Normalny operator

W matematyce , zwłaszcza w analizie funkcjonalnej , operator normalny na zespolonej przestrzeni Hilberta H jest ciągłym operatorem liniowym N : H → H , który komutuje ze swoim hermitowskim sprzężeniem N* , czyli: NN* = N*N .

Normalne operatory są ważne, ponieważ obowiązuje dla nich twierdzenie spektralne . Klasa operatorów normalnych jest dobrze poznana. Przykładami normalnych operatorów są

• operatory unitarne : N* = N ^-1
• Operatory hermitowskie (tj. operatory samosprzężone): N* = N
• skośno-hermitowskie : N* = − N
• operatory dodatnie : N = MM* dla pewnego M (więc N jest samosprzężone).

Macierz normalna jest macierzowym ^wyrażeniem operatora normalnego w przestrzeni Hilberta Cn .

Nieruchomości

Normalne operatory charakteryzują się twierdzeniem widmowym . Zwarty operator normalny (w szczególności operator normalny na skończenie wymiarowej przestrzeni liniowej) jest diagonalizowalny unitarnie.

Niech $będzie$ operatorem ograniczonym Następujące są równoważne.

• $jest$ .
• ${\ Displaystyle T ^ {*}}$ jest normalne.
• ${\ Displaystyle \| Tx \ | = \| T ^ {*} x \ |}$ dla wszystkich ${\ Displaystyle x}$ (użyj ${\ Displaystyle \| Tx \ | ^ {2} = \ langle T ^ {*} Tx, x \ rangle = \ langle TT ^ {*} x, x \ rangle = \| T ^ {*} x \ | ^ {2}}$ ).
• Samosprzężone i anty-samosprzężone części $do pracy$ . To znaczy, jeśli $=$$T = T_ {1} + iT_ {2}}$ Displaystyle T $\ Displaystyle T_ {1}:={\frac {T+T^{*}}{2}}}$ ja ${\ Displaystyle i \, T_ {2}: = {\ Frac {TT ^ {*}}} {2}}, a$ następnie ${\ Displaystyle T_ {1} T_ {2} = T_ {2} T_ {1}.}$

Jeśli $to$ operatorem normalnym, to $i$ samo jądro i ten $.$$iniekcyjny$ konsekwencji zakres jest gęsty wtedy i tylko wtedy, $jest$ . Innymi słowy, jądro normalnego operatora jest ortogonalnym uzupełnieniem jego zakresu. Wynika z tego że jądro operatora ${\ Displaystyle N ^ {k}}$$pokrywa$ z tym dla dowolnego ${\ displaystyle k.}$ Każda uogólniona wartość własna normalnego operatora jest zatem autentyczna. $}$$wartością$$lambda$ jest wartością własną normalnego operatora i tylko wtedy, gdy jego złożony koniugat własną ${\ Displaystyle N ^ {*}.}$ Wektory własne operatora normalnego odpowiadające różnym wartościom własnym są ortogonalne, a operator normalny stabilizuje ortogonalne dopełnienie każdej ze swoich przestrzeni własnych. Implikuje to zwykłe twierdzenie spektralne: każdy operator normalny w przestrzeni o skończonych wymiarach jest diagonalizowalny przez operatora unitarnego. Istnieje również nieskończenie wymiarowa wersja twierdzenia spektralnego wyrażona za pomocą miar o wartościach projekcyjnych . Resztkowe widmo normalnego operatora jest puste.

Produkt normalnych operatorów, którzy dojeżdżają do pracy, jest znowu normalny; jest to nietrywialne, ale wynika bezpośrednio z twierdzenia Fuglede'a , które stwierdza (w formie uogólnionej przez Putnama):

N ${\ Displaystyle N_ {1}}$$i$ są normalnymi operatorami i jeśli $jest$$\ displaystyle N_ {1}A = AN_ {2},}$ takim, że następnie ${\ Displaystyle N_ {1} ^ {*} A = AN_ {2} ^ {*}}$ .

Norma operatora normalnego operatora jest równa jego promieniowi liczbowemu i promieniowi widmowemu .

Normalny operator pokrywa się z jego transformacją Aluthge .

Własności w przypadku skończonych wymiarów

Jeśli operator normalny T na skończenie-wymiarowej rzeczywistej lub zespolonej przestrzeni Hilberta (przestrzeń iloczynu wewnętrznego) H stabilizuje podprzestrzeń V , to stabilizuje również jej dopełnienie ortogonalne V ^⊥ . (To stwierdzenie jest trywialne w przypadku, gdy T jest samosprzężone).

Dowód. Niech P _V będzie rzutem ortogonalnym na V . Wówczas rzut ortogonalny na V ^⊥ wynosi 1 _H − P _V . Fakt, że T stabilizuje V można wyrazić jako ( 1 _H − P _V ) TP _V = 0 lub TP _V = P _V TP _V . Celem jest pokazanie , _że PVT ( 1 _H. - P _V ) = 0.

