Twierdzenie min-max

Nie mylić z twierdzeniem Minimaxa .

„Twierdzenie wariacyjne” przekierowuje tutaj. Nie mylić z zasadą wariacyjną .

W algebrze liniowej i analizie funkcjonalnej twierdzenie min-max lub twierdzenie wariacyjne lub zasada min-max Couranta – Fischera – Weyla jest wynikiem, który daje wariacyjną charakterystykę wartości własnych zwartych operatorów hermitowskich w przestrzeniach Hilberta . Można go postrzegać jako punkt wyjścia dla wielu wyników o podobnym charakterze.

W tym artykule najpierw omówiono przypadek skończonych wymiarów i jego zastosowania, a następnie rozważono operatory zwarte w nieskończenie wymiarowych przestrzeniach Hilberta. Przekonamy się, że w przypadku operatorów zwartych dowód głównego twierdzenia wykorzystuje zasadniczo tę samą ideę z argumentu skończonych wymiarów.

W przypadku, gdy operator nie jest hermitowski, twierdzenie zapewnia równoważną charakterystykę powiązanych wartości osobliwych . Twierdzenie min-max można rozszerzyć na operatory samosprzężone , które są ograniczone poniżej.

macierze

Niech A będzie macierzą hermitowską n × n . Podobnie jak w przypadku wielu innych wyników wariacyjnych wartości własnych, bierze się pod uwagę iloraz Rayleigha-Ritza _RA : C n ^\ {0} → R zdefiniowany przez

${\ Displaystyle R_ {A} (x) = {\ Frac {(Ax, x)} {(x, x)}}}$

gdzie (⋅, ⋅) oznacza iloczyn wewnętrzny euklidesa na C ⁿ . Oczywiście iloraz Rayleigha wektora własnego jest powiązaną z nim wartością własną. Równoważnie iloraz Rayleigha – Ritza można zastąpić przez

${\ Displaystyle f (x) = (Ax, x), \; \ | x \ | = 1.}$

Dla macierzy hermitowskich A zakres funkcji ciągłej RA _] ( x ) lub f ( x ) jest zwartym przedziałem [ a , b prostej rzeczywistej. Maksimum b i minimum a są odpowiednio największą i najmniejszą wartością własną A . Twierdzenie min-max jest udoskonaleniem tego faktu.

Twierdzenie min-max

Niech A będzie n × n macierzą hermitowską o wartościach własnych λ ₁ ≤ ... ≤ λ _k ≤ ... ≤ λ _n , wtedy

${\ Displaystyle \ lambda _ {k} = \ min _ {U} \ {\ max _{x}\{R_{A}(x)\mid x\in U{\text{ i }}x\neq 0\}\mid \dim(U)=k\}}$

I

${\ Displaystyle \ lambda _ {k} = \ max _ {U }\{\min _{x}\{R_{A}(x)\mid x\in U{\text{ i }}x\neq 0\}\mid \dim(U)=n-k+1 \}}$ ,

w szczególności,

${\ Displaystyle \ forall x \ in \ mathbf {C} ^ {n} \ ukośnik odwrotny \ {0 \} \ dwukropek \ lambda _ {1} \ równoważnik R_ {A} (x) \ równoważnik \ lambda _ {n}}$

a te granice są osiągane, gdy x jest wektorem własnym odpowiednich wartości własnych.

Również prostszy wzór na maksymalną wartość własną λ _n jest określony wzorem:

${\ Displaystyle \ lambda _ {n} = \ max \ {R_ {A} (x): x \ neq 0 \}.}$

Podobnie minimalna wartość własna λ ₁ jest dana wzorem:

${\ Displaystyle \ lambda _ {1} = \ min \ {R_ {A} (x): x \ neq 0 \}.}$

Dowód

Ponieważ macierz A jest hermitowska, jest diagonalizowalna i możemy wybrać ortonormalną bazę wektorów własnych { u ₁ , ..., u _n }, to znaczy u _i jest wektorem własnym dla wartości własnej λ _i i taką, że ( u _i , u _i ) = 1 oraz ( u _ja , u _j ) = 0 dla wszystkich i ≠ j .

