {c} = X \ setminus A.}$ σ -algebra to algebra, która jest również zamknięta w przeliczalnych związkach lub równoważnie pierścień σ zawierający $koniecznie$$W$ rzeczywistości, zgodnie z prawami de Morgana , pierścień δ, który zawiera, również σ-algebrą. Pola zbiorów, a zwłaszcza σ-algebry, mają kluczowe znaczenie dla współczesnej teorii prawdopodobieństwa i definicji miar .

Semiring $($ zestawów) „UNIQ --templatestyles-0000002E-QINU`”” rodzina zbiorów o właściwościach

1. ${\ Displaystyle \ varnothing \ in {\ mathcal {S}},}$
   • Jeśli (3) zachodzi, to ${\ displaystyle \ varnothing \ in {\ mathcal {S}}}$ wtedy i tylko wtedy, gdy ${\ displaystyle {\ mathcal {S}} \ neq \ varnic.}$
2. ${\ Displaystyle A, B \ in {\ mathcal {S}}}$ implikuje ${\ Displaystyle A \ cap B \ in {\ mathcal {S}},$ }
3. ${\ Displaystyle A, B \ w {\ mathcal {S}}}$ implikuje ${\ Displaystyle A \ setminus B = \ bigcup _ {i = 1} ^ {n}C_{i}}$ dla pewnego rozłącznego ${\ Displaystyle C_ {1}, \ ldots, C_ {n} \ w {\ mathcal {S}}.}$

Każdy pierścień (w sensie teorii miary) jest półpierścieniem. Z drugiej strony ${\ Displaystyle {\ mathcal {S}}: = \ {\ pusty zestaw, \ {x \}, \ {y \} \}}$ na jest półpierścieniem, ale nie pierścieniem, ponieważ nie jest zamknięty w związkach. ${\ displaystyle X = \ {x, y \}}$

Półalgebra lub rodzina elementarna to zbiór podzbiorów podzbiorów spełniających właściwości semiringu , z wyjątkiem (3), zastąpionych przez: $displaystyle$${\ mathcal {S}}}$

• Jeśli istnieje skończona liczba wzajemnie rozłącznych zbiorów ${\ displaystyle C_ {1}, \ ldots, C_ { mi$$S {\ displaystyle E \ in {\ mathcal {S$ tak, że ${\ Displaystyle X \ setminus E = \ bigcup _ {i = 1} ^ {n} C_ {i}.}$

Warunek ten jest silniejszy niż (3), co można zobaczyć w następujący sposób. Jeśli jest $półalgebrą$$do$${\ Displaystyle F ^ {c} = F_ {1} \ Puchar ... \ Puchar F_ {n}}$ możemy dla rozłącznego ${\ Displaystyle F_ {i} \ w S}$ . Następnie:

$${\ Displaystyle E \ setminus F = E \ czapka F ^ {c} = E \ czapka (F_ {1} \ Puchar ... \ Puchar F_ {n}) = (E \ czapka F_ {1})\kubek ...\kubek (E\nasadka F_{n})}$$

$rozłącznych$ każdy , jest zamknięty pod przecięciem i $rozłączny$ . Co więcej, warunek jest ściśle silniejszy: każdy , który jest zarówno pierścieniem, jak i półalgebrą, jest algebrą, stąd każdy pierścień, który nie jest algebrą, również nie jest półalgebrą (np. zbiór zbiorów skończonych na zbiorze nieskończonym) S {\ displaystyle $S$${\ displaystyle X}$ ).

Zobacz też

• Algebra zbiorów – Tożsamości i relacje obejmujące zbiory
• δ -ring – Pierścień zamknięty pod policzalnymi przecięciami
• Ciało zbiorów – Pojęcie algebraiczne w teorii miary, zwane także algebrą zbiorów
• 𝜆-system (system Dynkin) – Rodzina zamknięta na dopełnienia i przeliczalne związki rozłączne
• Klasa Monotone – twierdzenie Strony wyświetlające opisy wikidanych jako rezerwowe Strony wyświetlające krótkie opisy bez spacji
• π -system – Rodzina zbiorów domkniętych pod przecięciem
• σ-algebra – Struktura algebraiczna algebry zbiorów
• 𝜎-idealny – Rodzina zamknięta w podzbiorach i przeliczalnych związkach
• 𝜎-ring – Pierścień zamknięty pod policzalnymi związkami

Rodziny $zbiorów$ ponad Ω $displaystyle \ Omega}$
Jest koniecznie prawdą dla $}$$\ displaystyle {\ mathcal {F}} \$ lub jest zamknięte pod:	Wyreżyserowane przez ${\ displaystyle \, \ supseteq}$	${\ displaystyle A \ czapka B}$	${\ displaystyle A \ puchar B}$	${\ displaystyle B \ setminus A}$	${\ Displaystyle \ Omega \ setminus A}$	${\ Displaystyle A_ {1} \ czapka A_ {2} \ czapka \ cdots}$	${\ Displaystyle A_ {1} \ Puchar A_ {2} \ Puchar \ cdots}$	${\ Displaystyle \ Omega \ in {\ mathcal {F}}}$	${\ Displaystyle \ varnothing \ w {\ mathcal {F}}}$	FIP
π -układ
Semiring										Nigdy
Półgebra (półpole)										Nigdy
Zajęcia monotonne						tylko wtedy, gdy ${\ Displaystyle A_ {i} \ Searrow}$	tylko wtedy, gdy ${\ displaystyle A_ {i} \ blisko}$
𝜆-system (system Dynkin)				tylko wtedy, gdy ${\ displaystyle A \ subseteq B}$			tylko wtedy, gdy są rozłączne lub ${\ displaystyle A_ {i} \ blisko}$			Nigdy
Pierścień (teoria porządku)
Pierścień (teoria miary)										Nigdy
Pierścień δ										Nigdy
𝜎-Dzwonek										Nigdy
Algebra (pole)										Nigdy
𝜎-Algebra (𝜎-Pole)										Nigdy
Podwójny ideał
Filtr				Nigdy	Nigdy				${\ Displaystyle \ varnic \ nie \ w {\ mathcal {F}}}$
Filtr wstępny (podstawa filtra)				Nigdy	Nigdy				${\ Displaystyle \ varnic \ nie \ w {\ mathcal {F}}}$
Podstawa filtra				Nigdy	Nigdy				${\ Displaystyle \ varnic \ nie \ w {\ mathcal {F}}}$
Otwarta topologia							( nawet $)$			Nigdy
Zamknięta topologia						( nawet $)$				Nigdy
Jest koniecznie prawdą dla $}$$\ displaystyle {\ mathcal {F}} \$ lub jest zamknięte pod:	skierowany w dół	skończone przecięcia	skończone związki	względne uzupełnienia	uzupełnia w ${\ displaystyle \ Omega}$	policzalne skrzyżowania	policzalne związki	zawiera ${\ displaystyle \ Omega}$	zawiera ${\ displaystyle \ varnic}$	Skończona właściwość przecięcia
Dodatkowo semiring to układ π , $Unii$ którym każde uzupełnienie równe skończonej $F}}$ zbiorów w Półalgebra to semiring zawierający ${\ Displaystyle \ Omega.}$ { $są$ dowolnymi elementami i zakłada się $,$${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} \ neq \ varnic.}$

Linki zewnętrzne

• Pierścień zbiorów w Encyklopedii Matematyki