Uzupełniona podprzestrzeń

$displaystyle N$ gałęzi matematyki zwanej analizą funkcjonalną uzupełniona podprzestrzeń topologicznej przestrzeni wektorowej $,$ podprzestrzenią wektorową dla której istnieje inna podprzestrzeń wektorowa $}$$}$$\ Displaystyle X$ sumą bezpośrednią $M \ oplus N}.$ przestrzenie wektorowe zwany jego ( ) dopełnieniem w taki , że jest w kategorii topologicznej $Displaystyle$ . Formalnie topologiczne sumy bezpośrednie wzmacniają algebraiczną sumę bezpośrednią, wymagając, aby pewne mapy były ciągłe; wynik zachowuje wiele ładnych właściwości wynikających z działania sumy bezpośredniej w skończenie wymiarowych przestrzeniach wektorowych.

Każda skończenie wymiarowa podprzestrzeń przestrzeni Banacha jest uzupełniona, ale inne podprzestrzenie mogą nie. Ogólnie rzecz biorąc, sklasyfikowanie wszystkich dopełnionych podprzestrzeni jest trudnym problemem, który został rozwiązany tylko dla niektórych dobrze znanych przestrzeni Banacha .

Koncepcja uzupełnionej podprzestrzeni jest analogiczna, ale różni się od koncepcji dopełnienia zbioru . Teoretyczne uzupełnienie podprzestrzeni wektorowej nigdy nie jest podprzestrzenią komplementarną.

Wstępy: definicje i notacja

Jeśli jest przestrzenią wektorową, a i ${\ displaystyle$$N$$}$ są podprzestrzeniami wektorowymi X $\ displaystyle X},$ to istnieje dobrze zdefiniowana mapa dodawania X

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane 4} S: \; & & M \ razy N &&\; \ do \; & X \\ & & (m, n )&&\;\mapsto \;&m+n\\\end{wyrównanydat}}}$$

Mapa $jest$ morfizmem z kategorii przestrzeni wektorowych to znaczy liniowym .

Algebraiczna suma bezpośrednia

Główne artykuły: Suma bezpośrednia i Suma bezpośrednia modułów

$X}$ przestrzeń wektorowa jest algebraiczną bezpośrednią ( sumą bezpośrednią w kategorii przestrzeni wektorowych), gdy spełniony jest dowolny z następujących równoważnych warunków: $displaystyle$

1. Mapa dodawania ${\ Displaystyle S: M \ razy N \ do X}$ jest izomorfizmem przestrzeni wektorowej .
2. Mapa dodawania jest bijekcją.
3. ${\ Displaystyle M \ cap N = \ {0 \}}$ i ${\ Displaystyle M + N = X}$ ; w tym przypadku $nazywa$ algebraicznym $,$ lub uzupełnieniem do w $że$ dwie podprzestrzenie są komplementarne lub uzupełniające .

Gdy te warunki są spełnione, odwrotność jest dobrze zdefiniowana i można ją zapisać jako współrzędne ${\ Displaystyle S ^ {-1}: X \ do M \ razy N}$

$${\ Displaystyle S ^ {-1} = \ lewo (P_ {M}, P_ {N} \ prawo) {\ tekst {.}}}$$

Pierwsza $nazywana$$_$ _ _ $_$ _ podobnie druga współrzędna jest rzutem kanonicznym na ${\ Displaystyle N.}$

Równoważnie $M$ i wektorami $i$$}$ _ $_ \displaystyle N,}$ odpowiednio, które spełniają

$${\ Displaystyle x = P_ {M} (x) + P_ {N} (x) {\ tekst {.}}}$$

jako mapy,

$${\ Displaystyle P_ {M} + P_ {N} = \ operatorname {Id} _ {X}, \ qquad \$$

gdzie ${X}}$ oznacza mapę tożsamości na ${ \ displaystyle \ operatorname {Id}$ .

