Notacja naukowa

Notacja naukowa to sposób wyrażania liczb , które są zbyt duże lub zbyt małe, aby można je było wygodnie zapisać w postaci dziesiętnej , ponieważ wymagałoby to zapisania niezwykle długiego ciągu cyfr. Może być określany jako forma naukowa lub standardowy formularz indeksowy lub standardowy formularz w Wielkiej Brytanii. Ten dziesiętny jest powszechnie używany przez naukowców, matematyków i inżynierów, po części dlatego, że może uprościć niektóre operacje arytmetyczne . W kalkulatorach naukowych jest to zwykle określane jako tryb wyświetlania „SCI”.

Notacja dziesiętna	Notacja naukowa
2	2 × 10 ⁰
300	3 × 10 ²
4 321 .768	4.321 768 × 10 ³
−53 000	−5,3 × 10 ⁴
6 720 000 000	6,72 × 10 ⁹
0,2	2 × 10-1 ^_
987	9,87 × 10 ²
0.000 000 007 51	7,51 × 10-9 ^_

W notacji naukowej liczby niezerowe są zapisywane w formie

m × 10 ⁿ

lub m razy dziesięć podniesione do potęgi n , gdzie n jest liczbą całkowitą , a współczynnik m jest niezerową liczbą rzeczywistą (zwykle między 1 a 10 w wartości bezwzględnej i prawie zawsze zapisywany jako końcowy ułamek dziesiętny ). Liczba całkowita n nazywana jest wykładnikiem , a liczba rzeczywista m mantysą . Termin „mantysa” może być niejednoznaczny w przypadku logarytmów, ponieważ jest to również tradycyjna nazwa ułamkowej części logarytmu wspólnego . Jeśli liczba jest ujemna, znak minus poprzedza m , jak w zwykłym zapisie dziesiętnym. W notacji znormalizowanej wykładnik dobiera się tak, aby wartość bezwzględna (moduł) mantysy m wynosiła co najmniej 1, ale mniej niż 10.

Dziesiętny zmiennoprzecinkowy to komputerowy system arytmetyczny ściśle powiązany z notacją naukową.

Notacja znormalizowana

Dowolną liczbę rzeczywistą można zapisać w postaci m × 10 ^ ⁿ na wiele sposobów: na przykład 350 można zapisać jako 3,5 × 10 ² lub 35 × 10 ¹ lub 350 × 10 ⁰ .

W znormalizowanej notacji naukowej (zwanej w Wielkiej Brytanii „formą standardową”) wykładnik n jest tak dobrany, że wartość bezwzględna m pozostaje co najmniej jeden, ale mniejsza niż dziesięć ( 1 ≤ | m | <10 ). Zatem 350 jest zapisywane jako 3,5 × 10 ² . Ta forma umożliwia łatwe porównywanie liczb: liczby z większymi wykładnikami są (ze względu na normalizację) większe niż te z mniejszymi wykładnikami, a odejmowanie wykładników daje oszacowanie liczby rzędów wielkości rozdzielanie liczb. Jest to również forma wymagana przy korzystaniu z tablic logarytmów wspólnych . W notacji znormalizowanej wykładnik n jest ujemny dla liczby o wartości bezwzględnej między 0 a 1 (np. 0,5 jest zapisywane jako 5 × 10 ⁻¹ ). 10 i wykładnik są często pomijane, gdy wykładnik wynosi 0.

Znormalizowana forma naukowa jest typową formą wyrażania dużych liczb w wielu dziedzinach, chyba że pożądana jest nieznormalizowana lub inaczej znormalizowana forma, taka jak notacja inżynierska . Znormalizowana notacja naukowa jest często nazywana notacją wykładniczą — chociaż ten drugi termin jest bardziej ogólny i ma również zastosowanie, gdy m nie jest ograniczone do zakresu od 1 do 10 (jak na przykład w notacji inżynierskiej) i do podstaw innych niż 10 (na przykład 3,15 × 2 ^ ²⁰ ).

