Problem Apoloniusza

Rysunek 1: Rozwiązanie (na fioletowo) problemu Apoloniusza. Podane okręgi są pokazane na czarno.

Rysunek 2: Cztery uzupełniające się pary rozwiązań problemu Apoloniusza; podane kółka są czarne.

W geometrii płaszczyzny euklidesowej problem Apoloniusza polega na skonstruowaniu okręgów stycznych do trzech danych okręgów na płaszczyźnie (rysunek 1). Apoloniusz z Perge (ok. 262 pne - ok. 190 pne) postawił i rozwiązał ten słynny problem w swojej pracy Ἐπαφαί ( Epaphaí , „Tangencies”); ta praca zaginęła , ale raport z IV wieku naszej ery o jego wynikach sporządzony przez Pappusa z Aleksandrii przeżył. Trzy dane okręgi ogólnie mają osiem różnych okręgów, które są do nich styczne (Rysunek 2), parę rozwiązań dla każdego sposobu podzielenia trzech danych okręgów na dwa podzbiory (istnieją 4 sposoby podzielenia zbioru o liczności 3 na 2 części ) .

W XVI wieku Adriaan van Roomen rozwiązał problem za pomocą przecinających się hiperboli , ale to rozwiązanie nie wykorzystuje tylko konstrukcji linijki i kompasu . François Viète znalazł takie rozwiązanie, wykorzystując przypadki graniczne : dowolny z trzech podanych okręgów można skurczyć do promienia zerowego (punkt) lub rozszerzyć do promienia nieskończonego (linia). Podejście Viète, które wykorzystuje prostsze przypadki graniczne do rozwiązywania bardziej skomplikowanych, jest uważane za wiarygodną rekonstrukcję metody Apoloniusza. Metoda van Roomena została uproszczona przez Izaak Newton , który wykazał, że problem Apoloniusza jest równoznaczny ze znalezieniem pozycji na podstawie różnic jego odległości do trzech znanych punktów. Ma to zastosowanie w systemach nawigacji i pozycjonowania, takich jak LORAN .

Późniejsi matematycy wprowadzili metody algebraiczne, które przekształcają problem geometryczny w równania algebraiczne . Metody te zostały uproszczone poprzez wykorzystanie symetrii nieodłącznie związanych z problemem Apoloniusza: na przykład koła rozwiązań zwykle występują w parach, przy czym jedno rozwiązanie obejmuje dane koła, a drugie wyklucza (rysunek 2). Joseph Diaz Gergonne wykorzystał tę symetrię, aby zapewnić elegancką linię prostą i kompas, podczas gdy inni matematycy stosowali przekształcenia geometryczne , takie jak odbicie w kole aby uprościć konfigurację podanych okręgów. Rozwój ten zapewnia geometryczne tło dla metod algebraicznych (wykorzystujących geometrię sfery Liego ) oraz klasyfikację rozwiązań według 33 zasadniczo różnych konfiguracji danych okręgów.

Problem Apoloniusza pobudził znacznie dalsze prace. Zbadano uogólnienia do trzech wymiarów - konstruowanie kuli stycznej do czterech danych sfer - i poza nią . Szczególną uwagę zwrócono na konfigurację trzech wzajemnie stycznych okręgów. René Descartes podał wzór odnoszący się do promieni kół rozwiązania i okręgów danych, znany obecnie jako twierdzenie Kartezjusza . Iteracyjne rozwiązanie problemu Apoloniusza w tym przypadku prowadzi do uszczelki apollińskiej , która jest jednym z najwcześniejszych fraktali do opisania w druku i jest ważny w teorii liczb poprzez kręgi Forda i metodę okręgów Hardy'ego-Littlewooda .

Oświadczenie o problemie

Ogólne stwierdzenie problemu Apoloniusza polega na skonstruowaniu jednego lub więcej okręgów stycznych do trzech danych obiektów na płaszczyźnie, gdzie obiektem może być linia, punkt lub okrąg o dowolnej wielkości. Przedmioty te mogą być ułożone w dowolny sposób i mogą się krzyżować; jednak zwykle uważa się, że są odrębne, co oznacza, że ​​nie pokrywają się. Rozwiązania problemu Apoloniusza są czasami nazywane kręgami Apoloniusza , chociaż termin ten jest również używany w odniesieniu do innych typów kręgów związanych z Apoloniuszem.

Właściwość styczności jest zdefiniowana w następujący sposób. Po pierwsze zakłada się, że punkt, linia lub okrąg są styczne do siebie; stąd, jeśli dany okrąg jest już styczny do pozostałych dwóch danych obiektów, jest liczony jako rozwiązanie problemu Apoloniusza. Mówi się, że dwa różne obiekty geometryczne przecinają się , jeśli mają wspólny punkt. Z definicji punkt jest styczny do okręgu lub prostej, jeśli je przecina, to znaczy leży na nich; zatem dwa różne punkty nie mogą być styczne. Jeśli kąt między liniami lub okręgami w punkcie przecięcia wynosi zero, mówi się, że są one styczne ; punkt przecięcia nazywa się a punkt styczności lub punkt styczności . (Słowo „styczny” pochodzi od łacińskiego imiesłowu czasu teraźniejszego , tangens , oznaczającego „dotykanie”.) W praktyce dwa różne okręgi są styczne, jeśli przecinają się tylko w jednym punkcie; jeśli przecinają się w zero lub w dwóch punktach, nie są styczne. To samo dotyczy linii i okręgu. Dwie różne linie nie mogą być styczne w płaszczyźnie, chociaż dwie równoległe linie można uznać za styczne w punkcie w nieskończoności w geometrii odwrotnej (patrz poniżej ).

Koło rozwiązania może być styczne wewnętrznie lub zewnętrznie do każdego z podanych okręgów. Zewnętrzna styczność to taka, w której dwa okręgi odchylają się od siebie w punkcie styku; leżą po przeciwnych stronach stycznej w tym punkcie i wzajemnie się wykluczają. Odległość między ich środkami jest równa sumie ich promieni. Natomiast wewnętrzna to taka, w której dwa okręgi zakrzywiają się w ten sam sposób w punkcie styku; dwa okręgi leżą po tej samej stronie stycznej, a jeden okrąg zawiera drugi. W tym przypadku odległość między ich środkami jest równa różnicy ich promieni. Dla ilustracji, na rycinie 1, różowe koło z roztworem jest styczne wewnętrznie do średniej wielkości podanego czarnego okręgu po prawej stronie, podczas gdy jest styczne zewnętrznie do najmniejszych i największych danych okręgów po lewej stronie.

Problem Apoloniusza można również sformułować jako problem zlokalizowania jednego lub więcej punktów w taki sposób, aby różnice jego odległości do trzech danych punktów były równe trzem znanym wartościom. Rozważmy rozwiązanie okręgu o promieniu r _s i trzy dane okręgi o promieniach r ₁ , r ₂ i r ₃ . Jeżeli okrąg z rozwiązaniem jest styczny zewnętrznie do wszystkich trzech podanych okręgów, to odległości między środkiem koła z rozwiązaniem a środkami danych okręgów są równe d ₁ = r ₁ + r _s , re ₂ = r ₂ + r _s i re ₃ = r ₃ + r _s odpowiednio. Dlatego różnice w tych odległościach są stałymi, takimi jak re ₁ − d ₂ = r ₁ − r ₂ ; zależą tylko od znanych promieni danych okręgów, a nie od promienia r _s koła rozwiązania, które się znosi. To drugie sformułowanie problemu Apoloniusza można uogólnić na wewnętrznie styczne koła rozwiązań (dla których odległość środek-środek jest równa różnicy promieni), zmieniając odpowiednie różnice odległości na sumy odległości, tak aby promień koła rozwiązania r _s ponownie anuluje. Ponowne sformułowanie pod względem odległości od środka do środka jest przydatne w poniższych rozwiązaniach Adriaana van Roomena i Isaaca Newtona , a także w pozycjonowaniu hiperbolicznym lub trilateracja, która polega na zlokalizowaniu pozycji na podstawie różnic odległości do trzech znanych punktów. Na przykład systemy nawigacyjne, takie jak LORAN , identyfikują pozycję odbiornika na podstawie różnic w czasach nadejścia sygnałów z trzech stałych pozycji, które odpowiadają różnicom odległości do tych nadajników.

Historia

Bogaty repertuar metod geometrycznych i algebraicznych został opracowany w celu rozwiązania problemu Apoloniusza, który został nazwany „najsłynniejszym ze wszystkich” problemów geometrii. Oryginalne podejście Apoloniusza z Perge zostało utracone, ale rekonstrukcje zostały zaproponowane przez François Viète i innych, w oparciu o wskazówki zawarte w opisie Pappus z Aleksandrii . Pierwsza nowa metoda rozwiązania została opublikowana w 1596 roku przez Adriaana van Roomena , który zidentyfikował środki okręgów rozwiązań jako punkty przecięcia dwóch hiperboli . Metoda Van Roomena została udoskonalona w 1687 roku przez Isaaca Newtona w jego Principia i przez Johna Caseya w 1881 roku.

Chociaż udało się rozwiązać problem Apoloniusza, metoda van Roomena ma wadę. Cenną właściwością klasycznej geometrii euklidesowej jest umiejętność rozwiązywania problemów przy użyciu tylko kompasu i liniału . Wiele konstrukcji jest niemożliwych przy użyciu tylko tych narzędzi, takich jak podzielenie kąta na trzy równe części . Jednak wiele takich „niemożliwych” problemów można rozwiązać, przecinając krzywe, takie jak hiperbole, elipsy i parabole ( przekroje stożkowe ). Na przykład podwojenie sześcianu (problemu zbudowania sześcianu o objętości dwa razy większej niż dany sześcian) nie da się zrobić tylko przy pomocy liniału i kompasu, ale Menaechmus wykazał, że problem można rozwiązać za pomocą przecięć dwóch parabol . Dlatego rozwiązanie van Roomena - które wykorzystuje przecięcie dwóch hiperboli - nie określało, czy problem spełnia właściwość prostej i kompasu.

