Silna podwójna przestrzeń

W analizie funkcjonalnej i pokrewnych obszarach matematyki silna przestrzeń dualna topologicznej przestrzeni wektorowej (TVS) $jest$ ciągłą przestrzenią podwójną ${\ Displaystyle X ^ {\ pierwsza}}$$\ Displaystyle X} }$ wyposażony w silną ( podwójną ) topologię lub topologię jednolitej zbieżności na ograniczonych podzbiorach ${\ displaystyle X}$ gdzie ta topologia jest oznaczona przez ${\ Displaystyle b \ lewo (X ^ {\ liczba pierwsza}, X \ prawo)}$ lub ${\ Displaystyle \ beta \ lewo (X ^ {\ pierwsza}, X \ prawa).}$ Najgrubsza topologia biegunowa nazywana jest topologią słabą . Silna przestrzeń dualna odgrywa tak ważną rolę we współczesnej analizie funkcjonalnej, że zwykle zakłada się, że ciągła przestrzeń dualna ma silną topologię dualną, chyba że wskazano inaczej. Aby podkreślić, że ciągła przestrzeń podwójna, $\ Displaystyle$ silną podwójną topologię, $\ styl wyświetlania X_{\beta }^{\prime }}$$X_ {b} ^ {\ pierwsza}}$ X można zapisać.

Silna podwójna topologia

cały czas zakłada się, że wszystkie przestrzenie wektorowe znajdują się $nad$$polem$ lub liczb zespolonych ${\ Displaystyle \ mathbb {C}.}$

Definicja z systemu dualnego

Główny artykuł: System podwójny

Niech ${\ Displaystyle (X, Y, \ langle \ cdot, \ cdot \ rangle)}$ będzie podwójną parą przestrzeni wektorowych nad polem ${\ displaystyle \ mathbb {F} }$ liczb rzeczywistych lub liczb $zespolonych$${\ Displaystyle \ mathbb {C}.}$ Dla każdego ${\ Displaystyle B \ subseteq X}$ i dowolnego ${\ Displaystyle y \ w Y}$ zdefiniować

$${\ Displaystyle | y | _ {B} = \ sup _ {x \ w B} | \ langle x, y \ rangle |.}$$

Ani ${\ displaystyle X},$ ani ${\ displaystyle Y}$ nie ma topologii, więc powiedzmy, że podzbiór $}$ ograniczony przez podzbiór do $}$$subseteq Y$ jeśli ${\ Displaystyle | y | _ {B}<\ infty}$ dla wszystkich ${\ Displaystyle y \ w C.}$ Więc podzbiór ${\ Displaystyle B \ subseteq X}$ nazywa się ograniczonym wtedy i tylko wtedy, gdy

$${\ Displaystyle \ sup _ {x \ w B} | \ langle x, y \ rangle | <\ infty \ quad {\ tekst {dla wszystkich}} y \ w Y.}$$

$,$$równoważne$ zwykłemu pojęciu ograniczonych podzbiorów gdy otrzymuje się słabą topologię wywołaną przez lokalnie wypukłą Hausdorffa

Niech oznacza rodzinę wszystkich podzbiorów $ograniczoną$ przez elementy $Y$$}$ to znaczy, że $zbiorem$ wszystkich podzbiorów takich, że dla każdego $w Y$$\$

$${\ Displaystyle | y | _ {B} = \ sup _ {x \ w B} | \ langle x, y \ rangle | <\ infty.}$$

Wtedy silna topologia ${\ Displaystyle \ beta (Y, X, \ langle \ cdot, \ cdot \ rangle)}$ na ${\ Displaystyle Y,}$ również oznaczona przez ${\ Displaystyle b (Y, X, \ langle \ cdot \ cdot \ rangle)}$ lub po prostu ${\ Displaystyle \ beta (Y, X)}$ lub b $\ Displaystyle b (Y, X)}$${\ Displaystyle \ langle \ cdot \ cdot \ rangle}$ jeśli parowanie jest rozumiana, jest definiowana jako lokalnie wypukła topologia na generowana przez seminormy postaci ${\ displaystyle Y}$

$${\ Displaystyle | y | _ {B} = \ sup _ {x \ w B} | \ langle x, y \ rangle |, \ qquad y \ w Y, \ qquad B \ w {\ mathcal {B}}. }$$