Notacja inżynierska

Notacja inżynierska (często nazywana „ENG” w kalkulatorach naukowych) różni się od znormalizowanej notacji naukowej tym, że wykładnik n jest ograniczony do wielokrotności 3. W konsekwencji wartość bezwzględna m mieści się w zakresie 1 ≤ | m | < 1000, zamiast 1 ≤ | m | < 10. Notacja inżynierska, choć podobna w koncepcji, jest rzadko nazywana notacją naukową. Notacja inżynierska umożliwia wyraźne dopasowanie liczb do odpowiadających im przedrostków SI , co ułatwia czytanie i komunikację ustną. Na przykład 12,5 ^12,5 × 10-9 m można odczytać jako „dwanaście przecinek pięć nanometrów” i zapisać jako nm , podczas gdy ^jego 1,25 × 10-8 m odpowiednik w zapisie naukowym można by prawdopodobnie odczytać jako „jeden przecinek-dwa-pięć razy dziesięć -do-ujemnych-osiem metrów".

Znaczące liczby

Cyfra znacząca to cyfra w liczbie, która zwiększa jej precyzję. Obejmuje to wszystkie liczby niezerowe, zera między cyframi znaczącymi oraz zera wskazane jako znaczące . Wiodące i końcowe zera nie są cyframi znaczącymi, ponieważ istnieją tylko po to, aby pokazać skalę liczby. Niestety prowadzi to do niejasności. Numer 1 230 400 zwykle odczytuje się, że ma pięć cyfr znaczących: 1, 2, 3, 0 i 4, przy czym ostatnie dwa zera służą jedynie jako symbole zastępcze i nie dodają precyzji. Ta sama liczba zostałaby jednak użyta, gdyby dokładnie zmierzono również dwie ostatnie cyfry i okazało się, że są równe 0 — siedmiu cyfrom znaczącym.

Kiedy liczba jest konwertowana na znormalizowaną notację naukową, jest zmniejszana do liczby od 1 do 10. Wszystkie cyfry znaczące pozostają, ale zastępcze zera nie są już wymagane. Zatem 1 230 400 stałoby się 1,2304 × 10 ⁶ , gdyby miało pięć cyfr znaczących. Gdyby liczba była znana z sześcioma lub siedmioma cyframi znaczącymi, byłaby pokazana jako 1,230 40 × 10 ⁶ lub 1,230 400 × 10 ⁶ . Tak więc dodatkową zaletą notacji naukowej jest to, że liczba cyfr znaczących jest jednoznaczna.

Szacowane końcowe cyfry

W pomiarach naukowych zwyczajem jest zapisywanie wszystkich zdecydowanie znanych cyfr z pomiaru i oszacowanie co najmniej jednej dodatkowej cyfry, jeśli w ogóle dostępne są jakiekolwiek informacje na temat jej wartości. Wynikowa liczba zawiera więcej informacji niż bez dodatkowej cyfry, którą można uznać za cyfrę znaczącą, ponieważ przekazuje pewne informacje prowadzące do większej precyzji pomiarów i agregacji pomiarów (dodawania ich lub mnożenia).

Dodatkowe informacje o precyzji można przekazać za pomocą dodatkowej notacji. Często warto wiedzieć, jak dokładna jest ostatnia cyfra. Na przykład akceptowaną wartość masy protonu można właściwie wyrazić jako 1,672 621 923 69 (51) ⁾ 10-27 kg , (1,672 621 923 69 ± 0,000 000 000 51 × ^co × 10-27 kg jest skrótem dla .

notacja E

Wyświetlacz kalkulatora Texas Instruments TI-84 Plus pokazujący stałą Avogadro w notacji E

Większość kalkulatorów i wiele programów komputerowych przedstawia bardzo duże i bardzo małe wyniki w notacji naukowej, zwykle wywoływane przez klucz oznaczony EXP (dla wykładnika ), EEX (dla wprowadzenia wykładnika ), EE , EX , E lub ×10 ^x w zależności od dostawcy i Model. Ponieważ wykładniki z indeksem górnym , takie jak 10 ⁷ , nie zawsze mogą być wygodnie wyświetlane, litera E (lub e ) jest często używany do przedstawienia „ razy dziesięć podniesionych do potęgi” (co można by zapisać jako „× 10 ⁿ ” ), po czym następuje wartość wykładnika; innymi słowy, dla dowolnej liczby rzeczywistej m i liczby całkowitej n użycie „ m E n ” wskazywałoby na wartość m × 10 ⁿ . W tym użyciu znak e nie jest powiązany ze stałą matematyczną e ani funkcją wykładniczą e ^x (zamieszanie, które jest mało prawdopodobne, jeśli notacja naukowa jest reprezentowana przez wielką literę E ). Chociaż E oznacza wykładnik , notacja ta jest zwykle określana jako (naukowa) notacja E , a nie (naukowa) notacja wykładnicza . Stosowanie notacji E ułatwia wprowadzanie danych i czytelność w komunikacji tekstowej, ponieważ minimalizuje naciśnięcia klawiszy, pozwala uniknąć zmniejszonych rozmiarów czcionek i zapewnia prostszy i bardziej zwięzły obraz, ale w niektórych publikacjach nie jest to zalecane.

