Mapa podkowa

Nie mylić z teorią podkowy .

Mapa podkowy Smale   f   jest złożeniem trzech transformacji geometrycznych

Wmieszanie prawdziwej kulki kolorowej szpachli po kolejnych iteracjach mapy podkowy Smale

W matematyce teorii chaosu mapą podkowy jest każdy członek klasy chaotycznych map kwadratu w sobie. Jest to podstawowy przykład w badaniu układów dynamicznych . Mapa została wprowadzona przez Stephena Smale podczas badania zachowania orbit oscylatora van der Pol . Akcja mapy jest definiowana geometrycznie poprzez zgniecenie kwadratu, następnie rozciągnięcie wyniku w długi pasek, a na końcu złożenie paska w kształt podkowy.

Większość punktów ostatecznie opuszcza kwadrat pod działaniem mapy. Idą do czapek bocznych, gdzie w ramach iteracji zbiegają się do stałego punktu w jednej z czapek. Punkty, które pozostają w kwadracie podczas powtarzanej iteracji, tworzą fraktalny i są częścią niezmiennego zbioru mapy.

Zgniatanie, rozciąganie i składanie mapy podkowy jest typowe dla systemów chaotycznych, ale nie jest konieczne ani nawet wystarczające.

Na mapie podkowy ściskanie i rozciąganie są równomierne. Kompensują się wzajemnie, dzięki czemu pole kwadratu się nie zmienia. Składanie odbywa się starannie, dzięki czemu orbity, które pozostają na zawsze w kwadracie, można łatwo opisać.

Dla mapy w kształcie podkowy:

• istnieje nieskończona liczba orbit okresowych;
• istnieją okresowe orbity o dowolnie długim okresie;
• liczba orbit okresowych rośnie wykładniczo wraz z okresem; I
• w pobliżu dowolnego punktu fraktalnego zbioru niezmienników znajduje się punkt orbity okresowej.

Mapa podkowy

Mapa podkowy   f   jest dyfeomorfizmem zdefiniowanym od regionu S płaszczyzny do siebie. Region S jest kwadratem ograniczonym przez dwa półdyski. Koddomena $podkowa ”)$$jest$ podzbiorem jej . Działanie   f   jest określone przez złożenie trzech geometrycznie zdefiniowanych przekształceń. Najpierw kwadrat jest skracany wzdłuż kierunku pionowego o współczynnik a < 1 / 2 . Czapki są ściśnięte tak, aby pozostały pół-krążki przymocowane do powstałego prostokąta. Kurczenie się o współczynnik mniejszy niż połowa zapewnia, że ​​między gałęziami podkowy będzie szczelina. Następnie prostokąt jest rozciągany w poziomie o współczynnik 1 / a ; czapki pozostają bez zmian. Na koniec powstały pasek jest składany w kształt podkowy i umieszczany z powrotem w S .

Interesującą częścią dynamiki jest obraz kwadratu w sobie. Po zdefiniowaniu tej części mapę można rozszerzyć do dyfeomorfizmu , definiując jej działanie na czapki. Czapki kurczą się i ostatecznie odwzorowują wewnątrz jednej z czapek (lewej na rysunku). Rozszerzenie f do czapek dodaje stały punkt do niewędrującego zbioru mapy. Aby klasa map podkowy była prosta, zakrzywiony obszar podkowy nie powinien odwzorowywać się z powrotem na kwadrat.

Mapa podkowy jest jeden do jednego, co oznacza, że ​​odwrotność f ^-1 istnieje, gdy jest ograniczona do obrazu S pod   f .

Dzięki złożeniu skurczonego i rozciągniętego kwadratu na różne sposoby możliwe są inne rodzaje map podkowy.

Warianty mapy podkowy

Aby zapewnić, że mapa pozostanie jeden do jednego, zakontraktowany kwadrat nie może na siebie zachodzić. Kiedy działanie na kwadracie jest rozszerzone do dyfeomorfizmu, rozszerzenie nie zawsze może być wykonane na płaszczyźnie. Na przykład mapę po prawej stronie należy rozszerzyć do dyfeomorfizmu sfery za pomocą „czapki”, która owija się wokół równika.

Mapa podkowy jest dyfeomorfizmem Aksjomatu A , który służy jako model ogólnego zachowania w poprzecznym punkcie homoklinicznym , gdzie przecinają się stabilne i niestabilne rozmaitości punktu okresowego.

Dynamika mapy

Mapa podkowy została zaprojektowana w celu odtworzenia chaotycznej dynamiki przepływu w sąsiedztwie danej orbity okresowej. Sąsiedztwo jest wybrane jako mały dysk prostopadły do ​​orbity . Gdy system ewoluuje, punkty na tym dysku pozostają blisko danej okresowej orbity, śledząc orbity, które ostatecznie ponownie przecinają dysk. Inne orbity się rozchodzą.

