Numer rotacji

W matematyce liczba rotacji jest niezmiennikiem homeomorfizmów koła . _ _

Historia

raz pierwszy został zdefiniowany przez Henri Poincaré w 1885 roku w odniesieniu do precesji peryhelium orbity planetarnej . Poincaré udowodnił później twierdzenie charakteryzujące istnienie orbit okresowych pod względem racjonalności liczby rotacji.

Definicja

$S$ że zachowującym orientację koła ${\ Displaystyle S ^ {1} = \ mathbb {R} / \ mathbb {Z} .}$ Z Następnie $f$ można podnieść do homeomorfizmu ${\ Displaystyle F: \ mathbb {R} \ do \ mathbb { R} }$ linii rzeczywistej, satysfakcjonujące

{\ Displaystyle F (x + m) = F (x) + m}

dla każdej liczby rzeczywistej $x$ i każdej liczby całkowitej $m$ .

Liczba rotacji f $jest$ zdefiniowana w kategoriach iteracji F $:$

{\ Displaystyle \ omega (f) = \ lim _ {n \ do \ infty} {\ Frac {F ^ {n} (x) -x} {n}}.}

Henri Poincaré udowodnił, że granica istnieje i jest niezależna od wyboru punktu startowego $x$ . Winda $F$ jest unikalnymi liczbami całkowitymi modulo, dlatego liczba rotacji jest dobrze zdefiniowanym elementem $R} /\ mathbb {Z}.}$ ${$ Intuicyjnie mierzy średni kąt obrotu wzdłuż orbit f .

Przykład

Jeśli f jest obrotem o 2πθ (gdzie 0≤θ<1 ), to

{\ Displaystyle F (x) = x + \ teta,}

wtedy jego liczba rotacji wynosi θ (por. Obrót niewymierny ).

Nieruchomości

Liczba rotacji jest niezmienna w przypadku koniugacji topologicznej , a nawet półkoniugacji topologicznej monotonicznej : jeśli $f$ i $g$ są dwoma homeomorfizmami koła i

{\ Displaystyle h \ circ f = g \ circ h}

dla monotonicznej ciągłej mapy $h$ koła w sobie (niekoniecznie homeomorficznej), wtedy $f$ i $g$ mają te same liczby rotacji. Został użyty przez Poincaré i Arnaud Denjoy do topologicznej klasyfikacji homeomorfizmów koła. Istnieją dwie różne możliwości.

Liczba rotacji $f$ jest liczbą wymierną $p/q$ (w najniższych wartościach). Wtedy $f$ ma orbitę okresową , każda orbita okresowa ma okres $q$ , a kolejność punktów na każdej takiej orbicie pokrywa się z kolejnością punktów dla obrotu o $p/q$ . Co więcej, każda orbita przednia $f$ zbiega się do orbity okresowej. To samo dotyczy wstecznych , odpowiadających iteracjom $f -1$ , ale ograniczające okresowe orbity w kierunku do przodu i do tyłu mogą być różne.
Liczba rotacji $f$ jest liczbą niewymierną $θ$ . Wtedy $f$ nie ma orbit okresowych (następuje to natychmiast po rozważeniu punktu okresowego $x$ z $f$ ). Istnieją dwa podprzypadki.

Istnieje gęsta orbita. W tym przypadku $f$ jest topologicznie sprzężone z niewymiernym obrotem o kąt $θ$ i wszystkie orbity są gęste . Denjoy udowodnił, że ta możliwość jest zawsze realizowana, gdy $f$ jest dwukrotnie różniczkowalna w sposób ciągły.
Istnieje niezmiennik $C$ Cantora pod $f$ . Wtedy $C$ jest unikalnym zbiorem minimalnym, a orbity wszystkich punktów zarówno w kierunku do przodu, jak i do tyłu zbiegają się do $C$ . W tym przypadku $f$ jest półsprzężone z irracjonalną rotacją o $θ$ , a mapa półsprzężona $h$ stopnia 1 jest stała na składnikach dopełnienia $C$ .

Liczba rotacji jest ciągła , gdy jest postrzegana jako mapa z grupy homeomorfizmów (z topologią $C 0$ ) koła do koła.

Zobacz też

Herman, Michael Robert (grudzień 1979). „Sur la conjugaison différentiable des difféomorphismes du cercle à des rotations” [O różniczkowej koniugacji dyfeomorfizmów od koła do obrotów]. Publikacje Mathématiques de l'IHÉS (w języku francuskim). 49 : 5–233. doi : 10.1007/BF02684798 . S2CID 118356096 . , także SciSpace dla mniejszych plików w wersji pdf 1.3
Sebastian van Strien, Rotation Numbers and Poincaré's Theorem (2001) ^{[ stały martwy link ]}

Linki zewnętrzne

Michał Misiurewicz (red.). „Teoria rotacji” . Scholarpedia .
Weisstein, Eric W. „Numer nawijania mapy” . Z MathWorld — zasób internetowy firmy Wolfram.