Iloraz różnicowy

Szersze omówienie tego tematu można znaleźć w artykule Różnica skończona .

rachunku różniczkowym jednej zmiennej iloraz różnicowy jest zwykle nazwą wyrażenia

${\ Displaystyle {\ Frac {f (x + h) -f (x)} {h}}}$

co po doprowadzeniu do granicy , gdy h zbliża się do 0 , daje pochodną funkcji f . Nazwa wyrażenia wynika z faktu, że jest to iloraz różnicy wartości funkcji przez różnicę odpowiednich wartości jej argumentu (ten ostatni to w tym przypadku ( x + h ) - x = h ). Iloraz różnicowy jest miarą średniego tempa zmian funkcji w przedziale (w tym przypadku w przedziale o długości h ). Granicą ilorazu różnicowego (tj. pochodnej) jest zatem chwilowa szybkość zmian.

Dzięki niewielkiej zmianie notacji (i punktu widzenia) dla przedziału [ a , b ] iloraz różnicy

${\ Displaystyle {\ Frac {f (b) -f (a)} {ba}}}$

nazywa się średnią (lub średnią) wartością pochodnej f w przedziale [ a , b ]. Nazwę tę uzasadnia twierdzenie o wartości średniej , które mówi, że dla funkcji różniczkowalnej f , jej pochodna f′ osiąga w pewnym punkcie przedziału swoją wartość średnią . Geometrycznie ten iloraz różnicowy mierzy nachylenie siecznej przechodzącej przez punkty o współrzędnych ( a , f ( a )) i ( b , f ( b )).

Ilorazy różnicowe są używane jako przybliżenia w różniczkowaniu numerycznym , ale były również przedmiotem krytyki w tej aplikacji.

Ilorazy różnicowe mogą również znaleźć zastosowanie w zastosowaniach obejmujących dyskretyzację czasu , gdzie szerokość kroku czasowego jest używana dla wartości h.

Iloraz różnicowy jest czasami nazywany ilorazem Newtona (od Izaaka Newtona ) lub ilorazem różnic Fermata (od Pierre'a de Fermata ).

Przegląd

Typowe pojęcie ilorazu różnic omówione powyżej jest szczególnym przypadkiem bardziej ogólnego pojęcia. Podstawowym nośnikiem rachunku różniczkowego i innej wyższej matematyki jest funkcja . Jego „wartością wejściową” jest argument , zwykle punkt („P”) wyrażalny na wykresie. Różnica między dwoma punktami jest znana jako ich Delta (Δ P ), podobnie jak różnica w wynikach ich funkcji, przy czym szczególny zapis jest określony przez kierunek formacji:

• Różnica w przód: Δ fa ( P ) = fa ( P + Δ P ) - fa ( P );
• Różnica środkowa: δF(P) = F(P + ½ΔP) − F(P − ½ΔP);
• Różnica wsteczna: ∇F(P) = F(P) − F(P − ΔP).

Ogólną preferencją jest orientacja do przodu, ponieważ F(P) jest podstawą, do której dodawane są różnice (tj. „ΔP”). Ponadto,

• Jeżeli |ΔP| jest skończona (czyli mierzalna), to ΔF(P) jest różnicą skończoną , ze specyficznymi oznaczeniami DP i DF(P);
• Jeżeli |ΔP| jest nieskończenie mała ( $-$ mała ilość zwykle wyrażana w analizie standardowej jako granica: ${\ Displaystyle \ lim _ {\ Delta P \ rightarrow 0} \, \!}$ ), wtedy ΔF(P) jest znane jako różnica nieskończenie mała , ze specyficznymi oznaczeniami dP i dF(P) (w wykresach rachunku różniczkowego punkt jest prawie wyłącznie identyfikowany jako „x”, a F(x) jako „y”).