Niech X = P _V T ( 1 _H - P _V ). Ponieważ ( A , B ) ↦ tr( AB* ) jest iloczynem wewnętrznym na przestrzeni endomorfizmów H , wystarczy pokazać, że tr( XX* ) = 0. Najpierw zauważmy, że

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} XX ^ {*} & = P_ {V} T ({\ boldsymbol {1}} _ {H} -P_ {V}) ^ {2} T ^ {*} P_ { V}\\&=P_{V}T({\boldsymbol {1}}_{H}-P_{V})T^{*}P_{V}\\&=P_{V}TT^{* }P_{V}-P_{V}TP_{V}T^{*}P_{V}.\end{wyrównane}}}$

Teraz korzystając z własności śladu i rzutów ortogonalnych mamy:

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ nazwa operatora {tr} (XX ^ {*}) & = \ nazwa operatora {tr} \ lewo (P_ {V}TT ^ {*} P_ {V} -P_ {V} TP_ {V}T^{*}P_{V}\right)\\&=\nazwa_operatora {tr} (P_{V}TT^{*}P_{V})-\nazwa_operatora {tr} (P_{V} TP_{V}T^{*}P_{V})\\&=\nazwa_operatora {tr} (P_{V}^{2}TT^{*})-\nazwa_operatora {tr} (P_{V}^ {2}TP_{V}T^{*})\\&=\nazwa_operatora {tr} (P_{V}TT^{*})-\nazwa_operatora {tr} (P_{V}TP_{V}T^ {*})\\&=\operatorname {tr} (P_{V}TT^{*})-\operatorname {tr} (TP_{V}T^{*})&&{\text{używając hipotezy, że }}T{\text{stabilizuje się}}V\\&=\nazwa_operatora {tr} (P_{V}TT^{*})-\nazwa_operatora {tr} (P_{V}T^{*}T)\ \&=\nazwa operatora {tr} (P_{V}(TT^{*}-T^{*}T))\\&=0.\end{wyrównane}}}$

Ten sam argument dotyczy zwartych operatorów normalnych w nieskończenie wymiarowych przestrzeniach Hilberta, gdzie wykorzystuje się iloczyn wewnętrzny Hilberta-Schmidta , zdefiniowany przez tr( AB* ) odpowiednio zinterpretowany. Jednak w przypadku ograniczonych operatorów normalnych ortogonalne dopełnienie stabilnej podprzestrzeni może nie być stabilne. Wynika z tego, że ogólnie przestrzeń Hilberta nie może być rozpięta przez wektory własne operatora normalnego. Rozważmy na przykład przesunięcie dwustronne (lub $przesunięcie$ dwustronne) działające na normalne, ale nie ma wartości własnych.

Niezmienne podprzestrzenie przesunięcia działającego na przestrzeń Hardy'ego charakteryzują twierdzenie Beurlinga .

Elementy normalne algebr

Pojęcie operatorów normalnych uogólnia się na algebrę inwolucyjną:

element x algebry inwolucyjnej jest normalny, jeśli xx* = x*x .

Elementy samosprzężone i jednolite są normalne.

Najważniejszym przypadkiem jest sytuacja, gdy taka algebra jest C*-algebrą .

Nieograniczone operatory normalne

Definicja operatorów normalnych w naturalny sposób uogólnia się na pewną klasę operatorów nieograniczonych. Jawnie mówi się, że zamknięty operator N jest normalny, jeśli

${\ Displaystyle N ^ {*} N = NN ^ {*}.}$

W tym przypadku istnienie sąsiedniego N* wymaga, aby dziedzina N była gęsta, a równość obejmuje stwierdzenie, że dziedzina N*N jest równa dziedzinie NN* , co niekoniecznie musi mieć miejsce w ogólności.

Równie normalne operatory to dokładnie te, dla których

${\ Displaystyle \|Nx \|=\|N ^ {*} x \|\ qquad}$

z

${\ Displaystyle {\ mathcal {D}} (N) = {\ mathcal {D}} (N ^ {*}).}$

Twierdzenie widmowe nadal obowiązuje dla operatorów nieograniczonych (normalnych). Dowody działają poprzez redukcję do ograniczonych (normalnych) operatorów.

Uogólnienie

Sukces teorii operatorów normalnych doprowadził do kilku prób uogólnienia poprzez osłabienie wymogu przemienności. Klasy operatorów zawierające normalne operatory to (w kolejności włączenia)

• Operatory hiponormalne
• Normaloidy
• Operatorzy paranormalni
• Operatory quasinormalne
• Operatory podnormalne

Zobacz też

• Ciągły operator liniowy
• Skrócenie (teoria operatorów) - Ograniczone operatory z normą podjednostki