Fabuła pajęczyny

Konstrukcja wykresu pajęczyny mapy logistycznej y = 2,8 x (1-x), pokazująca przyciągający stały punkt.

Animowany diagram pajęczyny mapy logistycznej y = rx (1-x), pokazujący chaotyczne zachowanie dla większości wartości r > 3,57.

Wykres pajęczyny lub diagram Verhulsta jest narzędziem wizualnym używanym w dziedzinie systemów dynamicznych matematyki do badania jakościowego zachowania jednowymiarowych funkcji iterowanych , takich jak mapa logistyczna . Korzystając z wykresu pajęczyny, można wywnioskować długoterminowy stan stanu początkowego przy wielokrotnym stosowaniu mapy.

metoda

Dla danej funkcji iterowanej f : R → R wykres składa się z linii ukośnej (x = y) i krzywej reprezentującej y = f (x). Aby $wykreślić$ zachowanie wartości zastosuj następujące kroki.

1. Znajdź punkt na krzywej funkcji ze współrzędną ${\ displaystyle x_ {0}}$ . Ma to współrzędne ( ${\ Displaystyle x_ {0}, f (x_ {0})}$ ).
2. Narysuj poziomo od tego punktu do linii ukośnej. Ma to współrzędne ( ${\ Displaystyle f (x_ {0}), f (x_ {0})}$ ).
3. Narysuj pionowo od punktu na przekątnej do krzywej funkcji. to ma współrzędne ( ${\ Displaystyle f (x_ {0}), f (f (x_ {0}))}$ ).
4. W razie potrzeby powtórz od kroku 2.

Interpretacja

Na wykresie pajęczyny stabilny stały punkt odpowiada wewnętrznej spirali , podczas gdy niestabilny stały punkt to zewnętrzny punkt. Z definicji punktu stałego wynika, że ​​spirale te będą się centrować w punkcie, w którym przekątna y=x przecina wykres funkcji. Orbita okresu 2 jest reprezentowana przez prostokąt, podczas gdy większe cykle okresu tworzą dalsze, bardziej złożone zamknięte pętle. Chaotyczna na nieskończoną liczbę niepowtarzalnych wartości.

Zobacz też

• Diagram Jonesa - podobna technika kreślenia
• Iteracja punktu stałego - iteracyjny algorytm znajdowania punktów stałych (tworzy wykres pajęczyny)