Różnica funkcji podzielona przez różnicę punktów jest znana jako „iloraz różnic”:

${\ Displaystyle {\ Frac {\ Delta F (P)} {\ Delta P}} = {\ Frac {F (P + \ Delta P) -F (P)} {\ Delta P}} = {\ Frac {\ nabla F(P+\Delta P)}{\Delta P}}.\,\!}$

Jeśli ΔP jest nieskończenie małe, to iloraz różnicowy jest pochodną , w przeciwnym razie jest to różnica podzielona :

${\ Displaystyle {\ tekst {Jeśli}} |\ Delta P | = {\ mathit {\ jota}}: \ quad {\ Frac {\ Delta F (P)} {\ Delta P}} = {\ Frac {dF (P)}{dP}}=F'(P)=G(P);\,\!}$

${\ Displaystyle {\ tekst {Jeśli}} |\ Delta P |> {\ mathit {\ jota}}: \ quad {\ Frac {\ Delta F (P)} {\ Delta P}} = {\ Frac {DF (P)}{DP}}=F[P,P+\Delta P].\,\!}$

Definiowanie zakresu punktów

Niezależnie od tego, czy ΔP jest nieskończenie małe, czy skończone, istnieje (przynajmniej — w przypadku pochodnej — teoretycznie) zakres punktów, w którym granicami są P ± (0,5) ΔP (w zależności od orientacji — ΔF(P), δF( P) lub ∇F(P)):

LB = dolna granica; UB = górna granica;

₀ Pochodne można uznać za same funkcje, zawierające własne pochodne. Zatem każda funkcja jest domem dla kolejnych stopni („wyższych rzędów”) wyprowadzenia lub różniczkowania . Właściwość tę można uogólnić na wszystkie ilorazy różnicowe. Ponieważ to sekwencjonowanie wymaga odpowiedniego rozbicia granic, praktyczne jest podzielenie zakresu punktów na mniejsze, równej wielkości sekcje, przy czym każda sekcja jest oznaczona przez punkt pośredni (P i ), gdzie LB = _P i UB = P _ń , n - ty punkt, równy stopniowi/rzędowi:

000000000 LB = P  = P  + 0Δ  1  P = P  ń  − (Ń-0)Δ  1  P; P   1  = P  + 1Δ  1  P = P  ń  - (Ń-1)Δ  1  P; P   2  = P  + 2Δ  1  P = P  ń  - (Ń-2)Δ  ​​1  P; P   3  = P  + 3Δ  1  P = P  ń  - (Ń-3) Δ  1  P; ↓ ↓ ↓ ↓ P   ń-3  = P  + (Ń-3)Δ  1  P = P  ń  − 3Δ  1  P; P   ń-2  = P  + (Ń-2)Δ  ​​1  P = P  ń  − 2Δ  1  P; P   ń-1  = P  + (Ń-1)Δ  1  P = P  ń  − 1Δ  1  P; UB = P   ń-0  = P  + (Ń-0)Δ  1  P = P  ń  - 0Δ  1  P = P  ń  ; 

0 ΔP = Δ  1  P. = P.  1  - P.  = P.  2  - P.  1  = P.  3  - P.  2  = ... = P.  ń  - P.  ń-1  ; 

0 ΔB = UB - LB = P  ń  - P  = Δ  ń  P = ŃΔ  1  P. 

Podstawowy iloraz różnicowy ( Ń = 1)

${\ Displaystyle {\ Frac {\ Delta F (P_ {0})} {\ Delta P}} = {\ Frac {F (P _ {\ ostra {n}}) -F (P_ {0})} {\ Delta _{\ostra {n}}P}}={\frac {F(P_{1})-F(P_{0})}{\Delta _{1}P}}={\frac {F( P_{1})-F(P_{0})}{P_{1}-P_{0}}}.\,\!}$

Jako pochodna

₀₀ Iloraz różnicowy jako pochodna nie wymaga wyjaśnienia, poza zaznaczeniem, że ponieważ P zasadniczo równa się P ₁ = P ₂ = ... = P _ń (ponieważ różnice są nieskończenie małe), notacja Leibniza i wyrażenia pochodne nie rozróżniają P. do P. lub P. _ń :

${\ Displaystyle {\ Frac {dF (P)} {dP}} = {\ Frac {F (P_ {1}) -F (P_ {0})} {dP}} = F '(P) = G ( P).\,\!}$

Istnieją inne oznaczenia pochodne , ale są to najbardziej rozpoznawalne, standardowe oznaczenia.

