Szczególne przypadki problemu Apoloniusza

W geometrii euklidesowej problem Apoloniusza polega na skonstruowaniu wszystkich okręgów, które są styczne do trzech danych okręgów . Szczególnymi przypadkami problemu Apoloniusza są te, w których co najmniej jeden z podanych okręgów jest punktem lub linią, tj. jest okręgiem o promieniu zerowym lub nieskończonym. Dziewięć rodzajów takich ograniczających przypadków problemu Apoloniusza polega na skonstruowaniu okręgów stycznych do:

trzy punkty (oznaczone PPP, generalnie 1 rozwiązanie)
trzy linie (oznaczone LLL, generalnie 4 rozwiązania)
jedna linia i dwa punkty (oznaczone LPP, generalnie 2 rozwiązania)
dwie linie i punkt (oznaczone LLP, generalnie 2 rozwiązania)
jeden okrąg i dwa punkty (oznaczone CPP, generalnie 2 rozwiązania)
jedno koło, jedna linia i punkt (oznaczone CLP, ogólnie 4 rozwiązania)
dwa okręgi i punkt (oznaczone CCP, generalnie 4 rozwiązania)
jedno koło i dwie linie (oznaczone CLL, ogólnie 8 rozwiązań)
dwa okręgi i linia (oznaczone CCL, ogólnie 8 rozwiązań)

W innym typie przypadku granicznego trzy podane elementy geometryczne mogą mieć specjalny układ, taki jak konstruowanie koła stycznego do dwóch równoległych linii i jednego koła.

Wstęp historyczny

Podobnie jak większość gałęzi matematyki , geometria euklidesowa zajmuje się dowodami prawd ogólnych na podstawie minimum postulatów . Na przykład prosty dowód pokazałby, że co najmniej dwa kąty trójkąta równoramiennego są równe. Jednym z ważnych rodzajów dowodów w geometrii euklidesowej jest wykazanie, że obiekt geometryczny można skonstruować za pomocą kompasu i nieoznakowanej liniału; obiekt może być skonstruowany wtedy i tylko wtedy, gdy (iff) ( bierze się coś o nie większym niż pierwiastek kwadratowy ). Dlatego ważne jest, aby ustalić, czy obiekt można zbudować za pomocą kompasu i liniału, a jeśli tak, to w jaki sposób można go zbudować.

Euclid opracował liczne konstrukcje z kompasem i liniałem. Przykłady obejmują: regularne wielokąty , takie jak pięciokąt i sześciokąt , linię równoległą do innej przechodzącą przez dany punkt itp. Wiele rozet w gotyckich katedrach , a także niektóre celtyckie sęki , można zaprojektować wyłącznie przy użyciu konstrukcji euklidesowych. Jednak niektóre konstrukcje geometryczne nie są możliwe przy użyciu tych narzędzi, w tym siedmiokąt i trisecting kąta.

Apoloniusz wniósł wiele konstrukcji, a mianowicie znalezienie okręgów stycznych do trzech elementów geometrycznych jednocześnie, gdzie „elementami” może być punkt, linia lub okrąg.

Reguły konstrukcji euklidesowych

W konstrukcjach euklidesowych dozwolonych jest pięć operacji:

Narysuj linię przechodzącą przez dwa punkty
Narysuj okrąg przechodzący przez punkt o danym środku
Znajdź punkt przecięcia dwóch prostych
Znajdź punkty przecięcia dwóch okręgów
Znajdź punkty przecięcia prostej i okręgu

Początkowe elementy w konstrukcji geometrycznej nazywane są „danymi”, takimi jak dany punkt, dana prosta lub dany okrąg.

Przykład 1: Dwusieczna prostopadła

Aby skonstruować prostopadłą dwusieczną segmentu linii między dwoma punktami, potrzebne są dwa okręgi, z których każdy jest wyśrodkowany w jednym punkcie końcowym i przechodzi przez drugi punkt końcowy (operacja 2). Punkty przecięcia tych dwóch okręgów (operacja 4) są w równej odległości od punktów końcowych. Linia przechodząca przez nie (operacja 1) to dwusieczna prostopadła.