Motywacja

Zobacz też: Współprodukt , Suma bezpośrednia § Suma bezpośrednia w kategoriach i Suma bezpośrednia grup topologicznych

Załóżmy, że przestrzeń wektorowa $Displaystyle$ algebraiczną sumą bezpośrednią $M \ oplus N}$ . W kategorii przestrzeni wektorowych produkty skończone i koprodukty pokrywają $N$ : algebraicznie ${\ displaystyle M \ oplus$ i są nie odróżnienia. Biorąc pod uwagę problem dotyczący elementów $}$$\ displaystyle N}$ rozbić elementy na ich komponenty w i ${$ , ponieważ zdefiniowane powyżej mapy projekcji działają jako odwrotność naturalnego włączenia M {\ displaystyle X z i N $displaystyle N}$$\$ do $\ displaystyle X$ . Następnie można rozwiązać problem w podprzestrzeniach wektorowych i ponownie połączyć, $element$ .

W kategorii topologicznych przestrzeni wektorowych ta algebraiczna dekompozycja staje się mniej użyteczna. Definicja topologicznej przestrzeni wektorowej wymaga, aby mapa dodawania $była$ ; jego odwrotność może nie być ${\ Displaystyle S ^ {-1}: X \ do M \ razy N} .$ Kategoryczna $i$ sumy bezpośredniej $jednak,$ aby były morfizmami - znaczy ciągłymi mapami liniowymi

Przestrzeń jest topologiczną bezpośrednią sumą i N $wtedy (i tylko wtedy$$\ displaystyle N}$ gdy) spełniony jest którykolwiek z następujących równoważnych warunków: ${\ displaystyle X}$

1. $_$ dodawania TVS ( homeomorfizmem liniowym ) _
2. ${\ displaystyle X}$ jest algebraiczną bezpośrednią sumą i $a$${\ displaystyle N},$ także dowolnym z następujących równoważnych warunków: X {\ displaystyle X
   1. Odwrotność $_$ _
   2. $_$ projekcje _ $_$ _
   3. Przynajmniej $projekcji$ z i $ciągły$
   4. Kanoniczna mapa ilorazowa ${\ Displaystyle p: N \ do X/M; p (n) = n + M}$ jest izomorfizmem topologicznych przestrzeni wektorowych (tj. liniowym homeomorfizmem).
3. $X}$$\ displaystyle N}$ jest bezpośrednią sumą i N $w$ kategorii topologicznych przestrzeni wektorowych.
4. Mapa jest $bijektywna$ i otwarta . _
5. Rozważane jako $N$ grupy topologiczne , $.$ topologiczną ${\ Displaystyle N.}$ podgrup i

Topologiczna suma bezpośrednia jest również zapisywana ${\ Displaystyle X = M \ oplus N}$ ; to, czy suma jest w sensie topologicznym, czy algebraicznym, jest zwykle wyjaśniane na podstawie kontekstu .

Definicja

Każda topologiczna suma bezpośrednia jest algebraiczną sumą bezpośrednią ${\ Displaystyle X = M \ oplus N}$ ; odwrotność nie jest gwarantowana. Nawet jeśli zarówno $są$$\ displaystyle M},$ jak i ${\ displaystyle N}$ zamknięte w , ${\ displaystyle S ^ {- 1}}$ może nadal nie być ciągłe. $}$$N$ jest (topologicznym) lub uzupełnieniem , jeśli pozwala uniknąć tej patologii - to znaczy, jeśli topologicznie ${\ Displaystyle X = M \ oplus N}$ . (Wtedy jest również komplementarne do .) $displaystyle$ 1 (d) powyżej implikuje, że każde topologiczne uzupełnienie $jest$ izomorficzne, jako topologiczna przestrzeń wektorowa, z ilorazem M $M$ przestrzeń wektorowa ${\ displaystyle X/M}$ .

nazywa się uzupełnionym , jeśli ma dopełnienie topologiczne $($$nie$ , jeśli ). Wybór $uzupełnienia$ duże znaczenie: każda uzupełniona podprzestrzeń wektorowa $ma$ , które nie uzupełniają $topologicznie$ .

