Język Arnolda

Liczba obrotów dla różnych wartości dwóch parametrów mapy kołowej: Ω na osi x i K na osi y . Widoczne są niektóre kształty języka.

W matematyce , szczególnie w systemach dynamicznych , języki Arnolda (nazwane na cześć Vladimira Arnolda ) są zjawiskiem obrazowym, które występuje podczas wizualizacji, jak liczba obrotów układu dynamicznego lub inna związana z nim niezmienna właściwość zmienia się zgodnie z dwoma lub więcej jego parametrami. Zaobserwowano, że obszary o stałej liczbie rotacji w niektórych układach dynamicznych tworzą geometryczne kształty przypominające języki, w którym to przypadku nazywane są językami Arnolda.

Języki Arnolda obserwuje się w wielu różnych zjawiskach naturalnych, które obejmują oscylujące wielkości, takie jak stężenie enzymów i substratów w procesach biologicznych i falach elektrycznych serca . Czasami częstotliwość oscylacji zależy od jakiejś wielkości lub jest ograniczona (tj. synchronizacja fazowa lub modowa , w niektórych kontekstach) w oparciu o pewną wielkość i często warto zbadać tę zależność. Na przykład początek guza wyzwala w okolicy serię oscylacji substancji (głównie białek), które oddziałują ze sobą; symulacje pokazują, że te interakcje powodują pojawienie się języków Arnolda, to znaczy częstotliwość niektórych oscylacji ogranicza inne, co można wykorzystać do kontrolowania wzrostu guza.

Inne przykłady, w których można znaleźć języki Arnolda, obejmują nieharmoniczność instrumentów muzycznych, rezonans orbitalny i blokowanie pływów orbitujących księżyców, blokowanie modów w światłowodach i pętlach synchronizacji fazowej oraz innych oscylatorach elektronicznych , a także w rytmach serca , zaburzeniach rytmu serca i cykl komórkowy .

Jeden z najprostszych modeli fizycznych, który wykazuje blokowanie modów, składa się z dwóch obracających się dysków połączonych słabą sprężyną. Jeden dysk może się swobodnie obracać, a drugi jest napędzany silnikiem. Blokowanie trybu występuje, gdy swobodnie obracający się dysk obraca się z częstotliwością, która jest racjonalną wielokrotnością częstotliwości napędzanego rotatora.

Najprostszym modelem matematycznym, który wykazuje blokowanie modów, jest mapa kołowa, która próbuje uchwycić ruch wirujących dysków w dyskretnych odstępach czasu.

Standardowa mapa okręgu

Diagram bifurkacji $na$ ustalonego 1 $\ Displaystyle 1/3}$ . $K}$$\ Displaystyle [-0,5,0,5 ]}$$Displaystyle$ przechodzi od dołu do $,$ , a orbity są pokazane w przedziale zamiast ${\ Displaystyle [0,1]}$ . Czarne regiony odpowiadają językom Arnolda.

Języki Arnolda pojawiają się najczęściej podczas badania interakcji między oscylatorami , szczególnie w przypadku, gdy jeden oscylator napędza drugi. Oznacza to, że jeden oscylator zależy od drugiego, ale nie odwrotnie, więc nie wpływają na siebie nawzajem, jak to ma miejsce na przykład w modelach Kuramoto . Jest to szczególny przypadek napędzanych oscylatorów , z siłą napędową, która ma zachowanie okresowe. Jako praktyczny przykład, komórki serca (oscylator zewnętrzny) wytwarzają okresowe sygnały elektryczne, aby stymulować skurcze serca (oscylator napędzany); tutaj przydałoby się określić zależność między częstotliwościami oscylatorów, być może do zaprojektowania lepszych sztucznych rozruszników serca . Rodzina map kołowych służy jako użyteczny model matematyczny tego zjawiska biologicznego, jak również wielu innych.

Rodzina map okręgów to funkcje (lub endomorfizmy ) koła względem siebie. Matematycznie prościej jest uznać punkt na ${\ displaystyle$ za punkt na linii rzeczywistej, który należy interpretować modulo , reprezentujący kąt, pod którym znajduje się punkt $x$ okrąg. Kiedy modulo przyjmuje się z wartością inną niż ${$ wynik nadal reprezentuje kąt, ale musi być znormalizowany, aby cały zakres $]}$$[0,2 \ pi$ można przedstawić. Mając to na uwadze, rodzina map kołowych jest dana przez:

${\ Displaystyle \ teta _ {i + 1} = g (\ teta _ {i}) + \ omega}$

gdzie jest „naturalną” częstotliwością oscylatora, a $jest$$okresową$ , która daje wpływ powodowany przez zewnętrzny oscylator $,$ że jeśli dla wszystkich po prostu krąży po okręgu w raz; $}$$displaystyle$ w szczególności, jeśli jest $,$ mapa redukuje się do irracjonalnego obrotu .

