Pomarszczony łuk

W matematyce , aw szczególności w badaniu przestrzeni Hilberta , łuk pomarszczony jest rodzajem krzywej ciągłej . Koncepcja jest zwykle przypisywana Paulowi Halmosowi .

$gdzie$ szczególności rozważmy jest Hilberta $iloczynem$${\ Displaystyle \ langle \ cdot, \ cdot \ rangle.}$ Mówimy, że $łukiem$ marszczonym, jeśli jest ciągły i ma właściwość marszczenia : jeśli ${\ displaystyle 0 \ równoważnik a <b \ równoważnik c <d \ równoważnik 1}$ wtedy ${\ Displaystyle \ langle f (b) - fa (a), f (d) -f (c) \ rangle = 0,}$ to znaczy akordy ${\ Displaystyle f (b) -f (a)}$ i ${\ Displaystyle f (d) -f (c)}$ są ortogonalne , gdy odstępy ${\ Displaystyle [a, b]}$ i ${\ Displaystyle [c ,d]}$ nie nakładają się .

Halmos zwraca uwagę, że jeśli dwa niezachodzące na siebie akordy są prostopadłe, to „krzywa skręca pod kątem prostym podczas przejścia między najdalszymi punktami końcowymi akordów” i zauważa, że ​​taka krzywa „wydawałaby się wykonywać nagły skręt w prawo w każdym punkcie”, co uzasadniałoby wybór terminologii. Halmos wnioskuje, że taka krzywa nie może mieć stycznej w żadnym punkcie i używa tej koncepcji, aby uzasadnić swoje stwierdzenie, że nieskończenie wymiarowa przestrzeń Hilberta jest „nawet bardziej pojemna, niż się wydaje”.

$pomarszczonym$ pomarszczonego łuku skutkuje zasadniczo tym samym rozwiązaniem i udowadnia , że ​​jest łukiem wtedy i tylko wtedy odpowiednim normalizacje,

$${\ Displaystyle f (t) = {\ sqrt {2}} \, \ suma _{n=1}^{\infty}x_{n}{\frac {\sin(n-1/2)\pi t}{(n-1/2)\pi }}}$$

gdzie ${\ Displaystyle \ lewo (x_ {n} \ prawo) _ {n}}$ jest zbiorem ortonormalnym . Normalizacje, które muszą być dozwolone, są następujące: a) Zastąp przestrzeń Hilberta H jej najmniejszą zamkniętą podprzestrzenią zawierającą wszystkie wartości łuku pomarszczonego; b) jednolite skalowanie; c) tłumaczenia; d) reparametryzacje. Teraz użyj tych normalizacji do zdefiniowania relacji równoważności na łukach pofałdowanych, jeśli dowolne dwa z nich staną się identyczne po dowolnej sekwencji takich normalizacji. Wtedy jest tylko jedna klasa równoważności, a wzór Vitale'a opisuje przykład kanoniczny.

Zobacz też

• Nieskończenie-wymiarowa funkcja wektorowa # Pomarszczone łuki - funkcja, której wartości leżą w nieskończenie wymiarowej przestrzeni wektorowej Strony wyświetlające opisy danych wiki jako rozwiązanie awaryjne

•    Halmos, Paul R. (8 listopada 1982). Książka Problem przestrzeni Hilberta . Absolwent Teksty z matematyki . Tom. 19 (wyd. 2). Nowy Jork: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-90685-0 . OCLC 8169781 .
•   Halmos, Paul R. (1982), A Hilbert Space Problem Book , Graduate Texts in Mathematics, tom. 19, Springer-Verlag, doi : 10.1007/978-1-4615-9976-0 , ISBN 978-1-4615-9978-4
• Vitale, Richard A. (1975), „Reprezentacja marszczonego łuku”, Proceedings of the American Mathematical Society , 52 : 303–304, doi : 10.1090 / S0002-9939-1975-0388056-1