Ponieważ mapa liniowa między dwiema przestrzeniami znormalizowanymi (lub Banacha ) jest ograniczona wtedy i tylko wtedy, gdy jest ciągła , definicja w kategoriach przestrzeni znormalizowanych (odp. Banacha ) jest taka sama jak w topologicznych przestrzeniach wektorowych.

Równoważne charakterystyki

Podprzestrzeń wektorowa jest uzupełniana w $displaystyle$$X} wtedy i tylko wtedy$ gdy spełniony jest którykolwiek z poniższych warunków: M {\ displaystyle M}

• Istnieje ciągła liniowa mapa taka, że ${\ Displaystyle P_ {M}: X \ do X}$${\ Displaystyle P \ circ P = P}$ obrazem P $\ Displaystyle P_ {M} (X) = M}$ ;
• Istnieje ciągłe odwzorowanie liniowe z obrazem takie, że $X \ do$ M $Displaystyle$${\ Displaystyle X = M \ oplus \ ker {P}}$ .
• Dla $R$ mapa ograniczeń ${\ Displaystyle R: L (X; Y) \ do L (M; Y); R (u) = u | _ {M}} jest$ suriekcją.

Jeśli dodatkowo $jest$ , to równoważny warunek jest

• $}$$displaystyle$ jest domknięty w , istnieje inna zamknięta podprzestrzeń i jest $Displaystyle$ z abstrakcyjnej sumy bezpośredniej ${\ Displaystyle M \ oplus N}$$N \ subseteq X}$ { \ do ${\ Displaystyle X}$ .

Przykłady

• Jeśli jest przestrzenią miary i $ma$$\ Displaystyle L ^$ miarę, to $(X)}$ uzupełniane w ${\ Displaystyle L ^ {p} (Y)}$ .
• ${\ displaystyle c_ {0}}$ , przestrzeń sekwencji zbieżnych do ${\ displaystyle 0}$ jest uzupełniona w ${\ displaystyle c} .$ sekwencji zbieżnych do
• Przez rozkład Lebesgue'a $L ^ {1} ($ jest $} \ displaystyle \ operatorname {rca} ([0,1]) \ cong C ([0,1]) ^ {*}}$ w .

Wystarczające warunki

Dla dowolnych dwóch topologicznych przestrzeni wektorowych ${\ Displaystyle X}$ i ${\ Displaystyle Y}$ , podprzestrzenie ${\ Displaystyle X \ razy \ {0 \}}$ i ${\ Displaystyle \ {0 \ } \ razy Y}$ są uzupełnieniami topologicznymi w ${\ Displaystyle X \ razy Y}$ .

Każde dopełnienie algebraiczne , domknięcie $jest$$\ displaystyle 0}$ topologicznym. Dzieje się tak, ponieważ $ma$ niedyskretną topologię więc odwzorowanie algebraiczne jest

Jeśli ${\ Displaystyle X = M \ oplus N}$ i ${\ Displaystyle A: X \ do Y}$ jest suriekcją, to ${\ Displaystyle Y = AM \ plus AN}$ .

Skończony wymiar

Załóżmy, że jest to $}$ i lokalnie wypukła $mamy$ a wolna podprzestrzeń wektorów topologicznych : dla pewnego zbioru Y $K} ^{I}}$$displaystyle$$\ cong \ mathbb {$ (jako telewizory). Wtedy ${\ displaystyle Y}$ jest zamkniętą i uzupełnioną podprzestrzenią wektorową ${\ displaystyle X}$ . W szczególności uzupełniana jest dowolna skończona wymiarowa podprzestrzeń ${\ displaystyle X}$ .

W dowolnych topologicznych przestrzeniach wektorowych skończona wymiarowa podprzestrzeń wektorowa jest topologicznie uzupełniona wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego niezerowego istnieje ciągły funkcjonał liniowy na ${\ displaystyle X}$$y \ in Y$$displaystyle$ , który oddziela ${\ displaystyle y}$ od ${\ displaystyle 0}$ . Aby zapoznać się z przykładem, w którym to się nie powiedzie, zobacz § Przestrzenie Frécheta .

Kod skończony

Nie wszystkie skończone współwymiarowe podprzestrzenie wektorowe TVS są domknięte, ale te, które są, mają dopełnienia.

