Limit ustawiony

W matematyce , zwłaszcza w badaniu systemów dynamicznych , zestaw graniczny to stan, jaki układ dynamiczny osiąga po upływie nieskończonej ilości czasu, albo w przód, albo w tył. Zestawy limitów są ważne, ponieważ można ich użyć do zrozumienia długoterminowego zachowania systemu dynamicznego.

typy

Ogólnie zbiory granic mogą być bardzo skomplikowane, jak w przypadku dziwnych atraktorów , ale w przypadku dwuwymiarowych układów dynamicznych twierdzenie Poincarégo – Bendixsona zapewnia prostą charakterystykę wszystkich niepustych, zwartych zestawów granicznych, które zawierają ${\ displaystyle \ omega}$ co najwyżej skończenie wiele punktów stałych jako punkt stały, orbita okresowa lub połączenie punktów stałych i orbit homoklinicznych lub heteroklinicznych łączących te punkty stałe.

Definicja funkcji iterowanych

Niech $metryczną$ przestrzenią i $_$ _ _ _ _ ω ${\ Displaystyle \ omega}$ $Displaystyle \ omega}$ zestaw z $}$ oznaczony przez , jest zbiorem punktów skupienia z orbity przedniej ${\ Displaystyle \ {f ^ {n} (x) \} _ {n \ in \ mathbb {N}}}$ funkcji iterowanej ${\ displaystyle f}$ . Stąd ${\ Displaystyle y \ in \ omega (x, f)}$ wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje ściśle rosnąca sekwencja liczb naturalnych ${\ Displaystyle \ {n_ {k}\}_{k\w \mathbb {N}}}$ takie, że ${\ Displaystyle f ^ {n_ {k}} (x) \ rightarrow y}$ jak ${\ Displaystyle k \ rightarrow \ infty}$ . Innym sposobem wyrażenia tego jest

{\ Displaystyle \ omega (x, f) = \ bigcap _ {n \ w \ mathbb {N}} {\ nadkreśl {\{f^{k}(x):k>n\}}},}

gdzie oznacza zamknięcie zbioru $}$ $S }$ . Punkty w zestawie granicznym nie wędrują (ale mogą nie być punktami powtarzającymi się ). Można to również sformułować jako zewnętrzną granicę ( limsup ) sekwencji zbiorów, taką, że

{\ Displaystyle \ omega (x, f) = \ bigcap _ {n = 1} ^ {\ infty}} {\ overline {\ bigcup _ {k = n} ^ {\ infty} \ {f ^ {k} (x )\}}}.}

Jeśli jest $homeomorfizmem$ (to znaczy dwuciągłą bijekcją), to zbiór -limit jest definiowany w podobny sposób, ale dla orbity wstecznej; fa { $\ alpha}$ tj. ${\ Displaystyle \ alfa (x, f) = \ omega (x, f ^ {- 1})}$ .

Oba zbiory są $,$ $są$ jeśli zwarte , są zwarte i niepuste .

Definicja przepływów

Biorąc pod uwagę $x$ układ dynamiczny ( T , X ) z przepływem punkt nazywamy ω - punkt graniczny x , jeśli istnieje sekwencja ${\ Displaystyle (t_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}$ w ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$ tak, że

{\ Displaystyle \ lim _ {n \ do \ infty} t_ {n} = \ infty}

{\ Displaystyle \ lim _ {n \to \infty }\varphi (t_{n},x)=y}

.

Dla orbity γ ( T , X , φ) mówimy, że y jest ω- punktem granicznym γ, jeśli jest ω- punktem granicznym jakiegoś punktu na orbicie.

Analogicznie nazywamy y punktem granicznym α z x , jeśli istnieje sekwencja ${\ Displaystyle (t_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}$ w ${\ displaystyle \ mathbb {R} }$ tak, że

{\ Displaystyle \ lim _ {n \ do \ infty} t_ {n} = - \ infty}

{\ Displaystyle \ lim _ {n\do \infty}\varphi (t_{n},x)=y}

.

Dla orbity γ ( T , X , φ) mówimy, że y jest α- punktem granicznym γ, jeśli jest to α- punkt graniczny jakiegoś punktu na orbicie.

Zbiór wszystkich punktów granicznych ω (punktów granicznych α) dla danej orbity γ nazywamy zbiorem granicznym ω ( zbiór graniczny α ) dla γ i oznaczamy lim _ω γ (lim _α γ).

Jeśli zbiór granic ω (zbiór granic α) jest rozłączny z orbitą γ, to znaczy lim _ω γ ∩ γ = ∅ (lim _α γ ∩ γ = ∅), nazywamy lim _ω γ (lim _α γ) a ω -cykl graniczny ( α-cykl graniczny ).

Alternatywnie zestawy limitów można zdefiniować jako

{\ Displaystyle \ lim _ {\ omega} \ gamma: = \ bigcap _ {s \ w \ mathbb {R}}} \overline {\{\varphi (x,t):t>s\}}}}

I

{\ Displaystyle \ lim _ {\ alfa} \ gamma: = \ bigcap _ {s \ w \ mathbb {R}} {\ overline {\ {\ varphi (x, t): t <s \}}}.}

Przykłady

Dla dowolnej okresowej orbity γ układu dynamicznego lim _ω γ = lim _α γ = γ
Dla dowolnego punktu stałego układu dynamicznego lim _ω ${\ Displaystyle x_ {0}$ $}$ = lim _α ${\ Displaystyle x_ {0}}$ = $}$ ${\ Displaystyle x_$

Nieruchomości

lim _ω γ i lim _α γ są domknięte
jeśli X jest zwarty to lim _ω γ i lim _α γ są niepuste , zwarte i spójne
lim _ω γ i lim _α γ są φ niezmienne, to znaczy φ ( ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$ × lim _ω γ) = lim _ω γ i φ ( ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$ × lim _α γ) = lim _α γ

Zobacz też

Dalsza lektura

Teschl, Gerald (2012). Równania różniczkowe zwyczajne i układy dynamiczne . Providence : Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne . ISBN 978-0-8218-8328-0 .

Ten artykuł zawiera materiał z Omega-limit ustawiony na PlanetMath , który jest objęty licencją Creative Commons Attribution/Share-Alike License .