Układ dynamiczny zachowujący miarę

„Mapa zachowująca obszar” przekierowuje tutaj. Aby zapoznać się z koncepcją odwzorowywania mapy, zobacz Mapa o równej powierzchni .

W matematyce system dynamiczny zachowujący miarę jest przedmiotem badań w abstrakcyjnym formułowaniu układów dynamicznych , aw szczególności w teorii ergodycznej . Systemy zachowujące miary są zgodne z twierdzeniem Poincarégo o powtarzalności i są szczególnym przypadkiem systemów konserwatywnych . Stanowią formalną, matematyczną podstawę dla szerokiego zakresu układów fizycznych, a w szczególności dla wielu układów z mechaniki klasycznej (w szczególności większości układów niedyssypacyjnych ), jak również układów w równowaga termodynamiczna .

Definicja

Układ dynamiczny zachowujący miarę definiuje się jako przestrzeń prawdopodobieństwa i znajdującą się na niej transformację zachowującą miarę . Bardziej szczegółowo, jest to system

${\ Displaystyle (X, {\ mathcal {B}}, \ mu, T)}$

o następującej strukturze:

• ${\ displaystyle X}$ to zbiór,
• ${\ Displaystyle {\ mathcal {B}}}$ jest σ-algebra nad ${\ Displaystyle X}$ ,
• ${\ Displaystyle \ mu: {\ mathcal {B}} \ rightarrow [0,1]}$ jest miarą prawdopodobieństwa , tak że ${\ Displaystyle \ mu (X) = 1}$ i ${\ Displaystyle \ mu (\ varnothing) = 0}$ ,
• $\ Displaystyle T: X \ rightarrow X}$${\ Displaystyle \ forall A \ in {\ mathcal {B}} \; \; \ mu (T ^ {-1} (A)) = \ mu (A)}$ jest mierzalną transformacją, która miarę , tj. $=$ .

Dyskusja

Można zapytać, dlaczego miara zachowująca transformację jest zdefiniowana w kategoriach odwrotności ${\ Displaystyle \ mu (T ^ {- 1} (A)) = \ mu (A )}$ zamiast transformacji do przodu ${\ Displaystyle \ mu (T (A)) = \ mu (A)}$ . Można to zrozumieć w dość łatwy sposób. Rozważ mapowanie } $}}$ potęg :

${\ Displaystyle {\ mathcal {T}}: P (X) \ do P (X)}$

Rozważmy teraz szczególny przypadek map $, które zachowują skrzyżowania$ , sumy $} displaystyle X}$ dopełnienia (tak, że jest to mapa zbiorów borelowskich ), a także wysyłają ${\ displaystyle X$ (ponieważ chcemy, aby był konserwatywny ). Każdą taką konserwatywną mapę zachowującą Borela można określić za pomocą jakiejś surjektywnej mapy ${\ Displaystyle T: X \ do X},$ pisząc ${\ Displaystyle {\ mathcal {T}} (A) = T ^ {- 1} (A)}$ . Oczywiście można by również zdefiniować , ale to nie wystarczy, aby określić wszystkie takie możliwe mapy ${\ Displaystyle {\ mathcal {T}} (A) = T (A$$} styl wyświetlania {\ mathcal {T}}}$ . Oznacza to, że konserwatywne mapy zachowujące Borela $nie$ być na ogół zapisywane w postaci ${\ Displaystyle {\ mathcal {T}} (A) = T (A);}$ można by rozważyć na przykład mapę przedziału jednostkowego ${\ Displaystyle T: [ 0,1)\do [0,1)}$ podane przez ${\ Displaystyle x \ mapsto 2x \ mod 1;}$ to jest mapa Bernoulliego .

$($$)$ że postać pushforward , ZA jest ogólnie nazywany pullback . Prawie wszystkie właściwości i zachowania systemów dynamicznych są definiowane w kategoriach pushforward. Na przykład operator transferu jest zdefiniowany w kategoriach przesunięcia do przodu mapy transformacji ${\ Displaystyle T}$ ; miarę można teraz rozumieć jako miarę niezmienną ; ${\ displaystyle \ mu}$ jest to po prostu wektor własny Frobeniusa – Perrona operatora przenoszenia (przypomnijmy, wektor własny FP jest największym wektorem własnym macierzy; w tym przypadku jest to wektor własny, który ma wartość własną jeden: niezmienną miarę).