Definicja silnej topologii dualnej przebiega teraz tak, jak w przypadku TVS. Zauważ, że jeśli jest TVS, którego ciągła podwójna przestrzeń oddziela punkt na $},$$\ Displaystyle X$ to jest częścią kanonicznego systemu podwójnego $_$$X$ gdzie ${\ Displaystyle \ lewo \ langle x, x ^ {\ liczba pierwsza} \ prawo \ rangle: = x ^ {\ liczba pierwsza} (x).}$ W szczególnym przypadku, gdy ${\ Displaystyle X}$ jest lokalnie wypukłą przestrzenią , silna topologia na (ciągłej) przestrzeni podwójnej $($ to znaczy na przestrzeni wszystkich ciągłych funkcjonałów liniowych $Displaystyle f: X \ do \ mathbb {F } }$$)$ jest definiowana ${\ Displaystyle X,}$ silna topologia topologią zbieżności w tj. z topologią generowaną przez półnormy postaci ${\ Displaystyle X ^ {\ liczba pierwsza}}$

$${\ Displaystyle | f | _ {B} = \ sup _ {x \ w B} | f (x) |, \ qquad {\ tekst {gdzie}} f \ w X ^$$

gdzie $przebiega$$i$ rodziną wszystkich zbiorów ograniczonych X Przestrzeń o tej $topologii$ nazywana jest podwójną $przestrzenią$ przestrzeni oznaczana ${\ Displaystyle X _ {\ beta} ^ {\ pierwsza}.}$

Definicja na TVS

Załóżmy, że jest $topologiczną$ przestrzenią wektorową (TVS nad polem $.}$$F$${\ Displaystyle X}$ Niech będzie dowolnym podstawowym systemem ograniczonych zbiorów X ; to znaczy $}$ rodziną ograniczonych podzbiorów takich $,$ że każdy ograniczony podzbiór $X$ jest podzbiorem jakiegoś ${\ Displaystyle B \ in {\ mathcal {B}}}$ ; zbiór wszystkich ograniczonych podzbiorów ${\ Displaystyle X.}$$X$ system ograniczonych zbiorów Podstawą zamkniętych sąsiedztw pochodzenia w ${\ Displaystyle X ^ {\ pierwsza}}$ są bieguny : X ′ {\ Displaystyle X ^ {\ pierwsza} }

$${\ Displaystyle B ^ {\ circ}: = \ lewo \ {x ^ {\ pierwsza} \ w X ^ {\ pierwsza}: \ sup _ {x \ w B} \ lewo | x ^ {\ pierwsza }(x)\prawo|\równik 1\prawo\}}$$

jak waha ${\ mathcal {B}}}$ ponad ${\ displaystyle$ ). Jest $|$$jak$ topologia określona przez seminorm na : B ${\ displaystyle B}$${\ Displaystyle {\ mathcal {B}}.}$ się ponad

Jeśli jest to normalne , to tak samo jest $Displaystyle$$X_ {b} ^ {\ pierwsza}}$ i ${\ Displaystyle X_ {b} ^ {\ pierwsza}}$ będzie w rzeczywistości X b ′ {\ Displaystyle X Przestrzeń Banacha . Jeśli $ma$$unormowaną$ z normą, to kanoniczną ( norma operatora $X}$ ) dane przez ${\ Displaystyle \ lewo \ | x ^ {\ liczba pierwsza} \ prawo \ |: = \ sup _ {\ | x \ | \ równoważnik 1} \ lewo | x ^ {\ liczba pierwsza} (x) \ prawo |}$ ; topologia, którą ta norma indukuje na $jest$ silną topologią dualną.

Bidual

Zobacz także: Przestrzeń Banacha § Bidual , Przestrzeń refleksyjna i Przestrzeń półrefleksyjna

Podwójny lub drugi podwójny $}$ jest $często$ oznaczany przez ${\ Displaystyle X ^ {\ pierwszy$$\$ , } :

$${\ Displaystyle X ^ {\ pierwsza \ pierwsza} \,: = \, \ lewo (X_ {b} ^ {\ pierwsza} \ prawa) ^ {\ pierwsza}}$$

gdzie $Displaystyle X_ {b} ^ {\ pierwsza}}$${\ Displaystyle b \ lewo (X ^ {\ pierwsza}, X \ prawa).}$$oznacza$ silną podwójną topologią O ile nie wskazano inaczej, zwykle przyjmuje się, że przestrzeń wektorowa jest wyposażona w ${\ Displaystyle X ^ {\ pierwsza \ pierwsza}}$ silna dualna topologia indukowana na nim przez ${\ displaystyle X}$$\ Displaystyle X_ {b} ^ {\ pierwsza},}$ w takim przypadku nazywa się to silnym bidualem X ; to jest,

$${\ Displaystyle X ^ {\ pierwsza \ pierwsza} \,: = \, \ lewo (X_ {b} ^ {\ pierwsza} \ prawa) _ {b} ^ { \główny }}$$

gdzie przestrzeń wektorowa ${\ Displaystyle b \ lewo (X ^ {\ pierwsza \ pierwsza}, X_ {b} ^ {\ pierwsza} \ prawa).}$ wyposażona w $podwójną$

Nieruchomości

Niech $TVS$ będzie lokalnie wypukłym .

