Pochodna Frécheta

Nie mylić z różnicowaniem w przestrzeniach Frécheta .

W matematyce pochodna Frécheta jest pochodną zdefiniowaną w przestrzeniach znormalizowanych . Nazwany na cześć Maurice'a Frécheta , jest powszechnie używany do uogólnienia pochodnej funkcji o wartościach rzeczywistych pojedynczej zmiennej rzeczywistej na przypadek funkcji o wartościach wektorowych wielu zmiennych rzeczywistych oraz do zdefiniowania pochodnej funkcjonalnej szeroko stosowanej w rachunku różniczkowym wariacje .

Ogólnie rzecz biorąc, rozszerza ideę pochodnej z funkcji o wartościach rzeczywistych jednej zmiennej rzeczywistej na funkcje w przestrzeniach znormalizowanych. Pochodną Frécheta należy przeciwstawić bardziej ogólnej pochodnej Gateaux , która jest uogólnieniem klasycznej pochodnej kierunkowej .

Pochodna Frécheta ma zastosowanie do problemów nieliniowych w całej analizie matematycznej i naukach fizycznych, zwłaszcza w rachunku wariacyjnym i większości analiz nieliniowych i nieliniowych analiz funkcjonalnych .

Definicja

Niech i będą $.$ przestrzeniami $_$ i $będą$ _ _ _ ${\ Displaystyle V.}$ Funkcja ${\ Displaystyle f: U \ do W}$ nazywana jest różniczkowalną Frécheta w punkcie ${\ Displaystyle x \ w U}$ , jeśli istnieje ograniczony operator liniowy ${\ Displaystyle A: V \ do W}$ takie, że

$${\ Displaystyle \ lim _ {\| h \ |\ do 0} {\ Frac {\ |f(x+h)-f(x)-Ah\|_{W}}{\|h\|_{V}}}=0.}$$

Granica jest tutaj rozumiana w zwykłym znaczeniu granicy funkcji zdefiniowanej w przestrzeni metrycznej (patrz Funkcje w przestrzeniach metrycznych ), przy użyciu dwóch przestrzeni metrycznych i ${\ displaystyle V} i$${\ displaystyle W} powyższe$$wyrażenie$ jako funkcja w $\$$istnieć$ musi wszystkich sekwencji elementy zerowe $,$$które$ zbiegają się do wektora zerowego , rozwinięcie pierwszego rzędu zachodzi w notacji Landaua

$${\ Displaystyle f (x + h) = f (x) + Ah + o (h).}$$

$on$ istnieje taki operator unikalny, więc piszemy i nazywamy go pochodną Frécheta $(x) = A$$Displaystyle$ w $x.}$$displaystyle$ , że funkcja , która jest różniczkowalna Frécheta dla dowolnego punktu ${\ displaystyle U},$ jest C ^1, jeśli funkcja

$${\ Displaystyle Df: U \ do B (V, W); x \ mapsto Df (x)}$$

$W$$)$ ( $oznacza$ przestrzeń wszystkich ograniczonych operatorów liniowych do } Zauważ, że to nie to samo, co wymaganie, aby mapa była ciągła dla każdej wartości (co zakłada się) $\ Displaystyle Df (x): V \ do$$}$ ; ograniczone i ciągłe są równoważne).

To pojęcie pochodnej jest uogólnieniem zwykłej pochodnej funkcji na liczbach rzeczywistych, $}}$ liniowe mapy z ${$ do ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ to po prostu mnożenie przez liczbę rzeczywistą. ${\ displaystyle t \ mapsto f '(x) t.}$ przypadku $fa$ funkcją

Nieruchomości

Funkcja różniczkowalna w punkcie jest w tym punkcie ciągła.