Przestrzenie Hilberta

W przestrzeni Hilberta ortogonalne dopełnienie dowolnej zamkniętej podprzestrzeni wektorowej jest zawsze topologicznym dopełnieniem $} {$$displaystyle$$displaystyle M}$ . Ta właściwość charakteryzuje przestrzenie Hilberta w klasie przestrzeni Banacha : każda nieskończenie wymiarowa przestrzeń inna niż Hilberta Banacha zawiera zamkniętą nieuzupełnioną podprzestrzeń.

Przestrzenie Frécheta

Niech będzie przestrzenią Frécheta nad polem $displaystyle$$\ mathbb {K}}$ . Następnie następujące są równoważne:

1. ${\ displaystyle X}$ nie jest normowalny (to znaczy żadna ciągła norma nie generuje topologii) X {\ displaystyle X}
2. ${\ displaystyle X}$ zawiera podprzestrzeń wektorową TVS-izomorficzną z ${\ Displaystyle \ mathbb {K} ^ {\ mathbb {N}}.}$
3. ${\ Displaystyle X}$ zawiera uzupełnioną wektorową podprzestrzeń TVS-izomorficzną z ${\ Displaystyle \ mathbb {K} ^ {\ mathbb {N}}}$ .

Nieruchomości; przykłady podprzestrzeni nieskompletowanych

$\ displaystyle X}$ wektorowa) podprzestrzeń przestrzeni Hausdorffa jest koniecznie zamkniętym podzbiorem X $,$ podobnie jak jej dopełnienie.

Z istnienia baz Hamela wynika, że ​​każda nieskończenie wymiarowa przestrzeń Banacha zawiera niezamknięte liniowe podprzestrzenie. Ponieważ każda dopełniona podprzestrzeń jest domknięta, żadna z tych podprzestrzeni nie jest dopełniona.

$to$ , jeśli jest kompletnym TVS $i$ nie jest kompletny $dopełnienia$${\ Displaystyle X.}$ w

Aplikacje

Jeśli $warunki$ ciągłą surjekcją , to następujące

1. Jądro $.$ topologiczne uzupełnienie
2. Istnieje „prawa odwrotność”: ciągła mapa liniowa ${\ Displaystyle B: Y \ do X}$ taka, że ${\ Displaystyle AB = \ operatorname {Id} _ {Y}}$ , gdzie ${\ displaystyle \ operatorname {Id} _ {Y}: Y \ do Y}$ jest mapą tożsamości.

Metoda rozkładu

Topologiczne przestrzenie wektorowe dopuszczają następujące twierdzenie typu Cantora-Schrödera-Bernsteina :

Niech ${\ displaystyle X}$ i ${\ displaystyle Y}$ będą TVS takie, że ${\ Displaystyle X = X \ oplus X}$ i ${\ Displaystyle Y = Y \ oplus Y.}$ Załóżmy, że ${\ displaystyle Y}$ zawiera uzupełnioną kopię ${\ displaystyle X}$ i ${\ displaystyle X}$ zawiera uzupełnioną kopię ${\ displaystyle Y.}$ Wtedy ${\ displaystyle X}$ jest izomorficzny TVS z ${\ Displaystyle Y.}$

$Displaystyle Y = Y \ oplus Y}$ Samorozszczepiające się” założenia, że można usunąć i ${\$ Tim Gowers wykazał w 1996 r że istnieje istnieją nieizomorficzne przestrzenie Banacha i $displaystyle$$Y} , każda$ drugą.

W klasycznych przestrzeniach Banacha

Zrozumienie uzupełnionych podprzestrzeni dowolnej przestrzeni Banacha $izomorfizmu$ do jest klasycznym problemem, który motywował wiele prac w teorii baz, zwłaszcza rozwój operatorów sumowania bezwzględnego. Problem pozostaje otwarty dla wielu ważnych przestrzeni Banacha, w szczególności dla przestrzeni. ${\ Displaystyle L_ {1} [0,1]}$ .