Przyjaciel Van Roomena, François Viète , który namawiał van Roomena do pracy nad problemem Apoloniusza, opracował metodę wykorzystującą tylko kompas i liniał. Przed rozwiązaniem Viète, Regiomontanus wątpił, czy problem Apoloniusza można rozwiązać za pomocą liniału i kompasu. Viète jako pierwszy rozwiązał kilka prostych szczególnych przypadków problemu Apoloniusza, takich jak znalezienie okręgu przechodzącego przez trzy dane punkty, który ma tylko jedno rozwiązanie, jeśli punkty są różne; następnie rozwinął się do rozwiązywania bardziej skomplikowanych przypadków specjalnych, w niektórych przypadkach poprzez zmniejszanie lub powiększanie podanych kręgów. Według raportu Pappusa z IV wieku, własnej książki Apoloniusza dotyczącej tego problemu - zatytułowanej Ἐπαφαί ( Epaphaí , „Tangencies”; łac . De tactionibus , De contactibus ) — zastosował podobne postępowe podejście. Dlatego rozwiązanie Viète jest uważane za wiarygodną rekonstrukcję rozwiązania Apoloniusza, chociaż inne rekonstrukcje zostały opublikowane niezależnie przez trzech różnych autorów.

W XIX wieku opracowano kilka innych geometrycznych rozwiązań problemu Apoloniusza. Najbardziej godnymi uwagi rozwiązaniami są rozwiązania Jeana-Victora Ponceleta (1811) i Josepha Diaza Gergonne'a (1814). Podczas gdy dowód Ponceleta opiera się na homotetycznych środkach okręgów i potędze twierdzenia o punkcie , metoda Gergonne'a wykorzystuje sprzężoną relację między liniami i ich biegunami w okręgu. Metody wykorzystujące odwrócenie okręgu zostały zapoczątkowane przez Juliusa Petersena w 1879; jednym z przykładów jest metoda rozwiązania pierścieniowego firmy HSM Coxeter . Inne podejście wykorzystuje geometrię kuli Liego , opracowaną przez Sophusa Lie .

Algebraiczne rozwiązania problemu Apoloniusza zostały zapoczątkowane w XVII wieku przez René Descartesa i księżniczkę Elżbietę Czeską , chociaż ich rozwiązania były dość złożone. Praktyczne metody algebraiczne zostały opracowane pod koniec XVIII i XIX wieku przez kilku matematyków, w tym Leonharda Eulera , Nicolasa Fussa , Carla Friedricha Gaussa , Lazare'a Carnota i Augustina Louisa Cauchy'ego .

Metody rozwiązania

Przecinające się hiperbole

Rysunek 3: Dwa podane okręgi (czarne) i okrąg styczny do obu (różowy). Odległości między środkami d ₁ i d ₂ są równe odpowiednio r ₁ + r _s i r ₂ + r _s , więc ich różnica jest niezależna od r _s .

Rozwiązanie Adriaana van Roomena (1596) opiera się na przecięciu dwóch hiperboli . Niech dane okręgi oznaczymy jako C ₁ , C ₂ i C ₃ . Van Roomen rozwiązał ogólny problem, rozwiązując prostszy problem, polegający na znalezieniu okręgów stycznych do dwóch danych okręgów, takich jak C ₁ i C ₂ . Zauważył, że środek okręgu stycznego do obu podanych okręgów musi leżeć na hiperboli których ogniskami są środki danych okręgów. Aby to zrozumieć, niech promienie koła rozwiązania i dwóch danych okręgów oznaczymy odpowiednio jako r _s , r ₁ i r ₂ . (Rysunek 3). Odległość d ₁ między środkami koła rozwiązania i C ₁ wynosi albo r _s + r ₁ , albo r _s − r ₁ , w zależności od tego, czy okręgi te są odpowiednio styczne zewnętrznie czy wewnętrznie. Podobnie, odległość d ₂ między środkami koła rozwiązania i C ₂ wynosi albo r _s + r ₂ , albo r _s - r ₂ , ponownie w zależności od wybranej przez nie styczności. Zatem różnica d ₁ − d ₂ między tymi odległościami jest zawsze stałą niezależną od r _s . Ta właściwość, polegająca na posiadaniu stałej różnicy między odległościami do ognisk , charakteryzuje hiperbole, więc możliwe środki koła rozwiązania leżą na hiperboli. Drugą hiperbolę można narysować dla pary danych okręgów C ₂ i C ₃ , gdzie styczność wewnętrzna lub zewnętrzna rozwiązania i C ₂ należy wybrać spójnie z pierwszą hiperbolą. Przecięcie tych dwóch hiperboli (jeśli istnieje) daje środek koła rozwiązania, które ma wybrane styczności wewnętrzne i zewnętrzne z trzema podanymi okręgami. Pełen zestaw rozwiązań problemu Apoloniusza można znaleźć, rozważając wszystkie możliwe kombinacje styczności wewnętrznej i zewnętrznej koła rozwiązania z trzema podanymi okręgami.

Isaac Newton (1687) udoskonalił rozwiązanie van Roomena, tak aby środki okręgów rozwiązań znajdowały się na przecięciach prostej z okręgiem. Newton formułuje problem Apoloniusza jako problem w trilateracji : zlokalizować punkt Z z trzech danych punktów A , B i C , tak aby różnice odległości od Z do trzech danych punktów miały znane wartości. Te cztery punkty odpowiadają środkowi koła rozwiązania ( Z ) i środkom trzech podanych okręgów ( A , B i C ).

Zbiór punktów o stałym stosunku odległości d ₁ / d ₂ do dwóch stałych punktów to okrąg.

Zamiast rozwiązywać dwie hiperbole, Newton konstruuje zamiast tego ich linie kierownicy . Dla dowolnej hiperboli stosunek odległości od punktu Z do ogniska A i do kierownicy jest stałą stałą zwaną mimośrodem . Dwie proste proste przecinają się w punkcie T , a na podstawie ich dwóch znanych stosunków odległości Newton konstruuje linię przechodzącą przez T , na której musi leżeć Z. Znany jest jednak również stosunek odległości TZ/TA; stąd Z leży również na znanym okręgu, ponieważ Apoloniusz wykazał, że okrąg można zdefiniować jako zbiór punktów, które mają określony stosunek odległości do dwóch stałych punktów. (Nawiasem mówiąc, ta definicja jest podstawą współrzędnych dwubiegunowych .) Zatem rozwiązaniami problemu Apoloniusza są przecięcia prostej z okręgiem.

Rekonstrukcja Viète

Jak opisano poniżej , problem Apoloniusza ma dziesięć szczególnych przypadków, w zależności od natury trzech danych obiektów, którymi może być okrąg ( C ), linia ( L ) lub punkt ( P ). Zwyczajowo te dziesięć przypadków wyróżnia się trzyliterowymi kodami, takimi jak CCP . Viète rozwiązał wszystkie dziesięć z tych przypadków, używając tylko konstrukcji kompasu i liniału, i wykorzystał rozwiązania prostszych przypadków do rozwiązania bardziej złożonych przypadków.

Rysunek 4: Styczność między okręgami jest zachowana, jeśli ich promienie zostaną zmienione o równe wartości. Różowe kółko z roztworem musi się kurczyć lub pęcznieć z wewnętrznie stycznym okręgiem (czarne kółko po prawej), podczas gdy zewnętrznie styczne koła (dwa czarne kółka po lewej) robią coś przeciwnego.

Viète rozpoczął od rozwiązania sprawy PPP (trzy punkty) zgodnie z metodą Euklidesa w jego Elementach . Wyprowadził z tego lemat odpowiadający potędze twierdzenia o punkcie , którego użył do rozwiązania przypadku LPP (linia i dwa punkty). Podążając za Euclidem po raz drugi, Viète rozwiązał LLL (trzy linie) za pomocą dwusiecznych kątów . Następnie wyprowadził lemat do skonstruowania linii prostopadłej do dwusiecznej kąta przechodzącej przez punkt, którego użył do rozwiązania LLP problem (dwie linie i punkt). Stanowi to pierwsze cztery przypadki problemu Apoloniusza, te, które nie obejmują kręgów.

Aby rozwiązać pozostałe problemy, Viète wykorzystał fakt, że dane koła i koło rozwiązania mogą być zmieniane w tandemie, przy jednoczesnym zachowaniu ich styczności (Rysunek 4). Jeśli promień okręgu rozwiązania zostanie zmieniony o wartość Δ r , promień jego stycznych wewnętrznie danych okręgów również musi zostać zmieniony o Δ r , podczas gdy promień jego stycznych zewnętrznie danych okręgów musi zostać zmieniony o − Δ r . Tak więc, gdy koło rozwiązania pęcznieje, dane okręgi styczne wewnętrznie muszą pęcznieć w tandemie, podczas gdy dane okręgi styczne zewnętrznie muszą się kurczyć, aby zachować swoje styczności.