Interesujące są dwa problemy klasyfikacyjne. Jeden, $,$$i$ pyta klasy Drugi, omówiony w $}$ transferu , naprawia $}$ pyta o mapy ${\ displaystyle (X, {\ mathcal {B}}}$ które są podobne do miary. Podobni do miary, ponieważ zachowują właściwości Borela, ale nie są już niezmienne; generalnie są one dyssypatywne, a więc dają wgląd w systemy dyssypatywne i drogę do równowagi.

Z punktu widzenia fizyki system dynamiczny zachowujący $opisuje$ , na przykład równowaga termodynamiczna . Ktoś mógłby zapytać: jak do tego doszło? Często odpowiedzią jest mieszanie, mieszanie , turbulencja , termalizacja lub inne podobne procesy. Jeśli mapa transformacji ${\ displaystyle T}$$mieszanie , mieszanie$ system to wszystkich tryby przejściowe zanikły. Tryby przejściowe to dokładnie te wektory własne operatora transferu, które mają wartość własną mniejszą niż jeden; niezmienna miara ${\ Displaystyle \ mu}$ jest jedynym trybem, który nie zanika. Szybkość zaniku modów przejściowych jest określona przez (logarytm) ich wartości własnych; wartość własna odpowiada nieskończonemu okresowi półtrwania.

Nieformalny przykład

Zespół mikrokanoniczny z fizyki stanowi nieformalny przykład. $w$$składającym$ pudełku o szerokości, długości i się atomów Pojedynczy atom w tym pudełku może znajdować się gdziekolwiek i mieć dowolną prędkość; byłby reprezentowany przez pojedynczy punkt w ${\ Displaystyle w \ razy l \ razy h \ razy \ mathbb {R} ^ {3}.}$$Dany$ zbiór byłby wówczas pojedynczym punktem gdzieś w przestrzeni ${\ Displaystyle (w \ razy l \ razy h) ^ {N} \ razy \ mathbb {R} ^ {3N}.}$ „Zespół” to zbiór wszystkich takich punktów, to znaczy zbiór wszystkich takich możliwych pudeł (których jest niezliczona liczba nieskończona). Ten zespół wszystkich możliwych pudeł to $powyżej$ .

W przypadku gazu doskonałego miarą $Boltzmanna$ Maxwella – . Jest to miara iloczynu , ponieważ ${\ Displaystyle p_ {i} (x, y, z, v_ {x}, v_ {y}, v_ {z}) \, d ^ {3} x \, d ^ {3} p} jest prawdopodobieństwem$ atomu ${\ Displaystyle i}$ mając położenie i prędkość ${\ Displaystyle x, y, z, v_ {x}, v_ {y}, v_ {z}}$ , wtedy dla atomów prawdopodobieństwo jest iloczynem $displaystyle$$N}$ tych. Rozumie się, że środek ten ma zastosowanie do zespołu. Na przykład jedno z możliwych pudełek w zestawie ma wszystkie atomy po jednej stronie pudełka. Prawdopodobieństwo tego można obliczyć za pomocą miary Maxwella – Boltzmanna. Będzie ogromnie mały, rzędu ${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} \ lewo (2 ^ {-3N} \ prawej).}$ Spośród wszystkich możliwych pudełek w zespole jest to śmiesznie mały ułamek.

$,$ że zapisanie funkcji przejścia trudne, a nawet jeśli jest zapisane, trudno jest wykonać z nią praktyczne obliczenia. Trudności potęgują się, jeśli interakcja nie jest interakcją typu kuli bilardowej z gazem idealnym, ale interakcją van der Waalsa lub inną interakcją odpowiednią dla cieczy lub plazmy; w takich przypadkach niezmienną miarą nie jest już rozkład Maxwella – Boltzmanna. Sztuka fizyki polega na znajdowaniu rozsądnych przybliżeń.