Przykłady i inne oznaczenia

Od czasu wydania pierwszej wersji dla IBM 704 w 1956 roku, język Fortran używa notacji E dla liczb zmiennoprzecinkowych. To nie było częścią wstępnej specyfikacji od 1954 roku.
Notacja E była już używana przez twórców systemu operacyjnego SHARE (SOS) dla IBM 709 w 1958 roku.
W większości popularnych języków programowania 6,022E23 (lub 6,022e23 ) odpowiada 6,022 × 10 ²³ , a 1,6 × 10 ⁻³⁵ byłoby zapisane jako 1,6E-35 (np. Ada , Analytica , C / C++ , Fortran , MATLAB , Scilab , Perl , Java , Python , Lua , JavaScript , i inni).
Po wprowadzeniu pierwszych kalkulatorów kieszonkowych obsługujących notację naukową w 1972 r. ( HP-35 , SR-10) termin dekamoc był czasem używany w nowych społecznościach użytkowników dla mnożnika potęgi dziesiętnej w celu lepszego odróżnienia go od „zwykłego „wykładniki. Podobnie litera „D” była używana w liczbach pisanych na maszynie. Notacja ta została zaproponowana przez Jima Davidsona i opublikowana w biuletynie Richarda J. Nelsona Hewlett-Packard 65 Notes for HP-65 ze stycznia 1976 roku i została przyjęta i przeniesiona do Texas Instruments autorstwa Richarda C. Vanderburgha, redaktora biuletynu 52-Notes dla użytkowników SR-52 w listopadzie 1976 r.
Wyświetlacze kalkulatorów kieszonkowych LED nie wyświetlały litery „E” ani „e”. Zamiast tego pozostawiono jedną lub więcej cyfr pustych między mantysą a wykładnikiem (np. 6,022 23 , jak w Hewlett-Packard HP-25 ) lub zastosowano parę mniejszych i lekko wypukłych cyfr zarezerwowanych dla wykładnika (np. 6,022 ²³ , na przykład w Commodore PR100 ).
Fortran (przynajmniej od FORTRAN IV od 1961 r.) również używa „D” do oznaczania liczb podwójnej precyzji w notacji naukowej.
Podobnie, „D” było używane przez komputery kieszonkowe Sharp PC-1280, PC-1470U, PC-1475, PC-1480U , PC- 1490U , PC-1490UII , PC-E500 , PC-E500S , PC-E550 , PC- E650 i PC-U6000 do oznaczania 20-cyfrowych liczb podwójnej precyzji w notacji naukowej w języku BASIC w latach 1987-1995.
Niektóre nowsze kompilatory FORTRAN, takie jak DEC FORTRAN 77 (f77), Intel Fortran , Compaq/Digital Visual Fortran lub GNU Fortran (gfortran) obsługują „Q” oznaczające liczby o poczwórnej precyzji w notacji naukowej.
MATLAB obsługuje obie litery, „E” i „D”, aby wskazać liczby w notacji naukowej.
Język programowania ALGOL 60 (1960) używa znaku _{10 w indeksie dolnym} zamiast litery E, na przykład: 6.022 ₁₀ 23 .
Użycie „ ₁₀ ” w różnych standardach Algola stanowiło wyzwanie dla niektórych systemów komputerowych, które nie zapewniały takiego znaku „ ₁₀ ”. W konsekwencji Algol- W Uniwersytetu Stanforda wymagał użycia pojedynczego cudzysłowu, np. 6,022'+23 , a niektóre sowieckie warianty Algola pozwalały na użycie znaku cyrylicy " ю ", np. 6,022ю+23.
Następnie język programowania ALGOL 68 umożliwił wybór 4 znaków: E , e , \ lub ₁₀ . Przykłady: 6.022E23 , 6.022e23 , 6.022\23 lub 6.022 ₁₀ 23 .