Viète zastosował to podejście, aby zmniejszyć jeden z podanych okręgów do punktu, redukując w ten sposób problem do prostszego, już rozwiązanego przypadku. Najpierw rozwiązał CLL (okrąg i dwie linie), zmniejszając okrąg do punktu, czyniąc go przypadkiem LLP . Następnie rozwiązał CLP (okrąg, prosta i punkt) za pomocą trzech lematów. Ponownie zmniejszając jedno koło do punktu, Viète przekształcił CCL w przypadek CLP . Następnie rozwiązał CPP (koło i dwa punkty) oraz KPCh przypadek (dwa okręgi i punkt), drugi przypadek przez dwa lematy. Wreszcie Viète rozwiązał ogólny CCC (trzy koła), zmniejszając jedno koło do punktu, czyniąc go przypadkiem CCP .

Rozwiązania algebraiczne

Problem Apoloniusza można przedstawić jako układ trzech równań dla środka i promienia koła rozwiązania. Ponieważ trzy podane okręgi i dowolny okrąg rozwiązania muszą leżeć w tej samej płaszczyźnie, ich położenie można określić za pomocą współrzędnych ( x , y ) ich środków. Na przykład, środkowe pozycje trzech podanych okręgów można zapisać jako ( x ₁ , y ₁ ), ( x ₂ , y ₂ ) i ( x ₃ , y ₃ ), podczas gdy koło rozwiązania można zapisać jako ( x _s , y _s ). Podobnie promienie danych okręgów i koła z rozwiązaniami można zapisać odpowiednio jako r ₁ , r ₂ , r ₃ i r _s . Wymóg, że koło z rozwiązaniem musi dokładnie stykać się z każdym z trzech podanych okręgów, można wyrazić jako trzy sprzężone równania kwadratowe dla x _s , y _s i r _s :

${\ Displaystyle \ lewo (x_ {s} -x_ {1} \ prawej) ^ {2} +\left(y_{s}-y_{1}\right)^{2}=\left(r_{s}-s_{1}r_{1}\right)^{2}}$

${\ Displaystyle \ lewo (x_ {s} -x_ {2} \ prawo) ^ {2} + \ lewo (y_ {s} -y_ {2} \ prawo) ^{2}=\left(r_{s}-s_{2}r_{2}\right)^{2}}$

${\ Displaystyle \ lewo (x_ {s} -x_ {3} \ prawo) ^ {2} + \ lewo (y_ {s} -y_ {3} \ prawo) ^ {2} = \ lewo (r_ {s} -s_{3}r_{3}\prawo)^{2}.}$

Trzy liczby s ₁ , s ₂ i s ₃ po prawej stronie , zwane znakami, mogą równać się ±1 i określać, czy żądany okrąg rozwiązania powinien stykać się z odpowiadającym mu okręgiem od wewnątrz ( s = 1), czy od zewnątrz ( s = −1). Na przykład na rysunkach 1 i 4 różowy roztwór jest wewnętrznie styczny do średniej wielkości danego okręgu po prawej stronie i zewnętrznie styczny do najmniejszego i największego danego okręgu po lewej stronie; jeśli dane okręgi są uporządkowane według promienia, znaki tego rozwiązania są takie "- + -" . Ponieważ trzy znaki można wybrać niezależnie, istnieje osiem możliwych zestawów równań (2 × 2 × 2 = 8) , z których każdy odpowiada jednemu z ośmiu typów kół rozwiązań.

Ogólny układ trzech równań można rozwiązać metodą wypadkową . Po przemnożeniu wszystkie trzy równania mają x _s ² + y _s ² po lewej stronie i r _s ² po prawej stronie. Odjęcie jednego równania od drugiego eliminuje te wyrazy kwadratowe; pozostałe wyrazy liniowe można ponownie ułożyć, aby uzyskać wzory na współrzędne x _s i y _s

${\ Displaystyle x_ {s} = M + Nr_ {s}}$

${\ Displaystyle y_ {s} = P + Qr_ {s}}$

gdzie M , N , P i Q to znane funkcje danych okręgów i wybór znaków. Podstawienie tych wzorów do jednego z trzech początkowych równań daje równanie kwadratowe dla r _s , które można rozwiązać za pomocą wzoru kwadratowego . Podstawienie wartości liczbowej r _s do wzorów liniowych daje odpowiednie wartości x _s i y _s .

Znaki s ₁ , s ₂ i s ₃ po prawej stronie równań można wybrać na osiem możliwych sposobów, a każdy wybór znaków daje do dwóch rozwiązań, ponieważ równanie dla r _s jest kwadratowe . Może to sugerować (niesłusznie), że istnieje do szesnastu rozwiązań problemu Apoloniusza. Jednak ze względu na symetrię równań, jeśli ( r _s , x _s , y _s ) jest rozwiązaniem o znakach s _i , to tak jest (− r _s , x _s , y _s ), o przeciwnych znakach − s _i , co reprezentuje to samo koło rozwiązań. Dlatego problem Apoloniusza ma co najwyżej osiem niezależnych rozwiązań (rysunek 2). Jednym ze sposobów uniknięcia tego podwójnego liczenia jest rozważenie tylko okręgów rozwiązań o nieujemnym promieniu.

Dwa pierwiastki dowolnego równania kwadratowego mogą należeć do trzech możliwych typów: dwie różne liczby rzeczywiste , dwie identyczne liczby rzeczywiste (tj. zdegenerowany pierwiastek podwójny) lub para pierwiastków sprzężonych zespolonych. Pierwszy przypadek odpowiada zwykłej sytuacji; każda para korzeni odpowiada parze rozwiązań, które są powiązane przez odwrócenie koła , jak opisano poniżej (Rysunek 6). W drugim przypadku oba pierwiastki są identyczne, co odpowiada okręgowi rozwiązania, który przekształca się w siebie w wyniku odwrócenia. W tym przypadku jedno z podanych kół samo w sobie jest rozwiązaniem problemu Apoloniusza, a liczba różnych rozwiązań jest zmniejszona o jeden. Trzeci przypadek zespolonych promieni sprzężonych nie odpowiada geometrycznie możliwemu rozwiązaniu problemu Apoloniusza, ponieważ koło rozwiązania nie może mieć wyimaginowanego promienia; dlatego liczba rozwiązań zmniejsza się o dwa. Problem Apoloniusza nie może mieć siedmiu rozwiązań, chociaż może mieć dowolną inną liczbę rozwiązań od zera do ośmiu.

Geometria sfery kłamstwa

Te same równania algebraiczne można wyprowadzić w kontekście geometrii kuli Liego . Ta geometria przedstawia okręgi, linie i punkty w ujednolicony sposób, jako pięciowymiarowy wektor X = ( v , c _x , c _y , w , sr ), gdzie c = ( c _x , c _y ) jest środkiem okrąg, a r to jego (nieujemny) promień. Jeśli r nie jest zerem, znak s może być dodatnia lub ujemna; dla wizualizacji s reprezentuje orientację koła, przy czym okręgi w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara mają dodatnie s , a okręgi zgodne z ruchem wskazówek zegara mają ujemne s . Parametr w wynosi zero dla linii prostej, a jeden w przeciwnym przypadku.

W tym pięciowymiarowym świecie istnieje iloczyn dwuliniowy podobny do iloczynu skalarnego :

${\ Displaystyle \ lewo (X_ {1} \ środkowy X_ {2} \ prawo): = v_ {1} w_ {2} + v_ {2} w_ {1} + \ mathbf {c} _ {1} \ cdot \mathbf {c} _{2}-s_{1}s_{2}r_{1}r_{2}.}$

Kwadryka Liego jest zdefiniowana jako te wektory, których iloczyn sam w sobie (ich norma kwadratowa ) wynosi zero, ( X | X ) = 0. Niech X ₁ i X ₂ będą dwoma wektorami należącymi do tej kwadryki; norma ich różnicy jest równa

${\ Displaystyle \ lewo (X_ {1}-X_ {2} \ środkowy X_ {1} -X_ {2} \ prawo) = 2 \ lewo (v_ {1} -v_ {2} \ prawo) \ lewo (w_ {1}-w_{2}\right)+\left(\mathbf {c} _{1}-\mathbf {c} _{2}\right)\cdot \left(\mathbf {c} _{1 }-\mathbf {c} _{2}\right)-\left(s_{1}r_{1}-s_{2}r_{2}\right)^{2}.}$

Iloczyn rozkłada się na dodawanie i odejmowanie (dokładniej jest dwuliniowy ):

${\ Displaystyle \ lewo (X_ {1}-X_ {2} \ mid X_ {1} -X_ {2} \ right) = \ lewo (X_ {1} \ mid X_ {1} \ right) -2 \ lewo (X_{1}\mid X_{2}\right)+\left(X_{2}\mid X_{2}\right).}$

Ponieważ ( X ₁ | X ₁ ) = ( X ₂ | X ₂ ) = 0 (oba należą do ćwiartki Liego) i ponieważ w ₁ = w ₂ = 1 dla okręgów, iloczyn dowolnych dwóch takich wektorów na kwadryce jest równy

${\ Displaystyle -2 \ lewo (X_ {1} \ mid X_ {2} \ prawo) = \ lewo | \ mathbf {c} _ {1} - \ mathbf {c} _ {2} \ prawo | ^ {2 }-\lewo(s_{1}r_{1}-s_{2}r_{2}\prawo)^{2}.}$

   gdzie pionowe słupki łączące c ₁ − c ₂ reprezentują długość tego wektora różnicy, tj. normę euklidesową . Ten wzór pokazuje, że jeśli dwa wektory kwadratowe X ₁ i X ₂ są do siebie ortogonalne (prostopadłe) — to znaczy, jeśli ( X ₁ | X ₂ ) = 0 — to odpowiadające im okręgi są styczne. Bo jeśli dwa znaki s ₁ i s ₂ są takie same (tj. okręgi mają tę samą „orientację”), okręgi są wewnętrznie styczne; odległość między ich środkami jest równa różnicy promieni

${\ Displaystyle \ lewo | \ mathbf {c} _ {1} - \ mathbf {c} _ {2} \ prawo | ^ {2} = \ lewo (r_ {1} -r_ {2} \ prawo) ^ { 2}.}$

I odwrotnie, jeśli dwa znaki s ₁ i s ₂ są różne (tj. okręgi mają przeciwne „orientacje”), okręgi są styczne zewnętrznie; odległość między ich środkami jest równa sumie promieni

${\ Displaystyle \ lewo | \ mathbf {c} _ {1} - \ mathbf {c} _ {2} \ prawo | ^ {2} = \ lewo (r_ {1} + r_ {2} \ prawo) ^ { 2}.}$

Dlatego problem Apoloniusza można ponownie przedstawić w geometrii Liego jako problem znalezienia prostopadłych wektorów na kwadracie Liego; w szczególności celem jest zidentyfikowanie wektorów rozwiązań X _sol , które należą do ćwiartki Liego i są również ortogonalne (prostopadłe) do wektorów X ₁ , X ₂ i X ₃ odpowiadających danym okręgom.