Przykład 2: Dwusieczna kąta

Aby wygenerować linię, która przecina kąt między dwoma danymi promieniami ^{[ wymagane wyjaśnienie ]} , potrzebny jest okrąg o dowolnym promieniu, którego środek znajduje się w punkcie przecięcia P dwóch prostych (2). Punkty przecięcia tego okręgu z dwoma podanymi prostymi (5) to T1 i T2. Dwa okręgi o tym samym promieniu, których środkiem jest T1 i T2, przecinają się w punktach P i Q. Prosta przechodząca przez punkty P i Q (1) jest dwusieczną kąta. Promienie mają jedną dwusieczną kąta; linie mają dwie, prostopadłe do siebie.

Wstępne rezultaty

Kilka podstawowych wyników jest pomocnych w rozwiązaniu szczególnych przypadków problemu Apoloniusza. Zauważ, że linię i punkt można traktować jako odpowiednio okręgi o nieskończenie dużym i nieskończenie małym promieniu.

Okrąg jest styczny do punktu, jeśli przechodzi przez ten punkt, i styczny do prostej, jeśli przecinają się w jednym punkcie P lub jeśli linia jest prostopadła do promienia poprowadzonego od środka koła do P .
Okręgi styczne do dwóch danych punktów muszą leżeć na dwusiecznej prostopadłej.
Okręgi styczne do dwóch danych prostych muszą leżeć na dwusiecznej kąta.
Prostą styczną do okręgu z danego punktu narysuj półokręg o środku w punkcie środkowym między środkiem okręgu a danym punktem.
Potęga punktu i średnia harmoniczna ^{[ potrzebne wyjaśnienie ]}
Oś radykalna dwóch okręgów to zbiór punktów o równych stycznych lub bardziej ogólnie o równej mocy.
Koła można odwrócić w linie, a koła w koła. ^{[ wymagane wyjaśnienie ]}
Jeśli dwa okręgi są styczne wewnętrznie , pozostają takie, jeśli ich promienie są zwiększane lub zmniejszane o tę samą wartość. I odwrotnie, jeśli dwa okręgi są zewnętrznie styczne, pozostaną takie, jeśli ich promienie zostaną zmienione o tę samą wartość w przeciwnych kierunkach, jeden wzrost, a drugi spadek.

Rodzaje rozwiązań

Typ 1: Trzy punkty

Problemy PPP mają na ogół jedno rozwiązanie. Jak pokazano powyżej, jeśli okrąg przechodzi przez dwa dane punkty P ₁ i P ₂ , jego środek musi leżeć gdzieś na dwusiecznej prostopadłej tych dwóch punktów. Dlatego też , jeśli koło rozwiązania przechodzi przez trzy dane punkty $mathbf {P}$ ₂ { Displaystyle _{ \ _overline { \ , ${\ Displaystyle {\ overline {\ mathbf {P} _ {1} \ mathbf {P} _ {3}}}}$ i ${\ Displaystyle {\ overline {\ mathbf {P} _{2}\mathbf {P} _{3}}}}$ . Co najmniej dwie z tych dwusiecznych muszą się przecinać, a ich punktem przecięcia jest środek koła rozwiązania. Promień koła rozwiązania to odległość od tego środka do dowolnego z trzech podanych punktów.

Typ 2: trzy linie

Problemy LLL zazwyczaj oferują 4 rozwiązania. Jak pokazano powyżej, jeśli okrąg jest styczny do dwóch danych prostych, jego środek musi leżeć na jednej z dwóch prostych, które przecinają kąt między dwiema podanymi prostymi. Zatem jeśli okrąg jest styczny do trzech danych prostych L ₁ , L ₂ i L ₃ , to jego środek C musi znajdować się na przecięciu dwusiecznych tych trzech prostych. Ogólnie rzecz biorąc, istnieją cztery takie punkty, dające cztery różne rozwiązania problemu Apoloniusza LLL. Promień każdego rozwiązania jest określany przez znalezienie punktu styczności T , co można zrobić wybierając jeden z trzech punktów przecięcia P między danymi prostymi; i rysowanie okręgu o środku w punkcie środkowym C i P o średnicy równej odległości między C i P . Przecięcia tego okręgu z przecinającymi się liniami są dwoma punktami styczności.