Ten artykuł zawiera znaki Unicode „ Różne techniczne ”. Bez odpowiedniego wsparcia renderowania zamiast „ ₁₀ ” ( symbol wykładnika dziesiętnego U+23E8 TTF ) możesz zobaczyć znaki zapytania, prostokąty lub inne symbole .

Symbol wykładnika dziesiętnego jest częścią standardu Unicode , np. 6.022⏨23 . Jest zawarty jako U + 23E8 ⏨ SYMBOL WYKŁADNIKA DZIESIĘTNEGO , aby dostosować się do użycia w językach programowania Algol 60 i Algol 68.
w 1962 r. Ronald O. Whitaker z Rowco Engineering Co. zaproponował nazewnictwo systemu potęgi dziesięciu, w którym wykładnik byłby zakreślony, np. 6,022 × 10 ³ byłoby zapisywane jako „6,022③”.
Kalkulatory z serii TI-83 i TI-84 Plus używają stylizowanego znaku E do wyświetlania wykładnika dziesiętnego oraz znaku 10 do oznaczenia równoważnego operatora ×10^ .
Język programowania Simula wymaga użycia & (lub && dla long ), na przykład: 6.022&23 (lub 6.022&&23 ).
Język Wolframa (wykorzystywany w Mathematica ) pozwala na skróconą notację 6,022*^23 . (Zamiast tego E oznacza stałą matematyczną e ).

Wykorzystanie spacji

W znormalizowanej notacji naukowej, w notacji E oraz w notacji inżynierskiej, spacja ( która przy składaniu może być reprezentowana przez spację o normalnej szerokości lub cienką spację ), która jest dozwolona tylko przed i po „×” lub przed „E” jest czasami pomijany, chociaż rzadziej robi się to przed znakiem alfabetu.

Dalsze przykłady notacji naukowej

Masa elektronu wynosi około 0,000 000 000 000 000 000 000 000 000 910 938 356 kg . W notacji naukowej 000 ^jest 9,109 383 56 × 10-31 kg to zapisane jako (w jednostkach SI).
Masa Ziemi wynosi około 5 000 000 kg . _ 400 000 000 000 972 000 W notacji naukowej jest to zapisane jako 5,9724 × 10 ²⁴ kg .
Obwód Ziemi wynosi około 40 000 000 m . W notacji naukowej jest to 4 × 10 ⁷ m . W notacji inżynierskiej jest to zapisywane jako 40 × 10 ⁶ m . W stylu SI można to zapisać jako 40 Mm ( 40 megametrów ).
Cal jest definiowany jako dokładnie 25,4 mm . Podanie wartości 25.400 mm pokazuje, że wartość jest poprawna z dokładnością do mikrometra. Przybliżona wartość zawierająca tylko dwie cyfry znaczące wynosiłaby 2,5 × 10 ¹ mm . Ponieważ nie ma ograniczeń co do liczby cyfr znaczących, długość cala można w razie potrzeby zapisać jako (powiedzmy) 2,540 000 000 00 × 10 ¹ mm .
Hiperinflacja to problem, który powstaje, gdy drukuje się zbyt dużo pieniędzy w związku ze zbyt małą liczbą towarów, co powoduje wzrost stopy inflacji o 50% lub więcej w ciągu jednego miesiąca; waluty z czasem tracą swoją wewnętrzną wartość. Niektóre kraje miały stopę inflacji na poziomie 1 miliona procent lub więcej w ciągu jednego miesiąca, co zwykle skutkuje porzuceniem waluty danego kraju wkrótce potem. W listopadzie 2008 r. miesięczna stopa inflacji dolara Zimbabwe osiągnęła 79,6 mld procent; przybliżona wartość z trzema cyframi znaczącymi wyniosłaby 7,96 × 10 ¹⁰ procent.