${\ Displaystyle \ lewo (X _ {\ operatorname {sol}} \ mid X _ {\ operatorname {sol}} \ right) = \ lewo (X _ {\ operatorname {sol}} \ mid X_ {1} \ right) = \ left(X_{\mathrm {sol}}\mid X_{2}\right)=\left(X_{\mathrm {sol}}\mid X_{3}\right)=0}$

Zaletą tego przekształcenia jest to, że można wykorzystać twierdzenia z algebry liniowej o maksymalnej liczbie liniowo niezależnych , jednocześnie prostopadłych wektorów. Daje to inny sposób obliczenia maksymalnej liczby rozwiązań i rozszerzenia twierdzenia na przestrzenie o wyższych wymiarach.

Metody inwersyjne

Rysunek 5: Inwersja w kole. Punkt P ' jest odwrotnością punktu P względem okręgu.

Naturalnym miejscem dla problemu Apoloniusza jest geometria odwrotna . Podstawową strategią metod odwrotnych jest przekształcenie danego problemu Apoloniusza w inny, prostszy do rozwiązania problem Apoloniusza; rozwiązania pierwotnego problemu znajdują się na podstawie rozwiązań przekształconego problemu poprzez cofnięcie transformacji. Transformacje kandydujące muszą zmienić jeden problem Apoloniusza w inny; dlatego muszą przekształcić podane punkty, okręgi i proste w inne punkty, okręgi i proste, a nie w żadne inne kształty. Odwrócenie koła ma tę właściwość i pozwala na rozsądny wybór środka i promienia koła inwersyjnego. Inni kandydaci obejmują izometrie płaszczyzny euklidesowej ; jednak nie upraszczają problemu, ponieważ jedynie przesuwają , obracają i odzwierciedlają pierwotny problem.

Odwrócenie na okręgu o środku O i promieniu R składa się z następującej operacji (Rysunek 5): każdy punkt P jest odwzorowywany na nowy punkt P' taki, że O , P i P' są współliniowe, a iloczyn odległości P i P' do środka O są równe promieniowi R do kwadratu

${\ Displaystyle {\ overline {\ mathbf {OP}}} \ cdot {\ overline {\ mathbf {OP ^ {\ pierwsza}}}} = R ^ {2}.}$

Tak więc, jeśli P leży na zewnątrz koła, to P' leży w środku i odwrotnie. Kiedy P jest takie samo jak O , mówi się, że inwersja wysyła P do nieskończoności. (W analizie złożonej „nieskończoność” jest definiowana w kategoriach sfery Riemanna ). Inwersja ma tę użyteczną właściwość, że linie i okręgi są zawsze przekształcane w linie i okręgi, a punkty są zawsze przekształcane w punkty. Kręgi są na ogół przekształcane w inne kręgi podczas inwersji; jeśli jednak okrąg przechodzi przez środek koła inwersji, zostaje przekształcony w linię prostą i odwrotnie. Co ważne, jeśli okrąg przecina okrąg odwrócenia pod kątem prostym (przecina się prostopadle), pozostaje niezmieniony przez odwrócenie; przekształca się w siebie.

Inwersje okręgów odpowiadają podzbiorowi transformacji Möbiusa na sferze Riemanna . Planarny problem Apoloniusza można przenieść na sferę za pomocą odwrotnej projekcji stereograficznej ; stąd rozwiązania płaskiego problemu Apoloniusza dotyczą również jego odpowiednika na kuli. Oprócz typowych opisanych poniżej możliwe są inne odwrotne rozwiązania problemu planarnego.

Pary rozwiązań przez inwersję

Rysunek 6: Sprzężona para rozwiązań problemu Apoloniusza (różowe kółka), z podanymi kółkami w kolorze czarnym.

Rozwiązania problemu Apoloniusza na ogół występują parami; dla każdego koła z rozwiązaniem istnieje koło z rozwiązaniem sprzężonym (Rysunek 6). Jedno koło rozwiązania wyklucza podane koła, które są otoczone jego rozwiązaniem sprzężonym i odwrotnie. Na przykład na rysunku 6 jedno kółko z rozwiązaniem (różowe, lewe górne) obejmuje dwa podane koła (czarne), ale wyklucza trzecie; i odwrotnie, jego roztwór koniugatu (również różowy, prawy dolny róg) obejmuje trzeci dany okrąg, ale wyklucza pozostałe dwa. Dwa sprzężone kręgi rozwiązań są powiązane przez inwersję , przez następujący argument.

Ogólnie rzecz biorąc, dowolne trzy różne okręgi mają unikalny okrąg - radykalny okrąg - który przecina je wszystkie prostopadle; środek tego koła jest radykalnym środkiem trzech kręgów. Dla ilustracji, pomarańczowe kółko na rycinie 6 przecina czarne podane koła pod kątem prostym. Inwersja w radykalnym kole pozostawia dane koła niezmienione, ale przekształca dwa sprzężone różowe koła roztworu w siebie. Przy tej samej inwersji odpowiednie punkty styczności dwóch okręgów rozwiązań są przekształcane jeden w drugi; dla ilustracji, na rysunku 6 dwa niebieskie punkty leżące na każdej zielonej linii są przekształcane jeden w drugi. Stąd linie łączące te sprzężone punkty styczne są niezmienne w warunkach inwersji; dlatego muszą przechodzić przez środek inwersji, który jest środkiem radykalnym (zielone linie przecinające się w pomarańczowej kropce na rycinie 6).

Inwersja do pierścienia

Jeśli dwa z trzech podanych okręgów się nie przecinają, można wybrać środek inwersji, tak aby te dwa podane okręgi stały się koncentryczne . W ramach tego odwrócenia okręgi roztworu muszą mieścić się w pierścieniu między dwoma koncentrycznymi okręgami. Należą zatem do dwóch rodzin jednoparametrowych. W pierwszej rodzinie (Rysunek 7) rozwiązania nie otaczają wewnętrzny koncentryczny okrąg, ale raczej obracają się jak łożyska kulkowe w pierścieniu. W drugiej rodzinie (Rysunek 8) okręgi rozwiązań otaczają wewnętrzny koncentryczny okrąg. Na ogół istnieją cztery rozwiązania dla każdej rodziny, co daje osiem możliwych rozwiązań, zgodnych z rozwiązaniem algebraicznym .

Rysunek 7: Koło rozwiązania (różowe) w pierwszej rodzinie leży pomiędzy koncentrycznymi okręgami (czarne). Dwukrotność promienia rozwiązania r _s jest równa różnicy r _zewnętrzna − r _wewnętrzna między promieniami wewnętrznymi i zewnętrznymi, a dwukrotna odległość od środka d _s równa się ich sumie.

Rysunek 8: Koło rozwiązania (różowe) w drugiej rodzinie obejmuje wewnętrzne koło (czarne). Dwukrotność promienia rozwiązania r _s równa się sumie r _zewnętrzna + r _wewnętrzna promieni wewnętrznych i zewnętrznych, podczas gdy dwukrotna odległość od środka d _s równa się ich różnicy.

Kiedy dwa z podanych okręgów są koncentryczne, problem Apoloniusza można łatwo rozwiązać za pomocą metody Gaussa . Znane są promienie trzech podanych okręgów, podobnie jak odległość d _non od wspólnego koncentrycznego środka do niekoncentrycznego okręgu (Rysunek 7). Koło rozwiązania można wyznaczyć na podstawie jego promienia r _s , kąta θ oraz odległości ds i d _{T odpowiednio od jego środka do wspólnego koncentrycznego środka i} środka niekoncentrycznego koła. Promień i odległość d _s są znane (Rysunek 7), a odległość d _T = r _s ± r _non , w zależności od tego, czy okrąg rozwiązania jest styczny wewnętrznie czy zewnętrznie do koła niekoncentrycznego. Dlatego z twierdzenia cosinusów

${\ Displaystyle \ cos \ theta = {\ Frac {d _ {\ operatorname {s}} ^ {2} + d _ {\ operatorname {nie}} ^ {2} -d_ {\ operatorname {T}} ^ {2} }{2d_{\mathrm {s}}d_{\mathrm {nie}}}}\równoważnik C_{\pm}.}$

dla zwięzłości zdefiniowano nową stałą C , z indeksem dolnym wskazującym, czy rozwiązanie jest styczne zewnętrznie czy wewnętrznie. Proste przegrupowanie trygonometryczne daje cztery rozwiązania

${\ Displaystyle \ theta = \ pm 2 \ arctan \ lewo ({\ sqrt {\ Frac {1-C} {1 + C}}} \ prawej).}$

Formuła ta reprezentuje cztery rozwiązania odpowiadające dwóm wyborom znaku θ i dwóm wyborom dla C . Pozostałe cztery rozwiązania można otrzymać tą samą metodą, stosując podstawienia dla r _s i ds _s wskazane na rycinie 8. Tak więc wszystkie osiem rozwiązań ogólnego problemu Apoloniusza można znaleźć tą metodą.