Zachowanie wszystkich orbit na dysku można określić, rozważając, co dzieje się z dyskiem. Przecięcie dysku z zadaną orbitą okresową powraca do siebie w każdym okresie orbity, podobnie jak punkty w jego sąsiedztwie. Kiedy to sąsiedztwo powraca, jego kształt ulega zmianie. Wśród punktów z powrotem wewnątrz dysku są punkty, które opuszczą sąsiedztwo dysku i inne, które będą nadal powracać. Zbiór punktów, który nigdy nie opuszcza sąsiedztwa danej orbity okresowej, tworzy fraktal.

Symboliczną nazwę można nadać wszystkim orbitom, które pozostają w sąsiedztwie. Początkowy dysk sąsiedztwa można podzielić na niewielką liczbę regionów. Znajomość kolejności, w jakiej orbita odwiedza te regiony, pozwala dokładnie określić orbitę. Sekwencja wizytacji orbit zapewnia symboliczną reprezentację dynamiki, znaną jako dynamika symboliczna .

Orbity

_{00 00} Możliwe jest opisanie zachowania się wszystkich warunków początkowych mapy podkowy. Punkt początkowy u = ( x , y ) zostaje odwzorowany na punkt u ₁ = f ( u ). Jej iteracja to punkt u ₂ = f ( u ₁ ) = f ² ( u ), a powtarzana iteracja generuje orbitę u , u ₁ , u ₂ , ...

W ramach powtarzanej iteracji mapy podkowy większość orbit kończy się w stałym punkcie w lewej czapce. Dzieje się tak, ponieważ podkowa odwzorowuje lewą czapkę na siebie za pomocą transformacji afinicznej , która ma dokładnie jeden stały punkt. Każda orbita, która wyląduje na lewej czapce, nigdy jej nie opuszcza i zbiega się do stałego punktu w lewej czapce podczas iteracji. Punkty w prawej czapce są mapowane na lewą czapkę w następnej iteracji, a większość punktów w kwadracie jest mapowana na czapki. Podczas iteracji większość punktów będzie częścią orbit, które zbiegają się do stałego punktu w lewej czapce, ale niektóre punkty kwadratu nigdy nie opuszczają.

Iteracja kwadratu

Preobrazy kwadratowego obszaru

W kolejnych iteracjach mapy podkowy oryginalny kwadrat jest mapowany na serię poziomych pasków. Punkty w tych poziomych paskach pochodzą z pionowych pasków w oryginalnym kwadracie. Niech S ₀ będzie oryginalnym kwadratem, odwzoruj go n razy do przodu i rozważ tylko punkty, które mieszczą się z powrotem w kwadracie S ₀ , który jest zbiorem poziomych pasków

${\ Displaystyle H_ {n} = f ^ {n} (S_ {0}) \ czapka S_ {0}.}$

Punkty w poziomych paskach pochodzą z pionowych pasów

${\ Displaystyle V_ {n} = f ^ {- n} (H_ {n})}$ ,

które są poziomymi paskami H _n odwzorowanymi wstecz n razy. Oznacza to, że punkt w V _n , po n iteracjach podkowy, znajdzie się w zbiorze H _n pionowych pasków.

Niezmienny zestaw

Przecięcia, które zbiegają się do zbioru niezmiennego

Przykład miary niezmiennej

Jeśli punkt ma pozostać w kwadracie w nieskończoność, to musi należeć do zbioru Λ , który odwzorowuje sam siebie. Należy ustalić, czy ten zbiór jest pusty, czy nie. Pionowe paski V ₁ odwzorowują poziome paski H ₁ , ale nie wszystkie punkty V ₁ odwzorowują się z powrotem na V ₁ . Tylko punkty na przecięciu V 1 _i H 1 _mogą należeć do Λ , co można sprawdzić, śledząc punkty poza przecięciem dla jeszcze jednej iteracji.

Punktem przecięcia pasków poziomych i pionowych, H _n ∩ V _n , są kwadraty, które w granicy n → ∞ zbiegają się do niezmiennego zbioru Λ (zbiór ten jest przecięciem zbioru Cantora linii pionowych ze zbiorem Cantora linii poziomych ). Strukturę tego zbioru można lepiej zrozumieć, wprowadzając system etykiet dla wszystkich przecięć — dynamikę symboliczną.

Dynamika symboliczna

Podstawowe domeny mapy podkowy

Ponieważ H _n ∩ V _n ⊂ V _{1 ,} każdy ₁ punkt znajdujący się w iteracji Λ musi wylądować w lewym pionowym pasku A V lub w prawym pionowym pasku B . Dolny poziomy pasek H ₁ jest obrazem A , a górny poziomy pasek jest obrazem B , więc H ₁ = f(A) ∪ f(B) . Paski A i B można użyć do oznaczenia czterech kwadratów na przecięciu V ₁ i H ₁ :

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ Lambda _ {A \ punktor A} & = f (A) \ cap A \\\ Lambda _ {A \ punktor B} & = f (A) \ cap B \\\ Lambda _{B\bullet A}&=f(B)\cap A\\\Lambda _{B\bullet B}&=f(B)\cap B\end{aligned}}}$

Zbiór Λ _B•A składa się z punktów z paska A , które w poprzedniej iteracji znajdowały się na pasku B. Kropka służy do oddzielenia regionu, w którym znajduje się punkt orbity, od regionu, z którego pochodzi punkt.