Typ 3: Jeden punkt, dwie linie

Problemy z PLL mają zazwyczaj 2 rozwiązania. Jak pokazano powyżej, jeśli okrąg jest styczny do dwóch danych prostych, jego środek musi leżeć na jednej z dwóch prostych, które przecinają kąt między dwiema podanymi prostymi. Z symetrii , jeśli taki okrąg przechodzi przez dany punkt P , musi również przechodzić przez punkt Q , który jest „lustrzanym odbiciem” P wokół dwusiecznej kąta. Dwa okręgi rozwiązań przechodzą zarówno przez P , jak i Q , a ich osią radykalną jest linia łącząca te dwa punkty. Rozważ punkt G w którym oś radykalna przecina jedną z dwóch podanych linii. $mathbf {GT} _$ stosunku do każdego koła, odległości i $}}}$ do rozwiązania punkty styczne T ₁ i T ₂ , są sobie równe i iloczynowi

{\ Displaystyle {\ overline {\ mathbf {GP}}} \ cdot {\ overline {\ mathbf { GQ} }}={\overline {\mathbf {GT} _{1}}}\cdot {\overline {\mathbf {GT} _{1}}}={\overline {\mathbf {GT} _{2 }}} \ cdot {\ overline {\ mathbf {GT} _ {2}}}}

$_ mathbf {GP}}}}$ więc $_$ odległości równe sol i $Displaystyle {\ overline {\ mathbf {GQ}}}}$ . Od G i tej odległości punkty styczne T ₁ i T ₂ może być znaleziony. Wtedy dwa koła z rozwiązaniami to okręgi przechodzące odpowiednio przez trzy punkty ( P , Q , T ₁ ) i ( P , Q , T ₂ ).

Typ 4: Dwa punkty, jedna linia

Problemy z PPL mają zazwyczaj 2 rozwiązania. Jeśli linia m poprowadzona przez dane punkty P i Q jest równoległa do danej linii l , punkt styczny T okręgu z l znajduje się na przecięciu dwusiecznej prostopadłej do ${\ displaystyle {\ overline {PQ }}}$ z l . W takim przypadku jedynym kołem rozwiązania jest okrąg przechodzący przez trzy punkty P , Q i T .

Jeżeli prosta m nie jest równoległa do danej l , to przecina l w punkcie G . Na mocy twierdzenia o punkcie odległość od G do stycznej T musi być równa średniej geometrycznej

\ Displaystyle {\ overline {\ mathbf {GT}}} \ cdot {\ overline {\ mathbf {GT}}} = {\ overline {\ mathbf { GP} }}\cdot {\overline {\mathbf {GQ}}}}

_Dwa punkty na danej linii L znajdują się w pewnej odległości $punktu$ G , który można oznaczyć T i T ₂ . Dwa okręgi z rozwiązaniami to okręgi przechodzące odpowiednio przez trzy punkty ( P , Q , T ₁ ) i ( P , Q , T ₂ ).

Budowa kompasu i liniału

Dwa okręgi w zadaniu Dwa punkty, jedna linia, w którym linia przechodząca przez P i Q nie jest równoległa do danej prostej l , można skonstruować za pomocą kompasu i liniału przez:

Narysuj linię m przechodzącą przez podane punkty P i Q .
Punkt G to miejsce, w którym przecinają się proste l i m
Narysuj okrąg C , którego średnicą jest PQ .
Narysuj jedną ze stycznych od G do okręgu C .
punkt A to miejsce, w którym styczna i okrąg stykają się.
Narysuj okrąg D ze środkiem G przez A .
Okrąg D przecina prostą l w punktach T1 i T2 .
Jednym z wymaganych okręgów jest okrąg przechodzący przez P , Q i T1 .
Drugi okrąg to okrąg przechodzący przez P , Q i T2 .