$x$ liniową w następującym sensie: jeśli $punkcie$ są mapami $,$$\ displaystyle x,$ są różniczkowalne w i jest ${\ displaystyle c }$ (liczbą rzeczywistą lub zespoloną ), to pochodna Frécheta ma następujące właściwości: do

$$\ Displaystyle D (cf) (x) = cDf (x)}$$

$${\ Displaystyle D (f + g) (x) = Df (x) + Dg (x).}$$

Reguła łańcucha $jest$$\ displaystyle g: Y \ do W}$$ważna$ jeśli różniczkowalna g jest różniczkowalna w ${\ Displaystyle y = f (x)},$ a następnie kompozycja ${\ Displaystyle g \ circ f}$ jest różniczkowalna w ${\ displaystyle x}$ a pochodna to złożenie pochodnych:

$${\ Displaystyle D (g \ circ f) (x) = Dg (f (x)) \ circ Df (x).}$$

Skończone wymiary

Pochodna Frécheta w przestrzeniach skończonych wymiarów jest zwykłą pochodną. W szczególności jest reprezentowany we współrzędnych przez macierz Jakobianu .

Załóżmy, że jest mapą, $\ mathbb {R} ^ {n} \ do \ mathbb {R} ^ {m}}$$Displaystyle f: U \$ z $otwartym$ . Jeśli $Frécheta$ w punkcie, to ${\ Displaystyle a \ in U}$ pochodna

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {przypadki} Df (a): \ mathbb {R} ^ {n} \to \mathbb {R} ^{m}\\Df(a)(v)=J_{f}(a)v\end{przypadki}}}$$

gdzie $_$$_$ _ _ ${\ Displaystyle a.}$

Ponadto pochodne cząstkowe podane są przez ${\ displaystyle f}$

$${\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowe f} {\ częściowe x_ {i}}} (a) =Df(a)(e_{i})=J_{f}(a)e_{i},}$$

gdzie $_$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}.}$ _ Ponieważ pochodna jest funkcją liniową, mamy dla wszystkich wektorów h ∈ $Displaystyle h \ in \ mathbb {R} ^ {n}}$ pochodna wzdłuż jest dana przez $displaystyle$ { $f}$

$${\ Displaystyle Df (a) (h) = \ suma _ {i = 1} ^ {n} h_ {i} {\ Frac {\ częściowe f} {\ częściowe x_ {i}}} (a).}$$

Jeśli wszystkie pochodne cząstkowe $i$ są ciągłe, to jest różniczkowalna $.$ (i faktycznie C ¹ ) Odwrotność nie jest prawdą; funkcja

$${\ styl wyświetlania f(x,y)={\rozpocznij{przypadki}(x^{2}+y^{2})\sin \left((x^{2}+y^{2})^{-1/ 2}\right)&(x,y)\neq (0,0)\\0&(x,y)=(0,0)\end{przypadki}}}$$

jest różniczkowalna Frécheta, a mimo to nie ma ciągłych pochodnych cząstkowych w ${\ Displaystyle (0,0).}$

Przykład w nieskończonych wymiarach

$)$ ten, w którym dziedziną jest przestrzeń Hilberta ( , a interesującą funkcją jest norma. Rozważmy więc ${\ Displaystyle \|\, \ cdot \, \|: H \ do \ mathbb {R}.}$

$Displaystyle$ załóżmy, że następnie twierdzimy, że pochodna Frécheta z $|\ cdot \|}$${\ Displaystyle x}$ w funkcjonałem liniowym ${\ displaystyle D}$ zdefiniowany przez

$${\ Displaystyle Dv: = \ lewo \ langle v, {\ Frac {x} {\|x \|}} \ prawo \ rangle.}$$

Rzeczywiście,

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} {\ Frac {|\| x + h \ | - \ | x \ | -Dh | }{\|h\|}}&={\frac {|\|x\|\|x+h\|-\langle x,x\rangle -\langle x,h\rangle |}{\|x \|\|h\|}}\\[8pt]&={\frac {|\|x\|\|x+h\|-\langle x,x+h\rangle |}{\|x\ |\|h\|}}\\[8pt]&={\frac {|\langle x,x\rangle \langle x+h,x+h\rangle -\langle x,x+h\rangle ^{ 2}|}{\|x\|\|h\|(|\|x\|\|x+h\|+\langle x,x+h\rangle |)}}\\[8pt]&= {\frac {\langle x,x\rangle \langle h,h\rangle -\langle x,h\rangle ^{2}}{\|x\|\|h\|(|\|x\|\ |x+h\|+\langle x,x+h\rangle |)}}\\&{}\end{wyrównane}}}$$

Korzystając z ciągłości normy i iloczynu wewnętrznego otrzymujemy:

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ lim _ {h \ do 0} {\ Frac {|\|x + h \|-\|x\|-Dh|}{\|h\|} }&=\lim _{h\to 0}{\frac {\langle x,x\rangle \langle h,h\rangle -\langle x,h\rangle ^{2}}{\|x\|\ |h\|(|\|x\|\|x+h\|+\langle x,x+h\rangle |)}}\\[8pt]&={\frac {1}{2\|x \|^{3}}}\lim _{h\to 0}{\frac {\langle x,x\rangle \langle h,h\rangle -\langle x,h\rangle ^{2}}{\ |h\|}}\\[8pt]&={\frac {1}{2\|x\|^{3}}}\lim _{h\to 0}\left(\langle x,x\ rangle \|h\|-\langle x,h\rangle \left\langle x,{\frac {h}{\|h\|}}\right\rangle \right)\\[8pt]&={\ frac {1}{2\|x\|^{3}}}\left(\lim _{h\do 0}\langle x,x\rangle \|h\|-\lim _{h\do 0 }\langle x,h\rangle \left\langle x,{\frac {h}{\|h\|}}\right\rangle \right)\\[8pt]&={\frac {1}{2 \|x\|^{3}}}\left(0-\lim _{h\to 0}\langle x,h\rangle \left\langle x,{\frac {h}{\|h\| }}\right\rangle \right)\\[8pt]&=-{\frac {1}{2\|x\|^{3}}}\left(\lim _{h\to 0}\langle x,h\rangle \left\langle x,{\frac {h}{\|h\|}}\right\rangle \right)\\[8pt]\end{wyrównane}}}$$

Ponieważ ${\ Displaystyle h \ do 0, \ langle x, h \ rangle \ do 0}$ i ze względu na nierówność Cauchy'ego-Schwarza

$${\ Displaystyle \ lewo \ langle x {\ Frac {h} {\ | h \|}} \ prawo \ rangle}$$

jest ograniczony przez ${\ Displaystyle \|x\|}$ , więc cała granica znika.

Teraz pokazujemy, że w $różniczkowalna$ , to znaczy nie istnieje ograniczony funkcjonał liniowy taki, $displaystyle$ granica, o której mowa, wynosi $0} .}$ Niech będzie dowolnym funkcjonałem $liniowym$ Twierdzenie Riesza o reprezentacji $mówi$ nam, że może być zdefiniowane przez ${\ displaystyle Dv = \ langle a, v \ rangle}$${\ displaystyle a \ in H.}$ pewnego Rozważ

$${\ Displaystyle A (h) = {\ Frac {|\|0+h\|-\|0\|-Dh|}{\|h\|}}=\lewo|1-\lewo\langle a, {\frac {h}{\|h\|}}\right\rangle \right|.}$$

Aby norma była różniczkowalna w ${\ displaystyle 0},$ musimy ją mieć

$${\ Displaystyle \ lim _ {h \ do 0} A (h) = 0.}$$

Pokażemy, że nie jest to prawdą dla żadnego ${\ Displaystyle a.}$ Jeśli $a = 0}$ niezależnie od ${\ Displaystyle A (h )$ nie jest to pochodna za $1 }$ = Załóżmy ${\ Displaystyle a \ neq 0.}$$displaystyle$ weźmiemy $h} dążący do$ w kierunku (to znaczy ${\ Displaystyle h = t \ cdot (-a)}$ gdzie ${\ Displaystyle t \ do 0 ^ {+}}$ ) wtedy ${\ Displaystyle A (h) = | 1 + \ | a \ ||> 1> 0,}$ stąd

$${\ Displaystyle \ lim _ {h \ do 0} A (h) \ neq 0}$$

(Jeśli weźmiemy $zera$ w kierunku, zobaczylibyśmy nawet ${\ displaystyle | 1-\|a\||}$$przypadku$ otrzymamy ).

Otrzymany właśnie wynik zgadza się z wynikami w skończonych wymiarach.

