Twierdzenie Caseya

W matematyce twierdzenie Caseya , znane również jako uogólnione twierdzenie Ptolemeusza , jest twierdzeniem w geometrii euklidesowej nazwanym na cześć irlandzkiego matematyka Johna Caseya .

Sformułowanie twierdzenia

Niech będzie okręgiem o promieniu . Niech będzie (w tej kolejności) czterema nieprzecinającymi się okręgami, które leżą wewnątrz do niego. Oznacz przez długość zewnętrznego wspólnego bitangentu okręgów . Następnie:

Zauważ, że w przypadku zdegenerowanym, gdzie wszystkie cztery okręgi redukują się do punktów, jest to dokładnie twierdzenie Ptolemeusza .

Dowód

Poniższy dowód można przypisać Zachariaszowi. Oznacz okręgu przez z okręgiem przez . Użyjemy notacji , że z twierdzenia Pitagorasa

Spróbujemy wyrazić tę długość za pomocą punktów. . Zgodnie z prawem cosinusów w trójkącie ,

Ponieważ okręgi styczne do siebie:

Niech będzie punktem na okręgu . Zgodnie z sinusów w trójkącie :

Dlatego,

i zastępując je w powyższym wzorze:

I wreszcie długość, której szukamy, to

Możemy teraz ocenić lewą stronę za pomocą oryginalnego twierdzenia Ptolemeusza zastosowanego do wpisanego czworoboku :

Dalsze uogólnienia

Można zauważyć, że cztery koła nie muszą leżeć wewnątrz dużego koła. W rzeczywistości mogą być do niego styczne również z zewnątrz. W takim przypadku należy dokonać następującej zmiany:

O są styczne z tej samej strony (zarówno wewnątrz, jak i na zewnątrz), to długość zewnętrznej wspólnej stycznej.

O z różnych stron (jeden wchodzący i jeden wychodzący), jest długością wewnętrznej wspólnej stycznej.

Odwrotność twierdzenia Caseya jest również prawdziwa. Oznacza to, że jeśli zachodzi równość, okręgi są styczne do wspólnego okręgu.

Aplikacje

Twierdzenie Caseya i jego odwrotność można wykorzystać do udowodnienia różnych stwierdzeń w geometrii euklidesowej . Na przykład najkrótszy znany dowód twierdzenia Feuerbacha wykorzystuje twierdzenie odwrotne.

  1. ^ ab Casey   , J. (1866). „O równaniach i właściwościach: (1) układu okręgów stykających się z trzema okręgami na płaszczyźnie; (2) układu sfer stykających się z czterema sferami w przestrzeni; (3) układu kręgów stykających się z trzema okręgami na kuli ; (4) systemu stożków wpisanych w stożek i dotykających trzech wpisanych stożków na płaszczyźnie”. Obrady Królewskiej Akademii Irlandzkiej . 9 : 396–423. JSTOR 20488927 .
  2. ^ Bottema O. (1944). Hoofdstukken uit de Elementaire Meetkunde . (tłumaczenie Reinie Erné jako Topics in Elementary Geometry, Springer 2008, drugiego rozszerzonego wydania opublikowanego przez Epsilon-Uitgaven 1987).
  3. ^ Zachariasz, M. (1942). „Der Caseysche Satz”. Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung . 52 : 79–89.
  4. ^ a b Johnson, Roger A. (1929). Nowoczesna geometria . Houghton Mifflin, Boston (ponownie opublikowane faksymile przez Dover 1960, 2007 jako Advanced Euclidean Geometry).

Linki zewnętrzne