Filtrowana algebra

W matematyce algebra filtrowana jest uogólnieniem pojęcia algebry stopniowanej . Przykłady pojawiają się w wielu gałęziach matematyki , zwłaszcza w algebrze homologicznej i teorii reprezentacji .

Filtrowana algebra nad $_$ jest algebrą nad k $}$ $Displaystyle$ $k$ rosnący _ _ _ ${\ displaystyle A}$ takie, że

{\ Displaystyle A = \ bigcup _ {i \ w \ mathbb {N}} F_ {i}}

i jest to zgodne z mnożeniem w następującym sensie:

{\ Displaystyle \ forall m, n \ in \ mathbb {N} \ quad F_ {m} \ cdot F_ {n} \ subseteq F_ {n + m}.}

Powiązana algebra stopniowana

Ogólnie rzecz biorąc, istnieje następująca konstrukcja, która tworzy algebrę stopniowaną z algebry filtrowanej.

Jeśli jest algebrą filtrowaną, to $powiązana$ algebra stopniowana jest zdefiniowana w następujący sposób: $} (A)}$

sol
${\ Displaystyle {\ mathcal {G}} (A) = \ bigoplus _ {n \ in \ mathbb {N}} G_ {n}$
,,
Gdzie,

${\ Displaystyle G_ {0} = F_ {0},}$ i

${\ Displaystyle \ forall n> 0, \ G_ {n} = F_ {n}/F_{n-1}\,,}$
mnożenie jest określone przez
${\ Displaystyle (x + F_ {n-1}) (y + F_ { m-1})=x\ckropka y+F_{n+m-1}}$

$\ w F_ {m$ wszystkich i ${ \ Displaystyle$ } (Dokładniej mapa mnożenia ${\ Displaystyle {\ mathcal {G}} (A) \ razy {\ mathcal {G}} (A) \ do {\ mathcal {G}}(A)}$ jest łączony z map

$\ Displaystyle (F_ {n} / F_ {n-1}) \ razy (F_ {m} / F_ {m-1}) \ do F_ {n + m} / F_ { n+m-1},\ \ \ \ \ \left(x+F_{n-1},y+F_{m-1}\right)\mapsto x\cdot y+F_{n+m-1} }$
dla wszystkich i $\ Displaystyle$ $m \ geq 0$ .

$z$ jest dobrze zdefiniowane i nadaje $mathbb {N}}.}$ stopniowanej $\$ Ponadto, jeśli asocjacyjny , to tak jest ${\ Displaystyle {\ mathcal {G} }(A)}$ . ${G}} (A)}$ jeśli jest $jednostkowa$ , tak że jednostka leży w wtedy będzie jednolita jako $\ Displaystyle {\$ mathcal Dobrze.

Ponieważ algebry $ZA$ są różne (z wyjątkiem trywialnego przypadku, w którym $wektor$ oceniane), ale jako $}$ przestrzenie są izomorficzne . (Można udowodnić przez indukcję , że jest $}$ z przestrzeniami wektorowymi ${\ displaystyle \ bigoplus _ {i = 0} ^ {n} G_ {i$ .

Przykłady

Dowolna algebra stopniowana oceniana przez ${\ Displaystyle \ mathbb {N}}$ , na przykład ${\ textstyle A = \ bigoplus _ {n \ in \ mathbb {N}} A_ {n}$ } ma filtrację określoną przez ${\ textstyle F_ {n} = \ bigoplus _ {i = 0} ^ {n} A_ {i}}$ .

Przykładem $filtrowanej$ Clifforda przestrzeni $q.}$ $formę$ _ _ ${\ Displaystyle V.}$ displaystyle Powiązana algebra $stopniowana$ zewnętrzna algebra

Algebra symetryczna na dualności przestrzeni afinicznej jest przefiltrowaną algebrą wielomianów ; w przestrzeni wektorowej zamiast tego otrzymuje się algebrę stopniowaną.

Uniwersalna algebra obwiedni algebry Liego jest $.$ naturalnie filtrowana Twierdzenie PBW stwierdza, że powiązana algebra stopniowana to po prostu $\ Displaystyle \ operatorname {Sym} ({\ mathfrak {g}})}$ {

Skalarne operatory różniczkowe na rozmaitości tworzą filtrowaną algebrę $,$ której filtracja jest określona przez stopień operatorów różniczkowych. Powiązana algebra stopniowana jest algebrą przemienną gładkich funkcji na wiązce kostycznej, $które$ są wielomianami wzdłuż włókien projekcji $dwukropek T^{*}M\rightarrow M}$ $Displaystyle \ pi$ .

Algebra grupowa grupy z funkcją długości jest algebrą filtrowaną.

Zobacz też

Abe, Eiichi (1980). algebry Hopfa . Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-22240-0 .

Ten artykuł zawiera materiał z algebry filtrowanej na PlanetMath , który jest objęty licencją Creative Commons Attribution/Share-Alike License .