Twierdzenie o izomorfizmie Ornsteina

W matematyce twierdzenie o izomorfizmie Ornsteina jest głębokim wynikiem teorii ergodycznej . Stwierdza, że ​​jeśli dwa schematy Bernoulliego mają taką samą entropię Kołmogorowa , to są one izomorficzne . Wynik, podany przez Donalda Ornsteina w 1970 roku, jest ważny, ponieważ stwierdza, że ​​wiele systemów, które wcześniej uważano za niepowiązane, jest w rzeczywistości izomorficznych; obejmują one wszystkie skończone stacjonarne procesy stochastyczne , w tym łańcuchy Markowa i przesunięcia podrzędne typu skończonego , przepływy Anosowa i bilard Synaj , automorfizmy ergodyczne n - torusa i transformatę ułamkową ciągłą .

Dyskusja

Twierdzenie jest w rzeczywistości zbiorem powiązanych twierdzeń. Pierwsze twierdzenie stwierdza, że ​​jeśli dwa różne przesunięcia Bernoulliego mają taką samą entropię Kołmogorowa , to są one izomorficzne jako układy dynamiczne . Trzecie twierdzenie rozszerza ten wynik na $}$ a mianowicie, że istnieje przepływ taki, że ${1}$ jest przesunięciem Bernoulliego. Czwarte twierdzenie stwierdza, że ​​dla danej ustalonej entropii przepływ ten jest unikalny, aż do stałego przeskalowania czasu. Piąte twierdzenie stwierdza, że ​​istnieje pojedynczy, unikalny przepływ (aż do stałego przeskalowania czasu), który ma nieskończoną entropię. Wyrażenie „do stałego przeskalowania czasu” oznacza po prostu, że jeśli $displaystyle T_ {$${\ Displaystyle S_ {t} = T_ {ct}}$ dwoma o tej samej entropii, to $\$ dla pewnej stałej c . Zmiany obejmowały również dowody na to, że czynniki przesunięć Bernoulliego są izomorficzne z przesunięciami Bernoulliego, i podały kryteria dla danego układu dynamicznego zachowującego miarę, aby był izomorficzny z przesunięciem Bernoulliego.

$Bernoulliego :$ przykład, biorąc pod uwagę przesunięcie T , istnieje inne przesunięcie , które jest z nim izomorficzne.

Historia

Kwestia izomorfizmu pochodzi od von Neumanna , który zapytał, czy dwa schematy Bernoulliego BS(1/2, 1/2) i BS(1/3, 1/3, 1/3) są izomorficzne, czy nie. W 1959 r. J. Synaj i Kołmogorow odpowiedzieli przecząco, pokazując, że dwa różne schematy nie mogą być izomorficzne, jeśli nie mają tej samej entropii. W szczególności wykazali, że entropia schematu Bernoulliego BS( p ₁ , p ₂ ,..., p _n ) jest dana wzorem

${\ Displaystyle H = - \ suma _ {i = 1} ^ {N} p_ {i} \ log p_ {i}.}$

Twierdzenie o izomorfizmie Ornsteina, udowodnione przez Donalda Ornsteina w 1970 r., Stwierdza, że ​​dwa schematy Bernoulliego o tej samej entropii są izomorficzne . Rezultat jest ostry, ponieważ bardzo podobne systemy nieschematowe nie mają tej właściwości; w szczególności istnieją układy Kołmogorowa o tej samej entropii, które nie są izomorficzne. Za tę pracę Ornstein otrzymał nagrodę Bôchera .

Uproszczony dowód twierdzenia o izomorfizmie dla symbolicznych schematów Bernoulliego przeprowadzili Michael S. Keane i M. Smorodinsky w 1979 roku.

Dalsza lektura

• Steven Kalikow, Randall McCutcheon (2010) Zarys teorii ergodycznej , Cambridge University Press
• Donald Ornstein (2001) [1994], „Twierdzenie o izomorfizmie Ornsteina” , Encyklopedia matematyki , EMS Press
• Donald Ornstein (2008), „ Teoria Ornsteina ” Scholarpedia, 3 (3):3957.
•   Daniel J. Rudolph (1990) Podstawy mierzalnej dynamiki: Ergodyczna teoria przestrzeni Lebesgue'a , Oxford Science Publications. The Clarendon Press, Oxford University Press , Nowy Jork, 1990. ISBN 0-19-853572-4