Jeśli U jest podprzestrzenią o wymiarze k , to jej przecięcie z rozpiętością podprzestrzeni { u _k , ..., u _n } nie jest równe zeru, bo gdyby tak było, wówczas wymiar rozpiętości dwóch podprzestrzeni wynosiłby ${\ Displaystyle k + (nk + 1)}$ , co jest niemożliwe. Stąd istnieje wektor v ≠ 0 w tym przecięciu, który możemy zapisać jako

${\ Displaystyle v = \ suma _ {i = k} ^ {n} \ alfa _ {i} u_ {i}}$

i którego iloraz Rayleigha wynosi

${\ Displaystyle R_ {A} (v) = {\ Frac {\ suma _ {i = k} ^ {n} \ lambda _ {i} | \ alfa _ {i} | ^ {2}} {\sum _{i=k}^{n}|\alpha _{i}|^{2}}}\geq \lambda _{k}}$

(jak wszystkie dla i = k, ..., n) i stąd ${\ Displaystyle \ lambda _ {i} \ geq \ lambda _ {k}}$

${\ Displaystyle \ max \ {R_ {A} (x) \ mid x \ w U \} \ geq \ lambda _ {k}}$

Ponieważ jest to prawdziwe dla wszystkich U, możemy to stwierdzić

${\ Displaystyle \ min \ {\ max \ {R_ {A} (x) \ środkowy x \in U{\text{ i }}x\neq 0\}\mid \dim(U)=k\}\geq \lambda _{k}}$

To jest jedna nierówność. Aby ustalić drugą nierówność, wybierz określoną przestrzeń k-wymiarową V = span{ u ₁ , ..., u _k } , dla której

${\ Displaystyle \ max \ {R_ {A} (x) \ mid x \ w V {\ tekst {i}} x \ neq 0 \ }\równik \lambda _{k}}$

ponieważ jest największą wartością własną w V. Dlatego również ${\ displaystyle \ lambda _ {k}}$

${\ Displaystyle \ min \ {\ max \ {R_ {A} (x) \ środkowy x \in U{\text{ i }}x\neq 0\}\mid \dim(U)=k\}\leq \lambda _{k}}$

Aby uzyskać inny wzór, rozważ macierz hermitowską $,$$k}=-\lambda _{n-k+1}}$ własne w porządku rosnącym to $lambda '_$ . Zastosowanie wyniku właśnie udowodnione,

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} - \ lambda _ {nk + 1} = \ lambda '_ {k} & = \ min \ {\ max \ {R_ {A'} (x) \ mid x \ in U\}\mid \dim(U)=k\}\\&=\min\{\max\{-R_{A}(x)\mid x\in U\}\mid \dim(U) =k\}\\&=-\max\{\min\{R_{A}(x)\mid x\in U\}\mid \dim(U)=k\}\end{wyrównane}}}$

Wynik następuje po zastąpieniu przez $-$${\ displaystyle nk +$ }

Kontrprzykład w przypadku niehermitowskim

Niech N będzie macierzą nilpotentną

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {bmatrix} 0 i 1 \\ 0 i 0 \ koniec {bmatrix}}.}$

$Zdefiniuj$ iloraz Rayleigha powyżej w przypadku 1/2 wtedy zauważyć , że jedyną wartością własną N jest zero, podczas gdy maksymalna wartość ilorazu Rayleigha wynosi . Oznacza to, że maksymalna wartość ilorazu Rayleigha jest większa niż maksymalna wartość własna.

