Orbita (dynamika)

W matematyce , szczególnie w badaniu układów dynamicznych , orbita jest zbiorem punktów powiązanych funkcją ewolucji układu dynamicznego. Można to rozumieć jako podzbiór przestrzeni fazowej , którą obejmuje trajektoria układu dynamicznego przy określonym zbiorze warunków początkowych , w miarę rozwoju systemu. Ponieważ trajektoria przestrzeni fazowej jest jednoznacznie określona dla dowolnego zestawu współrzędnych przestrzeni fazowej, różne orbity nie mogą się przecinać w przestrzeni fazowej, dlatego zbiór wszystkich orbit układu dynamicznego jest podziałem przestrzeni fazowej . Zrozumienie właściwości orbit za pomocą metod topologicznych jest jednym z celów współczesnej teorii układów dynamicznych.

W przypadku układów dynamicznych w czasie dyskretnym orbity są sekwencjami ; dla rzeczywistych układów dynamicznych orbity są krzywymi ; aw przypadku holomorficznych układów dynamicznych orbity są powierzchniami Riemanna .

Definicja

Diagram przedstawiający okresową orbitę układu masa-sprężyna w prostym ruchu harmonicznym . (Tutaj osie prędkości i położenia zostały odwrócone od standardowej konwencji w celu wyrównania dwóch diagramów)

Biorąc pod uwagę układ dynamiczny ( T , M , Φ) z T a grupą , M a zbiorem i Φ funkcją ewolucji

{\ Displaystyle \ Phi: U \ do M}

gdzie

{\ Displaystyle U \ podzbiór T \ razy M}

z

{\ Displaystyle \ Phi (0, x )=x}

definiujemy

{\ Displaystyle I (x): = \ {t \ w T: (t, x) \ w U \},}

potem zestaw

{\ Displaystyle \ gamma _ {x}: = \ {\ Phi (t, x): t \ w ja (x) \ }\podzbiór M}

nazywa się orbitą przez x . Orbita, która składa się z jednego punktu, nazywana jest orbitą stałą . Niestała orbita nazywana jest zamkniętą lub okresową , jeśli istnieje taka, że za t $\ Displaystyle t \ neq 0}$ w ${\ displaystyle I (x)}$

{\ Displaystyle \ Phi (t, x) = x}

.

Prawdziwy system dynamiczny

Biorąc pod uwagę rzeczywisty układ dynamiczny ( R , M , Φ ), ja ( x ) jest otwartym przedziałem liczb rzeczywistych , czyli ${\ Displaystyle I (x) = (t_{x}^{-},t_{x}^{+})}$ . Dla dowolnego x w M

{\ Displaystyle \ gamma _ {x} ^ {+}: = \ {\ Phi (t, x): t \ w (0,t_{x}^{+})\}}

nazywa się dodatnią półorbitą przez x i

{\ Displaystyle \ gamma _ {x} ^ {-}: = \ {\ Phi (t, x): t \ w (t_{x}^{-},0)\}}

nazywa się ujemną półorbitą przez x .

System dynamiczny w czasie dyskretnym

Dla układu dynamicznego z czasem dyskretnym:

przednia orbita x jest zbiorem:

\ Displaystyle \ gamma _ {x} ^ {+} \ {\ overset {\ underset {\ operatorname {def}}}} {= }}\ \{\Phi (t,x):t\geq 0\}}

wstecznej x jest zbiorem:

\ Displaystyle \ gamma _ {x} ^ {-} \ {\ overset {\ underset {\ operatorname {def}}}} =}}\ \{\Phi (-t,x):t\geq 0\}}

a orbita x jest zbiorem:

\ Displaystyle \ gamma _ {x} \ {\ overset {\ underset {\ operatorname {def}} {}} {=}} \ \ gamma _ {x} ^{-}\kielich \gamma _{x}^{+}}

Gdzie :

${\ Displaystyle \ Phi}$ jest funkcją ewolucji, która jest tutaj funkcją iterowaną , ${\ Displaystyle \ Phi: X \ do X}$
zestaw to przestrzeń dynamiczna , ${\ displaystyle X}$
${\ displaystyle t}$ to liczba iteracji, która jest liczbą naturalną i ${\ displaystyle t \ in T}$
${\ displaystyle x}$ to początkowy stan systemu i ${\ displaystyle x \ w X}$

Zwykle stosuje się inną notację:

${\ Displaystyle \ Phi (t, x)}$ jest zapisane jako ${\ Displaystyle \ Phi ^ {t} (x)}$
$\ Displaystyle x_ {t} = \ Phi ^ {t} (x)}$ $}$ gdzie jest ${\ displaystyle x_ {0}$ w powyższym zapisie.

