Operator Gaussa-Kuzmina-Wirsinga

W matematyce operator Gaussa – Kuzmina – Wirsinga jest operatorem przenoszenia mapy Gaussa, który przyjmuje liczbę dodatnią do ułamkowej części jej odwrotności. (To nie jest to samo, co mapa Gaussa w geometrii różniczkowej ). Jej nazwa pochodzi od Carla Gaussa , Rodiona Kuzmina i Eduarda Wirsinga . Występuje w badaniu ułamków ciągłych ; jest to również związane z funkcją zeta Riemanna .

Stosunek do map i ułamków ciągłych

Mapa Gaussa

Plik: funkcja Gaussa

Funkcja Gaussa (mapa) h to:

{\ displaystyle h (x) = 1/x- \ lfloor 1/x \ rfloor.}

gdzie ${\ Displaystyle \ lfloor 1/x \ rfloor}$ oznacza funkcję podłogi .

Ma nieskończoną liczbę nieciągłości skokowych przy x = 1/ n , dla dodatnich liczb całkowitych n . Trudno to przybliżyć jednym gładkim wielomianem.

Operator na mapach

Operator Gaussa – Kuzmina – Wirsinga $}$ na funkcje jako ${\ displaystyle f$

{\ Displaystyle [Gf] (x) = \ int _ {0} ^ {1} \ delta (xh (y)) f (y) dy = \ suma _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1}{(x+n)^{2}}}f\lewo({\frac {1}{x+n}}\prawo).}

Wartości własne operatora

Pierwszą funkcją własną tego operatora jest

{\ Displaystyle {\ Frac {1} {\ ln 2}} \ {\ Frac {1} {1 + x}}}

co odpowiada wartości własnej λ ₁ = 1. Ta funkcja własna podaje prawdopodobieństwo wystąpienia danej liczby całkowitej w dalszym rozwinięciu ułamka i jest znana jako rozkład Gaussa – Kuzmina . Wynika to po części z faktu, że mapa Gaussa działa jako obcinający operator przesunięcia dla ułamków ciągłych : if

{\ Displaystyle x = [0; a_ {1}, a_ {2}, a_ {3}, \ kropki ]}

zatem ciągłą reprezentacją ułamkową liczby 0 < x <1

{\ Displaystyle h (x) = [0; a_ {2}, a_ {3}, \ kropki].}

Ponieważ jest sprzężony z $przesunięciem$ Bernoulliego , wartość własna jest prosta, a ponieważ operator pozostawia niezmienną miarę Gaussa-Kuzmina, operator jest $\ Displaystyle \ lambda _ {1} = 1}$ ergodyczny względem miary. Fakt ten pozwala na krótki dowód istnienia stałej Chinczina .

Dodatkowe wartości własne można obliczyć numerycznie; następna wartość własna to λ ₂ = −0,3036630029... (sekwencja A038517 w OEIS ), a jej wartość bezwzględna jest znana jako stała Gaussa – Kuzmina – Wirsinga . Formy analityczne dla dodatkowych funkcji własnych nie są znane. Nie wiadomo, czy wartości własne są niewymierne .

Uporządkujmy wartości własne operatora Gaussa-Kuzmina-Wirsinga według wartości bezwzględnej:

{\ Displaystyle 1 = | \ lambda _ {1}|> | \ lambda _ {2} | \ geq | \ lambda _ {3} | \ geq \ cdots.}

Tak przypuszczali w 1995 roku Philippe Flajolet i Brigitte Vallée

{\ Displaystyle \ lim \ ograniczenia _ {n \ rightarrow \ infty} } {\ Frac {\ lambda _ {n}}} {\ lambda _ {n + 1}}} = - \ varphi ^ {2}, {\ tekst { gdzie }}\varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}.}

W 2018 roku Giedrius Alkauskas przedstawił przekonujący argument, że to przypuszczenie można udoskonalić do znacznie silniejszego stwierdzenia:

{\ Displaystyle (-1) ^ {n + 1} \ lambda _ {n} = \ varphi ^ {-2n} + C \ cdot {\ Frac {\ varphi ^ {-2n}} {\ sqrt {n}} }+d(n)\cdot {\frac {\varphi ^{-2n}}{n}},{\text{gdzie }}C={\frac {{\sqrt[{4}]{5}} \cdot \zeta (3/2)}{2{\sqrt {\pi}}}}=1,1019785625880999_{+};}