Konkretna mapa okręgu pierwotnie badana przez Arnolda, która nadal okazuje się użyteczna nawet w dzisiejszych czasach, to:

${\ Displaystyle \ teta _ {i + 1} = \ teta _ {i} + \ Omega + {\ Frac {K} 2\pi}}\sin(2\pi \theta _{i})}$

gdzie nazywa się $siłę$ sprzężenia i $należy$ interpretować modulo $1$ . Ta mapa wyświetla bardzo zróżnicowane zachowanie w zależności od parametrów $displaystyle$ Ω $\ Omega}$ ; ${\ Displaystyle \ Omega = 1/3}$$i$ zmieniać , otrzymujemy bifurkacji wokół tego akapitu, na którym możemy obserwować orbity okresowe , bifurkacje podwajające okres, a także możliwe chaotyczne zachowanie .

Wyprowadzanie mapy okręgu

Przedstawienie prostego modelu, w którym mapa kołowa powstaje „w sposób naturalny”. Czerwona linia to $resetowana za każdym razem,$ sinusoidalną czarną linię.

Inny sposób przeglądania mapy okręgu jest następujący. $liniowo$ funkcję $,$ która . Gdy osiągnie zero, jego wartość jest resetowana do pewnej oscylującej wartości, opisanej funkcją ${\ Displaystyle Z (t) = c + b \ sin (2 \ pi t)}$ . Jesteśmy teraz $zainteresowani$ sekwencją czasów, y ( t ) osiąga

t $1}}$${\ displaystyle y (t_{n-1})=c+b\sin(2\pi t_{n-1})}$ ważne jest, że . Od tego momentu $będzie$ się zmniejszać liniowo, aż do $displaystyle$ , w którym funkcja wynosi zero, otrzymując w ten sposób: $t_ {n}}$

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównane}0&=y(t_{n-1})-a\cdot (t_{n}-t_{n-1})\\[0.5em]0&=\lewo[c+b\sin(2\ pi t_{n-1})\right]-at_{n}+at_{n-1}\\[0,5em]t_{n}&={\frac {1}{a}}\left[c+ b\sin(2\pi t_{n-1})\right]+t_{n-1}\\[0,5em]t_{n}&=t_{n-1}+{\frac {c}{ a}}+{\frac {b}{a}}\sin(2\pi t_{n-1})\end{wyrównane}}}$

a wybierając i wybierając i ${\ Displaystyle K = 2 \ pi b/a}$$Displaystyle \ Omega = c/a$ otrzymujemy omówioną wcześniej mapę okręgu:

${\ Displaystyle t_ {n} = t_ {n-1} + \ Omega + {\ Frac {K} {2 \ pi}} \ sin (2 \ pi t_ {n-1}).}$

Glass, L. (2001) $powyżej$ do niektórych systemów biologicznych, takich jak regulacja stężenia substancji w komórkach lub krwi, przy czym reprezentuje stężenie substancja.

tym modelu blokada fazowa oznaczałaby, że $dokładnie$$}$ co $N$$}$ { $M$ okresy sinusoidy ${\ Displaystyle z (t)}$ . Z kolei liczba rotacji byłaby ilorazem. ${\ displaystyle N/M}$ .

Nieruchomości

Rozważ ogólną rodzinę endomorfizmów okręgu:

${\ Displaystyle \ teta _ {i + 1} = g (\ teta _ {i}) + \ omega}$

gdzie dla standardowej mapy okręgu mamy to ${\ Displaystyle g (\ teta) = \ teta + (K / 2 \ pi) \sin(2\pi \theta )}$ . Czasami wygodnie będzie również przedstawić mapę okręgu w kategoriach odwzorowania : ${\ Displaystyle f (\ theta)}$ :

${\ Displaystyle \ teta _ {i + 1} = f (\ teta _ {i}) = \ teta _ {i} + \ Omega + {\ Frac {K} {2 \ pi}} \ sin (2 \ pi \theta_{i}).}$

Przejdziemy teraz do wyliczenia kilku interesujących właściwości tych endomorfizmów okręgu.

P1. ${\ displaystyle f}$$}$ monotonicznie dla $displaystyle K <1}$$displaystyle K$ , więc dla tych wartości iteracje poruszają się tylko do przodu w K < 1 { \ koło, nigdy wstecz. Aby to zobaczyć, zauważ, że pochodna z to: ${\ displaystyle f}$

${\ Displaystyle f '(\ teta) = 1 + K \ cos (2 \ pi \ teta)}$

co jest dodatnie, o ile ${\ Displaystyle K <1}$ .