Jako podzielona różnica

Podzielona różnica wymaga jednak dalszego wyjaśnienia, ponieważ jest równa średniej pochodnej między LB i UB włącznie:

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} P_ {(tn)} & = LB + {\ Frac {TN-1} {UT-1}} \ Delta B \ = UB- {\ Frac {UT-TN} {UT- 1}}\Delta B;\\[10pt]&{}\qquad {\kolor {biały}.}(P_{(1)}=LB,\ P_{(ut)}=UB){\kolor {biały }.}\\[10pt]F'(P_{\tylda {a}})&=F'(LB<P<UB)=\sum _{TN=1}^{UT=\infty }{\frac {F'(P_{(tn)})}{UT}}.\end{aligned}}}$

W tej interpretacji P _ã reprezentuje wyodrębnioną funkcję, średnią wartość P (środek zakresu, ale zwykle nie dokładnie punkt środkowy), konkretnej wyceny w zależności od funkcji uśredniającej, z której jest ona wyprowadzana. Bardziej formalnie, P _ã znajduje się w twierdzeniu rachunku różniczkowego o wartości średniej , które mówi:

Dla każdej funkcji, która jest ciągła na [LB,UB] i różniczkowalna na (LB,UB) istnieje pewne P _ã w przedziale (LB,UB ) takie, że sieczna łącząca punkty końcowe odcinka [LB,UB] jest równoległa do stycznej w punkcie P _ã .

Zasadniczo P _ã oznacza pewną wartość P między LB i UB - stąd

${\ Displaystyle P _ {\ tylda {a}}: = LB <P<UB=P_{0}<P<P_{\acute {n}}\,\!},$

która łączy wynik wartości średniej z podzieloną różnicą:

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} {\ Frac {DF (P_ {0})} {DP}} & = F [P_ {0}, P_ {1}] = {\ Frac {F (P_ {1} )-F(P_{0})}{P_{1}-P_{0}}}=F'(P_{0}<P<P_{1})=\suma _{TN=1}^{UT =\infty}{\frac {F'(P_{(tn)})}{UT}},\\[8pt]&={\frac {DF(LB)}{DB}}={\frac {\ Delta F(LB)}{\Delta B}}={\frac {\nabla F(UB)}{\Delta B}},\\[8pt]&=F[LB,UB]={\frac {F (UB)-F(LB)}{UB-LB}},\\[8pt]&=F'(LB<P<UB)=G(LB<P<UB).\end{wyrównane}}}$

₀ Jako istnieje, z samej definicji, namacalna różnica między LB/P i UB/Pń _ń , wyrażenia Leibniza i wyrażenia pochodne wymagają dywarikacji argumentu funkcji.

Ilorazy różnicowe wyższego rzędu

Drugie zamówienie

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane}} {\ Frac {\ Delta ^ {2} F (P_ {0})} {\ Delta _ {1} P ^ {2}}} & = {\ Frac {\ Delta F '(P_{0})}{\Delta _{1}P}}={\frac {{\frac {\Delta F(P_{1})}{\Delta _{1}P}}-{\ frac {\Delta F(P_{0})}{\Delta _{1}P}}}{\Delta_{1}P}},\\[10pt]&={\frac {{\frac {F (P_{2})-F(P_{1})}{\Delta _{1}P}}-{\frac {F(P_{1})-F(P_{0})}{\Delta _ {1}P}}}{\Delta_{1}P}},\\[10pt]&={\frac {F(P_{2})-2F(P_{1})+F(P_{0 })}{\Delta _{1}P^{2}}};\end{wyrównane}}}$