$_$ funkcja $.$ i _ _ _

Ciągłe widmo

Wartości własne tworzą dyskretne widmo, gdy operator jest ograniczony do działania na funkcjach w przedziale jednostkowym osi liczb rzeczywistych. Mówiąc szerzej, ponieważ mapa Gaussa $} \displaystyle \mathbb {N} ^{\omega}\to \mathbb {C}}$ operatorem przesunięcia w Baire'a , operator GKW może być również postrzegany jako operator w przestrzeni funkcyjnej ${\ Displaystyle \ mathbb {N} ^ {\$ (traktowana jako przestrzeń Banacha , z funkcjami bazowymi jako funkcjami wskaźnikowymi na cylindrach topologii produktu ) . W tym drugim przypadku ma widmo ciągłe z wartościami własnymi na dysku jednostkowym ${\ Displaystyle | \ lambda | <1}$ płaszczyzny zespolonej. To znaczy, biorąc pod uwagę cylinder ${\ Displaystyle C_ {n} [b] = \ {(a_ {1}, a_{2},\cdots )\in \mathbb {N} ^{\omega }:a_{n}=b\}} , operator$ G przesuwa go w lewo: ${\ Displaystyle GC_ {n} [b] = C_ {n-1} [b]}$ . Biorąc ${\ Displaystyle r_ {n, b} (x)}$ za funkcję wskaźnika, która wynosi 1 na cylindrze (kiedy ${\ Displaystyle x \ w C_ {n } [b]}$ ) i zero inaczej, jeden ma to ${\ Displaystyle Gr_ {n, b} = r_ {n-1, b}}$ . Serie

{\ Displaystyle f (x) = \ suma _ {n = 1} ^ {\ infty} \ lambda ^ {n-1} r_{n,b}(x)}

wtedy jest funkcją własną o wartości własnej ${\ displaystyle \ lambda}$ . Oznacza to, że zawsze gdy sumowanie jest zbieżne, ma się $x) = \ lambda f (x)}$ ${\ Displaystyle | \ lambda | <1}$ .

Szczególny przypadek powstaje, gdy chce się rozważyć miarę Haara operatora przesunięcia, to znaczy funkcję, która jest niezmienna w przypadku przesunięć. Daje to miara Minkowskiego ${\ Displaystyle? ^ {\ pierwsza}}$ . To znaczy, że jeden ma to ${\ Displaystyle G? ^ {\ liczba pierwsza} =? ^ {\ liczba pierwsza}}$ .

Związek z funkcją zeta Riemanna

Operator GKW jest powiązany z funkcją zeta Riemanna . Zauważ, że funkcję zeta można zapisać jako

{\ Displaystyle \ zeta (s) = {\ Frac {1} {s-1}} -s \ int _ { 0}^{1}h(x)x^{s-1}\;dx}

co implikuje, że

{\ Displaystyle \ zeta (s) = {\ Frac {s} {s-1}} -s \ int _ { 0}^{1}x\left[Gx^{s-1}\right]\,dx}

przez zmianę zmiennej.

Elementy matrycy

Rozważ rozwinięcia szeregu Taylora przy x = 1 dla funkcji fa ( x ) i ${\ Displaystyle g (x) = [Gf] (x)}$ . To znaczy niech

{\ Displaystyle f (1-x) = \ suma _ {n = 0} ^ {\ infty} (-x) ^ {n} {\ Frac {f ^ {(n)} (1)} {n!} }}

i napisz podobnie dla g ( x ). Rozwinięcia dokonuje się wokół x = 1, ponieważ operator GKW źle zachowuje się przy x = 0. Rozwinięcia dokonuje się wokół 1 − x , abyśmy mogli zachować x jako liczbę dodatnią, 0 ≤ x ≤ 1. Następnie operator GKW działa na współczynniki Taylora jako

\ Displaystyle (-1) ^ {m} {\ Frac {g ^ {(m)} (1)} {m!}} = \ suma _ {n = 0} ^ {\ infty} G_ {mn} (-1)^{n}{\frac {f^{(n)}(1)}{n!}},}

gdzie elementy macierzy operatora GKW są podane przez

{\ Displaystyle G_ {mn} = \ suma _ {k = 0} ^ {n} (-1) ^ {k} {n \ wybierz k} {k + m + 1 \ wybierz m} \ lewo [\ zeta ( k+m+2)-1\prawo].}

Ten operator jest wyjątkowo dobrze uformowany, a zatem bardzo łatwy w obsłudze numerycznej. Stałą Gaussa-Kuzmina można łatwo obliczyć z dużą precyzją, przecinając numerycznie lewą górną n na n . Nie ma znanego wyrażenia w formie zamkniętej, które diagonalizuje ten operator; to znaczy, nie ma znanych wyrażeń w postaci zamkniętej dla wektorów własnych.