Aplikacje

Zasada min-max dla wartości osobliwych

Wartości osobliwe { σ _k } macierzy kwadratowej M są pierwiastkami kwadratowymi wartości własnych M * M (równoważnie MM* ). Bezpośrednią konsekwencją pierwszej równości w twierdzeniu min-max jest:

${\ Displaystyle \ sigma _ {k} ^ {\ uparrow} = \ min _ {S: \ dim (S) = k} \ max _ {x \ w S, \ | x \ | = 1} (M ^ { *}Mx,x)^{\frac {1}{2}}=\min _{S:\dim(S)=k}\max _{x\in S,\|x\|=1}\ |Mx\|.}$

Podobnie,

${\ Displaystyle \ sigma _ {k} ^ {\ uparrow} = \ max _ {S: \ dim (S) = n-k + 1} \ min _ {x \ w S, \ | x \ | = 1} \|Mx\|.}$

Tutaj ${\ Displaystyle \ sigma _ {k} = \ sigma _ {k} ^ {\ uparrow}}$ oznacza k ^-ty wpis w rosnącej sekwencji σ, tak że ${\ Displaystyle \ sigma _ {1} \ równoważnik \ sigma _ {2} \ równoważnik \ cdots}$ .

Twierdzenie Cauchy'ego o przeplocie

Główny artykuł: twierdzenie Poincarégo o separacji

Niech A będzie symetryczną macierzą n × n . Macierz m × m B , gdzie m ≤ n , nazywana jest kompresją A , jeśli istnieje rzut ortogonalny P na podprzestrzeń o wymiarze m takim, że PAP * = B . Twierdzenie Cauchy'ego o przeplocie stwierdza:

Twierdzenie. Jeśli wartości własne A to α ₁ ≤ ... ≤ α _n , a wartości własne B to β ₁ ≤ ... ≤ β _j ≤ ... ≤ β _m , to dla wszystkich j ≤ m ,

${\ Displaystyle \ alfa _ {j} \ równoważnik \ beta _ {j} \ równoważnik \ alfa _ {n-m + j}.}$

Można to udowodnić za pomocą zasady min-max. Niech β _i ma odpowiedni wektor własny b _i , a S _j będzie j -wymiarową podprzestrzenią S _j = span{ b ₁ , ..., b _j }, wtedy

${\ Displaystyle \ beta _ {j} = \ max _ {x \ w S_ {j}, \ | x \ | = 1} (Bx, x) = \ max _ {x \ w S_ {j}, \ | x \ | = 1} (PAP ^ {*} x, x) \ geq \ min _ {S_ {j}} \ max _ {x \ w S_ {j}, \ | x \ | = 1} (A (P ^ {*} x), P^{*}x)=\alfa _{j}.}$

Zgodnie z pierwszą częścią min-max, α _j ≤ β _j . Z drugiej strony, jeśli zdefiniujemy S _{m − j +1} = span{ b _j , ..., b _m }, to

${\ Displaystyle \ beta _ {j} = \ min _ {x \ w S_ {m-j+1},\|x\|=1}(Bx,x)=\min _{x\in S_{m-j+1},\|x\|=1}(PAP^{ *}x,x)=\min _{x\in S_{m-j+1},\|x\|=1}(A(P^{*}x),P^{*}x)\ leq \alpha _{n-m+j},}$

gdzie ostatnia nierówność jest dana przez drugą część min-max.

Gdy n − m = 1 , mamy α _j ≤ β _j ≤ α _{j +1} , stąd nazwa twierdzenie o przeplotach .

Kompaktowe operatory

Niech A będzie zwartym operatorem hermitowskim na przestrzeni Hilberta H . Przypomnijmy, że widmo takiego operatora (zbiór wartości własnych) jest zbiorem liczb rzeczywistych, których jedynym możliwym punktem skupienia jest zero. Dlatego wygodnie jest wymienić dodatnie wartości własne A jako

${\ Displaystyle \ cdots \ równoważnik \ lambda _ {k} \ równoważnik \ cdots \ równoważnik \ lambda _ {1},}$

gdzie wpisy są powtarzane z krotnością , jak w przypadku macierzy. $H$ że sekwencja jest malejąca, możemy napisać jest nieskończenie , powyższy ciąg wartości własnych jest z konieczności nieskończony. Zastosujemy teraz to samo rozumowanie, co w przypadku macierzy. Przyjmując, że S _k ⊂ H będzie k- wymiarową podprzestrzenią, możemy otrzymać następujące twierdzenie.