System ten wykazuje jedną kluczową ideę z klasyfikacji układów dynamicznych zachowujących miarę: dwa zespoły o różnych temperaturach są nierównoważne. Entropia dla danego zespołu kanonicznego zależy od jego temperatury; jako systemy fizyczne, jest „oczywiste”, że kiedy różnią się temperatury, tak samo różnią się systemy. Dotyczy to ogólnie: systemy o różnej entropii nie są izomorficzne.

Przykłady

Przykład zachowania mapy ( miara Lebesgue'a ): T : [0,1) → [0,1], ${\ Displaystyle x \ mapsto 2x \ mod 1.}$

W przeciwieństwie do powyższego nieformalnego przykładu, poniższe przykłady są wystarczająco dobrze zdefiniowane i wykonalne, aby można było wykonać jawne, formalne obliczenia.

• μ może być znormalizowaną miarą kąta dθ/2π na okręgu jednostkowym , a T obrotem. Zobacz twierdzenie o równej dystrybucji ;
• schemat Bernoulliego ;
• transformacja wymiany interwałowej ;
• z definicją odpowiedniej miary, przesunięcie podrzędne typu skończonego ;
• przepływ bazowy losowego układu dynamicznego ;
• przepływ pola wektorowego Hamiltona na wiązce stycznej zamkniętej połączonej rozmaitości gładkiej zachowuje miarę (wykorzystując miarę indukowaną na zbiorach Borela przez symplektyczną postać objętości ) przez twierdzenie Liouville'a (Hamiltona) ;
• dla niektórych map i procesów Markowa twierdzenie Kryłowa – Bogolubowa stwierdza istnienie odpowiedniej miary do utworzenia układu dynamicznego zachowującego miarę.

Uogólnienie na grupy i monoidy

Definicję układu dynamicznego zachowującego miarę można uogólnić na przypadek, w którym T nie jest pojedynczą transformacją, która jest powtarzana w celu uzyskania dynamiki systemu, ale zamiast tego jest monoidem ( lub nawet grupą , w którym to przypadku mamy działanie grupy na danej przestrzeni prawdopodobieństwa) przekształceń T _s : X → X sparametryzowane przez s ∈ Z (lub R , lub N ∪ {0}, lub [0, +∞)), gdzie każda transformacja T _s spełnia te same wymagania co T powyżej. W szczególności przekształcenia są zgodne z regułami:

• ${\ Displaystyle T_ {0} = \ operatorname {id} _ {X}: X \ rightarrow X}$ , funkcja tożsamości na X ;
• ${\ Displaystyle T_ {s} \ circ T_ {t} = T_ {t + s}}$ , ilekroć wszystkie terminy są dobrze zdefiniowane ;
• ${\ Displaystyle T_ {s} ^ {- 1} = T_ {- s}}$ , ilekroć wszystkie terminy są dobrze zdefiniowane.

Wcześniejszy, prostszy przypadek pasuje do tych ram, definiując T _s = T ^s dla s ∈ N .

Homomorfizmy

Można zdefiniować pojęcie homomorfizmu i izomorfizmu .

$\mathcal {B}},\nu ,S)}$ dwa systemy dynamiczne i $\ displaystyle {A}}$$mu$ , . Potem mapowanie

${\ Displaystyle \ varphi: X \ do Y}$

jest homomorfizmem układów dynamicznych , jeśli spełnia następujące trzy właściwości:

1. Mapa jest $_$ . _
2. b $\ mathcal {B}}}$$B) = \nu (B)}$ μ .
3. Dla ${\ Displaystyle \ mu} -$ φ $prawie$$varphi x )}$ ) .

System $B}}, \ nu, S)}$ { jest wtedy nazywany czynnikiem ${\ Displaystyle ( ( X,{\mathcal {A}},\mu, T)}$ .