Najszybsza konstrukcja (jeśli dostępne są przecięcia l z obydwoma ( PQ ) i centralną prostopadłą do [ PQ ]; na podstawie podejścia Gergonne'a).

Narysuj linię m przechodzącą przez P i Q przecinającą l w G .
Narysuj prostopadłą n przechodzącą przez środek [ PQ ] przecinającą l w punkcie O .
Narysuj okrąg w o środku w punkcie O i promieniu | PO |=| OK |.
Narysuj okrąg W z [ OG ] jako średnicą przecinającą się w w punktach M1 i M2 .
Narysuj okrąg v o środku w punkcie G o promieniu | GM1 |=| GM2 | przecinające l w T1 i T2 .
Okręgi przechodzące przez P , Q , T1 i P , Q , T2 są rozwiązaniami.

Konstrukcja uniwersalna (jeśli przecięcia l z ( PQ ) lub centralną prostopadłą do [ PQ ] są niedostępne lub nie istnieją).

Narysuj prostopadłą n przechodzącą przez środek [ PQ ] (punkt R ).
Narysuj prostopadłą k do l przechodzącą przez P lub Q przecinającą l w K .
Narysuj okrąg w o środku w punkcie R o promieniu | RK |.
Narysuj dwie proste n1 i n2 przechodzące przez P i Q równolegle do n i przecinające się odpowiednio w punktach A1 , A2 i B1 , B2 .
Narysuj dwie linie ( A1B1 ) i ( A2B2 ) przecinające się odpowiednio w punktach T1 i T2 .
Okręgi przechodzące przez P , Q , T1 i P , Q , T2 są rozwiązaniami.

Typ 5: Jedno koło, dwa punkty

Problemy CPP mają zazwyczaj 2 rozwiązania. Rozważmy okrąg o środku w jednym danym punkcie P , który przechodzi przez drugi punkt, Q . Ponieważ koło rozwiązania musi przechodzić przez P , odwrócenie w tym okręgu przekształca koło rozwiązania w linię lambda. Ta sama inwersja przekształca Q w siebie i (ogólnie) dany okrąg C w inny okrąg c . Zatem problem polega na znalezieniu linii rozwiązania, która przechodzi przez Q i jest styczna do c , który został rozwiązany powyżej; są dwie takie linie. Ponowna inwersja daje dwa odpowiednie kręgi rozwiązań pierwotnego problemu.

Typ 6: Jedno koło, jedna linia, jeden punkt

Problemy CLP mają zazwyczaj 4 rozwiązania. Rozwiązanie tego szczególnego przypadku jest podobne do rozwiązania CPP Apollonius. Narysuj okrąg o środku w danym punkcie P ; ponieważ koło z rozwiązaniem musi przechodzić przez P , odwrócenie w tym ^{[ wymagane wyjaśnienie ]} okręgu przekształca koło z rozwiązaniem w linię lambda. Ogólnie ta sama inwersja przekształca daną prostą L i dany okrąg C w dwa nowe okręgi, c ₁ i c ₂ . Zatem problem polega na znalezieniu linii rozwiązania stycznej do dwóch odwróconych okręgów, co zostało rozwiązane powyżej. Istnieją cztery takie linie, a ponowna inwersja przekształca je w cztery kręgi rozwiązań problemu Apoloniusza.

