Twierdzenie Kakutaniego ( teoria miary )

W teorii miary , gałęzi matematyki , twierdzenie Kakutaniego jest fundamentalnym wynikiem dotyczącym równoważności lub wzajemnej osobliwości policzalnych miar iloczynu . Daje charakterystykę „ wtedy i tylko wtedy ”, gdy dwie takie miary są równoważne, a zatem jest niezwykle przydatna przy próbie ustalenia wzorów zmiany miary dla miar w przestrzeniach funkcyjnych . Wynik zawdzięcza japońskiemu matematykowi Shizuo Kakutani . Twierdzenie Kakutaniego można wykorzystać na przykład ${\ Displaystyle \ mu}$ określenia, czy tłumaczenie miary $}$ jest równoważne (tylko wtedy, gdy wektor translacji leży w przestrzeni Camerona – Martina ${\ displaystyle \ mu$$)$$jest$ czy dylatacja jest równoważna (tylko wtedy, gdy wartość bezwzględna współczynnika dylatacji wynosi 1, co Feldmana- Twierdzenie Hájka ).

Stwierdzenie twierdzenia

Dla każdego , niech ${\ Displaystyle n \ in \ mathbb {N}}$${\ Displaystyle \ mu _ {n}}$ i będą miarami na linii rzeczywistej ${\ Displaystyle \ nu _ {n}}$$=$ ν $_$ _ ${\ Displaystyle \ nu = \ bigotimes _ {n \ in \ mathbb {N}} \ nu _ {n}}$ być odpowiednimi miarami produktu na ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {\ infty}}$ . Załóżmy również $}$ że dla każdego i równoważne ( ${\ Displaystyle n \ in \$$mathbb$ } tj. mają te same zbiory zerowe). Następnie albo ${\ displaystyle \ mu}$ i ${\ displaystyle \ nu}$ są równoważne, albo są wzajemnie pojedyncze. Co więcej, równoważność zachodzi dokładnie wtedy, gdy iloczyn nieskończony

${\ Displaystyle \ prod _ {n \ w \ mathbb {N}} \ int _ {\ mathbb {R}} {\ sqrt {\ Frac {\ operatorname {d} \mu _{n}}{\mathrm {d} \nu _{n}}}}\,\mathrm {d} \nu _{n}}$

ma niezerową granicę; lub równoważnie, gdy nieskończona seria

${\ Displaystyle \ suma _ {n \ w \ mathbb {N}} \ log \ int _ {\ mathbb {R}}} {\ sqrt {\ frac {\mathrm {d} \mu _ {n}} {\ operatorname {d} \nu _ {n}}}} \,\ operatorname {d} \nu _ {n}}$

zbiega się.

•   Bogaczew, Władimir (1998). Miary Gaussa . Ankiety matematyczne i monografie . Tom. 62. Providence, RI: Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne. doi : 10.1090/surv/062 . ISBN 0-8218-1054-5 . (Patrz Twierdzenie 2.12.7)
• Kakutani, Shizuo (1948). „O równoważności nieskończonych miar produktu”. Ann. matematyka _ 49 : 214–224. doi : 10.2307/1969123 .