Ogólny układ dynamiczny

W przypadku ogólnego układu dynamicznego, zwłaszcza w dynamice jednorodnej, gdy ma się „ładną” grupę $zachowujący$ $na$ przestrzeni prawdopodobieństwa miarę, orbitę $X}$ $. styl wyświetlania G}$ $podzbiór$ będzie nazywany okresowym (lub równoważnie zamkniętym siatką .

Ponadto terminem pokrewnym jest ograniczona orbita, gdy zbiór ${\ displaystyle Gx}$ jest wstępnie zwarty wewnątrz ${\ displaystyle X}$ .

Klasyfikacja orbit może prowadzić do interesujących pytań w odniesieniu do innych dziedzin matematyki, na przykład hipoteza Oppenheima (udowodniona przez Margulis) i hipoteza Littlewooda (częściowo udowodniona przez Lindenstraussa) zajmują się pytaniem, czy każda ograniczona orbita jakiegoś naturalnego działania na jednorodna przestrzeń ${\ Displaystyle SL_ {3} (\ mathbb {R}) \ ukośnik odwrotny SL_ {3} (\ mathbb {Z})}$ jest rzeczywiście okresowa, ta obserwacja jest spowodowana Raghunathanem iw innym języku dzięki Casselsowi i Swinnertonowi-Dyerowi. Takie pytania są ściśle związane z głębokimi twierdzeniami o klasyfikacji miar.

Notatki

Często zdarza się, że funkcja ewolucji może być rozumiana jako składająca się z elementów grupy , w którym to przypadku teoretyczne orbity grupowe działania grupowego są tym samym, co orbity dynamiczne.

Przykłady

Orbita krytyczna dyskretnego układu dynamicznego opartego na zespolonym wielomianie kwadratowym . Ma tendencję do słabego przyciągania stałego punktu z mnożnikiem = 0,99993612384259
orbita krytyczna ma tendencję do słabo przyciągającego punktu. Widać spiralę od przyciągania punktu stałego do punktu stałego odpychania (z= 0), czyli miejsca o dużym zagęszczeniu krzywych poziomów.

Orbita punktu równowagi jest orbitą stałą.

Stabilność orbit

Podstawowa klasyfikacja orbit to

stałe orbity lub stałe punkty
okresowe orbity
orbity niestałe i nieokresowe

Orbita może nie zostać zamknięta na dwa sposoby. Może to być asymptotycznie okresowa , jeśli zbiega się do orbity okresowej. Takie orbity nie są zamknięte, ponieważ tak naprawdę nigdy się nie powtarzają, ale arbitralnie zbliżają się do powtarzającej się orbity. Orbita może być również chaotyczna . Orbity te zbliżają się arbitralnie do punktu początkowego, ale nigdy nie zbiegają się do orbity okresowej. Wykazują one czułą zależność od warunków początkowych , co oznacza, że niewielkie różnice w wartości początkowej spowodują duże różnice w przyszłych punktach orbity.

Istnieją inne właściwości orbit, które pozwalają na różne klasyfikacje. Orbita może być hiperboliczna , jeśli pobliskie punkty zbliżają się lub odbiegają od orbity wykładniczo szybko.

Zobacz też

Wędrujący zestaw
Metoda przestrzeni fazowej
Wykres pajęczyny lub diagram Verhulsta
Punkty okresowe złożonych odwzorowań kwadratowych i mnożnik orbity
Portret orbity

Hale, Jack K .; Koçak, Hüseyin (1991). „Okresowe orbity”. Dynamika i bifurkacje . Nowy Jork: Springer. s. 365–388. ISBN 0-387-97141-6 .
Katok, Anatole; Hasselblatt, Borys (1996). Wprowadzenie do współczesnej teorii układów dynamicznych . Cambridge. ISBN 0-521-57557-5 .
Perko, Lawrence (2001). „Okresowe orbity, cykle graniczne i cykle Separatrix” . Równania różniczkowe i systemy dynamiczne (wyd. Trzecie). Nowy Jork: Springer. s. 202–211. ISBN 0-387-95116-4 .