Mapa jest izomorfizmem układów dynamicznych , jeśli dodatkowo istnieje inne odwzorowanie ${\ displaystyle \ varphi \;}$

${\ Displaystyle \ psi: Y \ do X}$

jest to również homomorfizm, który spełnia

1. dla ${\ Displaystyle \ mu}$ - prawie wszystkie $x$ jeden ma ${\ Displaystyle x = \ psi (\ varphi$ ;
2. ν ${\ Displaystyle y = \ varphi (\ psi y)$$\ Displaystyle \ nu}$ - prawie wszystkie ${\ Displaystyle y \ w Y}$ y .

Można więc stworzyć kategorię układów dynamicznych i ich homomorfizmów.

Ogólne punkty

Punkt x ∈ X nazywany jest punktem ogólnym , jeśli orbita punktu jest rozłożona równomiernie zgodnie z miarą.

Nazwy symboliczne i generatory

$_$ system i } _niech Q = 1 _k _ _ podział X na k mierzalnych parami rozłącznych elementów . Mając dany punkt x ∈ X , wyraźnie x należy tylko do jednego z Q _i . Podobnie iterowany punkt T ⁿ x może również należeć tylko do jednej z części. Nazwa symboliczna x , w odniesieniu do podziału Q , to ciąg liczb całkowitych { a _n } taki, że

${\ Displaystyle T ^ {n} x \ w Q_ {a_ {n}}.}$

Zbiór nazw symbolicznych w odniesieniu do partycji nazywany jest dynamiką symboliczną systemu dynamicznego. Podział Q nazywany jest generatorem lub podziałem generującym, jeśli μ-prawie każdy punkt x ma unikalną nazwę symboliczną.

Operacje na partycjach

Biorąc pod uwagę partycję Q = { Q ₁ , ..., Q _k } i system dynamiczny ${\ Displaystyle (X, {\ mathcal {B}}, T, \ mu)}$ , zdefiniuj T -pullback Q jako

${\ Displaystyle T ^ {-1} Q = \ {T ^ {-1} Q_ {1}, \ ldots, T ^ {-1} Q_ {k} \}.}$

Ponadto, biorąc pod uwagę dwa podziały Q = { Q ₁ , ..., Q _k } i R = { R ₁ , ..., R _m }, zdefiniuj ich uściślenie jako

${\ Displaystyle Q \ vee R = \ {Q_ {i} \ cap R_ {j} \ mid i = 1, \ ldots, k, \ j = 1, \ ldots, m, \ \ mu (Q_ {i} \ czapka R_{j})>0\}.}$

W przypadku tych dwóch konstrukcji udoskonalenie iterowanego wycofania jest zdefiniowane jako

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ bigvee _ {n = 0} ^ {N} T ^ {- n} Q & = \ {Q_ {i_ { 0}}\cap T^{-1}Q_{i_{1}}\cap \cdots \cap T^{-N}Q_{i_{N}}\\&{}\qquad {\mbox{ gdzie } }i_{\ell }=1,\ldots ,k,\ \ell =0,\ldots ,N,\ \\&{}\qquad \qquad \mu \left(Q_{i_{0}}\cap T ^{-1}Q_{i_{1}}\cap \cdots \cap T^{-N}Q_{i_{N}}\right)>0\}\\\end{aligned}}}$

który odgrywa kluczową rolę w konstrukcji entropii teoretycznej miary układu dynamicznego.

Entropia miary teoretycznej

Zobacz też: przybliżona entropia

Entropia partycji jest zdefiniowana jako $mathcal {Q}}}$ \

${\ Displaystyle H ({\ mathcal {Q}}) = - \ suma _ {Q \ w {\ mathcal {Q}}} \ mu (Q) \ log \ mu (Q).}$

$_$ teoretyczna w _do podziału Q = Q .., Q _k } jest wtedy zdefiniowane jako

${\ Displaystyle h _ {\ mu} (T, {\ mathcal {Q}}) = \ lim _ {N \ rightarrow \ infty} {\ Frac {1} {N}} H \ lewo (\ bigvee _ {n = 0}^{N}T^{-n}{\mathcal {Q}}\right).}$

Wreszcie, metryka Kołmogorowa-Synaja lub entropia teoretyczna miary układu dynamicznego jest zdefiniowana jako ${\ Displaystyle (X, {\ mathcal {B}}, T, \ mu)}$

