Jednostka zamówienia

Jednostka porządku to element uporządkowanej przestrzeni wektorowej , za pomocą którego można związać wszystkie elementy z góry. W ten sposób (jak widać w pierwszym przykładzie poniżej) jednostka porządku uogólnia element jednostki w liczbach rzeczywistych.

Według HH Schaefera „większość uporządkowanych przestrzeni wektorowych występujących w analizie nie ma jednostek rzędu”.

Definicja

Dla stożka porządkującego $w$ przestrzeni wektorowej element jest jednostką porządku (dokładniej $e \ in$$Displaystyle$$K}$$)$$jednostka$$rzędu )$ jeśli dla istnieje takie ${\ Displaystyle \ lambda _ {x} ex \ w K}$ (to znaczy ${\ Displaystyle x \ leq _ {K} \ lambda _ {x} e})$ .

Równoważna definicja

Jednostki porządku stożka ${\ Displaystyle K;}$$elementy$ te algebraicznym K to znaczy podane przez ${\ Displaystyle \ nazwa operatora {rdzeń} (K).}$

Przykłady

Niech ${\ Displaystyle X = \ mathbb {R}}$ będzie liczbami rzeczywistymi i ${R}: x \ geq 0 \},}$${\ Displaystyle K = \ mathbb {R} _ {+} = \ {x \ in \$$mathbb$ wtedy element jednostkowy jednostką rzędu .

Niech ${\ Displaystyle X = \ mathbb {R} ^ {n}}$ i ${\ styl wyświetlania K=\mathbb {R} _{+}^{n}=\left\{x_{i}\in \mathbb {R} :{\text{ dla wszystkich }}i=1,\ldots ,n: x_{i}\geq 0\right\},}$ następnie element jednostkowy ${\ Displaystyle {\ vec {1}} = (1, \ ldots, 1)}$ jest jednostką porządku .

Każdy punkt wewnętrzny dodatniego stożka uporządkowanej topologicznej przestrzeni wektorowej jest jednostką porządku.

Nieruchomości

Każda jednostka porządku uporządkowanego TVS jest wewnętrzna względem stożka dodatniego dla topologii porządku.

Jeśli ${\ Displaystyle (X, \ równoważnik)}$ jest wstępnie uporządkowaną przestrzenią wektorową nad liczbami rzeczywistymi z jednostką rzędu ${\ Displaystyle u},$ to mapa ${\ Displaystyle p (x): = \ inf \ {t \ w \ mathbb {R}: x \ równoważnik tu \}}$ jest funkcjonałem podliniowym .

Zamów normę jednostkową

Załóżmy $jest$$uporządkowaną przestrzenią wektorową$$[-u, u].}$ rzeczywistymi z jednostką rzędu, archimedesowy i niech Następnie funkcjonał Minkowskiego określony przez p $\ displaystyle p_ {U}}$$}$${\ Displaystyle p_ {U} (x): = \ {r> 0: x \ w r [-u, u] \} ,}$ jest normą zwaną normą jednostki rzędu . Spełnia ${\ Displaystyle p_ {U} (u) = 1},$ a zamknięta kula jednostkowa określona przez ${\ Displaystyle p_ {U}}$ jest równa ${\ Displaystyle [-u, u];}$ to znaczy ${\ Displaystyle [-u, u] = \ lewo \ {x \ w X: p_ {U} (x) \ równoważnik 1 \ prawo \}.}$

Bibliografia

•    Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Topologiczne przestrzenie wektorowe . Matematyka czysta i stosowana (wyd. Drugie). Boca Raton, Floryda: CRC Press. ISBN 978-1584888666 . OCLC 144216834 .
•    Schaefer, Helmut H .; Wolff, Manfred P. (1999). Topologiczne przestrzenie wektorowe . GTM . Tom. 8 (wyd. Drugie). Nowy Jork, NY: Springer Nowy Jork Impressum Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0 . OCLC 840278135 .