Wszelkie początkowe dwa rozłączne dane okręgi można uczynić koncentrycznymi w następujący sposób. Skonstruowana jest oś radykalna dwóch podanych okręgów; wybierając dwa dowolne punkty P i Q na tej osi radykalnej, można skonstruować dwa okręgi, które są wyśrodkowane na P i Q i przecinają dwa podane okręgi prostopadle. Te dwa skonstruowane okręgi przecinają się w dwóch punktach. Odwrócenie w jednym takim punkcie przecięcia F powoduje, że skonstruowane okręgi stają się liniami prostymi wychodzącymi z F a dwa podane okręgi w koncentryczne okręgi, przy czym trzeci dany okrąg staje się kolejnym kołem (ogólnie). Wynika to z faktu, że układ okręgów jest równoważny zbiorowi kół apollińskich , tworząc dwubiegunowy układ współrzędnych .

Zmiana rozmiaru i inwersja

Przydatność inwersji można znacznie zwiększyć, zmieniając rozmiar. Jak zauważono w rekonstrukcji Viète , trzy podane koła i koło rozwiązania można zmieniać jednocześnie, zachowując ich styczność. W ten sposób początkowy problem Apoloniusza zostaje przekształcony w inny problem, który może być łatwiejszy do rozwiązania. Na przykład rozmiar czterech okręgów można zmienić tak, aby jeden dany okrąg został zmniejszony do punktu; alternatywnie, często można zmienić rozmiar dwóch podanych okręgów, tak aby były styczne do siebie. Po trzecie, dane przecinające się okręgi można zmienić tak, aby stały się nieprzecinające, po czym można zastosować metodę odwracania do pierścienia . We wszystkich takich przypadkach rozwiązanie pierwotnego problemu Apoloniusza uzyskuje się z rozwiązania przekształconego problemu przez cofnięcie zmiany rozmiaru i odwrócenia.

Zmniejszenie jednego podanego okręgu do punktu

W pierwszym podejściu dane okręgi kurczą się lub pęcznieją (odpowiednio do ich styczności), aż jeden dany okrąg skurczy się do punktu P . W takim przypadku problem Apoloniusza degeneruje się do przypadku granicznego CCP , który jest problemem znalezienia koła rozwiązania stycznego do dwóch pozostałych danych okręgów przechodzących przez punkt P . Inwersja w okręgu o środku na P przekształca dwa podane okręgi w nowe okręgi, a okrąg z rozwiązaniem w prostą. Dlatego przekształcone rozwiązanie jest linią styczną do dwóch przekształconych danych okręgów. Istnieją cztery takie linie rozwiązań, które można zbudować z zewnętrznych i wewnętrznych homotetycznych centrów dwóch okręgów. Ponowna inwersja w P a cofnięcie zmiany rozmiaru przekształca taką linię rozwiązania w pożądane koło rozwiązań pierwotnego problemu Apoloniusza. Wszystkie osiem ogólnych rozwiązań można uzyskać, zmniejszając i rozszerzając okręgi zgodnie z różnymi wewnętrznymi i zewnętrznymi stycznościami każdego rozwiązania; jednak różne dane okręgi można zmniejszyć do punktu dla różnych rozwiązań.

Zmiana rozmiaru dwóch podanych okręgów na styczność

W drugim podejściu promienie danych okręgów są odpowiednio modyfikowane o wielkość Δ r tak, aby dwa z nich były styczne (stykające się). Ich punkt styczności jest wybrany jako środek odwrócenia w okręgu , który przecina każdy z dwóch stykających się okręgów w dwóch miejscach. Po odwróceniu stykające się okręgi stają się dwiema równoległymi liniami: ich jedyny punkt przecięcia jest skierowany w nieskończoność podczas odwrócenia, więc nie mogą się spotkać. Ta sama inwersja przekształca trzeci okrąg w inny okrąg. Rozwiązaniem odwróconego problemu musi być albo (1) prosta równoległa do dwóch danych równoległych i styczna do przekształconego trzeciego podanego okręgu; lub (2) okrąg o stałym promieniu, który jest styczny do dwóch danych równoległych i przekształconego danego okręgu. Ponowne odwrócenie i dostosowanie promieni wszystkich okręgów o Δ r tworzy okrąg rozwiązania styczny do trzech pierwotnych okręgów.

Rozwiązanie Gergonne'a

Rysunek 9: Dwie linie styczne dwóch punktów stycznych danego okręgu przecinają się na osi rodnikowej R (linia czerwona) dwóch okręgów rozwiązania (różowy). Trzy punkty przecięcia na R to bieguny linii łączących niebieskie punkty styczne w każdym danym okręgu (czarnym).

Podejście Gergonne polega na rozważeniu kręgów rozwiązań w parach. Oznaczmy parę kół z rozwiązaniami jako C _A i C _B (różowe kółka na rycinie 6), a ich punkty styczne z trzema danymi okręgami oznaczmy jako A ₁ , A ₂ , A ₃ i B ₁ , B ₂ , B3 _, odpowiednio. Rozwiązanie Gergonne'a ma na celu zlokalizowanie tych sześciu punktów, a tym samym rozwiązanie dwóch kręgów rozwiązań.

Gergonne spostrzegł, że gdyby linię L ₁ można było skonstruować w taki sposób, że A ₁ i B ₁ miałyby na nią spadać, te dwa punkty można by zidentyfikować jako punkty przecięcia linii L ₁ z danym okręgiem C ₁ (Rysunek 6). Pozostałe cztery punkty styczne byłyby zlokalizowane podobnie, poprzez znalezienie linii L ₂ i L ₃ , które zawierały A ₂ i B ₂ oraz A ₃ i B3 _, odpowiednio. Aby skonstruować linię taką jak L ₁ , należy zidentyfikować dwa leżące na niej punkty; ale te punkty nie muszą być punktami stycznymi. Gergonne był w stanie zidentyfikować dwa inne punkty dla każdej z trzech linii. Jeden z dwóch punktów został już zidentyfikowany: radykalny środek G leży na wszystkich trzech liniach (Rysunek 6).

Aby zlokalizować drugi punkt na prostych L ₁ , L ₂ i L _{3 , Gergonne} zauważył wzajemną zależność między tymi prostymi a pierwiastkową osią R kół rozwiązania, CA i C _B . Aby zrozumieć tę wzajemną zależność, rozważmy dwie styczne do okręgu C ₁ narysowane w jego punktach stycznych A ₁ i B ₁ z kręgami rozwiązań; punkt przecięcia tych stycznych jest biegunem L ₁ w C ₁ . Ponieważ odległości od tego punktu biegunowego do punktów stycznych A ₁ i B ₁ są równe, ten punkt biegunowy musi z definicji leżeć na osi pierwiastkowej R okręgów z rozwiązaniami (Rysunek 9). Zależność między punktami biegunowymi a ich liniami biegunowymi jest wzajemna; jeśli biegun L ₁ w C ₁ leży na R , biegun R w C ₁ musi odwrotnie leżeć na L ₁ . Tak więc, jeśli możemy skonstruować R , możemy znaleźć jego biegun P ₁ w C ₁ , dając potrzebny drugi punkt na L ₁ (Rysunek 10).

Rysunek 10: Bieguny (czerwone punkty) osi radykalnej R w trzech podanych okręgach (czarne) leżą na zielonych liniach łączących punkty styczne. Linie te mogą być zbudowane z biegunów i radykalnego środka (pomarańczowy).

Gergonne znalazł radykalną oś R nieznanych kręgów rozwiązań w następujący sposób. Każda para kół ma dwa centra podobieństwa ; te dwa punkty to dwa możliwe przecięcia dwóch stycznych do dwóch okręgów. Dlatego trzy dane koła mają sześć centrów podobieństwa, po dwa dla każdej odrębnej pary danych okręgów. Co ciekawe, te sześć punktów leży na czterech liniach, po trzy punkty na każdej linii; ponadto każda linia odpowiada osi rodnikowej potencjalnej pary kręgów rozwiązań. Aby to pokazać, Gergonne rozważył linie przechodzące przez odpowiednie punkty styczności na dwóch z podanych okręgów, np. linię wyznaczoną przez A ₁ / A ₂ i prostą wyznaczoną przez B ₁ / B ₂ . Niech X ₃ będzie środkiem podobieństwa dla dwóch okręgów C ₁ i C ₂ ; następnie A ₁ / A ₂ i B ₁ / B ₂ są parami antyhomologicznych punktów , a ich proste przecinają się w X ₃ . Wynika z tego, że iloczyny odległości są równe

${\ Displaystyle {\ overline {X_ {3} A_ {1}}} \ cdot {\ overline {X_ {3} A_{2}}}={\overline {X_{3}B_{1}}}\cdot {\overline {X_{3}B_{2}}}}$

co implikuje, że X ₃ leży na rodnikowej osi dwóch kręgów rozwiązań. Ten sam argument można zastosować do innych par okręgów, tak że trzy środki podobieństwa dla danych trzech okręgów muszą leżeć na osiach pierwiastków par kół z rozwiązaniami.