Konwersja liczb

Konwersja liczby w takich przypadkach oznacza przekształcenie liczby w notację naukową, przekształcenie jej z powrotem w postać dziesiętną lub zmianę części wykładniczej równania. Żadne z nich nie zmienia rzeczywistej liczby, tylko sposób jej wyrażenia.

Dziesiętny do naukowego

Najpierw przesuń separator dziesiętny o odpowiednią liczbę miejsc, n , aby umieścić wartość liczby w żądanym zakresie, między 1 a 10 dla zapisu znormalizowanego. Jeśli przecinek został przesunięty w lewo, dodaj × 10 ⁿ ; w prawo, × 10 ⁻ⁿ . Aby przedstawić liczbę 1 230 400 w znormalizowanym zapisie naukowym, separator dziesiętny zostałby przesunięty o 6 cyfr w lewo i dodany × 10 ⁶ , co dałoby 1,2304 × 10 ⁶ . Liczba -0,004 0321 miałaby separator dziesiętny przesunięty o 3 cyfry w prawo zamiast w lewo i dałaby −4,0321 × 10 ⁻³ w rezultacie.

Naukowy do dziesiętnego

Konwertując liczbę z zapisu naukowego na dziesiętny, najpierw usuń × 10 ⁿ na końcu, a następnie przesuń separator dziesiętny n cyfr w prawo ( n dodatnie ) lub w lewo ( n ujemny ). Liczba 1,2304 × 10 ⁶ miałaby przesunięty separator dziesiętny o 6 cyfr w prawo i stałaby się liczbą 1 230 400 , podczas gdy separator dziesiętny liczby −4,0321 × 10 ^{−3 zostałby przesunięty o 3 cyfry w lewo i wyniósłby} −0,004 0321 .

Wykładniczy

Konwersję między różnymi reprezentacjami w notacji naukowej tej samej liczby z różnymi wartościami wykładniczymi uzyskuje się przez wykonanie przeciwnych operacji mnożenia lub dzielenia przez potęgę dziesiątą na mantysach i odejmowanie lub dodawanie jednego na części wykładniczej. Separator dziesiętny w mantysach jest przesuwany o x miejsc w lewo (lub w prawo), a x jest dodawane (lub odejmowane) od wykładnika, jak pokazano poniżej.

1,234 × 10 ³ = 12,34 × 10 ² = 123,4 × 10 ¹ = 1234

Podstawowe operacje

Biorąc pod uwagę dwie liczby w notacji naukowej,

{\ Displaystyle x_ {0} = m_ {0} \ razy 10 ^ {n_ {0}}}

I

{\ Displaystyle x_ {1} = m_ {1} \ razy 10 ^ {n_ {1}}}

Mnożenie i dzielenie odbywa się zgodnie z zasadami operacji z potęgowaniem :

{\ Displaystyle x_ {0} x_ {1} = m_ {0} m_ {1} \ razy 10 ^ {n_ {0} + n_ {1}}}

I

{\ Displaystyle {\ Frac {x_ {0}} {x_ {1}}} = {\ Frac {m_ {0}} {m_ {1}}} \ razy 10^{n_{0}-n_{1}}}

Niektóre przykłady to:

{\ Displaystyle 5,67 \ razy 10 ^ {- 5} \ razy 2,34 \ razy 10 ^ { 2}\około 13,3\razy 10^{-5+2}=13,3\razy 10^{-3}=1,33\razy 10^{-2}}

I

{\ Displaystyle {\ Frac {2,34 \ razy 10 ^ {2}} {5,67 \ razy 10 ^{-5}}}\około 0,413\razy 10^{2-(-5)}=0,413\razy 10^{7}=4,13\razy 10^{6}}

Dodawanie i odejmowanie wymaga, aby liczby były reprezentowane przy użyciu tej samej części wykładniczej, tak aby mantysa mogła być po prostu dodawana lub odejmowana:

{\ Displaystyle x_ {0} = m_ {0} \ razy 10 ^ {n_ {0}}}

i

{\ Displaystyle x_ {1} = m_ {1 } \ razy 10 ^ {n_ {1}}}

z

{\ Displaystyle n_ {0} = n_ {1}}

Następnie dodaj lub odejmij mantysy:

{\ Displaystyle x_ {0} \ pm x_ {1} = (m_ {0} \ pm m_ {1}) \ razy 10 ^ {n_ {0}} }

Przykład:

5,67 \ razy 10 ^ {- 6 }=2,34\razy 10^{-5}+0,567\razy 10^{-5}=2,907\razy 10^{-5}}

Inne bazy

Podczas gdy podstawa dziesiąta jest zwykle używana w notacji naukowej, można również użyć potęg innych podstaw, przy czym podstawa 2 jest następną najczęściej używaną.