• Wypukły zrównoważony ${\ Displaystyle X_ {b} ^ {\ pierwsza}.}$ zwarty podzbiór $jest$ w
• $Każdy$ ograniczony podzbiór jest silnie ograniczony
• Jeśli jest przestrzenią beczkową $,$ to topologia jest identyczna z silną topologią dualną $\right)}$$X$$\ Displaystyle b \ lewo (X, X ^ {\$ i do topologii Mackey na ${\ Displaystyle X.}$
• Jeśli jest $metryzowalną$ lokalnie wypukłą przestrzenią, to silna liczba podwójna z jest przestrzenią bornologiczną $wtedy$ i tylko wtedy, gdy jest to podczerwona , i tylko wtedy, gdy jest to przestrzeń beczkowa .
• ${\ Displaystyle X}$ jest lokalnie wypukłym TVS Hausdorffa, to ${\ Displaystyle \ lewo (X, b \ lewo (X, X ^ {\ pierwsza} \ prawej) \ prawej) }$ jest metryzowalny wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje przeliczalny zbiór ograniczonych podzbiorów $taki,$${\ displaystyle X}$ każdy ograniczony podzbiór ${\ displaystyle X}$ jest zawarty w pewnym pierwiastek ${\ Displaystyle {\ mathcal {B}}.}$
• Jeśli jest lokalnie $wypukła$ , to ta topologia jest lepsza niż wszystkie inne ${$ -topologie na $\ Displaystyle X ^ {\ pierwsza}},$ pod uwagę ${\ displaystyle {\ mathcal {G}}}$ 's, których zbiory są podzbiorami ${\ Displaystyle X.}$
• ${\ Displaystyle X}$ jest przestrzenią bornologiczną (np. przestrzenią metryzowalną lub przestrzenią LF ), to ${\ Displaystyle X_ {b (X ^ {\ pierwsza}, X)} ^ {\ pierwsza }}$ jest zakończone .

Jeśli jest przestrzenią beczkową $,$$X}$$\displaystyle X}$$z$ silną topologią X iz topologią Mackeya generowaną przez parowanie ${\ Displaystyle \ lewo (X, X ^ {\ liczba pierwsza} \ prawo).}$

Przykłady

Jeśli jest $znormalizowaną$ przestrzenią wektorową , to jej (ciągła) przestrzeń podwójna z silną topologią pokrywa się z $\ displaystyle X} \pierwsza }}$ dualną Banacha $X$ ; to znaczy z przestrzenią z topologią indukowaną $.$ operatora Odwrotnie ${\ displaystyle \ lewo (X, X ^ {\ pierwsza} \ prawej).} -$ topologia na ${\ displaystyle X}$ jest identyczna z topologią indukowaną przez normę na ${\ Displaystyle X.}$

Zobacz też

• Podwójna topologia
• Podwójny system
• Lista topologii - Lista konkretnych topologii i przestrzeni topologicznych
• Topologia biegunowa - Topologia podwójnej przestrzeni o jednolitej zbieżności na pewnym podzbiorze ograniczonych podzbiorów
• Przestrzeń refleksyjna - lokalnie wypukła topologiczna przestrzeń wektorowa, która pokrywa się z ciągłą liczbą dualną swojej ciągłej przestrzeni dualnej, zarówno jako przestrzeń liniowa, jak i topologiczna Strony wyświetlające opisy danych wiki jako rozwiązanie awaryjne
• Przestrzeń półrefleksyjna
• Silna topologia
• Topologie na przestrzeniach przekształceń liniowych

Bibliografia

•    Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Topologiczne przestrzenie wektorowe . Matematyka czysta i stosowana (wyd. Drugie). Boca Raton, Floryda: CRC Press. ISBN 978-1584888666 . OCLC 144216834 .
•    Rudin, Walter (1991). Analiza funkcjonalna . Międzynarodowa seria z matematyki czystej i stosowanej. Tom. 8 (wyd. Drugie). New York, NY: McGraw-Hill Science/Engineering/Matematyka . ISBN 978-0-07-054236-5 . OCLC 21163277 .
•    Schaefer, Helmut H .; Wolff, Manfred P. (1999). Topologiczne przestrzenie wektorowe . GTM . Tom. 8 (wyd. Drugie). Nowy Jork, NY: Springer Nowy Jork Impressum Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0 . OCLC 840278135 .
•    Treves, François (2006) [1967]. Topologiczne przestrzenie wektorowe, rozkłady i jądra . Mineola, NY: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1 . OCLC 853623322 .
•    Wonga (1979). Przestrzenie Schwartza, przestrzenie jądrowe i produkty tensorowe . Berlin Nowy Jork: Springer-Verlag. ISBN 3-540-09513-6 . OCLC 5126158 .