Zeta Riemanna

Zeta Riemanna można zapisać jako

{\ Displaystyle \ zeta (s) = {\ Frac {s} {s-1}} - s\suma _{n=0}^{\infty}(-1)^{n}{s-1 \choose n}t_{n}}

gdzie ${\ displaystyle t_ {n}}$ są podane przez powyższe elementy macierzy: t n {\ displaystyle t_ {n}}

{\ Displaystyle t_ {n} = \ suma _ {m = 0} ^ {\ infty} {\ Frac {G_ {mn}} {(m + 1) (m + 2)}}.}

Wykonując sumowania, otrzymuje się:

{\ Displaystyle t_ {n} = 1- \ gamma + \ suma _{k=1}^{n}(-1)^{k}{n \wybierz k}\left[{\frac {1}{k}}-{\frac {\zeta (k+1)} {k+1}}\prawo]}

gdzie jest stałą $Mascheroniego$ – . Te $,$ analogię do stałych Stieltjesa ale dla opadającej silni . Przez pisanie

{\ Displaystyle a_ {n} = t_ {n} - {\ Frac {1} {2 (n + 1)}}}

₀ otrzymujemy: a = −0,0772156... i a ₁ = −0,00474863... i tak dalej. Wartości szybko stają się małe, ale są oscylacyjne. Można wykonać pewne wyraźne sumy tych wartości. Można je wyraźnie powiązać ze stałymi Stieltjesa, ponownie wyrażając opadającą silnię jako wielomian ze liczbowymi Stirlinga , a następnie rozwiązując. Mówiąc bardziej ogólnie, zeta Riemanna można ponownie wyrazić jako rozwinięcie w kategoriach wielomianów Sheffera .

To rozszerzenie zeta Riemanna jest badane w następujących odnośnikach. Współczynniki maleją jako

{\ Displaystyle \ lewo ({\ Frac {2n} {\ pi}} \ prawo) ^ {1/4} e ^ {- {\ sqrt {4 \ pi n}}} \ cos \ lewo ({\ sqrt { 4\pi n}}-{\frac {5\pi }{8}}\right)+{\mathcal {O}}\left({\frac {e^{-{\sqrt {4\pi n} }}}{n^{1/4}}}\prawo).}

^ Absolwent Wprowadzenie do metod numerycznych z punktu widzenia analizy błędów wstecznych autorstwa Corlessa, Roberta, Filliona, Nicolasa
^ Alkauskas, Giedrius (2018). „Operator przenoszenia dla ciągłej mapy ułamkowej Gaussa. I. Struktura wartości własnych i wzorów śladowych”. arXiv : 1210,4083 [ matematyka.NT ].
^ Vepstas, Linas (2008). „Na Miarę Minkowskiego”. arXiv : 0810.1265 [ math.DS ].
^ Yeremin, A. Yu .; Kaporin, IE; Kerimov, MK (1985). „Obliczanie funkcji zeta Riemanna w dziedzinie zespolonej”. Komputer ZSRR. Matematyka i matematyka. fizyka . 25 (2): 111–119. doi : 10.1016/0041-5553(85)90116-8 .
^ Yeremin, A. Yu .; Kaporin, IE; Kerimov, MK (1988). „Obliczanie pochodnych funkcji zeta Riemanna w dziedzinie zespolonej”. Komputer ZSRR. Matematyka i matematyka. fizyka . 28 (4): 115–124. doi : 10.1016/0041-5553(88)90121-8 .
^ Baez-Duarte, Luis (2003). „Nowy warunek konieczny i wystarczający dla hipotezy Riemanna”. arXiv : math.NT/0307215 .
^ Baez-Duarte, Luis (2005). „Sekwencyjne kryterium podobne do Riesza dla hipotezy Riemanna” . Międzynarodowy Dziennik Matematyki i Nauk Matematycznych . 2005 (21): 3527–3537. doi : 10.1155/IJMMS.2005.3527 .
^ Flajolet, Philippe; Vepstas, Linas (2006). „O różnicach wartości Zeta”. Journal of Computational and Applied Mathematics . 220 (1–2): 58–73. arXiv : matematyka/0611332 . Bibcode : 2008JCoAM.220...58F . doi : 10.1016/j.cam.2007.07.040 . S2CID 15022096 .