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane}} {\ Frac {d ^ {2} F (P)} {dP ^ {2}} }&={\frac {dF'(P)}{dP}}={\frac {F'(P_{1})-F'(P_{0})}{dP}},\\[10pt] &=\ {\frac {dG(P)}{dP}}={\frac {G(P_{1})-G(P_{0})}{dP}},\\[10pt]&={ \frac {F(P_{2})-2F(P_{1})+F(P_{0})}{dP^{2}}},\\[10pt]&=F''(P)= G'(P)=H(P)\end{wyrównane}}}$

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} {\ Frac {D ^ {2} F (P_ {0})} DP ^ {2}}} & = {\ Frac {DF' (P_ {0})} DP}}={\frac {F'(P_{1}<P<P_{2})-F'(P_{0}<P<P_{1})}{P_{1}-P_{0} }},\\[10pt]&{\kolor {biały}.}\qquad \neq {\frac {F'(P_{1})-F'(P_{0})}{P_{1}-P_ {0}}},\\[10pt]&=F[P_{0},P_{1},P_{2}]={\frac {F(P_{2})-2F(P_{1}) +F(P_{0})}{(P_{1}-P_{0})^{2}}},\\[10pt]&=F''(P_{0}<P<P_{2} )=\sum _{TN=1}^{\infty}{\frac {F''(P_{(tn)})}{UT}},\\[10pt]&=G'(P_{0} <P<P_{2})=H(P_{0}<P<P_{2}).\end{wyrównane}}}$

Trzecie zamówienie

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane}} {\ Frac {\ Delta ^ {3} F (P_ {0})} {\ Delta _ {1} P ^ {3}}} & = {\ Frac {\ Delta ^ {2}F'(P_{0})}{\Delta _{1}P^{2}}}={\frac {\Delta F''(P_{0})}{\Delta _{1} P}}={\frac {{\frac {\Delta F'(P_{1})}{\Delta _{1}P}}-{\frac {\Delta F'(P_{0})}{ \Delta _{1}P}}}{\Delta_{1}P}},\\[10pt]&={\frac {{\frac {{\frac {\Delta F(P_{2})} {\Delta _{1}P}}-{\frac {\Delta F'(P_{1})}{\Delta _{1}P}}}{\Delta _{1}P}}-{\ frac {{\frac {\Delta F'(P_{1})}{\Delta _{1}P}}-{\frac {\Delta F'(P_{0})}{\Delta _{1} P}}}{\Delta _{1}P}}}{\Delta_{1}P}},\\[10pt]&={\frac {{\frac {F(P_{3})-2F (P_{2})+F(P_{1})}{\Delta_{1}P^{2}}}-{\frac {F(P_{2})-2F(P_{1})+ F(P_{0})}{\Delta _{1}P^{2}}}}{\Delta _{1}P}},\\[10pt]&={\frac {F(P_{3 })-3F(P_{2})+3F(P_{1})-F(P_{0})}{\Delta _{1}P^{3}}};\end{wyrównane}}}$

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} {\ Frac {d ^ {3} F (P)} {dP ^ {3}}} & = {\ Frac {d ^ {2} F '(P)} {dP ^{2}}}={\frac {dF''(P)}{dP}}={\frac {F''(P_{1})-F''(P_{0})}{dP} },\\[10pt]&={\frac {d^{2}G(P)}{dP^{2}}}\ ={\frac {dG'(P)}{dP}}\ ={ \frac {G'(P_{1})-G'(P_{0})}{dP}},\\[10pt]&{\color {biały}.}\qquad \qquad \ \ ={\frac {dH(P)}{dP}}\ ={\frac {H(P_{1})-H(P_{0})}{dP}},\\[10pt]&={\frac {G( P_{2})-2G(P_{1})+G(P_{0})}{dP^{2}}},\\[10pt]&={\frac {F(P_{3})- 3F(P_{2})+3F(P_{1})-F(P_{0})}{dP^{3}}},\\[10pt]&=F'''(P)=G' '(P)=H'(P)=I(P);\end{wyrównane}}}$