P2. Rozszerzając relację powtarzalności, otrzymujemy wzór na: ${\ displaystyle \ theta _ {n}}$ :

${\ Displaystyle \ theta _ {n} = \ theta _ {0} + n \ Omega + {\ Frac {K} {2 \ pi}} \ suma _ {i = 0} ^ {n} \ sin (2 \ pi \theta _{i}).}$

P3. Załóżmy, że $}$ okresowe punkty stałe okresu $n$$- \ theta _ {0}) \ cdot 1}$ z częstotliwością 1 Hz, liczba oscylacji sinusa na cykl $będzie$ wynosić $Displaystyle M = (\ theta _ {n$${\ displaystyle n: M}$ , charakteryzując w ten sposób blokowanie fazy n .

P4. ${\ Displaystyle p \ in \ mathbb {N}}$ ∈ ${\ Displaystyle f (\ theta + p) = f (\ theta ) + p}$ prawdą jest, że , co z kolei oznacza, że ${\ Displaystyle f (\ theta + p) = f (\ theta) {\ bmod {1}}}$ . Z tego powodu dla wielu celów nie ma znaczenia, czy iteracje $są$ moduł $,$ czy nie

P5 (symetria translacyjna). $Załóżmy,$$że$ danego istnieje blokada Wtedy dla $liczbą$ z $Displaystyle$ n $np)}$$n: ($ blokowanie fazy. Oznacza to również $również$$że$ jeśli orbitą okresową jest okresowa orbita dla dowolnego ${\ Displaystyle \ Omega '= \ Omega + p, p \ in \ mathbb {N}}$ .

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ teta _ {n} '& = \ teta _ {0} + n \ Omega '+{\frac {K}{2\pi}}\sum _{i=0}^{n}\sin(2\pi \theta _{i})\\&=\theta _{0}+ n(\Omega +p)+{\frac {K}{2\pi}}\sum _{i=0}^{n}\sin(2\pi \theta _{i})\\&=\ theta _ {n} + np, \ koniec {wyrównane}}},$

rekurencyjna więc ponieważ ${\ Displaystyle \ theta _ {n} - \ theta _ {0} = M}$ ze względu na pierwotne blokowanie fazowe, teraz mielibyśmy ${\ Displaystyle \ theta _ {n} '- \ theta _ {0} = \ theta _ {n} + np- \ theta _{0}=M+np}$ .

P6. Dla $ilekroć$ blokowanie faz $,$ . Co więcej, niech ${\ Displaystyle \ Omega = p/q \ in \ mathbb {Q}}$ , wtedy blokowanie fazy wynosi ${\ displaystyle q: p}$ .

Ω ${\ Displaystyle \ Omega = p/q}$ implikuje:

$Displaystyle \ theta _ {n} = \ theta _ {0 }+n{\frac {p}{q}}}$

a moduł równości $będzie$$obowiązywał$ wtedy, gdy $liczbą całkowitą$ a pierwszym spełnia ${ \displaystyle n=q}$ . W konsekwencji:

${\ Displaystyle \ teta _ {q} = \ teta _ {0} + p}$

${\ Displaystyle (\ teta _ {q} - \ teta _ {0} )=p}$

co $_$ fazy

W przypadku irracjonalnego $)$ co prowadzi do irracjonalnego obrotu konieczne byłoby posiadanie liczb całkowitych ${\ Displaystyle n \ Omega = k}$ i $}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle \ omega}$$jest$$racjonalne$ ale wtedy co sprzeczne z pierwotną hipotezą

Blokada trybu

Niektóre języki Arnolda dla standardowej mapy okręgu, ε = K / 2 π

Liczba obrotów jako funkcja Ω przy K utrzymywanej na stałym poziomie K = 1

Dla małych i pośrednich wartości K (tj. w zakresie od K = 0 do około K = 1) i pewnych wartości Ω, mapa wykazuje zjawisko zwane blokowaniem modów lub blokowaniem fazy . W obszarze synchronizacji fazowej wartości θ _n rosną zasadniczo jako wymierna wielokrotność n , chociaż mogą to robić chaotycznie na małą skalę.

Zachowanie ograniczające w regionach z blokadą modów jest określone przez liczbę rotacji .

${\ Displaystyle \ omega = \ lim _ {n \ do \ infty} {\ Frac {\ theta _ {n}} {n}}.}$

który jest również czasami określany jako numer uzwojenia mapy .