Na przykład w notacji naukowej o podstawie 2 liczba 1001 _b w systemie binarnym (=9 _d ) jest zapisywana jako 1,001 _b × 2 _d^{11 _b} lub 1,001 _b × 10 _b^{11 _b} przy użyciu liczb binarnych (lub krócej 1,001 × 10 ¹¹ , jeśli kontekst binarny jest oczywisty). W notacji E jest to zapisane jako 1,001 _b E11 _b (lub krócej: 1,001E11), przy czym litera E oznacza teraz „razy dwa (10 _b ) do potęgi” tutaj. Aby lepiej odróżnić ten wykładnik o podstawie 2 od wykładnika o podstawie 10, wykładnik o podstawie 2 jest czasami również oznaczany za pomocą litery B zamiast E , skróconej notacji pierwotnie zaproponowanej przez Bruce'a Alan Martin z Brookhaven National Laboratory w 1968 r., jak w 1,001 _b B11 _b (lub krócej: 1,001 B11) Dla porównania, ta sama liczba w reprezentacji dziesiętnej : 1,125 × 2 ³ (przy użyciu reprezentacji dziesiętnej) lub 1.125B3 (nadal przy użyciu reprezentacji dziesiętnej). Niektóre kalkulatory używają reprezentacji mieszanej dla binarnych liczb zmiennoprzecinkowych, w której wykładnik jest wyświetlany jako liczba dziesiętna nawet w trybie binarnym, więc powyższe wynosi 1,001 _b × 10 _b^{3 _d} lub krócej 1,001B3.

zmiennoprzecinkową o podstawie 2, powszechnie stosowaną w arytmetyce komputerowej, oraz stosowaniem przedrostków binarnych IEC (np. 1B10 dla 1×2 ¹⁰ ( kibi ), 1B20 dla 1×2 ²⁰ ( mebi ), 1B30 dla 1×2 ³⁰ ( gibi ), 1B40 za 1×2 ⁴⁰ ( tebi )).

Podobnie jak B (lub b ), litery H (lub h ) i O (lub o lub C ) są czasami używane do wskazania razy 16 lub 8 do potęgi , jak w 1,25 = 1,40 _h × 10 _h^0_h = 1,40H0 = 1,40h0, czyli 98000 = 2,7732 _o × 10 _o^{5 _o} = 2,7732o5 = 2,7732C5.

Inną podobną konwencją do oznaczania wykładników o podstawie 2 jest użycie litery P (lub p dla „potęgi”). W tej notacji mantysa jest zawsze rozumiana jako szesnastkowa, podczas gdy wykładnik zawsze ma być dziesiętna. Ta notacja może być tworzona przez implementacje rodziny funkcji printf zgodnie ze specyfikacją C99 i ( Single Unix Specification ) standardem IEEE Std 1003.1 POSIX , przy użyciu specyfikatorów konwersji %a lub %A . Począwszy od C++11 , funkcje we/wy C++ mogą również analizować i wyświetlać notację P. Tymczasem notacja została w pełni przyjęta przez standard języka od czasu C++17 . Swift firmy Apple również to obsługuje. Jest to również wymagane przez binarny standard zmiennoprzecinkowy IEEE 754-2008 . Przykład: 1,3DEp42 reprezentuje 1,3DE _h × 2 ⁴² .

Notację inżynierską można postrzegać jako notację naukową o podstawie 1000.

Zobacz też

Przedrostek binarny
Notacja pozycyjna
Zmienna notacja naukowa
Notacja inżynierska
Arytmetyka zmiennoprzecinkowa
ISO 31-0
ISO 31-11
Znacząca postać
Cyfry Suzhou są zapisywane z rzędem wielkości i jednostką miary poniżej mantysy
kod RKM
Międzynarodowe słownictwo naukowe

Linki zewnętrzne