Podsumowując, pożądana prosta L ₁ jest określona przez dwa punkty: rodnikowy środek G trzech danych okręgów i biegun w C ₁ jednej z czterech linii łączących homotetyczne centra. Znalezienie tego samego bieguna w C ₂ i C ₃ daje L ₂ i L ₃ odpowiednio; w ten sposób można zlokalizować wszystkie sześć punktów, z których można znaleźć jedną parę kół rozwiązań. Powtórzenie tej procedury dla pozostałych trzech homotetycznych linii środkowych daje sześć kolejnych rozwiązań, co daje w sumie osiem rozwiązań. Jeśli jednak prosta L _k nie przecina swojego okręgu C _k przez jakieś k , to nie ma pary rozwiązań dla tej homotetycznej linii środkowej.

Teoria przecięcia

Techniki współczesnej geometrii algebraicznej , aw szczególności teoria przecięć , mogą być wykorzystane do rozwiązania problemu Apoloniusza. W tym podejściu problem jest reinterpretowany jako stwierdzenie o okręgach w zespolonej płaszczyźnie rzutowej . Dozwolone są rozwiązania obejmujące liczby zespolone, a sytuacje zdegenerowane są liczone z krotnością. Gdy tak się stanie, zawsze istnieje osiem rozwiązań problemu.

Każde równanie kwadratowe w X , Y i Z określa unikalny stożek, jego znikające miejsce. I odwrotnie, każdy stożek w złożonej płaszczyźnie rzutowej ma równanie, a równanie to jest unikalne aż do ogólnego współczynnika skalowania (ponieważ przeskalowanie równania nie zmienia jego znikającego miejsca). Zatem zbiór wszystkich stożków można sparametryzować pięciowymiarową przestrzenią rzutową P ⁵ , gdzie zgodność jest

${\ Displaystyle \ {[X: Y: Z] \ w \ mathbf {P} ^ {2} \ dwukropek AX ^ {2} + BXY + CY ^ {2} + DXZ + EYZ + FZ ^ {2} = 0 \}\leftrightarrow [A:B:C:D:E:F]\in \mathbf {P} ^{5}.}$

Okrąg w zespolonej płaszczyźnie rzutowej definiuje się jako stożek przechodzący przez dwa punkty O + ₌ [1: i : 0] i O _- = [1: - i : 0] , gdzie i oznacza pierwiastek kwadratowy z - 1 . Punkty O ₊ i O ₋ nazywane są punktami kołowymi . Rzutowa rozmaitość wszystkich kół jest podrozmaitością P ⁵ składający się z tych punktów, które odpowiadają stożkom przechodzącym przez okrągłe punkty. Podstawiając kołowe punkty do równania dla ogólnego stożka, otrzymujemy dwa równania

${\ Displaystyle A + Bi-C = 0,}$

${\ Displaystyle A-Bi-C = 0.}$

Biorąc pod uwagę sumę i różnicę tych równań, okazuje się, że jest to równoznaczne z nałożeniem warunków

${\ Displaystyle A = C}$ i ${\ Displaystyle B = 0}$ .

Zatem rozmaitość wszystkich okręgów jest trójwymiarową podprzestrzenią liniową P ⁵ . Po przeskalowaniu i uzupełnieniu kwadratu równania te pokazują również, że każdy stożek przechodzący przez punkty kołowe ma równanie postaci

${\ Displaystyle (X-aZ) ^ {2} + (Y-bZ) ^ {2} = r ^ {2} Z ^{2},}$

co jest homogenizacją zwykłego równania koła na płaszczyźnie afinicznej. Dlatego badanie kręgów w powyższym sensie jest prawie równoważne z badaniem kręgów w konwencjonalnym sensie. Jedyna różnica polega na tym, że powyższy sens dopuszcza okręgi zdegenerowane, które są połączeniem dwóch linii. Koła niezdegenerowane nazywane są kołami gładkimi , a zdegenerowane kołami osobliwymi . Istnieją dwa rodzaje pojedynczych kręgów. Jeden to suma linii w nieskończoności Z = 0 0 z inną linią na płaszczyźnie rzutowej (być może ponownie linią w nieskończoności), a drugą jest połączeniem dwóch linii na płaszczyźnie rzutowej, po jednej przechodzącej przez każdy z dwóch okrągłych punktów. Są to granice gładkich okręgów, gdy promień r dąży odpowiednio do +∞ i . W tym drugim przypadku żaden punkt na żadnej z dwóch linii nie ma rzeczywistych współrzędnych, z wyjątkiem początku [0: 0: 1] .

Niech D będzie ustalonym gładkim kołem. Jeśli C jest jakimkolwiek innym kołem, to zgodnie z definicją koła C i D przecinają się w kolistych punktach O ₊ i O _- . Ponieważ C i D są stożkami, z twierdzenia Bézouta wynika , że ​​C i D przecinają się łącznie w czterech punktach, gdy punkty te są liczone z odpowiednią krotnością przecięcia . Oznacza to, że są cztery punkty przecięcia O ₊ , O ₋ , P i Q , ale niektóre z tych punktów mogą się kolidować. Problem Appoloniusza dotyczy sytuacji, w której P = Q , co oznacza, że ​​krotność przecięcia w tym punkcie wynosi 2 ; jeśli P jest również równe punktowi kołowemu, należy to interpretować jako krotność przecięcia wynoszącą 3 .

Niech Z _D będzie rozmaitością okręgów stycznych do D . Ta odmiana to czworokątny stożek w P ³ wszystkich okręgów. Aby to zobaczyć, rozważ korespondencję dotyczącą incydentów

${\ Displaystyle \ Phi = \ {(r, C) \ w D \ razy \ mathbf {P} ^ {3} \ dwukropek C {\ tekst {jest styczny do}} D {\ tekst {w}} r \} .}$

Dla krzywej, która jest zanikającym miejscem pojedynczego równania f = 0 , warunek, że krzywa spełnia D w r z krotnością m oznacza, że ​​rozwinięcie w szereg Taylora funkcji f | _D znika na zamówienie m w r ; jest to zatem m warunków liniowych na współczynnikach f . To pokazuje, że dla każdego r włókno Φ nad r jest P ¹ wycięty dwoma równaniami liniowymi w przestrzeni kół. W konsekwencji Φ jest nieredukowalny wymiaru 2 . ZD _Ponieważ możliwe jest pokazanie okręgu, który jest styczny do D tylko w jednym punkcie, ogólny element musi być styczny tylko w jednym punkcie. Dlatego projekcja Φ → P ² wysyłająca ( r , C ) do C jest morfizmem biracjonalnym . Wynika z tego, że obraz Φ , czyli Z _D , jest również nieredukowalny i dwuwymiarowy.

Aby określić kształt Z _D , ustal dwa różne okręgi C ₀ i C _∞ , niekoniecznie styczne do D . Te dwa okręgi określają ołówek , czyli linię L w P ³ okręgów. Jeśli równania C ₀ i C _∞ to odpowiednio f i g , to punkty na L odpowiadają okręgom, których równania to Sf + Tg , gdzie [ S : T ] jest punktem P ¹ . Punkty, w których L styka się z _ZD, to dokładnie te okręgi ołówka, które są styczne do D.

Istnieją dwie możliwości liczby punktów przecięcia. Jednym z nich jest to, że f lub g , powiedzmy f , jest równaniem dla D. W tym przypadku L jest linią przechodzącą przez D . Jeśli C _∞ jest styczne do D , to tak samo jest z każdym okręgiem na ołówku, a zatem L jest zawarte w Z _D . Inną możliwością jest to, że ani f , ani g nie są równaniami dla D . W tym przypadku funkcja ( f / g )| _D jest ilorazem kwadratów, z których żaden nie znika identycznie. Dlatego znika w dwóch punktach i ma bieguny w dwóch punktach. Są to odpowiednio punkty w ₀ C ∩ D i C _∞ ∩ D , liczone z krotnością i po odjęciu okrągłych punktów. Funkcja wymierna określa morfizm D → P ¹ drugiego stopnia. Włókno nad [ S : T ] ∈ P ¹ jest zbiorem punktów P , dla których f ( P ) T = g ( P ) S . Są to dokładnie punkty, w których okrąg o równaniu Tf − Sg styka się z D . Punktami gałęzi tego morfizmu są okręgi styczne do D . Zgodnie ze wzorem Riemanna-Hurwitza istnieją dokładnie dwa punkty rozgałęzienia, a zatem L spotyka Z _D w dwóch punktach. Razem te dwie możliwości przecięcia L i Z _D pokazują, że Z _D jest stożkiem kwadratowym. Wszystkie takie stożki w P ³ są takie same aż do zmiany współrzędnych, więc to całkowicie determinuje kształt Z _D .