Regiony synchronizacji fazowej lub języki Arnolda są pokazane na żółto na rysunku po prawej stronie. Każdy taki region w kształcie litery V dotyka do wartości wymiernej Ω = p / q w granicy K → 0. Wartości ( K , Ω) w jednym z tych obszarów spowodują ruch taki, że liczba rotacji ω = p / q . Na przykład wszystkie wartości ( K , Ω) w dużym obszarze w kształcie litery V w dolnej środkowej części figury odpowiadają liczbie obrotów ω = 1 / 2 . Jednym z powodów, dla których używa się terminu „blokowanie”, jest to, że poszczególne wartości θn _K mogą być zakłócane przez dość duże przypadkowe zakłócenia (aż do szerokości języka, dla danej wartości ) , bez naruszania granicznej liczby obrotów. Oznacza to θn _, że sekwencja pozostaje „zablokowana” w sygnale, pomimo dodania znacznego szumu do szeregu . Ta zdolność do „blokowania się” w obecności szumu ma kluczowe znaczenie dla użyteczności obwodu elektronicznego z pętlą synchronizacji fazowej.

p / q istnieje region z blokadą modów . Czasami mówi się, że mapa kołowa odwzorowuje wymierne, zbiór miary zerowej przy K = 0, na zbiór miary niezerowej dla K ≠ 0. Największe języki, uporządkowane według wielkości, występują u ułamków Fareya . Ustalenie K i pobranie przekroju przez ten obraz, tak że ω jest wykreślone jako funkcja Ω, daje „diabelskim schodom”, kształt, który jest ogólnie podobny do funkcji Cantora . Można pokazać, że dla K<1 , mapa kołowa jest dyfeomorfizmem, istnieje tylko jedno stabilne rozwiązanie. Jednak ponieważ K>1 to już nie obowiązuje i można znaleźć regiony dwóch nakładających się regionów blokujących. W przypadku mapy kołowej można wykazać, że w tym regionie nie więcej niż dwa regiony blokujące w trybie stabilnym mogą się nakładać, ale nie jest znane żadne ograniczenie liczby nakładających się języków Arnolda dla ogólnych systemów zsynchronizowanych.

Mapa okręgu pokazuje również podharmoniczne drogi prowadzące do chaosu, czyli okresowe podwojenie postaci 3, 6, 12, 24,....

Standardowa mapa Czirikowa

Standardowa mapa Chirikowa jest powiązana z mapą kołową, mającą podobne relacje powtarzalności, które można zapisać jako

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ teta _ {n + 1 }&=\theta _{n}+p_{n}+{\frac {K}{2\pi }}\sin(2\pi \theta _{n})\\p_{n+1}&= \theta _{n+1}-\theta _{n}\end{wyrównane}}}$

z obiema iteracjami wziętymi modulo 1. W istocie mapa standardowa wprowadza pęd p _n , który może się dynamicznie zmieniać, zamiast być wymuszonym, jak ma to miejsce na mapie kołowej. Standardowa mapa jest badana w fizyce za pomocą hamiltonianu wirnika kopniętego .

Aplikacje

Języki Arnolda zostały zastosowane do badania

• Rytmy serca – patrz Glass, L. i in. (1983) i McGuinness, M. i in. (2004)
• Synchronizacja rezonansowych oscylatorów z diodą tunelową

Galeria

Mapa kołowa przedstawiająca regiony zablokowane w trybie lub języki Arnolda w kolorze czarnym. Ω waha się od 0 do 1 wzdłuż x , a K zmienia się od 0 na dole do 4 π na górze. Im bardziej czerwony kolor, tym dłuższy czas powtarzania.

Liczba obrotów, gdzie czarny odpowiada 0, zielony 1/2 osi od , a czerwony 1. Ω waha się od 0 do 1 wzdłuż x , a K zmienia się 0 na dole do 2 π na górze.

Zobacz też

• Sturmiańskie słowo

Notatki

• Weisstein, Eric W. „Mapa okręgu” . MathWorld .
•   Boyland, PL (1986). „Rozwidlenia map okręgów: języki Arnola, bistabilność i interwały rotacji” . Komunikacja w fizyce matematycznej . 106 (3): 353–381. Bibcode : 1986CMaPh.106..353B . doi : 10.1007/BF01207252 . S2CID 121088353 .
•   Gilmore, R.; Lefranc, M. (2002). Topologia chaosu: Alice in Stretch and Squeezeland . John Wiley & Synowie. ISBN 0-471-40816--6 . - Zawiera krótki przegląd podstawowych faktów w sekcji 2.12 .
• Szkło, L. ; Guevara, MR; Shrier, A.; Perez, R. (1983). „Rozwidlenie i chaos w okresowo stymulowanym oscylatorze serca”. Physica D: Zjawiska nieliniowe . 7 (1–3): 89–101. Bibcode : 1983PhyD....7...89G . doi : 10.1016/0167-2789(83)90119-7 . - Wykonuje szczegółową analizę rytmu serca w kontekście mapy kołowej.
•   McGuinness, M.; Hong, Y.; Galletly, D.; Larsen, P. (2004). „Języki Arnolda w układach krążeniowo-oddechowych człowieka”. Chaos . 14 (1): 1–6. Bibcode : 2004Chaos..14....1M . doi : 10.1063/1.1620990 . PMID 15003038 .

Linki zewnętrzne

• Mapa kołowa z interaktywnym apletem Java