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} {\ Frac {D ^ {3} F (P_ {0})} {DP ^ {3}}} & = {\ Frac {D ^ {2} F '(P_ { 0})}{DP^{2}}}={\frac {DF''(P_{0})}{DP}}={\frac {F''(P_{1}<P<P_{3 })-F''(P_{0}<P<P_{2})}{P_{1}-P_{0}}},\\[10pt]&{\color {biały}.}\qquad \ qquad \qquad \qquad \qquad \ \ \neq {\frac {F''(P_{1})-F''(P_{0})}{P_{1}-P_{0}}},\\ [10pt]&={\frac {{\frac {F'(P_{2}<P<P_{3})-F'(P_{1}<P<P_{2})}{P_{1} -P_{0}}}-{\frac {F'(P_{1}<P<P_{2})-F'(P_{0}<P<P_{1})}{P_{1}- P_{0}}}}{P_{1}-P_{0}}},\\[10pt]&={\frac {F'(P_{2}<P<P_{3})-2F'( P_{1}<P<P_{2})+F'(P_{0}<P<P_{1})}{(P_{1}-P_{0})^{2}}},\\ [10pt]&=F[P_{0},P_{1},P_{2},P_{3}]={\frac {F(P_{3})-3F(P_{2})+3F( P_{1})-F(P_{0})}{(P_{1}-P_{0})^{3}}},\\[10pt]&=F'''(P_{0}< P<P_{3})=\sum _{TN=1}^{UT=\infty}{\frac {F'''(P_{(tn)})}{UT}},\\[10pt] &=G''(P_{0}<P<P_{3})\ =H'(P_{0}<P<P_{3})=I(P_{0}<P<P_{3}) .\end{wyrównane}}}$

N-te zamówienie

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ Delta ^ {\ ostry {n}} F (P_ {0}) i = F ^ {({\ ostry {n}} -1 )}(P_{1})-F^{({\ostre {n}}-1)}(P_{0}),\\[10pt]&={\frac {F^{({\ostre { n}}-2)}(P_{2})-F^{({\ostre {n}}-2)}(P_{1})}{\Delta _{1}P}}-{\frac {F^{({\ostre {n}}-2)}(P_{1})-F^{({\ostre {n}}-2)}(P_{0})}{\Delta _{ 1}P}},\\[10pt]&={\frac {{\frac {F^{({\ostre {n}}-3)}(P_{3})-F^{({\ostre {n}}-3)}(P_{2})}{\Delta_{1}P}}-{\frac {F^{({\ostre {n}}-3)}(P_{2} )-F^{({\acute {n}}-3)}(P_{1})}{\Delta _{1}P}}}{\Delta _{1}P}}\\[10pt] &{\kolor {biały}.}\qquad -{\frac {{\frac {F^{({\ostry {n}}-3)}(P_{2})-F^{({\ostry { n}}-3)}(P_{1})}{\Delta_{1}P}}-{\frac {F^{({\ostra {n}}-3)}(P_{1}) -F^{({\ostra {n}}-3)}(P_{0})}{\Delta _{1}P}}}{\Delta _{1}P}},\\[10pt] &=\cdots \end{wyrównane}}}$

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane}} {\ Frac {\ Delta ^ {\ ostra {n}} F (P_ {0})} {\ Delta _ {1} P ^ {\ ostra {n}}}} i ={\frac {\sum _{I=0}^{\acute {N}}{-1 \choose {\acute {N}}-I}{{\acute {N}} \choose I}F( P_{0}+I\Delta _{1}P)}{\Delta _{1}P^{\ostra {n}}}};\\[10pt]&{\frac {\nabla ^{\ostra {n}}F(P_{\ostre {n}})}{\Delta _{1}P^{\ostre {n}}}}\\[10pt]&={\frac {\sum _{I =0}^{\acute {N}}{-1 \choose I}{{\acute {N}} \choose I}F(P_{\acute {n}}-I\Delta _{1}P) }{\Delta _{1}P^{\ostra {n}}}};\end{wyrównane}}}$