Ogólne odniesienia

A. Tak. Khinchin , Continued Fractions , 1935, tłumaczenie angielskie University of Chicago Press, 1961 ISBN 0-486-69630-8 (patrz rozdział 15).
KI Babenko, O problemie Gaussa , radzieckie Doklady matematyczne 19 : 136–140 (1978) MR 472746
KI Babenko i SP Jur'ev, O dyskretyzacji problemu Gaussa , Soviet Mathematical Doklady 19 : 731–735 (1978). MR 499751
A. Durner, O twierdzeniu Gaussa-Kuzmina-Lévy'ego. Łuk. Matematyka 58 , 251-256, (1992). MR 1148200
AJ MacLeod, Wartości liczbowe o wysokiej dokładności problemu ułamka ciągłego Gaussa-Kuzmina. Komputery Matematyka. Aplikacja 26 , 37-44, (1993).
E. Wirsing, O twierdzeniu Gaussa-Kuzmina-Lévy'ego i twierdzeniu typu Frobeniusa dla przestrzeni funkcyjnych. Acta Arith. 24 , 507-528, (1974). MR 337868

Dalsza lektura

Keith Briggs, Precyzyjne obliczenie stałej Gaussa – Kuzmina – Wirsinga (2003) (zawiera bardzo obszerny zbiór odniesień).
Phillipe Flajolet i Brigitte Vallée , O stałej Gaussa-Kuzmina-Wirsinga (1995).
Linas Vepstas Operator Bernoulliego, operator Gaussa-Kuzmina-Wirsinga i Zeta Riemanna (2004) (PDF)

Linki zewnętrzne

[1] Absolwent Wprowadzenie do metod numerycznych z punktu widzenia analizy błędów wstecznych autorstwa Corlessa, Roberta, Filliona, Nicolasa

[2] Alkauskas, Giedrius (2018). „Operator przenoszenia dla ciągłej mapy ułamkowej Gaussa. I. Struktura wartości własnych i wzorów śladowych”. arXiv : 1210,4083 [ matematyka.NT ].

[3] Vepstas, Linas (2008). „Na Miarę Minkowskiego”. arXiv : 0810.1265 [ math.DS ].

[4] Yeremin, A. Yu .; Kaporin, IE; Kerimov, MK (1985). „Obliczanie funkcji zeta Riemanna w dziedzinie zespolonej”. Komputer ZSRR. Matematyka i matematyka. fizyka . 25 (2): 111–119. doi : 10.1016/0041-5553(85)90116-8 .

[5] Yeremin, A. Yu .; Kaporin, IE; Kerimov, MK (1988). „Obliczanie pochodnych funkcji zeta Riemanna w dziedzinie zespolonej”. Komputer ZSRR. Matematyka i matematyka. fizyka . 28 (4): 115–124. doi : 10.1016/0041-5553(88)90121-8 .

[6] Baez-Duarte, Luis (2003). „Nowy warunek konieczny i wystarczający dla hipotezy Riemanna”. arXiv : math.NT/0307215 .

[7] Baez-Duarte, Luis (2005). „Sekwencyjne kryterium podobne do Riesza dla hipotezy Riemanna” . Międzynarodowy Dziennik Matematyki i Nauk Matematycznych . 2005 (21): 3527–3537. doi : 10.1155/IJMMS.2005.3527 .

[8] Flajolet, Philippe; Vepstas, Linas (2006). „O różnicach wartości Zeta”. Journal of Computational and Applied Mathematics . 220 (1–2): 58–73. arXiv : matematyka/0611332 . Bibcode : 2008JCoAM.220...58F . doi : 10.1016/j.cam.2007.07.040 . S2CID 15022096 .