Aby zakończyć argumentację, niech D ₁ , D ₂ i D ₃ będą trzema okręgami. Jeżeli przecięcie Z _{D 1} ∩ Z _{D 2} ∩ Z _{D 3} jest skończone, to ma stopień 2 ³ = 8 , a zatem istnieje osiem rozwiązań problemu Apoloniusza, liczonych z krotnością. Aby udowodnić, że przecięcie jest ogólnie skończone, rozważ korespondencję incydentów

${\ Displaystyle \ Psi = \ {(D_ {1}, D_ {2}, D_ {3}, C) \ w (\ mathbf {P} ^ {3}) ^ {4} \ dwukropek C {\ tekst { jest styczna do wszystkich }}D_{i}\}.}$

Istnieje morfizm, który rzutuje Ψ na swój końcowy czynnik P ³ . Włókno ZC3 _{_} ^nad C to . To ma wymiar 6 , więc Ψ ma wymiar 9 . Ponieważ ( P ³ ) ³ ma również wymiar 9 , włókno rodzajowe rzutu z Ψ do pierwszych trzech czynników nie może mieć wymiaru pozytywnego. Dowodzi to, że ogólnie istnieje osiem rozwiązań liczonych z krotnością. Ponieważ możliwe jest pokazanie konfiguracji, w której osiem rozwiązań jest różnych, ogólna konfiguracja musi mieć różne osiem rozwiązań.

promienie

W ogólnym problemie z ośmioma okręgami rozwiązań odwrotności promieni czterech okręgów rozwiązań sumują się do tej samej wartości, co odwrotności promieni pozostałych czterech okręgów rozwiązań

Przypadki specjalne

Dziesięć kombinacji punktów, okręgów i linii

Główny artykuł: Szczególne przypadki problemu Apoloniusza

Problem Apoloniusza polega na skonstruowaniu jednego lub więcej okręgów stycznych do trzech danych obiektów na płaszczyźnie, którymi mogą być okręgi, punkty lub linie. Daje to początek dziesięciu typom problemu Apoloniusza, po jednym odpowiadającym każdej kombinacji okręgów, linii i punktów, które można oznaczyć trzema literami: C , L lub P , aby określić, czy dane elementy są okręgiem, linią lub odpowiednio punkt ( Tabela 1 ). Na przykład typ problemu Apoloniusza z danym okręgiem, linią i punktem jest oznaczony jako CLP .

Niektóre z tych szczególnych przypadków są znacznie łatwiejsze do rozwiązania niż ogólny przypadek trzech danych okręgów. Dwa najprostsze przypadki to problemy rysowania okręgu przez trzy dane punkty ( PPP ) lub styczne do trzech prostych ( LLL ), które po raz pierwszy rozwiązał Euklides w swoich Elementach . Na przykład PPP można rozwiązać w następujący sposób. Środek koła rozwiązania jest jednakowo oddalony od wszystkich trzech punktów, a zatem musi leżeć na prostopadłej dwusiecznej linia dowolnych dwóch. Stąd środek jest punktem przecięcia dowolnych dwóch prostopadłych dwusiecznych. Podobnie w LLL środek musi leżeć na linii przecinającej kąt w trzech punktach przecięcia między trzema podanymi prostymi; stąd środek leży w punkcie przecięcia dwóch takich dwusiecznych kątów. Ponieważ w każdym punkcie przecięcia trzech danych prostych znajdują się dwie takie dwusieczne, istnieją cztery rozwiązania ogólnego problemu LLL ( okrąg zamknięty i zamknięty trójkąta utworzonego przez trzy proste).

Punkty i linie mogą być postrzegane jako szczególne przypadki okręgów; punkt można uważać za okrąg o nieskończenie małym promieniu, a linię za nieskończenie duży okrąg, którego środek również znajduje się w nieskończoności. Z tej perspektywy ogólny problem Apoloniusza polega na konstruowaniu okręgów stycznych do trzech danych okręgów. Dziewięć innych przypadków dotyczących punktów i linii można uznać za przypadki ograniczające ogólnego problemu. Te przypadki ograniczające często mają mniej rozwiązań niż ogólny problem; na przykład zastąpienie danego koła danym punktem zmniejsza o połowę liczbę rozwiązań, ponieważ punkt można interpretować jako nieskończenie mały okrąg, który jest styczny wewnętrznie lub zewnętrznie.

Tabela 1: Dziesięć rodzajów problemu Apoloniusza

Indeks	Kod	Dane elementy	Liczba rozwiązań (ogólnie)	Przykład (rozwiązanie na różowo; podane obiekty na czarno)
1	PPP	trzy punkty	1
2	LPP	jedna linia i dwa punkty	2
3	spółka z ograniczoną odpowiedzialnością	dwie linie i punkt	2
4	CPP	jedno koło i dwa punkty	2
5	LLL	trzy linie	4
6	CLP	jedno koło, jedna prosta i punkt	4
7	KPCh	dwa okręgi i punkt	4
8	PBL	jedno kółko i dwie linie	8
9	CCL	dwa okręgi i linia	8
10	CCC	trzy koła (klasyczny problem)	8

Liczba rozwiązań

Rysunek 11: Problem Apoloniusza bez rozwiązań. Koło rozwiązania (różowe) musi przecinać przerywane koło (czarne), aby dotknąć obu pozostałych podanych kół (również czarnych).

Problem zliczania liczby rozwiązań różnych typów problemu Apoloniusza należy do dziedziny geometrii wyliczeniowej . Ogólną liczbę rozwiązań dla każdego z dziesięciu typów problemu Apoloniusza podano w tabeli 1 powyżej. Jednak specjalne układy danych elementów mogą zmienić liczbę rozwiązań. Dla ilustracji, problem Apoloniusza nie ma rozwiązania, jeśli jedno koło oddziela te dwa (ryc. 11); aby dotknąć obu pełnych podanych kół, koło z rozwiązaniem musiałoby przeciąć przerywane kółko; ale nie może tego zrobić, jeśli ma stycznie dotknąć przerywanego koła. I odwrotnie, jeśli trzy dane okręgi są wszystkie styczne w tym samym punkcie, to każdy okrąg styczny w tym samym punkcie jest rozwiązaniem; takie problemy Apoloniusza mają nieskończoną liczbę rozwiązań. Jeśli którykolwiek z podanych okręgów jest identyczny, istnieje również nieskończoność rozwiązań. Jeśli tylko dwa podane koła są identyczne, istnieją tylko dwa różne dane koła; środki kręgów rozwiązań tworzą hiperbolę , stosowaną w jednym rozwiązaniu problemu Apoloniusza.

Wyczerpujące wyliczenie liczby rozwiązań dla wszystkich możliwych konfiguracji trzech danych okręgów, punktów lub linii zostało po raz pierwszy podjęte przez Muirheada w 1896 r., Chociaż wcześniejsze prace wykonali Stoll i Study. Jednak praca Muirheada była niekompletna; został rozszerzony w 1974 r., a ostateczne wyliczenie z 33 różnymi przypadkami opublikowano w 1983 r. Chociaż rozwiązania problemu Apoloniusza generalnie występują w parach powiązanych przez inwersję , w niektórych przypadkach możliwa jest nieparzysta liczba rozwiązań, np. pojedyncze rozwiązanie dla PPP , lub gdy jeden lub trzy z podanych okręgów same są rozwiązaniami. (Przykład tego ostatniego podano w części dotyczącej twierdzenia Kartezjusza ). Jednak nie ma problemów Apoloniusza z siedmioma rozwiązaniami. Opracowano alternatywne rozwiązania oparte na geometrii okręgów i sfer, które zastosowano w wyższych wymiarach.

Okręgi dane wzajemnie styczne: okręgi Soddy'ego i twierdzenie Kartezjusza

Jeśli trzy podane okręgi są wzajemnie styczne, problem Apoloniusza ma pięć rozwiązań. Trzy rozwiązania są samymi podanymi okręgami, ponieważ każdy jest styczny do siebie i do dwóch pozostałych danych okręgów. Pozostałe dwa rozwiązania (pokazane na czerwono na ryc. 12) odpowiadają okręgom wpisanym i opisanym na okręgu i nazywane są okręgami Soddy'ego . Ten szczególny przypadek problemu Apoloniusza jest również znany jako problem czterech monet . Trzy podane okręgi tego problemu Apoloniusza tworzą łańcuch Steinera styczny do dwóch okręgów Soddy'ego.

Rysunek 12: Dwa rozwiązania (kolor czerwony) problemu Apoloniusza ze stycznymi do siebie okręgami (kolor czarny), oznaczone ich krzywiznami.

Każdy okrąg Soddy'ego, wzięty razem z trzema podanymi okręgami, tworzy zestaw czterech okręgów, które są wzajemnie styczne w sześciu punktach. Promienie tych czterech okręgów są powiązane równaniem znanym jako twierdzenie Kartezjusza . W liście z 1643 r. do księżnej Elżbiety Czeskiej René Descartes pokazał to

${\ Displaystyle (k_ {1} + k_ {2} + k_ {3 }+k_{s})^{2}=2(k_{1}^{2}+k_{2}^{2}+k_{3}^{2}+k_{s}^{2}) }$

gdzie k _s = 1/ r _s i r _s to odpowiednio krzywizna i promień koła rozwiązania, i podobnie dla krzywizn k ₁ , k ₂ i k ₃ oraz promieni r ₁ , r ₂ i r ₃ z trzech danych kręgi. Dla każdego zestawu czterech wzajemnie stycznych okręgów istnieje drugi zestaw czterech wzajemnie stycznych okręgów, które są styczne w tych samych sześciu punktach.

Twierdzenie Kartezjusza zostało ponownie odkryte niezależnie w 1826 roku przez Jakoba Steinera , w 1842 roku przez Philipa Beecrofta i ponownie w 1936 roku przez Fredericka Soddy'ego . Soddy opublikował swoje odkrycia w czasopiśmie naukowym Nature jako wiersz The Kiss Precise , którego pierwsze dwie strofy są reprodukowane poniżej. Pierwsza strofa opisuje kręgi Soddy'ego, podczas gdy druga strofa podaje twierdzenie Kartezjusza. W wierszu Soddy'ego mówi się, że dwa koła „całują się”, jeśli są styczne, podczas gdy termin „zgięcie” odnosi się do krzywizny k koła.

