Równania Mackeya-Glassa

W matematyce i biologii matematycznej równania Mackeya -Glassa , nazwane na cześć Michaela Mackeya i Leona Glassa , odnoszą się do rodziny równań różniczkowych opóźnienia , których zachowanie udaje się naśladować zarówno zdrowe, jak i patologiczne zachowanie w określonych kontekstach biologicznych, kontrolowanych przez parametry równania. Pierwotnie używano ich do modelowania zmienności względnej ilości dojrzałych komórek we krwi. Równania są zdefiniowane jako:

{\ Displaystyle {\ Frac {dP (t)} {dt}} = {\ Frac {\ beta _{0}\theta ^{n}}{\theta ^{n}+P(t-\tau )^{n}}}-\gamma P(t)}

(Równanie 1)

I

{\ Displaystyle {\ Frac {dP (t)} {dt}} = {\frac {\beta _{0}\theta ^{n}P(t-\tau)}{\theta ^{n}+P(t-\tau)^{n}}}-\gamma P( T)}

(Równanie 2)

gdzie reprezentuje $gęstość$ komórek w czasie i $, \ gamma }$ to parametry równań.

Równanie ( 2 ) jest szczególnie godne uwagi w układach dynamicznych , ponieważ może skutkować chaotycznymi atraktorami o różnych wymiarach.

Wstęp

Szeregi czasowe wygenerowane z równań Mackey-Glass. Można to postrzegać jako modelowanie zdrowej zmienności gęstości komórek krwi. Tutaj

{\ Displaystyle \ tau = 6}

.

Wygenerowano również z równań Mackey-Glass, ale teraz można je postrzegać jako patologiczną zmianę gęstości krwinek. Tutaj

{\ Displaystyle \ tau = 20}

.

Istnieje ogromna liczba systemów fizjologicznych , które obejmują lub opierają się na okresowym zachowaniu pewnych podskładników systemu . Na przykład wiele procesów homeostatycznych opiera się na ujemnym sprzężeniu zwrotnym w celu kontrolowania stężenia substancji we krwi; na przykład oddychanie jest wspomagane przez wykrywanie przez mózg wysokiego stężenia CO ₂ we krwi. Jednym ze sposobów matematycznego modelowania takich systemów jest następujące proste równanie różniczkowe zwyczajne :

{\ Displaystyle y' (t) = k-cy (t)}

gdzie $to$ tempo, w jakim „substancja” jest produkowana, a $kontroluje$ jaki sposób obecny poziom substancji zniechęca do kontynuacji jej produkcji. Rozwiązania tego równania można znaleźć za pomocą czynnika całkującego i mają one postać:

{\ Displaystyle y (t) = {\ Frac {k} {c}} + f (y_ {0}) e ^ {-ct}}

gdzie $początkowym$ dla problemu z wartością początkową .

Jednak powyższy model zakłada, że zmiany stężenia substancji są wykrywane natychmiast, co często nie ma miejsca w układach fizjologicznych. Aby złagodzić ten problem, Mackey , MC & Glass, L. (1977) zaproponowali zmianę tempa produkcji na funkcję ${\ Displaystyle k (y (t-\ tau))}$ stężenie we wcześniejszym punkcie ${\ Displaystyle t-\ tau}$ w czasie, w nadziei, że lepiej odzwierciedla to fakt, że istnieje znaczne opóźnienie, zanim szpik kostny wytworzy i uwolni dojrzałe komórki we krwi, po wykryciu niskiego stężenia komórek we krwi. Przyjmując tempo produkcji jako: ${\ displaystyle k}$

{\ Displaystyle {\ Frac {\ beta _ {0} \ teta ^ { n}}{\theta ^{n}+P(t-\tau)^{n}}}~~{\text{lub }}~~{\frac {\beta _{0}\theta ^{n } P(t-\tau )}{\theta ^{n}+P(t-\tau)^{n}}}}

otrzymujemy odpowiednio Równania ( 1 ) i ( 2 ). Wartości użyte przez Mackey, MC & Glass, L. (1977) to ${\ Displaystyle \ gamma = 0,1}$ , ${\ Displaystyle \ beta _ {0} = 0,2}$ i ${\ Displaystyle n = 10}$ , z warunkiem początkowym ${\ Displaystyle P (0) = 0,1}$ . Wartość ${\ displaystyle \ theta}$ znaczenia dla celów analizy dynamiki równania ( 2 ), ponieważ zmiana zmiennej ${\ Displaystyle P (t) = \ theta \ cdot Q (t)}$ równanie do:

{\ Displaystyle Q' (t) = {\ Frac {\ beta _ {0} Q (t- \ tau)} {1 + Q (t- \ tau) ^ {n}}} - \ gamma Q (t) .}

Dlatego w tym kontekście wykresy często umieszczają ${\ Displaystyle Q (t) = P (t) / \ theta$ $}$ na .

Dynamiczne zachowanie

Atraktory Mackey-Glass dla różnych wartości parametru

{\ displaystyle \ tau}

Interesujące jest zbadanie zachowania rozwiązań równań, gdy $zmienny$ , ponieważ reprezentuje czas potrzebny układowi fizjologicznemu na reakcję na zmianę stężenia substancji. Wzrost tego opóźnienia może być spowodowany patologią , co z kolei może skutkować chaotycznymi rozwiązaniami równań Mackeya-Glassa, zwłaszcza Równania ( 2 ). kiedy ${\ Displaystyle \ tau = 6}$ , otrzymujemy bardzo regularne rozwiązanie okresowe, które można uznać za charakteryzujące „zdrowe” zachowanie; z drugiej strony, gdy $bardziej$ staje się znacznie

Atraktor Mackey $_$ pary _ Jest to w pewnym stopniu uzasadnione, ponieważ równania różniczkowe opóźnienia można (czasami) sprowadzić do układu równań różniczkowych zwyczajnych , a także dlatego, że są to w przybliżeniu nieskończone mapy wymiarowe .

Zobacz też