Notację można rozszerzyć na wyższe iteracje mapy podkowy. Pionowe pasy można nazwać zgodnie z kolejnością odwiedzin pasa A lub pasa B. Na przykład zbiór ABB ⊂ V ₃ składa się z punktów z A , które wylądują w B w jednej iteracji i pozostaną w B w kolejnej iteracji:

${\ Displaystyle ABB = \ {x \ w A \, | \, f (x) \ w B \, \, \ \ operatorname {i} \, \, \, f_ {2} (x) \ w B \}.}$

Praca wstecz od tej trajektorii określa mały region, zbiór ABB , w obrębie V ₃ .

Nazwy pasków poziomych pochodzą od ich wstępnych obrazów pasków pionowych. W tym zapisie przecięcie V ₂ i H ₂ składa się z 16 kwadratów, z których jeden jest

${\ Displaystyle \ Lambda _ {AB \ punktor BB} = f_ {2} (AB) \ czapka BB.}$

Wszystkie punkty w Λ _AB•BB znajdują się w B i pozostaną w B jeszcze przez co najmniej jedną iterację. Ich poprzednia trajektoria przed lądowaniem w BB to A , a następnie B.

Orbity okresowe

Dowolne przecięcie Λ _P•F paska poziomego z paskiem pionowym, gdzie P i F są sekwencjami A s i B s, jest transformacją afiniczną małego obszaru w V ₁ . Jeśli P ma w sobie k symboli i jeśli    f ^{− k} (Λ _P•F ) i Λ _P•F przecinają się, to obszar Λ _P•F będzie miał punkt stały. Dzieje się tak, gdy sekwencja P jest tym samym co F. Na przykład Λ _ABAB•ABAB ⊂ V ₄ ∩ H ₄ ma co najmniej jeden punkt stały. Ten punkt jest również taki sam jak punkt stały w Λ _AB•AB . Poprzez umieszczanie coraz większej liczby liter AB w części P i F etykiety skrzyżowania, obszar skrzyżowania może być tak mały, jak to konieczne. Zbiega się do punktu, który jest częścią okresowej orbity mapy podkowy. Orbitę okresową można opisać najprostszą sekwencją A s i B s oznaczające jeden z regionów, które okresowo odwiedza orbita.

Dla każdej sekwencji A s i B s istnieje okresowa orbita.

Zobacz też

• Mapa Bakera
• Mapa Hénon

Notatki

• David Ruelle (2006). „Co to jest dziwny atraktor?” (PDF) . Zawiadomienia Amerykańskiego Towarzystwa Matematycznego . 53 (7): 764–765.
• Stephena Smale'a (1967). „Różniczkowalne układy dynamiczne” . Biuletyn Amerykańskiego Towarzystwa Matematycznego . 73 (6): 747–817. doi : 10.1090/S0002-9904-1967-11798-1 .
•   P. Cvitanović; G. Gunaratne; I. Procaccia (1988). „Topologiczne i metryczne właściwości dziwnych atraktorów typu Hénona”. Przegląd fizyczny A. 38 (3): 1503–1520. Bibcode : 1988PhRvA..38.1503C . doi : 10.1103/PhysRevA.38.1503 . PMID 9900529 .
•   André de Carvalho (1999). „Przycinanie frontów i tworzenie podków”. Teoria ergodyczna i systemy dynamiczne . 19 (4): 851–894. arXiv : matematyka/9701217 . doi : 10.1017/S0143385799133972 . S2CID 17153861 .
•   Andrzej de Carvalho; Toby Hall (2002). „Jak przycinać podkowę” (PDF) . Nieliniowość . 15 (3): R19–R68. Bibcode : 2002Nonli..15R..19D . doi : 10.1088/0951-7715/15/3/201 . S2CID 53417965 . Zarchiwizowane od oryginału (PDF) w dniu 2019-03-02.

Linki zewnętrzne

• „Mała Podkowa” . Scholarpedia .
• Jewgienij Demidow (2007). „Struktury homokliniczne na standardowej mapie” . ibiblio.org . Źródło 2016-07-11 .
• ChaosBook.org „Rozciągnij, złóż, przytnij”
• CHAOS VI - Chaos and Horseshoe Rozdział z filmu Chaos Josa Leysa, Étienne'a Ghysa i Auréliena Alvareza
• Richeson, David (2022-03-02). „Jak matematycy rozumieją chaos” . Magazyn Quanta .