Typ 7: Dwa okręgi, jeden punkt

Problemy z CCP mają na ogół 4 rozwiązania. Rozwiązanie tego szczególnego przypadku jest podobne do rozwiązania CPP. Narysuj okrąg o środku w danym punkcie P ; ponieważ koło rozwiązania musi przechodzić przez P , odwrócenie w tym okręgu przekształca koło rozwiązania w linię lambda. Ogólnie ta sama inwersja przekształca dane koło C ₁ i C ₂ w dwa nowe koła, c ₁ i c ₂ . Zatem problem polega na znalezieniu linii rozwiązania stycznej do dwóch odwróconych okręgów, co zostało rozwiązane powyżej. Istnieją cztery takie linie, a ponowna inwersja przekształca je w cztery kręgi rozwiązań pierwotnego problemu Apoloniusza.

Typ 8: Jedno koło, dwie linie

Problemy CLL mają na ogół 8 rozwiązań. Ten szczególny przypadek najłatwiej rozwiązać za pomocą skalowania. Dany okrąg zmniejsza się do punktu, a promień koła rozwiązania jest zmniejszany o tę samą wartość (w przypadku rozwiązania stycznego wewnętrznie) lub zwiększany (w przypadku koła stycznego zewnętrznie). W zależności od tego, czy promień koła rozwiązania jest zwiększony, czy zmniejszony, dwie podane linie są przesunięte równolegle do siebie o tę samą wartość, w zależności od tego, w którą ćwiartkę przypada środek koła rozwiązania. To kurczenie się danego okręgu do punktu redukuje problem do problemu PLL, rozwiązanego powyżej. Ogólnie rzecz biorąc, istnieją dwa takie rozwiązania na kwadrant, co daje w sumie osiem rozwiązań.

Typ 9: Dwa okręgi, jedna linia

Problemy CCL mają zazwyczaj 8 rozwiązań. Rozwiązanie tego szczególnego przypadku jest podobne do CLL. Mniejszy okrąg kurczy się do punktu, dopasowując jednocześnie promienie większego danego okręgu i dowolnego koła z rozwiązaniem oraz przesuwając linię równoległą do siebie, w zależności od tego, czy są one wewnętrznie czy zewnętrznie styczne do mniejszego koła. Zmniejsza to problem do CLP. Każdy problem CLP ma cztery rozwiązania, jak opisano powyżej, i są dwa takie problemy, w zależności od tego, czy koło rozwiązania jest styczne wewnętrznie czy zewnętrznie do mniejszego koła.

Przypadki specjalne bez rozwiązań

Problem Apoloniusza jest niemożliwy, jeśli dane koła są zagnieżdżone , tj. jeśli jeden okrąg jest całkowicie zamknięty w określonym okręgu, a pozostały okrąg jest całkowicie wykluczony. Wynika to z faktu, że każdy okrąg rozwiązania musiałby przeciąć środkowy okrąg, aby przejść od jego styczności do wewnętrznego koła do jego styczności z zewnętrznym okręgiem. Ten ogólny wynik ma kilka szczególnych przypadków, gdy dane okręgi są skurczone do punktów (promień zerowy) lub rozszerzone do linii prostych (promień nieskończony). Na przykład problem CCL ma zerowe rozwiązania, jeśli dwa okręgi znajdują się po przeciwnych stronach prostej, ponieważ w takim przypadku każdy okrąg z rozwiązaniem musiałby przecinać daną prostą niestycznie, aby przejść od punktu stycznego jednego okręgu do tego z drugiej.

Zobacz też

Altshiller-Court N (1952). College Geometry: An Introduction to the Modern Geometry of the Triangle and the Circle (wydanie drugie, poprawione i powiększone). Nowy Jork: Barnes and Noble. s. 222–227.
Benjamin Alvord (1855) Tangencies of Circles and of Spheres , Smithsonian Contributions , tom 8, z Google Books .
Bruen A, Fisher JC, Wilker JB (1983). „Apoloniusz przez odwrócenie”. Magazyn Matematyczny . 56 (2): 97–103. doi : 10.2307/2690380 . JSTOR 2690380 .
Hartshorne R. (2000). Geometria: Euclid i nie tylko . Nowy Jork: Springer Verlag. s. 346–355. ISBN 0-387-98650-2 .