Dynamika symboliczna
W matematyce dynamika symboliczna to praktyka modelowania topologicznego lub gładkiego systemu dynamicznego za pomocą dyskretnej przestrzeni składającej się z nieskończonych sekwencji abstrakcyjnych symboli, z których każdy odpowiada stanowi systemu , z dynamiką (ewolucją) określoną przez operatora przesunięcia . Formalnie partycja Markowa jest używana do zapewnienia skończonego pokrycia dla sprawnego systemu; każdy zestaw pokrycia jest powiązany z pojedynczym symbolem, a sekwencje symboli powstają, gdy trajektoria systemu przesuwa się z jednego zestawu pokrycia do drugiego.
Historia
Pomysł wywodzi się z artykułu Jacquesa Hadamarda z 1898 r. na temat geodezji na powierzchniach o ujemnej krzywiźnie . Został zastosowany przez Marstona Morse'a w 1921 roku do budowy nieokresowej geodezyjnej rekurencyjnej. Pokrewne prace wykonali Emil Artin (dla systemu bilardowego obecnie Artin ), Pekka Myrberg , Paul Koebe , Jakob Nielsen , GA Hedlund .
Pierwsze formalne leczenie zostało opracowane przez Morse'a i Hedlunda w ich artykule z 1938 roku. George Birkhoff , Norman Levinson i para Mary Cartwright i JE Littlewood zastosowali podobne metody do jakościowej analizy nieautonomicznych równań różniczkowych drugiego rzędu .
Claude Shannon wykorzystał sekwencje symboliczne i przesunięcia typu skończonego w swoim artykule z 1948 r. Matematyczna teoria komunikacji , która dała początek teorii informacji .
W późnych latach sześćdziesiątych metoda dynamiki symbolicznej została rozwinięta w hiperboliczne automorfizmy toralne autorstwa Roya Adlera i Benjamina Weissa oraz dyfeomorfizmy Anosowa przez Jakowa Sinaia , który wykorzystał model symboliczny do skonstruowania miar Gibbsa . We wczesnych latach siedemdziesiątych teoria została rozszerzona na przepływy Anosowa przez Marinę Ratner oraz na dyfeomorfizmy i przepływy Aksjomatu A przez Rufusa Bowena .
Spektakularnym zastosowaniem metod dynamiki symbolicznej jest twierdzenie Szarkowskiego o okresowych orbitach ciągłej mapy przedziału w sobie (1964).
Przykłady
Pojęcia takie jak orbity heterokliniczne i orbity homokliniczne mają szczególnie prostą reprezentację w dynamice symbolicznej.
Plan podróży
Trasa punktu względem przegrody jest ciągiem symboli. Opisuje dynamikę punktu.
Aplikacje
Dynamika symboliczna powstała jako metoda badania ogólnych układów dynamicznych; teraz jego techniki i idee znalazły znaczące zastosowania w przechowywaniu i transmisji danych , algebrze liniowej , ruchach planet i wielu innych obszarach [ potrzebne źródło ] . Charakterystyczną cechą dynamiki symbolicznej jest to, że czas jest mierzony w dyskretnych odstępach czasu. Tak więc w każdym przedziale czasowym system znajduje się w określonym stanie . Każdy stan jest powiązany z symbolem, a ewolucję systemu opisuje nieskończoność sekwencja symboli — skutecznie reprezentowana jako ciągi znaków . Jeśli stany systemu nie są z natury dyskretne, to wektor stanu musi zostać zdyskretyzowany, aby uzyskać gruboziarnisty opis systemu.
Zobacz też
- Układ dynamiczny zachowujący miarę
- Kombinatoryka i układy dynamiczne
- Przestrzeń przesunięcia
- Przesunięcie typu skończonego
- Złożona dynamika
- Dynamika arytmetyczna
Dalsza lektura
- Hao, Bailin (1989). Elementarna dynamika symboliczna i chaos w systemach dyssypatywnych . Świat Naukowy . ISBN 9971-5-0682-3 . Zarchiwizowane od oryginału w dniu 2009-12-05 . Źródło 2009-12-02 .
- Bruce Kitchens, Dynamika symboliczna. Jednostronne, dwustronne i przeliczalne stanowe przesunięcia Markowa . Universitext, Springer-Verlag , Berlin, 1998. x+252 str. ISBN 3-540-62738-3 MR 1484730
- Lind, Douglas; Marcus, Brian (1995). Wprowadzenie do dynamiki symbolicznej i kodowania . Wydawnictwo Uniwersytetu Cambridge . ISBN 0-521-55124-2 . MR 1369092 . Zbl 1106.37301 .
- GA Hedlund, Endomorfizmy i automorfizmy przesunięcia dynamicznego układu . Matematyka Teoria systemów, tom. 3, nr 4 (1969) 320–3751
- Teschl, Gerald (2012). Równania różniczkowe zwyczajne i układy dynamiczne . Providence : Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne . ISBN 978-0-8218-8328-0 .
- „Dynamika symboliczna” . Scholarpedia .
Linki zewnętrzne
- ChaosBook.org „Wykresy przejść”