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} {\ Frac {d ^ { \acute {n}}F(P_{0})}{dP^{\acute {n}}}}&={\frac {d^{{\acute {n}}-1}F'(P_{ 0})}{dP^{{\ostre {n}}-1}}}={\frac {d^{{\ostre {n}}-2}F''(P_{0})}{dP ^{{\ostre {n}}-2}}}={\frac {d^{{\ostre {n}}-3}F'''(P_{0})}{dP^{{\ostre {n}}-3}}}=\cdots ={\frac {d^{{\acute {n}}-r}F^{(r)}(P_{0})}{dP^{{\ ostra {n}}-r}}},\\[10pt]&={\frac {d^{{\ostra {n}}-1}G(P_{0})}{dP^{{\ostra {n}}-1}}}\\[10pt]&={\frac {d^{{\acute {n}}-2}G'(P_{0})}{dP^{{\acute { n}}-2}}}=\ {\frac {d^{{\ostre {n}}-3}G''(P_{0})}{dP^{{\ostre {n}}-3 }}}=\cdots ={\frac {d^{{\ostre {n}}-r}G^{(r-1)}(P_{0})}{dP^{{\ostre {n} }-r}}},\\[10pt]&{\kolor {biały}.}\qquad \qquad \qquad ={\frac {d^{{\ostry {n}}-2}H(P_{0 })}{dP^{{\ostre {n}}-2}}}=\ {\frac {d^{{\ostre {n}}-3}H'(P_{0})}{dP^ {{\ostre {n}}-3}}}=\cdots ={\frac {d^{{\ostre {n}}-r}H^{(r-2)}(P_{0})} {dP^{{\ostry {n}}-r}}},\\&{\kolor {biały}.}\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \ =\ {\frac {d^{ {\acute {n}}-3}I(P_{0})}{dP^{{\acute {n}}-3}}}=\cdots ={\frac {d^{{\acute {n }}-r}I^{(r-3)}(P_{0})}{dP^{{\ostra {n}}-r}}},\\[10pt]&=F^{({ \ostra {n}})}(P)=G^{({\ostra {n}}-1)}(P)=H^{({\ostra {n}}-2)}(P)= ja ^ {({\ ostry {n}}-3)} (P)=\cdots \end{wyrównane}}}$

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} {\ Frac {D ^ {\ ostry {n}} F (P_ {0})} {DP ^ {\ ostry {n}}}} & = F [P_ {0} },P_{1},P_{2},P_{3},\ldots,P_{{\ostre {n}}-3},P_{{\ostre {n}}-2},P_{{\ ostra {n}}-1},P_{\ostra {n}}],\\[10pt]&=F^{({\ostra {n}})}(P_{0}<P<P_{\ ostra {n}})=\suma _{TN=1}^{UT=\infty}}{\frac {F^{({\ostra {n}})}(P_{(tn)})}{UT }}\\[10pt]&=F^{({\ostre {n}})}(LB<P<UB)=G^{({\ostre {n}}-1)}(LB<P< UB)=\cdots \end{wyrównane}}}$

Zastosowanie podzielonej różnicy

Kwintesencją zastosowania podzielonej różnicy jest przedstawienie całki oznaczonej, która jest niczym więcej niż różnicą skończoną:

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ int _ {LB} ^ {UB} G (p) \, dp & = \ int _ {LB} ^ {UB} F' (p) \, dp = F (UB) -F(LB),\\[10pt]&=F[LB,UB]\Delta B,\\[10pt]&=F'(LB<P<UB)\Delta B,\\[10pt]&= \ G(LB<P<UB)\Delta B.\end{wyrównane}}}$

