Pierścień delta

W matematyce niepusty zbiór zbiorów nazywany jest pierścieniem δ (wymawiane jako „ pierścień delta ” $),$ jest zamknięty pod sumą , względnym uzupełnieniem i policzalnym przecięciem . Nazwa „pierścień delta” pochodzi od niemieckiego słowa oznaczającego przecięcie „Durschnitt”, które ma na celu podkreślenie zamknięcia pierścienia pod policzalnym przecięciem, w przeciwieństwie do 𝜎-pierścień , który jest zamknięty pod policzalnymi związkami.

Definicja

Rodzina zbiorów nazywana jest pierścieniem δ , jeśli ma wszystkie następujące właściwości: ${\ displaystyle {\ mathcal {R}}}$

1. Zamknięte pod skończonymi związkami: ${\ Displaystyle A \ puchar B \ w {\ mathcal {R}}}$ dla wszystkich ${\ Displaystyle A, B \ w {\ mathcal {R}} ,}$
2. Zamknięte przy względnym uzupełnieniu: ${\ Displaystyle AB \ w {\ mathcal {R}}}$ dla wszystkich ${\ Displaystyle A, B \ in {\ mathcal {R}}}$ i
3. ⋂ $}$ if ${ \ Displaystyle A_ {n} \ w {\ mathcal {R}}}$ dla wszystkich ${\ displaystyle n \ w \ mathbb {N}.}$

Jeśli spełnione są tylko dwie pierwsze właściwości, to $,$ pierścieniem zbiorów ale nie pierścieniem δ . Każdy 𝜎-pierścień jest δ -pierścieniem, ale nie każdy δ -pierścień jest 𝜎-pierścieniem .

δ -pierścienie mogą być użyte zamiast σ-algebr w rozwoju teorii miary , jeśli nie chce się dopuszczać zbiorów nieskończonych miar.

Przykłady

K ${\ Displaystyle {\ mathcal {K}} = \ {S \ subseteq \ mathbb {R}: S {\ tekst {jest ograniczony}} \}$ jest δ $,$ ale - ponieważ _

Zobacz też

• Pole zbiorów - pojęcie algebraiczne w teorii miary, zwane także algebrą zbiorów
• 𝜆-system (system Dynkina) – Rodzina zamknięta na dopełnienia i policzalne związki rozłączne
• Klasa Monotone – twierdzenie Strony wyświetlające opisy wikidanych jako rezerwowe Strony wyświetlające krótkie opisy bez spacji
• π -system – Rodzina zbiorów domkniętych pod przecięciem
• Pierścień zestawów - Rodzina zamknięta w związkach i względnych dopełnieniach
• σ-algebra – Struktura algebraiczna algebry zbiorów
• 𝜎-idealny - Rodzina zamknięta w podzbiorach i policzalnych związkach
• 𝜎-pierścień - pierścień zamknięty pod policzalnymi związkami

• Cortzen, Allan. „Pierścień Delta”. From MathWorld—A Wolfram Web Resource, stworzony przez Erica W. Weissteina. http://mathworld.wolfram.com/Delta-Ring.html

${\ Displaystyle {\ mathcal {F}}} fa {$ Rodziny zestawów nad $Displaystyle \ Omega}$
Jest koniecznie prawdziwe dla $}$$\ displaystyle {\ mathcal {F}} \$ lub jest zamknięte pod:	Reżyseria : ${\ Displaystyle \, \ supseteq}$	${\ Displaystyle A \ czapka B}$	${\ Displaystyle A \ kubek B}$	${\ Displaystyle B \ setminus A}$	${\ Displaystyle \ Omega \ setminus A}$	${\ Displaystyle A_ {1} \ czapka A_ {2} \ czapka \ cdots}$	${\ Displaystyle A_ {1} \ kubek A_ {2} \ kubek \ cdots}$	${\ Displaystyle \ Omega \ w {\ mathcal {F}}}$	${\ Displaystyle \ varnic \ w {\ mathcal {F}}}$	FIP
układ π
Semiring										Nigdy
Semilgebra (Semifield)										Nigdy
Klasa monotonna						tylko jeśli ${\ Displaystyle A_ {i} \ searrow}$	tylko wtedy, gdy ${\ Displaystyle A_ {i} \ nearrow}$
𝜆-system (System Dynkina)				tylko wtedy, gdy ${\ Displaystyle A \ subseteq B}$			tylko wtedy, gdy lub są rozłączne ${\ Displaystyle A_ {i} \ nearrow}$			Nigdy
Pierścień (teoria porządku)
Pierścień (teoria miary)										Nigdy
δ-Pierścień										Nigdy
𝜎-Pierścień										Nigdy
Algebra (Dziedzina)										Nigdy
𝜎-Algebra (𝜎-Pole)										Nigdy
Podwójny ideał
Filtr				Nigdy	Nigdy				${\ Displaystyle \ varnic \ nie \ w {\ mathcal {F}}}$
Filtr wstępny (podstawa filtra)				Nigdy	Nigdy				${\ Displaystyle \ varnic \ nie \ w {\ mathcal {F}}}$
Filtruj bazę podrzędną				Nigdy	Nigdy				${\ Displaystyle \ varnic \ nie \ w {\ mathcal {F}}}$
Topologia otwarta							(nawet arbitralne ) ${\ Displaystyle \ puchar$ }			Nigdy
Topologia zamknięta						(nawet arbitralnie ${\ Displaystyle \ cap}$ )				Nigdy
Jest koniecznie prawdziwe dla $}$$\ displaystyle {\ mathcal {F}} \$ lub jest zamknięte pod:	skierowany w dół	skończone przecięcia	skończone związki	względne komplementy	uzupełnia w ${\ Displaystyle \ Omega}$	przeliczalne skrzyżowania	policzalne związki	zawiera ${\ Displaystyle \ Omega}$	zawiera ${\ Displaystyle \ varnic}$	Skończona właściwość przecięcia
Dodatkowo półpierścień jest systemem π $sumie$ którym każde dopełnienie jest równe skończonej $Displaystyle {\ mathcal {F}}.}$ zbiorów w \ Semialgebra to semiring, który zawiera ${\ Displaystyle \ Omega.}$${\ Displaystyle A, B, A_ {1}, A_ {2}, \ ldots}$$są$ elementami i zakłada się, że ${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} \ neq \ varnothing.}$