Twierdzenie (min-maks). Niech A będzie zwartym, samosprzężonym operatorem na przestrzeni Hilberta H , którego dodatnie wartości własne są uporządkowane malejąco ... ≤ λ _k ≤ ... ≤ λ ₁ . Wtedy:

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ max _ {S_ {k}} \ min _ {x \ w S_ {k}, \ | x \ | = 1} (Ax, x) & = \ lambda _ {k }^{\strzałka w dół },\\\min _{S_{k-1}}\max _{x\in S_{k-1}^{\perp },\|x\|=1}(Ax, x)&=\lambda _{k}^{\strzałka w dół}.\end{wyrównane}}}$

Podobna para równości obowiązuje dla ujemnych wartości własnych.

Dowód

Niech S ' będzie domknięciem rozpiętości liniowej ${\ Displaystyle S' = \ operatorname {rozpiętość} \ {u_ {k}, u_ {k + 1}, \ ldots \}}$ . Podprzestrzeń S' ma kowymiar k − 1. Z tego samego argumentu liczby wymiarów, co w przypadku macierzy, S' ∩ S _k ma wymiar dodatni. Zatem istnieje x ∈ S ' ∩ S _k z ${\ Displaystyle \|x\|=1}$ . Ponieważ jest to element S' , taki x koniecznie spełnia

${\ Displaystyle (Ax, x) \ równoważnik \ lambda _ {k}.}$

Dlatego dla wszystkich S _k

${\ Displaystyle \ inf _ {x \ w S_ {k}, \ | x \ | = 1} (Ax, x) \ równoważnik \lambda_{k}}$

Ale A jest zwarty, dlatego funkcja f ( x ) = ( Ax , x ) jest słabo ciągła. Ponadto każdy zbiór ograniczony w H jest słabo zwarty. To pozwala nam zastąpić infimum przez minimum:

${\ Displaystyle \ min _ {x \ w S_ {k}, \ | x \ | = 1} (Ax, x) \ równoważnik \ lambda _ {k}.}$

Więc

${\ Displaystyle \ sup _ {S_ {k}} \ min _ {x \ w S_ {k}, \ | x \ | = 1} (Ax, x) \ równoważnik \ lambda _ {k}.}$

Ponieważ równość jest osiągana, gdy ${\ Displaystyle S_ {k} = \ nazwa operatora {rozpiętość} \ {u_ {1}, \ ldots, u_ {k} \}}$ ,

${\ Displaystyle \ max _ {S_ {k}} \ min _ {x \ w S_ {k}, \ | x \ | = 1} (Ax, x) = \ lambda _ {k}.}$

To jest pierwsza część twierdzenia min-max dla zwartych operatorów samosprzężonych.

Analogicznie rozważmy teraz ( k − 1) -wymiarową podprzestrzeń S _{k −1} , której dopełnienie ortogonalne jest oznaczone przez S _{k −1} ^⊥ . Jeśli S' = rozpiętość { u ₁ ... u _k },

${\ Displaystyle S '\ cap S_ {k-1} ^ {\ sprawca} \ neq {0}.}$

Więc

${\ Displaystyle \ istnieje x \ w S_ {k-1} ^ {\ sprawca} \, \ | x \ | = 1, (Ax, x) \ geq \ lambda _ {k}.}$

To implikuje

${\ Displaystyle \ max _ {x \ w S_ {k-1} ^ {\ sprawca}, \ | x \ | =1}(Ax,x)\geq \lambda _{k}}$

zastosowano zwartość A. Indeksuj powyższe przez zbiór k-1 -wymiarowych podprzestrzeni

${\ Displaystyle \ inf _ {S_ {k-1}} \ max _ {x \ w S_ {k-1} ^ {\ sprawca}, \ | x \ | = 1} (Ax, x) \ geq \ lambda _{k}.}$

Wybierzmy S _{k −1} = span{ u ₁ , ..., u _{k −1} } i dedukujemy

${\ Displaystyle \ min _ {S_ {k-1}} \ max _ {x \ w S_ {k-1} ^ {\ sprawca}, \ | x \ | = 1} (Ax, x) = \ lambda _ {k}.}$

Operatory samosprzężone

Twierdzenie min-max stosuje się również do (prawdopodobnie nieograniczonych) operatorów samosprzężonych. Przypomnijmy, że podstawowym widmem jest widmo bez izolowanych wartości własnych o skończonej krotności. Czasami mamy pewne wartości własne poniżej podstawowego widma i chcielibyśmy przybliżyć wartości własne i funkcje własne.

