Niech będzie okręgiem o promieniu . Niech będzie (w tej kolejności) czterema nieprzecinającymi się okręgami, które leżą wewnątrz do niego. Oznacz przez długość zewnętrznego wspólnego bitangentu okręgów . Następnie:
Zauważ, że w przypadku zdegenerowanym, gdzie wszystkie cztery okręgi redukują się do punktów, jest to dokładnie twierdzenie Ptolemeusza .
Dowód
Poniższy dowód można przypisać Zachariaszowi. Oznacz okręgu przez z okręgiem przez . Użyjemy notacji , że z twierdzenia Pitagorasa
Spróbujemy wyrazić tę długość za pomocą punktów. . Zgodnie z prawem cosinusów w trójkącie ,
Ponieważ okręgi styczne do siebie:
Niech będzie punktem na okręgu . Zgodnie z sinusów w trójkącie :
Można zauważyć, że cztery koła nie muszą leżeć wewnątrz dużego koła. W rzeczywistości mogą być do niego styczne również z zewnątrz. W takim przypadku należy dokonać następującej zmiany:
O są styczne z tej samej strony (zarówno wewnątrz, jak i na zewnątrz), to długość zewnętrznej wspólnej stycznej.
O z różnych stron (jeden wchodzący i jeden wychodzący), jest długością wewnętrznej wspólnej stycznej.
Odwrotność twierdzenia Caseya jest również prawdziwa. Oznacza to, że jeśli zachodzi równość, okręgi są styczne do wspólnego okręgu.
Aplikacje
Twierdzenie Caseya i jego odwrotność można wykorzystać do udowodnienia różnych stwierdzeń w geometrii euklidesowej . Na przykład najkrótszy znany dowód twierdzenia Feuerbacha wykorzystuje twierdzenie odwrotne.
^ ab Casey , J. (1866). „O równaniach i właściwościach: (1) układu okręgów stykających się z trzema okręgami na płaszczyźnie; (2) układu sfer stykających się z czterema sferami w przestrzeni; (3) układu kręgów stykających się z trzema okręgami na kuli ; (4) systemu stożków wpisanych w stożek i dotykających trzech wpisanych stożków na płaszczyźnie”. Obrady Królewskiej Akademii Irlandzkiej . 9 : 396–423. JSTOR 20488927 .
^
Bottema O. (1944). Hoofdstukken uit de Elementaire Meetkunde . (tłumaczenie Reinie Erné jako Topics in Elementary Geometry, Springer 2008, drugiego rozszerzonego wydania opublikowanego przez Epsilon-Uitgaven 1987).
^ a b
Johnson, Roger A. (1929). Nowoczesna geometria . Houghton Mifflin, Boston (ponownie opublikowane faksymile przez Dover 1960, 2007 jako Advanced Euclidean Geometry).