Związek z pochodną Gateaux

Funkcja jest nazywana różniczkowalną Gateaux przy ${\ Displaystyle x \ in U}$${\$ , jeśli ma pochodną kierunkową wzdłuż $Displaystyle f: U \ subseteq V \ do$ wszystkie kierunki w ${\ Displaystyle x.}$ Oznacza to, że istnieje taka funkcja ${\ Displaystyle g: V \ do W}$

$${\ Displaystyle g (h) = \ lim _ {t \ do 0} {\ Frac {f (x + th) -f (x)}{t}}}$$

$h \ in V}$ displaystyle i gdzie $jest$ z pola skalarnego związanego z $t$ zwykle rzeczywiste ) ${\ displaystyle$ } .

Jeśli $różniczkowalna$ w $to$ jest tam również różniczkowalna Gateaux, a $jest$ tylko operator liniowy ${\ Displaystyle A = Df (x).}$

Jednak nie każda funkcja różniczkowalna Gateaux jest różniczkowalna Frécheta. Jest to analogiczne do faktu, że istnienie wszystkich pochodnych kierunkowych w punkcie nie gwarantuje całkowitej różniczkowalności (ani nawet ciągłości) w tym punkcie. Na przykład funkcja o wartościach rzeczywistych $dwóch$ rzeczywistych zdefiniowanych przez

$${\ Displaystyle f (x, y) = {\ rozpocząć {przypadki} \frac {x^{3}}{x^{2}+y^{2}}}&(x,y)\neq (0,0)\\0&(x,y)=(0,0) \end{przypadki}}}$$

jest ciągła i różniczkowalna Gateaux na początku ${\ Displaystyle (0,0)}$ , a jej pochodna na początku to

$${\ Displaystyle g (a, b) = {\ rozpocząć {przypadki} \frac {a^{3}}{a^{2}+b^{2}}}&(a,b)\neq (0,0)\\0&(a,b)=(0,0) \end{przypadki}}}$$

Funkcja $.$ jest operatorem liniowym, więc ta funkcja nie jest różniczkowalna Frécheta

Bardziej ogólnie, każda funkcja postaci ${\ Displaystyle f (x, y) = g (r) h (\ phi)}$ gdzie ${\ Displaystyle r}$ i są współrzędnymi biegunowymi $($$\ Displaystyle (x, y)}$ są ciągłe i różniczkowalne Gateaux w ${\ Displaystyle (0,0$ } jeśli ${\ Displaystyle g}$ jest różniczkowalna w ${\ Displaystyle 0}$ i ${\ Displaystyle h (\ phi + \ pi) = - h (\ phi),}$ ale Pochodna Gateaux jest tylko liniowa, a pochodna Frécheta istnieje tylko wtedy $gdy$ jest sinusoidalna .

$podana$ innej sytuacji funkcja przez

$${\ Displaystyle f (x, y) = {\ rozpocząć {przypadki} {\frac {x^{3}y}{x^{6}+y^{2}}}&(x,y)\neq (0,0)\\0&(x,y)=(0, 0)\end{przypadki}}}$$

czy Gateaux jest różniczkowalna w punkcie ${\ Displaystyle (0,0)}$ z jego pochodną dla wszystkich ${\ Displaystyle g (a$$(a,b),$ which is a linear operator. However, $f$ is not continuous at $(0,0)$ (one can see by approaching the origin along the curve $\left(t,t^{3}\right)$) and therefore $f$ cannot be Fréchet differentiable at the origin.

Bardziej subtelnym przykładem jest

$${\ Displaystyle f (x, y) = { \begin{przypadki}{\frac {x^{2}y}{x^{4}+y^{2}}}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}&(x ,y)\neq (0,0)\\0&(x,y)=(0,0)\end{przypadki}}}$$

która jest funkcją ciągłą różniczkowalną Gateaux w punkcie ${\ Displaystyle (0,0)}$ z pochodną w tym punkcie ${\ Displaystyle g (a, b) = 0}$ tam, co znowu jest liniowe. Jednak $nie jest różniczkowalna$ . Gdyby tak było, jej pochodna Frécheta pokrywałaby się z pochodną Gateaux, a zatem byłaby operatorem zerowym ${\ displaystyle A = 0}$ ; stąd granica

$${\ Displaystyle \ lim _ {\| h \|_ {2} \ do 0} {\ Frac {| f ((0,0) + h) -f (0,0) -Ah |} {\|h \|_{2}}}=\lim _{h=(x,y)\to (0,0)}\left|{\frac {x^{2}y}{x^{4}+y ^{2}}}\prawo|}$$

musiałoby wynosić zero, podczas gdy zbliżanie się do początku wzdłuż krzywej $pokazuje$ nie