${\ Displaystyle h_ {\ mu} (T) = \ sup _ {Q} h_ {\ mu} (T, Q).}$

gdzie supremum jest przejmowane przez wszystkie skończone mierzalne partycje. Twierdzenie Jakowa Synaja z 1959 roku pokazuje, że supremum jest faktycznie uzyskiwane na przegrodach, które są generatorami. Tak więc, na przykład, entropia procesu Bernoulliego wynosi log 2, ponieważ prawie każda liczba rzeczywista ma unikalne rozwinięcie binarne . Oznacza to, że można podzielić przedział jednostkowy na przedziały [0, 1/2) i [1/2, 1]. Każda liczba rzeczywista x jest albo mniejsza niż 1/2, albo nie; i podobnie jest z częścią ułamkową 2 ⁿ x .

Jeśli przestrzeń X jest zwarta i obdarzona topologią lub jest przestrzenią metryczną, to można również zdefiniować entropię topologiczną .

Twierdzenia klasyfikacyjne i antyklasyfikacyjne

Jednym z podstawowych działań w badaniu systemów zachowujących miarę jest ich klasyfikacja według ich właściwości. To znaczy, niech $wszystkich$$miary$ niech miarę ${\ Displaystyle (X, {\ mathcal {B}}, \ mu, T)}$ . Izomorfizm ${\ Displaystyle S \ sim T}$ dwóch przekształceń ${\ Displaystyle S, T}$ definiuje relację równoważności ${\ Displaystyle {\ mathcal {R}} \ podzbiór U \ razy U.}$ Celem jest zatem opisanie relacji ${\ Displaystyle {\ mathcal {R}}}$ . Uzyskano szereg twierdzeń klasyfikacyjnych; ale co ciekawe, znaleziono również wiele twierdzeń antyklasyfikacyjnych. Twierdzenia antyklasyfikacyjne stwierdzają, że istnieje więcej niż policzalna liczba klas izomorfizmów i że policzalna ilość informacji nie jest wystarczająca do sklasyfikowania izomorfizmów.

Pierwsze twierdzenie o antyklasyfikacji, wynikające z Hjortha, stwierdza, że ​​​​jeśli $w$ wyposażony słabą topologię , to zbiór nie jest $.$ borelowskim Istnieje wiele innych wyników antyklasyfikacji. Na przykład, zastępując izomorfizm równoważnością Kakutaniego , można wykazać, że istnieje niezliczona liczba nie-kakutanich równoważnych transformacji ergodycznych z zachowaniem miary każdego typu entropii.

Stoją one w przeciwieństwie do twierdzeń klasyfikacyjnych. Obejmują one:

• Sklasyfikowano transformacje ergodyczne zachowujące miarę z czystym widmem punktowym.
• Przesunięcia Bernoulliego są klasyfikowane według ich entropii metrycznej. Więcej informacji można znaleźć w teorii Ornsteina .

Zobacz też

• Twierdzenie Kryłowa-Bogolubowa o istnieniu miar niezmienniczych
• Twierdzenie Poincarégo o powtarzalności

Dalsza lektura

•   Michael S. Keane, „Ergodyczna teoria i przesunięcia podrzędne typu skończonego”, (1991), ukazująca się jako rozdział 2 w Ergodic Theory, Symbolic Dynamics and Hyperbolic Spaces , Tim Bedford, Michael Keane and Caroline Series, wyd. Oxford University Press, Oxford (1991). ISBN 0-19-853390-X (zawiera wprowadzenie wyjaśniające, ćwiczenia i obszerne odniesienia).
•   Lai-Sang Young , „Entropy in Dynamical Systems” ( pdf ; ps ), ukazujący się jako rozdział 16 w Entropy , Andreas Greven, Gerhard Keller i Gerald Warnecke, wyd. Princeton University Press, Princeton, NJ (2003). ISBN 0-691-11338-6
• T. Schürmann i I. Hoffmann, Entropia dziwnego bilarda w n-simplexach. J. Fiz. A 28(17), strona 5033, 1995. PDF-Document (daje bardziej złożony przykład systemu dynamicznego zachowującego miarę).