Twierdzenie Menelaosa

Twierdzenie Menelaosa, przypadek 1: prosta DEF przechodzi przez trójkąt ABC

Twierdzenie Menelaosa , nazwane na cześć Menelaosa z Aleksandrii , jest twierdzeniem dotyczącym trójkątów w geometrii płaszczyzny . Załóżmy, że mamy trójkąt ABC i prostą poprzeczną przecinającą odcinki BC , AC i AB odpowiednio w punktach D , E i F , przy czym D , E i F są różne od punktów A , B i C . Stwierdza to słaba wersja twierdzenia

gdzie |AB| przyjmuje się, że jest to zwykła długość odcinka AB : wartość dodatnia.

Twierdzenie można wzmocnić do stwierdzenia o długości odcinków ze znakiem , które dostarcza dodatkowych informacji o względnej kolejności punktów współliniowych. Tutaj przyjmuje się, że długość AB jest dodatnia lub ujemna, w zależności od tego, czy A znajduje się na lewo, czy na prawo od B w określonej ustalonej orientacji linii; na przykład AF / FB jest zdefiniowany jako mający wartość dodatnią, gdy F znajduje się między A i B i negatywne w przeciwnym razie. Podpisana wersja twierdzeń Menelaosa stwierdza

równoważnie,

Niektórzy autorzy inaczej porządkują czynniki i uzyskują pozornie inną zależność

ale ponieważ każdy z tych czynników jest ujemny w stosunku do odpowiadającego mu czynnika powyżej, stosunek wydaje się być taki sam.

sytuacja odwrotna : jeśli punkty D , E i F zostaną wybrane odpowiednio na odcinkach BC , AC i AB tak, że

wtedy D , E i F są współliniowe . Odwrotność jest często włączana jako część twierdzenia. (Zauważ, że odwrotność słabszego, niepodpisanego stwierdzenia niekoniecznie jest prawdziwa).

Twierdzenie jest bardzo podobne do twierdzenia Cevy , ponieważ ich równania różnią się tylko znakiem. Przepisując każde z nich w kategoriach stosunków krzyżowych , te dwa twierdzenia można postrzegać jako rzutowe liczby podwójne .

Dowód

Twierdzenie Menelaosa, przypadek 2: prosta DEF leży całkowicie poza trójkątem ABC

Standardowy dowód jest następujący:

Po pierwsze, znak lewej strony będzie ujemny, ponieważ albo wszystkie trzy stosunki są ujemne, przypadek, w którym linia DEF nie trafia w trójkąt (dolny diagram), albo jeden jest ujemny, a dwa pozostałe dodatnie, przypadek gdzie DEF przecina dwa boki trójkąta. (Patrz aksjomat Pascha ).

Aby sprawdzić wielkość, skonstruuj prostopadłe od A , B i C do linii DEF i niech ich długości będą odpowiednio a, b i c . Następnie z podobnych trójkątów wynika, że ​​| AF / FB | = | a / b |, | BD / DC | = | b / c |, i | CE / EA | = | c / a |. Więc

Aby uzyskać prostszy, choć mniej symetryczny sposób sprawdzenia wielkości, narysuj CK równolegle do AB , gdzie DEF spotyka się z CK w K . Następnie podobnymi trójkątami

a wynik wynika z wyeliminowania CK z tych równań.

Odwrotność następuje jako następstwo. Niech D , E i F będą dane na prostych BC , AC i AB tak, aby równanie było spełnione. Niech F ′ będzie punktem, w którym DE przecina AB . Następnie, zgodnie z twierdzeniem, równanie zachodzi również dla D , E i F ′. Porównując te dwa,

Ale co najwyżej jeden punkt może przeciąć odcinek w danym stosunku, więc F = F ′.

Dowód za pomocą homotecji

Poniższy dowód wykorzystuje tylko pojęcia geometrii afinicznej , zwłaszcza homotecje . Niezależnie od tego, czy D , E i F są współliniowe, czy nie, istnieją trzy homotecje z centrami D , E , F , które odpowiednio wysyłają B do C , C do A i A do B . Kompozycja trzech jest więc elementem grupy homotecy-translacji, która ustala B , więc jest to homotecja ze środkiem B , prawdopodobnie ze stosunkiem 1 (w takim przypadku jest to tożsamość). Ta kompozycja ustala prostą DE wtedy i tylko wtedy, gdy F jest współliniowa z D i E (ponieważ pierwsze dwie homotecje z pewnością ustalają DE , a trzecia tylko wtedy, gdy F leży na DE ). Dlatego D , E i F są współliniowe wtedy i tylko wtedy, gdy ta kompozycja jest identyczna, co oznacza, że ​​wielkość iloczynu trzech stosunków wynosi 1:

co jest równoważne danemu równaniu.

Historia

Nie jest pewne, kto faktycznie odkrył to twierdzenie; jednak najstarsza zachowana ekspozycja pojawia się w Sferach Menelaosa. W tej książce płaska wersja twierdzenia jest używana jako lemat do udowodnienia sferycznej wersji twierdzenia.

W Almagest Ptolemeusz stosuje twierdzenie do wielu problemów astronomii sferycznej. Podczas Złotego Wieku Islamu uczeni muzułmańscy poświęcili wiele prac poświęconych badaniu twierdzenia Menelaosa, które nazywali „twierdzeniem o siecznych” ( shakl al-qatta' ). Cały czworobok nazywano w ich terminologii „figurą siecznych”. Praca Al-Biruniego , The Keys of Astronomy , wymienia szereg tych prac, które można zaklasyfikować do studiów jako część komentarzy do Almagestu Ptolemeusza, jak w pracach al-Nayrizi i al-Khazin , z których każda wykazała poszczególne przypadki twierdzenia Menelaosa, które doprowadziło do reguły sinusoidalnej , lub prace złożone jako niezależne traktaty, takie jak:

  • „Traktat o postaci siecznych” ( Risala fi shakl al-qatta' ) autorstwa Thabita ibn Qurra .
  • Husam al-Din al-Salar's Removing the Veil from the Mysteries of the Figure of Secants (Kashf al-qina' 'an asrar al-shakl al-qatta'), znany również jako „Księga o figurze siecznych” ( Kitab al-shakl al-qatta' ) lub w Europie jako Traktat o całym czworoboku . Do zaginionego traktatu odnieśli się Sharaf al-Din al-Tusi i Nasir al-Din al-Tusi .
  • Praca autorstwa al-Sijzi .
  • Tahdhib autorstwa Abu Nasra ibn Irak .
  •   Roshdi Rashed i Athanase Papadopoulos, Menelaus' Spherics: Early Translation and al-Mahani'/al-Harawi's version (Krytyczne wydanie Menelaosa Spherics z rękopisów arabskich, z komentarzami historycznymi i matematycznymi), De Gruyter, Series: Scientia Graeco-Arabica , 21.2017, 890 stron. ISBN 978-3-11-057142-4
  • Russella, Johna Wellesleya (1905). „Rozdz. 1 §6 „Twierdzenie Menelaosa” ”. Czysta geometria . Prasa Clarendona.

Linki zewnętrzne

Pobrano z „ https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Menelaus%27s_theorem&oldid=1122640196 ”