Takie przypadki mogą wystąpić, ponieważ definicja pochodnej Gateaux wymaga jedynie, aby ilorazy różnicowe zbiegały się indywidualnie w każdym kierunku, bez wymagań dotyczących szybkości zbieżności dla różnych kierunków. Zatem dla danego ε, chociaż dla każdego kierunku iloraz różnicy mieści się w granicach ε w pewnym sąsiedztwie danego punktu, sąsiedztwa te mogą być różne dla różnych kierunków i może istnieć sekwencja kierunków, dla których te sąsiedztwa stają się dowolnie małe. Jeśli wybrano ciąg punktów wzdłuż tych kierunków, iloraz w definicji pochodnej Frécheta, który uwzględnia wszystkie kierunki jednocześnie, może nie być zbieżny. Zatem, aby liniowa pochodna Gateaux sugerowała istnienie pochodnej Frécheta, iloraz różnic musi zbiegać się równomiernie we wszystkich kierunkach.

Poniższy przykład działa tylko w nieskończonych wymiarach. Niech $\ displaystyle$ przestrzenią Banacha i funkcjonałem liniowym na $}$$X$$który$ nieciągły w ( nieciągły funkcjonał liniowy ). Pozwalać

$${\ Displaystyle f (x) = \| x \|\ varphi (x).}$$

Wtedy ${\ Displaystyle f (x)}$ jest różniczkowalna Gateaux przy ${\ Displaystyle x = 0}$ z pochodną ${\ Displaystyle 0.}$ Jednak ${\ Displaystyle f (x)}$ nie jest różniczkowalna Frécheta od granicy

$${\ Displaystyle \ lim _ {x \ do 0} \ varphi (x)}$$

nie istnieje.

Wyższe pochodne

Jeśli $pochodna$$V},$ we wszystkich punktach otwartego podzbioru , $Displaystyle$ tego, że

$${\ Displaystyle Df: U \ do L (V, W)}$$

$_$ funkcją od $operatorów$ od $_$ _ ${\ displaystyle W.}$ Ta funkcja może również mieć pochodną, ​​pochodną drugiego rzędu , która z definicji pochodnej będzie mapą ${\ displaystyle f}$

$${\ Displaystyle D ^ {2} f: U \ do L (V, L (V, W)).}$$

Aby ułatwić pracę z pochodnymi drugiego rzędu, przestrzeń po prawej stronie jest identyfikowana z przestrzenią Banacha ${\ Displaystyle L ^ {2} (V \ razy V, W )}$$W.}$ ciągłych map dwuliniowych od $do$$L (V, L (V, W)}}$ Element w $Displaystyle$ jest zatem identyfikowany z ${\ Displaystyle W.} \ psi }$ w ${\ Displaystyle L ^ {2} (V \ razy V, W)}$ tak, że dla wszystkich ${\ Displaystyle x, y \ w V, }$

$${\ Displaystyle \ varphi (x) (y) = \ psi (x, y).}$$

(Intuicyjnie: funkcja liniowa w ${\ Displaystyle$$x}$ z liniową w ${\ Displaystyle \ varphi (x)$$}$ jak funkcja dwuliniowa ${\ Displaystyle \ psi}$ w ${\ Displaystyle x}$ i ${\ Displaystyle y}$ ).

Można odróżnić

$${\ Displaystyle D ^ {2} f: U \ do L ^ {2} (V \ razy V, W)}$$

ponownie, aby otrzymać pochodną trzeciego rzędu , która w każdym punkcie będzie mapą trójliniową , i tak dalej. -ta $będzie$ funkcją

$${\ Displaystyle D ^ {n} f: U \ do L ^ {n} (V \ razy V \ razy \ cdots \ razy V ,W),}$$

