Twierdzenie dwubiegunowe

W matematyce twierdzenie dwubiegunowe jest twierdzeniem w analizie funkcjonalnej , które charakteryzuje dwubiegunowy (czyli biegunowy biegunowy ) zbioru. W analizie wypukłej twierdzenie dwubiegunowe odnosi się do warunków koniecznych i wystarczających , aby stożek był równy swojemu dwubiegunowi . Twierdzenie dwubiegunowe można postrzegać jako szczególny przypadek twierdzenia Fenchela – Moreau .

Czynności wstępne

Główny artykuł: zestaw polarny

Załóżmy, że jest topologiczną przestrzenią wektorową ( $\ displaystyle \ lewo \ langle x, x ^ {\ liczba pierwsza} \ prawo \ ranga: = x ^ {\ liczba pierwsza} (x)}$$)$ z ciągłą przestrzenią podwójną $niech$ ⟨ dla wszystkich ${\ Displaystyle x \ in X}$ i ${\ Displaystyle x ^ {\ pierwsza} \ w X ^ {\ pierwsza}.}$ Wypukły kadłub zbioru ${\ Displaystyle A,}$ oznaczony przez ${\ Displaystyle \ operatorname {co} A,}$ jest najmniejszym zbiorem wypukłym zawierającym $}$$A.$ Wypukły zrównoważony kadłub zbioru najmniejszym wypukłym zrównoważonym zestawem zawierającym ${\ Displaystyle A.}$

Biegun podzbioru definiuje się jako: $subseteq X}$ \

$${\ Displaystyle A ^ {\ circ}: = \ lewo \ {x ^ {\ liczba pierwsza} \ w X ^ {\ liczba pierwsza}: \ sup _ {a \ w A} \ lewo | \ lewo \ langle a, x ^ {\prime}\right\rangle \right|\równoważnik 1\right\}.}$$

podczas gdy przedbiegunowy podzbioru to: ${\ Displaystyle B \ subseteq X ^ {\ liczba pierwsza}}$

$${\ Displaystyle {} ^ {\ circ} B: = \ lewo \ {x \ w X: \ sup _ {x ^ {\ pierwsza} \ w B} \ lewo | \ lewo \ langle x, x ^ {\ pierwsza }\prawo\rangle \prawo|\równik 1\prawo\}.}$$

Dwubiegunowy podzbioru często oznaczanego przez jest za $\ circ \ circ}$ ^ $} ZA$ A \

$${\ Displaystyle A ^ {\ circ \ circ}: = {} ^ {\ circ} \ lewo (A ^ {\ circ} \ right) = \ lewo \ {x \ w X: \ sup _ {x ^ {\ liczba pierwsza }\in A^{\circ }}\left|\left\langle x,x^{\prime }\right\rangle \right|\leq 1\right\}.}$$

Stwierdzenie w analizie funkcjonalnej

Niech oznaczają ${ \ displaystyle A}$ topologię na $X {$$X}$ najsłabszą topologię dokonując wszystkich funkcjonałów liniowych w $)$ .

Twierdzenie dwubiegunowe : $}$ podzbioru jest równy $}$${\ Displaystyle \ sigma \ lewo (X, X ^ {\ pierwsza} \ prawej) ZA ⊆ X {\ Displaystyle A \$ -domknięcie wypukłej zrównoważonej ${\ Displaystyle A.}$ A

Stwierdzenie w analizie wypukłej

Twierdzenie dwubiegunowe : dla dowolnego $A ^ {\ circ \ circ}$ stożka w przestrzeni liniowej zbiór dwubiegunowy jest określony przez: ZA $\$$Displaystyle$

$${\ Displaystyle A ^ {\ circ \ circ} = \ nazwa operatora {cl} (\ nazwa operatora {co} \ {ra: r \ geq 0, a \ w A \}).}$$

Szczególny przypadek

Podzbiór $^ {\ circ \ circ} = C}$ niepustym zamkniętym stożkiem wypukłym wtedy i tylko wtedy, gdy do $C$ kiedy do ${\ Displaystyle C ^ {++} = \ lewo (C ^ {+} \ prawo) ^ {+},}$ ZA $\ Displaystyle A ^ { +}}$ oznacza dodatni podwójny stożek zbioru ${\ Displaystyle A.}$ Lub bardziej ogólnie, jeśli jest niepustym stożkiem wypukłym, to stożek dwubiegunowy jest określony przez do { $displaystyle C}$

$${\ Displaystyle C ^ {\ circ \ circ} = \ operatorname {cl} C.}$$

Związek z twierdzeniem Fenchela-Moreau

Pozwalać

$${\ Displaystyle f (x): = \ delta (x | C) = {\ rozpocząć {przypadki} 0&x \ w C \\\ infty &{\text{inaczej}}\end{przypadki}}}$$

będzie funkcją wskaźnika dla stożka ${\ displaystyle C.}$ Następnie wypukły koniugat ,

$${\ Displaystyle f ^ {*} (x ^ {*}) =\delta \left(x^{*}|C^{\circ }\right)=\delta ^{*}\left(x^{*}|C\right)=\sup _{x\in C }\langle x^{*},x\rangle }$$

jest ${\ Displaystyle f ^ {**} (x) = \ delta (x | C ^ {\ circ \ circ}).}$ wspierającą dla i $x$ Dlatego do = $C ^ {\ circ \ circ}}$ wtedy i tylko wtedy, gdy ${\ displaystyle f = f ^ {**}.}$

Zobacz też

• Podwójny system
• Twierdzenie Fenchela-Moreau - Uogólnienie twierdzenia dwubiegunowego.
• Zestaw biegunowy - podzbiór wszystkich punktów ograniczony przez dany punkt duala (w parowaniu dualnym)

Bibliografia

•    Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Topologiczne przestrzenie wektorowe . Matematyka czysta i stosowana (wyd. Drugie). Boca Raton, Floryda: CRC Press. ISBN 978-1584888666 . OCLC 144216834 .
•    Schaefer, Helmut H .; Wolff, Manfred P. (1999). Topologiczne przestrzenie wektorowe . GTM . Tom. 8 (wyd. Drugie). Nowy Jork, NY: Springer Nowy Jork Impressum Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0 . OCLC 840278135 .
•    Treves, François (2006) [1967]. Topologiczne przestrzenie wektorowe, rozkłady i jądra . Mineola, NY: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1 . OCLC 853623322 .