Dla niektórych przestrzeni Banacha sprawa jest zamknięta. Najbardziej $}$ , jeśli to jedyne uzupełnione podprzestrzenie $displaystyle \ ell _{p},}$$}$ są izomorficzne z i to samo dotyczy ${\ displaystyle c_ {0}.}$ Takie przestrzenie nazywane są liczbami pierwszymi (kiedy ich jedyne uzupełnione podprzestrzenie o nieskończonych wymiarach są izomorficzne z oryginałem). To jednak nie jedyne najlepsze miejsca.

Przestrzenie ${\ displaystyle p \ in (1,2) \ cup (2, \ infty);}$$,$ gdy w rzeczywistości dopuszczają niezliczoną liczbę nieizomorficznych uzupełnionych podprzestrzeni.

${\ Displaystyle L_ {2} [0,1]}$ i L $\ Displaystyle L _ {\ infty} [0,1]}$ są izomorficzne z ${\ Displaystyle \ ell _ {2}}$ i $więc rzeczywiście$ one liczbami pierwszymi.

Przestrzeń nie jest $Displaystyle \ ell$ kopię ${1}}$ \ Żadne inne uzupełnione podprzestrzenie ${\ Displaystyle L_ {1} [0,1]}$ nie są obecnie znane.

Nierozkładalne przestrzenie Banacha

Nieskończenie wymiarową przestrzeń Banacha nazywamy nierozkładalną , ilekroć jej jedyne uzupełnione podprzestrzenie są albo skończenie wymiarowe, albo -współwymiarowe. Ponieważ skończona $współwymiarowa$ podprzestrzeń $nierozkładalnymi$ Banacha izomorficzna z przestrzeniami Banacha.

Najbardziej znany przykład przestrzeni nierozkładalnych jest w rzeczywistości dziedzicznie nierozkładalny, co oznacza, że ​​każda nieskończenie wymiarowa podprzestrzeń jest również nierozkładalna.

Zobacz też

• Suma bezpośrednia - operacja w algebrze abstrakcyjnej polegająca na składaniu obiektów w „bardziej skomplikowane” obiekty
• Bezpośrednia suma modułów – Działanie w algebrze abstrakcyjnej
• Bezpośrednia suma grup topologicznych

Bibliografia

•    Bachman, George; Narici, Lawrence (2000). Analiza funkcjonalna (wyd. Drugie). Mineola, Nowy Jork: Dover Publications. ISBN 978-0486402512 . OCLC 829157984 .
•    Grothendieck, Aleksander (1973). Topologiczne przestrzenie wektorowe . Przetłumaczone przez Chaljub, Orlando. Nowy Jork: Gordon and Breach Science Publishers. ISBN 978-0-677-30020-7 . OCLC 886098 .
•    Jarchow, Hans (1981). Przestrzenie lokalnie wypukłe . Stuttgart: BG Teubner. ISBN 978-3-519-02224-4 . OCLC 8210342 .
•    Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Topologiczne przestrzenie wektorowe . Matematyka czysta i stosowana (wyd. Drugie). Boca Raton, Floryda: CRC Press. ISBN 978-1584888666 . OCLC 144216834 .
•    Rudin, Walter (1991). Analiza funkcjonalna . Międzynarodowa seria z matematyki czystej i stosowanej. Tom. 8 (wyd. Drugie). New York, NY: McGraw-Hill Science/Engineering/Matematyka . ISBN 978-0-07-054236-5 . OCLC 21163277 .
•    Schaefer, Helmut H .; Wolff, Manfred P. (1999). Topologiczne przestrzenie wektorowe . GTM . Tom. 8 (wyd. Drugie). Nowy Jork, NY: Springer Nowy Jork Impressum Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0 . OCLC 840278135 .
•    Treves, François (2006) [1967]. Topologiczne przestrzenie wektorowe, rozkłady i jądra . Mineola, NY: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1 . OCLC 853623322 .
•    Wilański, Albert (2013). Nowoczesne metody w topologicznych przestrzeniach wektorowych . Mineola, Nowy Jork: Dover Publications, Inc. ISBN 978-0-486-49353-4 . OCLC 849801114 .