$W$${\ displaystyle W.}$$w$ Banacha ciągłych map wieloliniowych argumentach od do Rekurencyjnie, funkcja jest różniczkowalna $\$$displaystyle n + 1}$${$ razy różniczkowalna na ${\ displaystyle U}$ , jeśli jest ${\ displaystyle n} \displaystyle$ na $}$$,$$}$ każdego istnieje ciągła mapa wieloliniowa $A$ argumentami takimi że granica

$${\ Displaystyle \ lim _ {h_ {n + 1} \ do 0} {\ Frac {\ lewo \ |D^{n}f\left(x+h_{n+1}\right)(h_{1},h_{2},\ldots ,h_{n})-D^{n}f(x) (h_{1},h_{2},\ldokropki,h_{n})-A\lewo(h_{1},h_{2},\ldokropki,h_{n},h_{n+1}\prawo )\prawo\|}{\lewo\|h_{n+1}\prawo\|}}=0}$$

istnieje jednostajnie dla ${\ displaystyle h_ {1}, h_ {2}, \ ldots, h_ {n}}$ w ograniczonych zbiorach w $}$$V.$$Displaystyle$ przypadku jest to pochodna $przy$${\ displaystyle x.}$

Co więcej, możemy oczywiście zidentyfikować członka przestrzeni ${\ Displaystyle L ^ {n} \ lewo (V \ razy V \ razy \ cdots \ razy V, W \ prawo L$${\ Displaystyle L \ lewo (\ bigotimes _ {j = 1} ^ {n} V_ {j}, W \ prawej)$ jot identyfikację ${\ Displaystyle f \ lewo (x_ {1}, x_ {2}, \ ldots, x_ { n}\right)=f\left(x_{1}\otimes x_{2}\otimes \cdots \otimes x_{n}\right),}$ traktując pochodną jako mapę liniową.

Częściowe pochodne Frécheta

W tej sekcji rozszerzamy zwykłe pojęcie pochodnych cząstkowych , które jest zdefiniowane dla funkcji postaci ${\ Displaystyle f: \ mathbb {R} ^ {n} \ do \ mathbb {R},}$ do funkcji, których dziedzinami i przestrzeniami docelowymi są dowolne (rzeczywiste lub zespolone) przestrzenie Banacha . Aby to zrobić $f$$)$ tym samym polu skalarów i ${\textstyle f:\prod _{i=1}^{n}V_{i}\to W}$ być daną funkcją i ustalić punkt ${\ textstyle a = \ lewo (a_ {1}, \ ldots, a_ {n} \ prawo) \ w \ prod _ {i = 1} ^ {n} V_ {i}.} Mówimy, że fa$ { $displaystyle f}$$a$${\$ punkcie, jeśli funkcja zdefiniowana przez

$${\ Displaystyle \ varphi _ {i} (x) = f (a_ {1}, \ ldots ,a_{i-1},x,a_{i+1},\ldots a_{n})}$$

$różniczkowalna$ Frécheta w punkcie w sensie opisanym powyżej) W tym przypadku definiujemy $}$${\ Displaystyle \ częściowe _ {i} f (a): = D \ varphi _ {i} (a_ {i})$$_$ nazywamy $-$ tą punkcie $}$$Displaystyle$$to$${\ Displaystyle W.}$ Należy zauważyć, że transformacja na Heurystycznie, jeśli $Displaystyle$ i-tą różniczkę cząstkową w $a,}$ to ${\ Displaystyle \ częściowe _ {i} f (a )}$ liniowo przybliża zmianę funkcji $,$$j \ neq ja,}$ ustalamy wszystkie jej wpisy tak, aby były $Displaystyle$ ≠ i my zmienić tylko i-ty wpis. Możemy to wyrazić w notacji Landaua jako

$${\ Displaystyle f (a_ {1}, \ ldots, a_ {i} + h, \ ldots a_ {n}) -f (a_ {1}, \ ldots, a_ {n}) = \ częściowe _ {i} f(a)(h)+o(h).}$$