Twierdzenie (min-maks). Niech A $wartościami$ samosprzężone _ _ _ podstawowe spektrum. Następnie

${\ Displaystyle E_ {n} = \ min _ {\ psi _ {1}, \ ldots, \ psi _ {n}} \ max \ {\ langle \ psi, A \ psi \ rangle: \ psi \ w \ nazwa operatora {span} (\psi _{1},\ldots,\psi _{n}),\,\|\psi \|=1\}}$ .

Jeśli mamy tylko N wartości własnych, a zatem zabraknie nam wartości własnych, to mi $Displaystyle E_ {n}: = \ inf \ sigma _ {ess} (A)}$ ( dół podstawowego widma) dla n>N , a powyższe stwierdzenie obowiązuje po zastąpieniu min-max przez inf-sup.

Twierdzenie (maks.-min.). Niech A $wartościami$ samosprzężone _ _ _ podstawowe spektrum. Następnie

${\ Displaystyle E_ {n} = \ max _ {\ psi _ {1}, \ ldots, \ psi _ {n- 1}}\min\{\langle \psi ,A\psi \rangle :\psi \perp \psi _{1},\ldots,\psi _{n-1},\,\|\psi \|=1\}}$ .

Jeśli mamy tylko N wartości własnych, a zatem zabraknie nam wartości własnych, to pozwalamy mi ${\ Displaystyle E_ {n}: = \ inf \ sigma _ {ess} (A)}$ dół podstawowego widma) dla n > N , a powyższe stwierdzenie obowiązuje po zastąpieniu max-min przez sup-inf.

Dowody wykorzystują następujące wyniki dotyczące operatorów samosprzężonych:

Twierdzenie. Niech A będzie samosprzężone. wtedy ${\ Displaystyle (AE) \ geq 0}$ dla ${\ Displaystyle E \ w \ mathbb {R}}$ wtedy i tylko wtedy, gdy ${\ Displaystyle \sigma (A)\subseteq [E,\infty )}$ .

Twierdzenie. Jeśli A jest samosprzężone, to

${\ Displaystyle \ inf \ sigma (A) = \ inf _ {\ psi \ w {\ mathfrak {D} }(A),\|\psi \|=1}\langle \psi ,A\psi \rangle }$

I

$}} (A), \|\ psi \|= 1} \ langle \ psi, A \ psi \ rangle}$ .

Zobacz też

• Zasada minimaksu Couranta
• Nierówność maks.-min

Zewnętrzne linki i cytaty do powiązanych prac

• Ryba, Steve (2005). „Bardzo krótki dowód twierdzenia Cauchy'ego o przeplocie dla wartości własnych macierzy hermitowskich”. arXiv : matematyka/0502408 . {{ cite journal }} : Cite journal wymaga |journal= ( pomoc )
•   Hwang, Suk-Geun (2004). „Twierdzenie Cauchy'ego o przeplocie dla wartości własnych macierzy hermitowskich” . Amerykański miesięcznik matematyczny . 111 (2): 157–159. doi : 10.2307/4145217 . JSTOR 4145217 .
• Kline, Jeffery (2020). „Macierze hermitowskie z granicami i sumy funkcji Möbiusa” . Algebra liniowa i jej zastosowania . 588 : 224–237. doi : 10.1016/j.laa.2019.12.004 .
•   Reed, Michael; Szymon Barry (1978). Metody współczesnej fizyki matematycznej IV: Analiza operatorów . Prasa akademicka. ISBN 978-0-08-057045-7 .