Może dla par ust do pocałunku Nie wymaga trygonometrii. Nie tak jest, gdy cztery kręgi całują się wzajemnie z pozostałymi trzema. Aby to usunąć, czwórka musi być jak trzy w jednym lub jeden w trzech. Jeśli jeden na trzech, bez wątpienia Każdy dostaje trzy pocałunki z zewnątrz. Jeśli trzy w jednym, to ten trzykrotnie pocałowany wewnętrznie.

Nadchodzą cztery kręgi do całowania. Mniejsze są wygięte. Zakręt jest po prostu odwrotnością odległości od środka. Chociaż ich intryga sprawiła, że ​​Euclid oszalał, teraz nie ma potrzeby stosowania praktycznych zasad. Ponieważ zgięcie zerowe jest martwą linią prostą , a zakręty wklęsłe mają znak minus, suma kwadratów wszystkich czterech zagięć jest połową kwadratu ich sumy.

Różne rozszerzenia twierdzenia Kartezjusza zostały wyprowadzone przez Daniela Pedoe .

Uogólnienia

Problem Apoloniusza można rozszerzyć, aby skonstruować wszystkie okręgi, które przecinają trzy dane okręgi pod dokładnym kątem θ lub pod trzema określonymi kątami przecięcia θ ₁ , θ ₂ i θ ₃ ; zwykły problem Apoloniusza odpowiada szczególnemu przypadkowi, w którym kąt przecięcia wynosi zero dla wszystkich trzech danych okręgów. Innym uogólnieniem jest podwójność pierwszego rozszerzenia, a mianowicie konstruowanie okręgów o trzech określonych odległościach stycznych od trzech danych okręgów.

Ryc. 13: Symetryczna uszczelka apollińska, zwana także uszczelką Leibniza, na cześć jej wynalazcy Gottfrieda Leibniza .

Problem Apoloniusza można rozszerzyć z płaszczyzny na kulę i inne powierzchnie kwadratowe . Dla kuli problem polega na skonstruowaniu wszystkich okręgów (granic kulistych czapek ), które są styczne do trzech danych okręgów na kuli. Ten sferyczny problem można przekształcić w odpowiedni problem planarny za pomocą projekcji stereograficznej . Po skonstruowaniu rozwiązań problemu płaskiego, odpowiednie rozwiązania problemu sferycznego można określić, odwracając projekcję stereograficzną. Jeszcze bardziej ogólnie można rozważyć problem czterech stycznych krzywych, które wynikają z przecięcia dowolnej powierzchni kwadratowej i czterech płaszczyzn, problem po raz pierwszy rozważany przez Karol Dupin .

Wielokrotnie rozwiązując problem Apoloniusza, aby znaleźć wpisany okrąg, szczeliny między wzajemnie stycznymi okręgami można dowolnie dokładnie wypełnić, tworząc apollińską uszczelkę , znaną również jako upakowanie Leibniza lub upakowanie apollińskie . Ta uszczelka jest fraktalem , jest samopodobna i ma wymiar d , który nie jest dokładnie znany, ale wynosi w przybliżeniu 1,3, czyli więcej niż regularna (lub prostowalna ) krzywa ( d = 1), ale mniejsza niż płaszczyzna ( zm = 2). Uszczelka apollińska została po raz pierwszy opisana przez Gottfrieda Leibniza w XVII wieku i jest zakrzywionym prekursorem XX-wiecznego trójkąta Sierpińskiego . Uszczelka apollińska ma również głębokie powiązania z innymi dziedzinami matematyki; na przykład jest to zbiór graniczny grup Kleinowskich .

Konfiguracja koła stycznego do czterech okręgów na płaszczyźnie ma szczególne właściwości, które zostały wyjaśnione przez Larmora (1891) i Lachlana (1893). Taka konfiguracja jest również podstawą twierdzenia Caseya , które samo w sobie jest uogólnieniem twierdzenia Ptolemeusza .

Rozszerzenie problemu Apoloniusza na trzy wymiary, a mianowicie problem znalezienia piątej sfery stycznej do czterech danych sfer, można rozwiązać analogicznymi metodami. Na przykład sfery danej i sfery rozwiązania można zmienić tak, aby jedna dana kula została zmniejszona do punktu przy zachowaniu styczności. Odwrócenie w tym punkcie sprowadza problem Apoloniusza do znalezienia płaszczyzny stycznej do trzech danych sfer. Na ogół istnieje osiem takich płaszczyzn, które stają się rozwiązaniami pierwotnego problemu poprzez odwrócenie inwersji i zmianę rozmiaru. Problem ten został po raz pierwszy rozważony przez Pierre'a de Fermata , a na przestrzeni wieków opracowano wiele alternatywnych metod rozwiązania.

Problem Apoloniusza można nawet rozszerzyć na wymiary d , aby skonstruować hipersfery styczne do danego zestawu hipersfer d + 1 . Po opublikowaniu ponownego wyprowadzenia twierdzenia Kartezjusza przez Fredericka Soddy'ego w 1936 r. Kilka osób rozwiązało (niezależnie) wzajemnie styczny przypadek odpowiadający okręgom Soddy'ego w wymiarach d .

Aplikacje

Głównym zastosowaniem problemu Apoloniusza, sformułowanego przez Izaaka Newtona, jest trilateracja hiperboliczna , która ma na celu określenie pozycji na podstawie różnic odległości do co najmniej trzech punktów. Na przykład statek może starać się określić swoją pozycję na podstawie różnic w czasach nadejścia sygnałów z trzech zsynchronizowanych nadajników. Rozwiązania problemu Apoloniusza zostały wykorzystane podczas I wojny światowej do określenia położenia działa artyleryjskiego od momentu usłyszenia wystrzału w trzech różnych miejscach, a trilateracja hiperboliczna jest zasadą stosowaną przez System Decca Navigator i LORAN . Podobnie położenie statku powietrznego można określić na podstawie różnicy czasów przybycia sygnału jego transpondera do czterech stacji odbiorczych. Ten multilateracji jest równoważny trójwymiarowemu uogólnieniu problemu Apoloniusza i ma zastosowanie do globalnych systemów nawigacji satelitarnej (patrz Interpretacja GPS # Geometric ). Służy również do określania pozycji wzywających zwierząt (takich jak ptaki i wieloryby), chociaż problem Apoloniusza nie dotyczy, jeśli prędkość dźwięku zmienia się w zależności od kierunku (tzn. medium transmisyjne nie jest izotropowe ).

Problem Apoloniusza ma inne zastosowania. W Księdze 1, Twierdzenie 21 w swoich Principia , Izaak Newton wykorzystał swoje rozwiązanie problemu Apoloniusza do skonstruowania orbity w mechanice nieba od środka przyciągania i obserwacji linii stycznych do orbity odpowiadającej prędkości chwilowej . Szczególny przypadek problemu Apoloniusza, gdy wszystkie trzy okręgi są styczne, jest używany w metodzie analitycznej teorii liczb Hardy'ego-Littlewooda do skonstruowania Hansa Rademachera kontur dla złożonej integracji, określony przez granice nieskończonego zestawu kręgów Forda , z których każdy styka się z kilkoma innymi. Wreszcie problem Apoloniusza został zastosowany do niektórych rodzajów problemów z pakowaniem , które pojawiają się w różnych dziedzinach, takich jak kody korekcji błędów stosowane na płytach DVD i projektowanie farmaceutyków, które wiążą się z określonym enzymem patogennej bakterii .

Zobacz też

• Punkt Apoloniusza
• Twierdzenie Apoloniusza
• Punkt izodynamiczny trójkąta

Dalsza lektura

•   Boyd, DW (1973). „Oskulacyjne upakowanie trójwymiarowej kuli” . Kanadyjski Dziennik Matematyki . 25 (2): 303–322. doi : 10.4153/CJM-1973-030-5 . S2CID 120042053 .
•   Calandreau, Édouard (1949). Célèbres problèmes mathématiques (w języku francuskim). Paryż: Albin Michel. s. 219–226. OCLC 61042170 .
• Camerer, JG (1795). Apollonii de Tactionibus, quae supersunt, ac maxime lemmata Pappi, in hos libros Graece nunc primum edita, e codicibus manuskrypt, cum Vietae librorum Apollonii restitutione, adjectis obserwacja ibus, computationibus, ac problematis Apolloniani historia (po łacinie) . Gothae: Ettinger.
• Gisch D, Ribando JM (2004). „Problem Apoloniusza: studium rozwiązań i ich powiązań” (PDF) . American Journal of Research licencjackich . 3 : 15–25. doi : 10.33697/ajur.2004.010 .
•   Pappus z Aleksandrii (1933). Pappus d'Alexandrie: La collection mathématique (po francusku). Paryż. OCLC 67245614 . Tłum., wstęp i notatki Paula Vera Eecke.
• Szymon M. (1906). Über die Entwicklung der Elementargeometrie im XIX. Jahrhunderta (w języku niemieckim). Berlin: Teubner. s. 97–105.
•   Wells, D (1991). Słownik pingwinów o ciekawej i interesującej geometrii . Nowy Jork: Penguin Books. s. 3–5 . ISBN 0-14-011813-6 .

Linki zewnętrzne

• „Zapytaj dr Math rozwiązanie” . Mathforum . Źródło 2008-05-05 .
• Weisstein, Eric W. „Problem Apoloniusza” . MathWorld .
• „Problem Apoloniusza” . Przetnij węzeł . Źródło 2008-05-05 .
• Kukiel, Paweł. „Okręgi styczne” . Aleja Whistlera . Źródło 2008-05-05 .
• Austin, David (marzec 2006). „Kiedy całowanie obejmuje trygonometrię” . Kolumna fabularna na stronie internetowej Amerykańskiego Towarzystwa Matematycznego . Źródło 2008-05-05 .