Uogólnienie na topologiczne przestrzenie wektorowe

Pojęcie pochodnej Frécheta można uogólnić na dowolne topologiczne przestrzenie wektorowe ${\ displaystyle Y.}$ TVS $Y$ i Pozwalając ${\ displaystyle U}$ być otwartym podzbiorem ${\ displaystyle X}$ , który zawiera pochodzenie i ma daną funkcję ${\ displaystyle f: U \ do Y}$ taką, że ${\ displaystyle f (0) = 0,}$ najpierw określamy, co to znaczy, że ta funkcja ma 0 jako pochodną. Mówimy, że ta funkcja $jest styczna do$ is tangent to 0 if for every open neighborhood of 0, $W\subseteq Y$ there exists an open neighborhood of 0, $V\subseteq X$ and a function $o:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ such that

$${\ Displaystyle \ lim _ {t \ do 0} {\ Frac {o (t)}} {t}} = 0,}$$

i dla wszystkich $,$ jakimś sąsiedztwie początku ${\ Displaystyle f (tV) \ subseteq o (t) W.}$

Możemy teraz usunąć ograniczenie, które definiujemy jako różniczkowalne Frécheta w punkcie ${\ displaystyle x_ {0} \ in U$$f$$(0) = 0} fa ( ) =$ jeśli istnieje ciągły operator liniowy ${0} + h) -f (x_ {0}) - \ lambda h,}$ że $-$ rozpatrywane jako funkcja ${\ displaystyle h,}$ jest styczna do 0. (Lang str. 6)

Jeśli pochodna Frécheta istnieje, to jest niepowtarzalna. Ponadto pochodna Gateaux musi również istnieć i być równa pochodnej Frécheta w tym sensie, że dla wszystkich ${\ Displaystyle v \ in X,}$

$${\ Displaystyle \ lim _ {\ tau \ do 0} {\ Frac {f (x_ {0} + \ tau v)-f(x_{0})}{\tau }}=f'(x_{0})v,}$$

gdzie $_$ _ Funkcja, która jest różniczkowalna Frécheta w punkcie, jest tam koniecznie ciągła, a sumy i wielokrotności skalarne funkcji różniczkowalnych Frécheta są różniczkowalne, tak że przestrzeń funkcji, które są różniczkowalne Frécheta w punkcie, tworzy podprzestrzeń funkcji, które są ciągłe w tym punkcie. $,$ podobnie jak reguła Leibniza, ilekroć jest algebrą i TVS, w której mnożenie jest ciągłe

Zobacz też

• Pochodna kierunkowa – Chwilowa szybkość zmian funkcji
• Uogólnienia pochodnej – Fundamentalna konstrukcja rachunku różniczkowego
• Pochodna gradientu # Frécheta - pochodna wielowymiarowa (matematyka)
• Holomorfia o nieskończonych wymiarach
• Nieskończenie wymiarowa funkcja wektorowa - funkcja, której wartości leżą w nieskończenie wymiarowej przestrzeni wektorowej Strony wyświetlające opisy wikidanych jako rozwiązanie awaryjne
• Pochodna całkowita - Rodzaj pochodnej w matematyce

Notatki

•   Cartan, Henri (1967), Calcul différentiel , Paryż: Hermann, MR 0223194 .
•   Dieudonné, Jean (1969), Podstawy nowoczesnej analizy , Boston, MA: Academic Press , MR 0349288 .
•   Lang, Serge (1995), Rozmaitości różniczkowe i riemannowskie , Springer , ISBN 0-387-94338-2 .
•    Munkres, James R. (1991), Analiza rozmaitości , Addison-Wesley , ISBN 978-0-201-51035-5 , MR 1079066 .
•    Previato, Emma , ​​wyd. (2003), Słownik matematyki stosowanej dla inżynierów i naukowców , Kompleksowy słownik matematyki , Londyn: CRC Press , ISBN 978-1-58488-053-0 , MR 1966695 .
•   Coleman, Rodney, wyd. (2012), Rachunek na znormalizowanych przestrzeniach wektorowych , Universitext, Springer , ISBN 978-1-4614-3894-6 .

Linki zewnętrzne

• BA Frigyik, S. Srivastava i MR Gupta, Wprowadzenie do pochodnych funkcjonalnych , UWEE Tech Report 2008-0001.
• http://www.probability.net . Ta strona jest głównie poświęcona podstawom prawdopodobieństwa i teorii miary, ale jest fajny rozdział o pochodnej Frecheta w przestrzeniach Banacha (rozdział o formule Jakobianu). Wszystkie wyniki są podane z dowodem.