Biorąc pod uwagę, że forma wyrażenia wartości średniej i pochodnej dostarcza tych samych informacji, co klasyczna notacja całkowa, forma wartości średniej może być preferowanym wyrażeniem, na przykład w miejscach pisania, które obsługują/akceptują tylko standardowy tekst ASCII, lub w przypadkach, które tylko wymagają średniej pochodnej (na przykład przy znajdowaniu średniego promienia w całce eliptycznej). Jest to szczególnie prawdziwe w przypadku całek oznaczonych, które technicznie mają (np $Displaystyle 2 \ pi \, \!}$ ) 0 i albo lub 2 $\$ jako granice, z tą samą podzieloną różnicą. jak to z granicami 0 i ${\ Displaystyle {\ rozpocząć {macierz}} {\ Frac {\ pi} {2}} \ koniec {macierzy}}}$ (wymagając w ten sposób mniejszego uśredniania):

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ int _ {0} ^ {2 \ pi} F '(p) \, dp & = 4 \ int _ {0} ^ {\ Frac {\ pi} {2}} F '(p)\,dp=F(2\pi )-F(0)=4(F({\begin{matrix}{\frac {\pi}}{2}}\end{macierz}})-F (0)),\\[10pt]&=2\pi F[0,2\pi ]=2\pi F'(0<P<2\pi ),\\[10pt]&=2\pi F [0,{\begin{matrix}{\frac {\pi }{2}}\end{matrix}}]=2\pi F'(0<P<{\begin{matrix}{\frac {\pi }{2}}\end{macierz}}).\end{wyrównane}}}$

Staje się to również szczególnie przydatne w przypadku iterowanych i wielokrotnych całek s (ΔA = AU - AL, ΔB = BU - BL, ΔC = CU - CL):

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} i {} \ qquad \ int _ {CL} ^ {CU} \ int _ {BL} ^ {BU} \ int _ {AL} ^ {AU} F' (r, q ,p)\,dp\,dq\,dr\\[10pt]&=\sum _{T\!C=1}^{U\!C=\infty }\left(\sum _{T\! B=1}^{U\!B=\infty }\left(\suma _{T\!A=1}^{U\!A=\infty}F^{'}(R_{(tc)} :Q_{(tb)}:P_{(ta)}){\frac {\Delta A}{U\!A}}\right){\frac {\Delta B}{U\!B}}\right ){\frac {\Delta C}{U\!C}},\\[10pt]&=F'(C\!L<R<CU:BL<Q<BU:AL<P<\!AU) \Delta A\,\Delta B\,\Delta C.\end{wyrównane}}}$

Stąd,

${\ Displaystyle F' (R, Q: AL <P <AU) = \ suma _ {T \! A = 1} ^ {U \! A = \ infty} {\ Frac {F' (R, Q: P_ {(ta)})}{U\!A}};\,\!}$

I

${\ Displaystyle F' (R: BL <Q <BU: AL <P <AU) = \ suma _ {T \! B = 1} ^ {U \! B = \ infty} \ lewo (\ suma _ {T \!A=1}^{U\!A=\infty }{\frac {F'(R:Q_{(tb)}:P_{(ta)})}{U\!A}}\right) {\frac {1}{U\!B}}.\,\!}$

Zobacz też

• Podzielone różnice
• Teoria Fermata
• Wielomian Newtona
• Metoda prostokątna
• Reguła ilorazowa
• Iloraz różnicy symetrycznej

Linki zewnętrzne

• Kolegium św. Wincentego: br. David Carlson, OSB — MA109 Iloraz różnic zarchiwizowany 2005-09-12 w Wayback Machine
• University of Birmingham: Dirk Hermans — podzielone różnice
• Świat matematyki:
  • Podzielona różnica
  • Twierdzenie o wartości średniej
• University of Wisconsin: Thomas W. Reps i Louis B. Rall — obliczeniowe różnicowanie podzielone i arytmetyka różnic dzielonych
• Interaktywny symulator ilorazu różnicowego do wyjaśnienia pochodnej